第09講概率初步（9大考點）（原卷版）

第09講概率初步（9大考點）考點考點考向一、必然事件、不可能事件和隨機事件隨機事件與概率初步1.定義：（1）必然事件在一定條件下重復(fù)進行試驗時，在每次試驗中必然會發(fā)生的事件，叫做必然事件．（2）不可能事件在每次試驗中都不會發(fā)生的事件叫做不可能事件．（3）隨機事件在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱為隨機事件.要點詮釋：1.必然發(fā)生的事件和不可能發(fā)生的事件均為“確定事件”，隨機事件又稱為“不確定事件”；2.要知道事件發(fā)生的可能性大小首先要確定事件是什么類型.一般地，必然發(fā)生的事件發(fā)生的可能性最大，不可能發(fā)生的事件發(fā)生的可能性最小，隨機事件發(fā)生的可能性有大有小，不同的隨機事件發(fā)生的可能性的大小有可能不同.二、概率的意義概率是從數(shù)量上刻畫了一個隨機事件發(fā)生的可能性的大小.一般地，在大量重復(fù)試驗中，如果事件A發(fā)生的頻率會穩(wěn)定在某個常數(shù)p附近，那么這個常數(shù)p就叫做事件A的概率(probability)，記為.要點詮釋：(1)概率是頻率的穩(wěn)定值，而頻率是概率的近似值；(2)概率反映了隨機事件發(fā)生的可能性的大小；(3)事件A的概率是一個大于等于0，且小于等于1的數(shù)，，即，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0<P(隨機事件)<1.三、古典概型滿足下列兩個特點的概率問題稱為古典概型.（1）一次試驗中，可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限的；（2）一次試驗中，各種結(jié)果發(fā)生的可能性相等的.古典概型可以從事件所包含的各種可能的結(jié)果在全部可能的試驗結(jié)果中所占的比例分析事件的概率.要點詮釋：如果在一次試驗中，有n種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性相等，事件A包含其中的m種結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率為P（A）=.四、用列舉法求概率常用的列舉法有兩種：列表法和樹形圖法.1.列表法：當(dāng)一次試驗要涉及兩個因素，并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用列表法.列表法是用表格的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以及某一事件發(fā)生的可能的次數(shù)和方式，并求出概率的方法.要點詮釋：（1）列表法適用于各種情況出現(xiàn)的總次數(shù)不是很大時，求概率的問題；（2）列表法適用于涉及兩步試驗的隨機事件發(fā)生的概率.2.樹形圖：當(dāng)一次試驗要涉及3個或更多個因素時，為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹形圖.樹形圖是用樹狀圖形的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以及某一事件發(fā)生的可能的次數(shù)和方式，并求出概率的方法.要點詮釋：(1)樹形圖法同樣適用于各種情況出現(xiàn)的總次數(shù)不是很大時，求概率的問題；（2）在用列表法或樹形圖法求可能事件的概率時，應(yīng)注意各種情況出現(xiàn)的可能性務(wù)必相同.五、利用頻率估計概率當(dāng)試驗的可能結(jié)果不是有限個，或各種結(jié)果發(fā)生的可能性不相等時，一般用統(tǒng)計頻率的方法來估計概率.要點詮釋：用試驗去估計隨機事件發(fā)生的概率應(yīng)盡可能多地增加試驗次數(shù)，當(dāng)試驗次數(shù)很大時，結(jié)果將較為精確.考點考點精講一．隨機事件（共3小題）1．（2022?德?？h二模）“正方形既是矩形又是菱形”是事件．（填“必然”、“隨機”、“不可能”）2．（2022春?武進區(qū)期中）下列說法錯誤的是（）A．某商場對顧客健康碼的審查，選擇抽樣調(diào)查 B．在復(fù)學(xué)后，某校為了檢查全校學(xué)生的體溫，選擇全面調(diào)查 C．為了記錄康復(fù)后的新冠肺炎病人的體溫情況，適合選用折線統(tǒng)計圖 D．“發(fā)熱病人的核酸檢測呈陽性”是隨機事件3．（2022?開福區(qū)校級三模）“隨手翻開華師大版初中數(shù)學(xué)課本，翻到的頁碼恰好是3的倍數(shù)”，這個事件是事件（填“隨機”、“必然”或“不可能”）．二．可能性的大小（共2小題）4．（2022秋?柳江區(qū)月考）從1﹣9的數(shù)字卡片中，任意抽一張，抽到奇數(shù)的可能性是．5．（2022秋?臨平區(qū)月考）擲一枚質(zhì)地均勻的標(biāo)有1，2，3，4，5，6六個數(shù)字的立方體骰子，骰子停止后，出現(xiàn)可能性最小的是（）A．大于3的點數(shù) B．小于3的點數(shù) C．大于5的點數(shù) D．小于5的點數(shù)三．概率的意義（共5小題）6．（2022?禮縣模擬）一只不透明的布袋中有三種珠子（除顏色以外沒有任何區(qū)別），分別是3個紅珠子，4個白珠子和5個黑珠子，每次只摸出一個珠子，觀察后均放回攪勻，在連續(xù)9次摸出的都是紅珠子的情況下，第10次摸出紅珠子的概率是．7．（2022?思明區(qū)校級二模）下列說法正確的是（）A．甲、乙兩人跳遠成績的方差分別為S甲2＝3，S乙2＝4，說明乙的跳遠成績比甲穩(wěn)定 B．了解某市市民知曉“禮讓行人”交通新規(guī)的情況，適合全面調(diào)查 C．一組數(shù)據(jù)2，2，3，4的眾數(shù)是2，中位數(shù)是2.5 D．可能性是1%的事件在一次試驗中一定不會發(fā)生8．（2022?長沙）下列說法中，正確的是（）A．調(diào)查某班45名學(xué)生的身高情況宜采用全面調(diào)查 B．“太陽東升西落”是不可能事件 C．為了直觀地介紹空氣各成分的百分比，最適合使用的統(tǒng)計圖是條形統(tǒng)計圖 D．任意投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣26次，出現(xiàn)正面朝上的次數(shù)一定是13次9．（2022秋?朝陽區(qū)校級月考）在一個不透明的口袋里有紅、黃、藍三種顏色的小球，這些球除顏色外完全相同，其中有5個黃球，4個藍球．若隨機摸出一個藍球的概率為，則隨機摸出一個紅球的概率為．10．（2022?豐順縣校級開學(xué)）一則廣告聲稱本次活動的中獎率為20%，其中一等獎的中獎率為1%．小明看到這則廣告后，想：“我抽5張就會有1張中獎，抽100張就會有1張中一等獎．”你認為小明的想法對嗎？四．概率公式（共5小題）11．（2022秋?南關(guān)區(qū)校級月考）一個不透明的袋中裝有2個白球，3個黑球，5個紅球，每個球除顏色外都相同．（1）從中任意摸出一個球，摸到紅球是事件；摸到黃球是事件；（填“不可能”或“必然”或“隨機”）（2）從中任意摸出一個球，摸到黑球的概率；（3）現(xiàn)在再將若干個同樣的黑球放入袋中、與原來10個球均勻混合在一起，使從袋中任意摸出一個球為黑球的概率為，請求出后來放入袋中的黑球個數(shù)．12．（2022?鼓樓區(qū)校級模擬）為了解某市快遞員的收入情況，現(xiàn)隨機抽取了甲、乙兩家快遞公司80天的送貨單，對兩個公司的快遞員人均每天的送貨單數(shù)進行統(tǒng)計，數(shù)據(jù)如下：已知這兩家快遞公司的快遞員的日工資方案為：甲公司規(guī)定底薪80元，每單抽成1元；乙公司規(guī)定底薪100元，每日前40單無抽成，超過40單的部分每單抽成4元．每位快遞員平均每天送貨單數(shù)30405060天數(shù)甲10401812乙10352015（1）現(xiàn)從這80天中隨機抽取1天，求這一天甲公司快遞員人均送貨單數(shù)超過50（不含50）單的概率；（2）根據(jù)以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)，若將各公司快遞員的人均送貨單數(shù)視為該公司各快遞員的送貨單數(shù)，①估計乙快遞公司各快遞員的日均送貨單數(shù)；②小明擬到甲、乙兩家快遞公司中的一家應(yīng)聘快遞員的工作．如果僅從工資收入的角度考慮，請你利用所學(xué)的統(tǒng)計學(xué)知識為他作出選擇，并說明理由．13．（2022?青秀區(qū)校級三模）2021年4月，教育部印發(fā)《關(guān)于進一步加強中小學(xué)生睡眠管理工作的通知》，明確要求初中生每天睡眠時間應(yīng)達到9小時．某初級中學(xué)為了解學(xué)生睡眠時間的情況，從本校學(xué)生中隨機抽取100名進行問卷調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果用統(tǒng)計圖描述如下．調(diào)查問卷1．近兩周你平均每天睡眠時間大約是______小時．如果你平均每天睡眠時間不足9小時，請回答第2個問題2．影響你睡眠時間的主要原因是______（單選）．A．學(xué)習(xí)效率低B．校外學(xué)習(xí)任務(wù)重C．校內(nèi)課業(yè)負擔(dān)重D．其他平均每天睡眠時間x（時）分為5組：①5≤x＜6；②6≤x＜7；③7≤x＜8；④8≤x＜9；⑤9≤x＜10．根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）本次調(diào)查中，平均每天睡眠時間的中位數(shù)落在第（填序號）組；（2）隨機調(diào)查一名學(xué)生，該學(xué)生睡眠時間達到9小時的概率是多少？（3）若全校有1000名學(xué)生，請估計該校由于“學(xué)習(xí)效率低”而睡眠時間不足9小時的人數(shù)；（4）請對該校學(xué)生睡眠時間的情況作出評價，并提出一條合理化建議．14．（2022秋?定海區(qū)校級月考）有五張背面完全相同的紙質(zhì)卡片，其正面分別標(biāo)有數(shù)：6、、、﹣2、．將它們背面朝上洗勻后，從中隨機抽取一張卡片，則其正面的數(shù)是無理數(shù)的概率是．15．（2022?丹東）四張不透明的卡片，正面標(biāo)有數(shù)字分別是﹣2，3，﹣10，6，除正面數(shù)字不同外，其余都相同，將它們背面朝上洗勻后放在桌面上，從中隨機抽取一張卡片，則這張卡片正面的數(shù)字是﹣10的概率是（）A． B． C． D．1五．幾何概率（共5小題）16．（2022秋?拱墅區(qū)月考）把一轉(zhuǎn)盤先分成兩個半圓，再把其中一個半圓等分成三等份，并標(biāo)上數(shù)字如圖所示，任意轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止時，指針落在奇數(shù)區(qū)域的概率是．17．（2022?朝陽）如圖所示的是由8個全等的小正方形組成的圖案，假設(shè)可以隨意在圖中取一點，那么這個點取在陰影部分的概率是（）A． B． C． D．118．（2020秋?天河區(qū)期末）如圖，在正方形ABCD中，分別以B，D為圓心，以正方形的邊長2為半徑畫弧，形成陰影部分的樹葉圖案．（計算時π取3）（1）求的長和陰影部分的面積；（2）若在正方形ABCD中隨機撒一粒豆子，求豆子落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率．（豆子落在弧上不計）19．（2021?江岸區(qū)校級自主招生）如圖①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，兩條直角邊長分別為a，b，斜邊長為c．如圖②，現(xiàn)將與Rt△ABC全等的四個直角三角形拼成一個正方形EFMN．（1）若Rt△ABC的兩直角邊之比均為2：3．現(xiàn)隨機向該圖形內(nèi)擲一枚小針，則針尖落在四個直角三角形區(qū)域的概率是多少？（2）若正方形EFMN的邊長為8，Rt△ABC的周長為18，求Rt△ABC的面積．20．（2021春?任城區(qū)期中）“六一”兒童節(jié)期間，某商廈為了吸引顧客，設(shè)立了一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤（轉(zhuǎn)盤被平均分成16份），并規(guī)定：顧客每購買100元的商品，就能獲得一次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的機會．如果轉(zhuǎn)盤停止后，指針正好對準哪個區(qū)域，顧客就可以獲得相應(yīng)的獎品．顏色獎品紅色玩具熊黃色童話書綠色彩筆無色無獎品小明和媽媽購買了125元的商品，請你分析計算：（1）小明獲得獎品的概率是多少？（2）小明獲得童話書的概率是多少？六．列表法與樹狀圖法（共2小題）21．（2022秋?沈陽月考）將分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3的三個小球放入一個不透明的袋子中，這些小球除數(shù)字外其他都相同．從中隨機摸出一個小球記下數(shù)字后放回．再從中隨機摸出一個小球并記下數(shù)字．請用列表法或畫樹狀圖法求兩次摸出的小球數(shù)字不同的概率．22．（2022秋?雁塔區(qū)校級月考）在一個不透明的口袋中裝有四個大小質(zhì)地相同的小球，上面分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4每次摸球前將袋子攪拌均勻．（1）若從這四個小球中隨機抽取一個小球，小球上的數(shù)字是“4”的概率是；（2）若從這四個小球中隨機抽取兩個小球，用畫樹狀圖或列表的方法求取出的兩個小球上的數(shù)字之積為奇數(shù)的概率是多少？七．游戲公平性（共2小題）23．（2022秋?碑林區(qū)校級月考）有A，B兩個不透明的袋子，A袋4個小球分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4；B袋的3個小球分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3．（每個袋中的小球除數(shù)字外，其它完全相同．）（1）若從A袋中隨機摸出一個小球，則小球上數(shù)字是偶數(shù)的概率是；（2）甲、乙兩人玩摸球游戲，規(guī)則是：甲從A袋中隨機摸出一個小球，乙從B袋中隨機摸出一個小球，若甲、乙兩人摸到小球的數(shù)字之和為奇數(shù)時，則甲勝；否則乙勝，用列表或樹狀圖的方法說明這個規(guī)則對甲、乙兩人是否公平．24．（2022?南海區(qū)校級模擬）如圖是計算機“掃雷”游戲的畫面，在9×9個小方格的雷區(qū)中，隨機地埋藏著20顆地雷，每個小方格最多能埋藏1顆地雷．（1）如圖1，小南先踩中一個小方格，顯示數(shù)字2，它表示圍著數(shù)字2的8個方塊中埋藏著2顆地雷（包含數(shù)字2的黑框區(qū)域記為A）．接著，小語選擇了右下角的一個方格，出現(xiàn)了數(shù)字1（包含數(shù)字1的黑框區(qū)域記為B，A與B外圍區(qū)域記為C）．二人約定：在C區(qū)域內(nèi)的小方格中任選一個小方格，踩中雷則小南勝，否則小語勝，試問這個游戲公平嗎？請通過計算說明．（2）如圖2，在D，E，F(xiàn)三個黑框區(qū)域中共藏有10顆地雷（空白區(qū)域無地雷），則選擇D，E，F(xiàn)三個區(qū)域踩到雷的概率分別是．八．利用頻率估計概率（共2小題）25．（2022秋?拱墅區(qū)月考）在一個不透明的箱子里裝有m個球，其中紅球4個，這些球除顏色外都相同，每次將球攪拌均勻后，任意摸出一個球記下顏色后再放回，大量重復(fù)試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率在0.2，那么可以估算出m的值為（）A．8 B．12 C．16 D．2026．（2022春?工業(yè)園區(qū)期中）在一個不透明的袋中裝有除顏色外其余均相同的n個小球，其中有5個黑球，從袋中隨機摸出一球，記下其顏色，稱為一次摸球試驗，之后把它放回袋中，攪勻后，再繼續(xù)摸出一球，利用計算機模擬的結(jié)果，摸出黑球的頻率在0.5附近波動，由此可以估計出n的值是．九．模擬試驗（共2小題）27．（2022?興化市一模）在研究“拋擲兩枚硬幣，落地后不同結(jié)果的概率”時．方案1：用兩枚相同的一元硬幣做試驗；方案2：用一元和五角各一枚硬幣做試驗．請用表格或樹狀圖分別求出兩種方案中的“兩個正面朝上”的概率，由此你有何發(fā)現(xiàn)？28．（2022?定西二模）一只不透明袋子中裝有1個白球和若干個紅球，這些球除顏色外都相同，某課外學(xué)習(xí)小組做摸球試驗：將球攪勻后從中任意摸出1個球，記下顏色后放回、攪勻，不斷重復(fù)這個過程，獲得數(shù)據(jù)如下：摸球的次數(shù)200300400100016002000摸到白球的頻數(shù)7293130334532667摸到白球的頻率0.36000.31000.32500.33400.33250.3335（1）該學(xué)習(xí)小組發(fā)現(xiàn)，摸到白球的頻率在一個常數(shù)附近擺動，這個常數(shù)是（精確到0.01），由此估出紅球有個．（2）現(xiàn)從該袋中摸2次球，請用畫樹狀圖或列表的方法列出所有可能的結(jié)果，并求恰好摸到2個紅球的概率．鞏固鞏固提升一、單選題1．（2021·浙江省杭州市上泗中學(xué)九年級二模）在一個不透明的盒子中裝有個白球，若干個黃球，它們除顏色不同外，其余均相同．若從中隨機摸出一個球是白球的概率是，則黃球的個數(shù)為（）A． B． C． D．2．（2021·遼寧沈陽·）下列說法正確的是（）A．任意擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，擲出的點數(shù)一定是奇數(shù)B．“從一副撲克牌中任意抽取一張，抽到大王”是必然事件C．了解一批冰箱的使用壽命，采用抽樣調(diào)查的方式D．若平均數(shù)相同的甲、乙兩組數(shù)據(jù)，，，則甲組數(shù)據(jù)更穩(wěn)定3．（2021·東莞市東莞中學(xué)初中部九年級二模）如圖，兩個轉(zhuǎn)盤被分成幾個面積相等的扇形，分別自由轉(zhuǎn)動一次，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止后，指針各指向一個數(shù)字所在的扇形（如果指針恰好指在分格線上，那么重轉(zhuǎn)一次，直到指針指向某一數(shù)字為止）．將兩指針?biāo)傅膬蓚€扇形中的數(shù)相加，和為6的概率是（）A． B． C． D．4．（2021·湖南師大附中博才實驗中學(xué)九年級開學(xué)考試）如圖所示的轉(zhuǎn)盤，被分成面積相等的四個扇形，分別涂有紅、黃、藍三種顏色．固定指針，自由轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，停止后指針?biāo)竻^(qū)域（指針指向區(qū)域分界線時，忽略不計）的顏色為黃色的概率是（）A． B． C． D．5．（2021·全國九年級專題練習(xí)）隨機地擲兩次骰子，兩次擲得的點數(shù)相同的概率是（）A． B． C． D．6．（2021·佛山市華英學(xué)校九年級期末）四張完全相同的卡片上，分別畫有菱形、矩形、等邊三角形、等腰梯形，現(xiàn)從中隨機抽取一張，卡片上畫的恰好是中心對稱圖形的概率為（）A． B． C． D．1二、填空題7．（2021·遼寧錦州·中考真題）一個口袋中有紅球、白球共20個，這些球除顏色外都相同，將口袋中的球攪勻，從中隨機摸出一個球，記下它的顏色后再放回口袋中，不斷重復(fù)這一過程，共摸了300次球，發(fā)現(xiàn)有120次摸到紅球，則這個口袋中紅球的個數(shù)約為____．8．（2021·長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學(xué)校九年級三模）不透明的袋子中有5張卡片，上面分別寫著數(shù)字1，2，3，4，5，除數(shù)字外五張卡片無其它差別，從袋子中隨機摸出一張卡片，其數(shù)字為偶數(shù)的概率是_______．9．（2021·江蘇鹽城·景山中學(xué)九年級月考）在□ABCD中，點E在AD上，在平行四邊形內(nèi)隨意取一個點P，則點P落在△BCE內(nèi)的概率為______．10．（2021·福建省福州延安中學(xué)九年級月考）在一個不透明的袋中裝有10個只有顏色不同的球，其中2個紅球、3個黃球和5個白球．從袋中任意摸出一個球，是白球的概率為________．11．（2021·深圳市寶安中學(xué)（集團）九年級模擬預(yù)測）一個不透明的袋中裝有黃、白兩種顏色的球共40個，這些球除顏色外都相同，小亮通過多次摸球試驗后，發(fā)現(xiàn)摸到黃球的頻率穩(wěn)定在0.35左右，則袋中白球可能有______個．12．（2021·西寧市教育科學(xué)研究院中考真題）從，1，1，2，5中任取一個數(shù)作為a，則拋物線的開口向上的概率是______．13．（2021·重慶實驗外國語學(xué)校九年級開學(xué)考試）若從，1，2這三個數(shù)中，任取兩個分別作為點的橫、縱坐標(biāo)，則點在函數(shù)圖象上的概率是__．14．（2021·全國九年級專題練習(xí)）用下面的兩個圓盤進行“配紫色”游戲，則配得紫色的概率為______________．15．（2021·重慶實驗外國語學(xué)校九年級三模）一個不透明的口袋中有四個完全相同的小球，球上分別標(biāo)有數(shù)字1，，4，，隨機摸取一個小球記作，然后不放回，再隨機摸取一個小球記作，則為正數(shù)的概率是______．三、解答題16．（2021·全國九年級專題練習(xí)）在一個暗箱里放有a個除顏色外都完全相同的紅、白、藍三種球，其中紅球有4個，白球有10個，每次將球攪拌均勻后，任意摸出一個球記下顏色再放回暗箱．通過大量重復(fù)摸球?qū)嶒灪蟀l(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在20%．（1）試求出a的值；（2）從中任意摸出一個球，下列事件：①該球是紅球；②該球是白球；③該球是藍球．試估計這三個事件發(fā)生的可能性的大小，并將三個事件按發(fā)生的可能性從小到大的順序排列（用序號表示事件）．17．（2021·全國九年級專題練習(xí)）某商場“五一”期間為進行有獎銷售活動，設(shè)立了一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤．商場規(guī)定：顧客購物100元以上就能獲得一次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的機會，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止時，指針落在哪一區(qū)域就可以獲得相應(yīng)的獎品．下表是此次活動中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)：轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的次數(shù)n1002004005