第04講有理數(shù)乘方混合運(yùn)算及近似數(shù)（3大考點(diǎn)7種解題方法）

第04講有理數(shù)乘方、混合運(yùn)算及近似數(shù)（3大考點(diǎn)7種解題方法）考點(diǎn)考點(diǎn)考向一．有理數(shù)的乘方（1）有理數(shù)乘方的定義：求n個相同因數(shù)積的運(yùn)算，叫做乘方．乘方的結(jié)果叫做冪，在an中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)．a(chǎn)n讀作a的n次方．（將an看作是a的n次方的結(jié)果時，也可以讀作a的n次冪．）（2）乘方的法則：正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；0的任何正整數(shù)次冪都是0．（3）方法指引：①有理數(shù)的乘方運(yùn)算與有理數(shù)的加減乘除運(yùn)算一樣，首先要確定冪的符號，然后再計算冪的絕對值；②由于乘方運(yùn)算比乘除運(yùn)算又高一級，所以有加減乘除和乘方運(yùn)算，應(yīng)先算乘方，再做乘除，最后做加減．二．非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方偶次方具有非負(fù)性．任意一個數(shù)的偶次方都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)幾個數(shù)或式的偶次方相加和為0時，則其中的每一項(xiàng)都必須等于0．三．有理數(shù)的混合運(yùn)算（1）有理數(shù)混合運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運(yùn)算，應(yīng)按從左到右的順序進(jìn)行計算；如果有括號，要先做括號內(nèi)的運(yùn)算．（2）進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算時，注意各個運(yùn)算律的運(yùn)用，使運(yùn)算過程得到簡化．【規(guī)律方法】有理數(shù)混合運(yùn)算的四種運(yùn)算技巧1．轉(zhuǎn)化法：一是將除法轉(zhuǎn)化為乘法，二是將乘方轉(zhuǎn)化為乘法，三是在乘除混合運(yùn)算中，通常將小數(shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)進(jìn)行約分計算．2．湊整法：在加減混合運(yùn)算中，通常將和為零的兩個數(shù)，分母相同的兩個數(shù)，和為整數(shù)的兩個數(shù)，乘積為整數(shù)的兩個數(shù)分別結(jié)合為一組求解．3．分拆法：先將帶分?jǐn)?shù)分拆成一個整數(shù)與一個真分?jǐn)?shù)的和的形式，然后進(jìn)行計算．4．巧用運(yùn)算律：在計算中巧妙運(yùn)用加法運(yùn)算律或乘法運(yùn)算律往往使計算更簡便．四．近似數(shù)和有效數(shù)字（1）有效數(shù)字：從一個數(shù)的左邊第一個不是0的數(shù)字起到末位數(shù)字止，所有的數(shù)字都是這個數(shù)的有效數(shù)字．（2）近似數(shù)與精確數(shù)的接近程度，可以用精確度表示．一般有，精確到哪一位，保留幾個有效數(shù)字等說法．（3）規(guī)律方法總結(jié)：“精確到第幾位”和“有幾個有效數(shù)字”是精確度的兩種常用的表示形式，它們實(shí)際意義是不一樣的，前者可以體現(xiàn)出誤差值絕對數(shù)的大小，而后者往往可以比較幾個近似數(shù)中哪個相對更精確一些．五．科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)（1）科學(xué)記數(shù)法：把一個大于10的數(shù)記成a×10n的形式，其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，n是正整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法．【科學(xué)記數(shù)法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n為正整數(shù)．】（2）規(guī)律方法總結(jié)：①科學(xué)記數(shù)法中a的要求和10的指數(shù)n的表示規(guī)律為關(guān)鍵，由于10的指數(shù)比原來的整數(shù)位數(shù)少1；按此規(guī)律，先數(shù)一下原數(shù)的整數(shù)位數(shù)，即可求出10的指數(shù)n．②記數(shù)法要求是大于10的數(shù)可用科學(xué)記數(shù)法表示，實(shí)質(zhì)上絕對值大于10的負(fù)數(shù)同樣可用此法表示，只是前面多一個負(fù)號．六．科學(xué)記數(shù)法—表示較小的數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．【規(guī)律方法】用科學(xué)記數(shù)法表示有理數(shù)x的規(guī)律x的取值范圍表示方法a的取值n的取值|x|≥10a×10n1≤|a|＜10整數(shù)的位數(shù)﹣1|x|＜1a×10﹣n第一位非零數(shù)字前所有0的個數(shù)（含小數(shù)點(diǎn)前的0）七．科學(xué)記數(shù)法—原數(shù)（1）科學(xué)記數(shù)法a×10n表示的數(shù)，“還原”成通常表示的數(shù)，就是把a(bǔ)的小數(shù)點(diǎn)向右移動n位所得到的數(shù)．若科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)a×10﹣n，還原為原來的數(shù)，需要把a(bǔ)的小數(shù)點(diǎn)向左移動n位得到原數(shù)．（2）把一個數(shù)表示成科學(xué)記數(shù)法的形式及把科學(xué)記數(shù)法還原是兩個互逆的過程，這也可以作為檢查用科學(xué)記數(shù)法表示一個數(shù)是否正確的方法．考點(diǎn)考點(diǎn)精講一．有理數(shù)的乘方（共6小題）1．（2020秋?衢州期中）若一個數(shù)的立方是﹣8，則這個數(shù)是﹣2．【分析】根據(jù)乘方，可得一個數(shù)的立方根．【解答】解：∵（﹣2）3＝﹣8，∴＝﹣2，即﹣8的立方根是﹣2，故答案為：﹣2．【點(diǎn)評】本題考查了有理數(shù)的乘方，注意乘方與開方互為逆運(yùn)算．2．（2020秋?雙峰縣期中）平方等于本身的數(shù)有0，1；立方等于本身的數(shù)有0，1，﹣1．【分析】根據(jù)平方，立方的意義可知．【解答】解：平方是它本身的數(shù)是1和0；立方是它本身的數(shù)是±1和0．【點(diǎn)評】主要考查了乘方里平方，立方的意義．乘方是乘法的特例，乘方的運(yùn)算可以利用乘法的運(yùn)算來進(jìn)行．負(fù)數(shù)的奇數(shù)次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶數(shù)次冪是正數(shù)；﹣1的奇數(shù)次冪是﹣1，﹣1的偶數(shù)次冪是1，0的任何次冪還是0．3．（2021秋?濱江區(qū)校級期中）若a2＝4，|b|＝1，且a＞b，求a+b的值．【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)和乘方的意義分別解出a，b，然后根據(jù)a＞b，解出a，b的值，然后相加計算即可．【解答】解：∵a2＝4，|b|＝1，∴a＝±2，b＝±1，∵a＞b，∴a＝2，b＝±1，∴a+b＝2+1＝3或a+b＝2﹣1＝1．∴a+b的值為3或1．【點(diǎn)評】此題主要考查了絕對值的性質(zhì)和乘方的意義以及分類討論思想，解題的關(guān)鍵是如何根據(jù)已知條件，去掉絕對值．4．（2021秋?余杭區(qū)期中）已知m2＝25，|1﹣n|＝2，且m＜n，求m﹣n的值．【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方的性質(zhì)和絕對值的定義即可得到結(jié)論．【解答】解：∵m2＝25，|1﹣n|＝2，∴m＝±5，n＝﹣1或3，∵m＜n，∴m＝﹣5，∴m﹣n＝﹣4或﹣8．【點(diǎn)評】本題考查了有理數(shù)的乘方，絕對值的定義，熟練掌握有理數(shù)的乘方是解題的關(guān)鍵．5．（2020秋?蕭山區(qū)期末）把式子寫成乘方的形式為（）5．【分析】根據(jù)有理數(shù)乘方的定義解答．【解答】解：＝（）5．故答案為：（）5．【點(diǎn)評】本題考查了有理數(shù)的乘方的定義，注意指數(shù)是底數(shù)的個數(shù)．6．（2020秋?婺城區(qū)校級期末）（﹣）3的底數(shù)是﹣，指數(shù)是3，運(yùn)算后的結(jié)果是﹣．【分析】（﹣）3表示3個﹣相乘．【解答】解：（﹣）3的底數(shù)是﹣，指數(shù)是3，運(yùn)算后的結(jié)果是﹣．【點(diǎn)評】乘方是乘法的特例，乘方的運(yùn)算可以利用乘法的運(yùn)算來進(jìn)行．負(fù)數(shù)的奇數(shù)次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶數(shù)次冪是正數(shù)．二．非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方（共3小題）7．（2021秋?北侖區(qū)期中）若|x﹣2|+（y+4）2＝0，則2x﹣y＝8．【分析】直接利用絕對值的性質(zhì)以及偶次方的性質(zhì)得出x，y的值，進(jìn)而得出答案．【解答】解：∵|x﹣2|+（y+4）2＝0，∴x﹣2＝0，y+4＝0，解得：x＝2，y＝﹣4，則2x﹣y＝2×2﹣（﹣4）＝8，故答案為：8．【點(diǎn)評】此題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，正確得出x，y的值是解題關(guān)鍵．8．（2021秋?溫州期中）若a，b為實(shí)數(shù)，且|a﹣2|+（b+4）2＝0，則ab＝﹣8．【分析】首先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求得a和b的值，進(jìn)而求得代數(shù)式的值．【解答】解：根據(jù)題意得：a﹣2＝0，b+4＝0，則a＝2，b＝﹣4．∴ab＝2×（﹣4）＝﹣8．故答案是：﹣8．【點(diǎn)評】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是掌握非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：幾個非負(fù)數(shù)的和等于0，則每個數(shù)等于0．9．（2021秋?仙居縣校級月考）已知：|x﹣|+（y﹣2）2＝0，則xy的值為．【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)分別求出x、y，代入計算即可．【解答】解：由題意得，x﹣＝0，y﹣2＝0，解得，x＝，y＝2，則xy＝（）2＝，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查的是非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，掌握當(dāng)幾個非負(fù)數(shù)相加和為0時，則其中的每一項(xiàng)都必須等于0是解題的關(guān)鍵．三．有理數(shù)的混合運(yùn)算（共5小題）10．（2021秋?臺州期末）計算：（1）4﹣（﹣2）+5；（2）﹣32×（+）；（3）（﹣6）×（﹣）﹣8÷（﹣2）3．【分析】（1）從左向右依次計算，求出算式的值即可．（2）首先計算乘方，然后應(yīng)用乘法分配律，求出算式的值即可．（3）首先計算乘方，然后計算乘法、除法，最后計算減法，求出算式的值即可．【解答】解：（1）4﹣（﹣2）+5＝4+2+5＝11．（2）﹣32×（+）＝﹣9×（+）＝﹣9×+（﹣9）×＝﹣3+（﹣1）＝﹣4．（3）（﹣6）×（﹣）﹣8÷（﹣2）3＝3﹣8÷（﹣8）＝3﹣（﹣1）＝3+1＝4．【點(diǎn)評】此題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，注意明確有理數(shù)混合運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運(yùn)算，應(yīng)按從左到右的順序進(jìn)行計算；如果有括號，要先做括號內(nèi)的運(yùn)算．11．（2021秋?椒江區(qū)期末）計算：（1）|﹣1|+4+6÷（﹣2）；（2）（﹣2）2×3﹣（﹣2）3÷4．【分析】（1）原式先算絕對值及除法，再算加減即可得到結(jié)果；（2）原式先算乘方，再算乘除，最后算減法即可得到結(jié)果．【解答】解：（1）原式＝1+4﹣3＝2；（2）原式＝4×3﹣（﹣8）÷4＝12﹣（﹣2）＝12+2＝14．【點(diǎn)評】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．12．（2021秋?余姚市期末）國慶黃金周電影《長津湖》成為了浙江人民觀影的首選，寧波某區(qū)9月30日該電影票的售票量為1.1萬張，該區(qū)10月1日到10月7日售票量的變化如下表（正號表示售票量比前一天多，負(fù)號表示售票量比前一天少）：日期1日2日3日4日5日6日7日售票量的變化（單位：萬張）+0.5+0.1﹣0.3﹣0.2+0.4﹣0.2+0.1請根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）10月2日的售票量為多少萬張？（2）10月7日與9月30日相比較，哪一天的售票量多？多多少萬張？（3）若平均每張票價為50元，則10月1日到10月7日該區(qū)銷售《長津湖》電影票共收入多少萬元？【分析】（1）根據(jù)題意列得算式，計算即可得到結(jié)果；（2）把表格中的數(shù)據(jù)相加，即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)表格得出1日到7日每天的人數(shù)，相加后再乘以30即可得到結(jié)果．【解答】解：（1）10月2日的售票量為：1.1+0.5+0.1＝1.7（萬張）；（2）10月1日的售票量為：1.1+0.5＝1.6（萬張）；10月2日的售票量為：1.6+0.1＝1.7（萬張）；10月3日的售票量為：1.7﹣0.3＝1.4（萬張）；10月4日的售票量為：1.4﹣0.2＝1.2（萬張）；10月5日的售票量為：1.2+0.4＝1.6（萬張）；10月6日的售票量為：1.6﹣0.2＝1.4（萬張）；10月7日的售票量為：1.4+0.1＝1.5（萬張）；1.7﹣1.1＝0.6（萬張）；答：10月7日與9月30日相比較，10月2的售票量多，多0.6萬張；（3）10月1日到7日的售票量為：1.6+1.7+1.4+1.2+1.6+1.4+1.5＝10.4（萬張），50×10.4＝520（萬元），故該區(qū)銷售《長津湖》共520萬元．【點(diǎn)評】本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)以及有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握正數(shù)和負(fù)數(shù)表示相反意義的量是解答本題的關(guān)鍵．13．（2021秋?縉云縣期末）規(guī)定：我們把若干個相同的有理數(shù)（不為0）的除法運(yùn)算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．類比有理數(shù)的乘方，我們把2÷2÷2記作2③，讀作“2的圈3次方”（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）記作（﹣3）④，讀作“﹣3的圈4次方”．一般地，把記作a?，讀作“a的圈n次方”．（1）直接寫出計算結(jié)果：2③＝，（﹣）④＝4；【類比探究】我們知道，有理數(shù)的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算，除法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，有理數(shù)的除方運(yùn)算如何轉(zhuǎn)化為乘方運(yùn)算呢？（2）試一試：仿照上面的算式，將下列運(yùn)算結(jié)果直接寫成乘方的形式：（﹣3）④＝（）2；（）⑩＝a8．（3）想一想：將一個非零有理數(shù)a的圈n次方寫成乘方的形式是（）n﹣2．【綜合運(yùn)用】（4）算一算：42÷（﹣3）④×（﹣）③﹣（）⑥÷34．（約定：除方和乘方是同級運(yùn)算）【分析】（1）根據(jù)運(yùn)算規(guī)定，用除法運(yùn)算直接得出結(jié)果；（2）根據(jù)運(yùn)算規(guī)定，仿照例題即可計算出結(jié)果；（3）一個非零有理數(shù)a的圈n次方等于a的倒數(shù)的（n﹣2）次方，寫成字母表述的形式；（4）根據(jù)圈a的運(yùn)算規(guī)定，按著有理數(shù)的運(yùn)算順序、運(yùn)算法則計算出結(jié)果．【解答】解：（1）2③＝2÷2÷2＝，（﹣）④＝（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）＝×2×2×2＝4．故答案為：，4；（2）（﹣3）④＝（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）＝3×××＝（）2；（）⑩＝÷÷???÷＝?a?a????a＝a8；故答案為：（）2；a8；（3）a?＝a÷a÷…÷a＝1××…×＝（）n﹣2．故答案為：（）n﹣2；（5）42÷（﹣3）④×（﹣）③﹣（）⑥÷34＝16÷（）2×（﹣2）﹣34÷34＝16÷×（﹣2）﹣1＝16×9×（﹣2）﹣1＝﹣288﹣1＝﹣289．【點(diǎn)評】本題主要考查了新定義、新定義運(yùn)算的應(yīng)用及有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握新定義和有理數(shù)的混合運(yùn)算是解決本題的關(guān)鍵．14．（2021秋?衢江區(qū)期末）小紅與小亮兩位同學(xué)計算﹣32﹣6×（）的過程如圖：請判斷他們的解法是否正確（在相應(yīng)的方框內(nèi)打“√”或“×”），并寫出你的解答過程．【分析】先計算乘方、利用乘法分配律展開，計算時注意乘方的底數(shù)和乘法分配律計算時的符號問題，再計算乘法，最后計算加減即可．【解答】解：正確解答過程如下：原式＝﹣9﹣6×+6×＝﹣9﹣3+2＝﹣10．【點(diǎn)評】本題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．四．近似數(shù)和有效數(shù)字（共3小題）15．（2021秋?鎮(zhèn)海區(qū)期末）近幾年寧波市常住人口總旦持續(xù)增長，根據(jù)第七次全國人口普查數(shù)據(jù)顯示寧波市常住人口約為940.43萬人，940.43萬精確到（）A．十分位 B．百分位 C．百位 D．萬位【分析】根據(jù)數(shù)字940.43萬，可知該數(shù)字的最后一個數(shù)字3處于百位的位置，從而可以寫出該數(shù)字精確到哪一位．【解答】解：940.43萬精確到百位，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查近似數(shù)和有效數(shù)字，解答本題的關(guān)鍵是明確有效數(shù)字的含義．16．（2021秋?青田縣期末）一個數(shù)由四舍五入精確到千分位后得到的數(shù)是1.270，那么這個數(shù)最小可以取1.2695．【分析】先根據(jù)近似數(shù)的精確度得到這個數(shù)的范圍，然后確定最小值．【解答】解：設(shè)這個數(shù)為a，則1.2695≤a＜1.2705，所以這個數(shù)最小可以取1.2695．故答案為：1.2695．【點(diǎn)評】本題考查了近似數(shù)：“精確到第幾位”是精確度的常用的表示形式．17．（2021秋?越城區(qū)期末）把34.75精確到個位得到的近似數(shù)是（）A．30 B．34.8 C．34 D．35【分析】把十分位上的數(shù)字7進(jìn)行四舍五入即可．【解答】解：把34.75精確到個位得到的近似數(shù)是35．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了近似數(shù)和有效數(shù)字，經(jīng)過四舍五入得到的數(shù)為近似數(shù)．近似數(shù)與精確數(shù)的接近程度，可以用精確度表示．一般有，精確到哪一位，保留幾個有效數(shù)字等說法．五．科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)（共2小題）18．（2021秋?柯城區(qū)校級期中）2021年10月22日浙江省第四屆體育大會開幕式在衢州體育中心隆重舉行，建設(shè)該體育中心總投資約35億元，將數(shù)據(jù)35億用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．35×108 B．3.5×108 C．3.5×109 D．0.35×1010【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值大于等于10時，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值小于1時，n是負(fù)數(shù)．【解答】解：35億＝3500000000＝3.5×109．故選：C．【點(diǎn)評】此題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，正確確定a的值以及n的值是解決問題的關(guān)鍵．19．（2021秋?蕭山區(qū)期中）今年6月17日，我國的神舟十二號載人飛船搭載著聶海勝、劉伯明、湯洪波三名宇航員成功飛天，開啟歷時三個月的太空任務(wù)，載人飛船每天繞地球飛行了約15.4圈，歷時三個月，共飛行約58935325km，則這個飛行距離用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．58.9×106km B．0.589×108km C．5.89×107km D．5.89×108km【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值≥10時，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時，n是負(fù)數(shù)．【解答】解：將58935325km用科學(xué)記數(shù)法表示為5.89×107km．故選：C．【點(diǎn)評】此題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．六．科學(xué)記數(shù)法—表示較小的數(shù)（共2小題）20．（2022春?新昌縣期末）新冠病毒的直徑約為110納米，已知：110納米＝0.00000011米，0.00000011用科學(xué)記數(shù)法可表示為（）A．110×10﹣9 B．11×10﹣8 C．1.1×10﹣7 D．0.11×10﹣6【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值≥10時，n是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時，n是負(fù)整數(shù)．【解答】解：0.00000011＝1.1×10﹣7．故選：C．【點(diǎn)評】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．21．（2022春?麗水期末）據(jù)學(xué)習(xí)強(qiáng)國介紹，在天宮二號實(shí)驗(yàn)室中科學(xué)家實(shí)現(xiàn)了最高精度的空間冷原子鐘，日穩(wěn)定度達(dá)到0.00000000000000072秒，即3000萬年誤差小于1秒，將數(shù)0.00000000000000072用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．7.2×10﹣15 B．0.72×10﹣15 C．72×10﹣17 D．7.2×10﹣16【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值≥10時，n是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時，n是負(fù)整數(shù)．【解答】解：0.00000000000000072＝7.2×10﹣16．故選：D．【點(diǎn)評】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．七．科學(xué)記數(shù)法—原數(shù)（共1小題）22．（2021秋?平陽縣期中）用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)為4.315×103，這個數(shù)原來是（）A．4315 B．431.5 C．43.15 D．4.315【分析】將小數(shù)點(diǎn)向右移動3位即可得出原數(shù)．【解答】解：用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)為4.315×103，這個數(shù)原來是4315，故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查科學(xué)記數(shù)法—原數(shù)，科學(xué)記數(shù)法a×10n表示的數(shù)，“還原”成通常表示的數(shù)，就是把a(bǔ)的小數(shù)點(diǎn)向右移動n位所得到的數(shù)．若科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)a×10﹣n，還原為原來的數(shù)，需要把a(bǔ)的小數(shù)點(diǎn)向左移動n位得到原數(shù)．鞏固鞏固提升一、單選題1．（2019·浙江溫州市·七年級期中）計算的結(jié)果是（）A． B．9 C． D．6【答案】B【分析】根據(jù)乘方的法則即可求解．【詳解】解：（3）2=9．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了乘方的運(yùn)算，負(fù)數(shù)的奇數(shù)次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶數(shù)次冪是正數(shù)；1的奇數(shù)次冪是1，1的偶數(shù)次冪是1．2．（2021·浙江七年級期末）把5041四舍五入，精確到百位的近似數(shù)是（）A．5000 B．50 C． D．【答案】C【分析】先用科學(xué)記數(shù)法表示5041，然后把十位上的數(shù)字進(jìn)行四舍五入即可．【詳解】解：5041精確到百位的近似數(shù)為5.0×103，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了近似數(shù)和有效數(shù)字：近似數(shù)與精確數(shù)的接近程度，可以用精確度表示．一般有，精確到哪一位，保留幾個有效數(shù)字等說法；從一個數(shù)的左邊第一個不是0的數(shù)字起到末位數(shù)字止，所有的數(shù)字都是這個數(shù)的有效數(shù)字．3．（2021·浙江七年級期末）下列代數(shù)式：，，，，，，的值中，一定是正數(shù)的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．以上答案都不對【答案】A【分析】大于0的是正數(shù)，小于0的是負(fù)數(shù)．注意|a|≥0，a2≥0．【詳解】解：中a值不確定，故不一定是正數(shù)；≥0，故不一定是正數(shù)；≤1＜0，故不是正數(shù)；≥0，故不一定是正數(shù)；＞0，故一定是正數(shù)；≥0，故不一定是正數(shù)；，a值不確定，故不一定是正數(shù)；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的判斷，掌握絕對值、偶次方的非負(fù)性是解題的關(guān)鍵．4．（2021·浙江）一根1米長的繩子，第一次剪去繩子的，第二次剪去剩下繩子的，如此剪下去，第六次剪去后剩下繩子的長度是（）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】D【分析】表示出第一次，第二次后剩下的長度，…，歸納總結(jié)得到第六次后剩下的長度即可．【詳解】解：第1次后剩下的繩子的長度，第2次后剩下的繩子的長度為，第3次后剩下的繩子的長度為，...，∴第6次后剩下的繩子的長度為，故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了乘方的意義．正確理解題意是解題的關(guān)鍵，能夠根據(jù)題意列出代數(shù)式是解題主要步驟．5．（2020·浙江杭州·七年級期末）①絕對值等于它本身的數(shù)是0，1；②倒數(shù)等于它本身的數(shù)只有1；③若則a、b互為相反數(shù)；④讀作“的5次冪”，其中不正確的是（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④【答案】B【分析】根據(jù)絕對值，倒數(shù)，相反數(shù)和冪的概念分別判斷．【詳解】解：①絕對值等于它本身的數(shù)是非負(fù)數(shù)，故錯誤；②倒數(shù)等于它本身的數(shù)有1和1，故錯誤；③若，則a=b，則a、b互為相反數(shù)，故正確；④讀作“2的5次冪的相反數(shù)”，故錯誤；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對值，倒數(shù)，相反數(shù)和冪的概念，正確理解相關(guān)定義是關(guān)鍵．6．（2021·諸暨市開放雙語實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級期中）中國倡導(dǎo)的“一帶一路”建設(shè)將促進(jìn)我國與世界各國的互利合作，根據(jù)規(guī)劃，“一帶一路”地區(qū)覆蓋總?cè)丝诩s為4400000000人，這個數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．4.4×108 B．44×108 C．4.4×109 D．4.4×1010【答案】C【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時，要看把原數(shù)變成時，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同．【詳解】解：．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定的值以及的值．二、填空題7．（2019·浙江溫州·七年級期中）底數(shù)是____，運(yùn)算結(jié)果是____．【答案】381【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方的定義和法則解答即可．【詳解】解：的底數(shù)是，運(yùn)算結(jié)果是=81，故答案為：3，81．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘方，熟記概念是解題的關(guān)鍵．8．（2020·浙江）的相反數(shù)是_____，平方是______．【答案】【分析】根據(jù)只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)，可得一個數(shù)的相反數(shù)，根據(jù)乘方運(yùn)算，可得一個是數(shù)的平方．【詳解】解：的相反數(shù)是，平方是=，故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了相反數(shù)和乘方運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握相應(yīng)的定義和運(yùn)算法則．9．（2021·浙江溫州市·七年級期中）用四舍五入法把0.335精確到百分位，所得到的近似數(shù)是____．【答案】0.34．【分析】對千分位數(shù)字進(jìn)行四舍五入即可求解．【詳解】解：用四舍五入法把0.335精確到百分位，所得到的近似數(shù)是0.34，故答案為：0.34．【點(diǎn)睛】本題主要考查了近似數(shù)，解題的關(guān)鍵是理解近似數(shù)的意義．10．（2021·浙江）用四舍五入法對圓周率…取近似數(shù)為_______（精確到0.1）．【答案】3.1【分析】要精確到0.1就要在3.14的基礎(chǔ)上四舍五入．【詳解】解：π精確到0.1為3.1，故答案為：3.1．【點(diǎn)睛】本題考查了近似數(shù)，精確到哪一位就要在它后一位上四舍五入．11．（2021·浙江）已知，且，若為有理數(shù)，為整數(shù)，則________．【答案】或【分析】按照n為正整數(shù)，逐個驗(yàn)證n=1，2，3…時，a的取值情況即可求解．【詳解】解：當(dāng)n=1時，a+b=，b=1，a=，符合要求，當(dāng)n=2時，a+b=，b=±1，不符合要求，當(dāng)n=3時，a+b=，b=1，a=，符合要求，當(dāng)n≥4，均不符合要求，∴a=或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查的是有理數(shù)的乘方，采取的列舉法求解．12．（2020·浙江七年級期末）若，則的值為______．【答案】5【分析】直接利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出m，n的值，再代入得出答案．【詳解】解：∵|m3|+（n+2）2=0，∴m3=0，n+2=0，解得：m=3，n=2，故nm=23=5．故答案為：5．【點(diǎn)睛】此題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，正確得出m，n的值是解題關(guān)鍵．13．（2019·浙江七年級期中）某種細(xì)菌每30秒由1個分裂成2個，經(jīng)過3分，1個細(xì)菌分裂成________個．【答案】64【分析】把3分轉(zhuǎn)化為含30秒的次數(shù)，根據(jù)乘方的意義得結(jié)論．【詳解】解：因?yàn)?分=6個30秒，所以1個細(xì)菌經(jīng)過3分鐘分裂成26個，即64個．故答案為：64．【點(diǎn)睛】本題考查了冪的乘方．掌握乘方的意義是解決本題的關(guān)鍵．14．（2020·浙江杭州·七年級期末）如果，那么的值為_______．【答案】2【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列出算式，求出x、y的值，代入計算即可．【詳解】解：由題意得，x2=0，2y4=0，∴x=2，y=2，∴2xy=2×22=2，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查的是非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，掌握當(dāng)幾個非負(fù)數(shù)相加和為0時，則其中的每一項(xiàng)都必須等于0是解題的關(guān)鍵．15．（2020·浙江杭州市·七年級期末）若，則________．【答案】7或3【分析】根據(jù)題意，利用絕對值的意義及乘方法則求出x與y的值，代入原式計算即可得到結(jié)果．【詳解】解：根據(jù)題意得：x=±5，y=±2，∵x＜y，∴x=5，y=2或x=5，y=2，則xy=7或3．故答案為：7或3．【點(diǎn)睛】此題考查了絕對值和乘方運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．16．（2021·杭州市公益中學(xué)七年級期末）近似數(shù)4.131×104精確到_____位；地球赤道半徑約為6371000米，用科學(xué)記數(shù)法表示為_____米．【答案】十6.371×106【分析】將用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)化成原數(shù)，再看最后一位數(shù)字在什么數(shù)位上，就是精確到哪一位．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同．【詳解】解：4.131×104=41310，精確到十位；6371000用科學(xué)記數(shù)法表示為6.371×106．故答案是：十；6.371×106．【點(diǎn)睛】本題主要考查了近似數(shù)和科學(xué)記數(shù)法，科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．對于用科學(xué)記表示的數(shù)，有效數(shù)字的計算方法，與精確到哪一位是需要識記的內(nèi)容，經(jīng)常會出錯．17．（2021·浙江七年級期末）近似數(shù)精確到_______位；1.30所表示的準(zhǔn)確數(shù)x的取值范圍是_____________．【答案】百1.295≤x＜1.305【分析】根據(jù)近似數(shù)的精確度分別回答．【詳解】解：=13000，則原數(shù)精確到百位，1.30所表示的準(zhǔn)確數(shù)x的取值范圍是1.295≤x＜1.305，故答案為：百，1.295≤x＜1.305．【點(diǎn)睛】本題考查了近似數(shù)和有效數(shù)字：近似數(shù)與精確數(shù)的接近程度，可以用精確度表示．一般有，精確到哪一位，保留幾個有效數(shù)字等說法；從一個數(shù)的左邊第一個不是0的數(shù)字起到末位數(shù)字止，所有的數(shù)字都是這個數(shù)的有效數(shù)字．三、解答題18．（2020·浙江七年級單元測試）把下列各數(shù)填在相應(yīng)的括號里，120%，28，0，，（1）非負(fù)整數(shù){}（2）負(fù)分?jǐn)?shù)集合{}（3）絕對值等于它本身的數(shù){}【分析】根據(jù)有理數(shù)的分類和絕對值的定義填寫．【詳解】解：，，，絕對值等于它本身的數(shù)為非負(fù)數(shù)，（1）非負(fù)整數(shù){28，0，，...}（2）負(fù)分?jǐn)?shù)集合{，...}（3）絕對值等于它本身的數(shù){120%，28，0，，...}【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的分類．有理數(shù)分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)；正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱整數(shù)；正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱分?jǐn)?shù)．非負(fù)整數(shù)包括正整數(shù)和0，還考查了絕對值的定義．19．（2020·浙江）已知，，且，求的值．【答案】8或8【分析】先根據(jù)絕對值的性質(zhì)求出a的值，再根據(jù)乘方的運(yùn)算法則求出b的值，進(jìn)而相減可得出結(jié)論．【詳解】解：∵|a|=5，b2=9，∴a=±5，b=±3，∵ab＜0，∴當(dāng)a=5時，b=3，∴ab=5+3=8；當(dāng)a=5時，b=3，∴ab=53=8．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對值的意義，有理數(shù)的乘法和乘方，熟知有理數(shù)乘方的法則是解答此題的關(guān)鍵．20．（2020·浙江杭州市·）（1）已知：4的相反數(shù)為的絕對值為的2020次方為，則______，_____，_____；（2）將（1）中求出的每個數(shù)表示在數(shù)軸上．（3）用“<”把連接起來．【答案】（1）；（2）畫圖見解析；（3）＜＜．【分析】（1）由相反數(shù)的定義可求解，由絕對值的含義可求解，由乘方的含義求解，從而可得答案；（2）利用數(shù)軸上正數(shù)在原點(diǎn)的右邊，負(fù)數(shù)在原點(diǎn)的左邊，在數(shù)軸上表示對應(yīng)的數(shù)即可；（3）利用（2）中的數(shù)軸，比較對應(yīng)的數(shù)即可得到答案．【詳解】解：（1）4的相反數(shù)為的絕對值為的2020次方為，故答案為：（2）如圖，在數(shù)軸上表示對應(yīng)的數(shù)如下：（3）由（2）中的數(shù)軸圖可得：＜＜，＜＜，【點(diǎn)睛】本題考查的相反數(shù)的定義，絕對值的含義，乘方的含義，利用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)，有理數(shù)的大小比較，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．21．（2020·浙江杭州市·）某種球形病毒的直徑約是0.01納米，一個該種病毒每經(jīng)過一分鐘就能繁殖出9個與自己完全相同的病毒，假如這種病毒在人體內(nèi)聚集到一定數(shù)量，按這樣的數(shù)量排列成一串，長度達(dá)到1分米時，人體就會感到不適．（1米納米）（1）從感染到第一個病毒開始，經(jīng)過5分鐘，人體內(nèi)改種病毒的總長度是多少納米？（2）從感染到第一個病毒開始，經(jīng)過多少分鐘，人體會感到不適？【答案】（1）從感染到第一個病毒開始，經(jīng)過5分鐘，人體內(nèi)改種病毒的總長度是1000納米；（2）從感染到第一個病毒開始，經(jīng)過10分鐘，人體會感到不適．【分析】（1）根據(jù)題意，每個病毒每分鐘繁殖出9個病毒連同本身共10個病毒，然后根據(jù)有理數(shù)乘方的意義計算即可；（2）先將1分米轉(zhuǎn)化為納米，從而求出結(jié)論．【詳解】解：（1）由題意可知：經(jīng)過5分鐘，人體內(nèi)改種病毒的總長度是0.01×1×105=1000（納米）答：從感染到第一個病毒開始，經(jīng)過5分鐘，人體內(nèi)改種病毒的總長度是1000納米；（2）1分米=米納米而÷（0.01×1）=∴從感染到第一個病毒開始，經(jīng)過10分鐘，人體會感到不適答：從感染到第一個病毒開始，經(jīng)過10分鐘，人體會感到不適．【點(diǎn)睛】此題考查