2024-2025學年高中數(shù)學第一章立體幾何初步6.1垂直關系的判定課時作業(yè)含解析北師大版必修2

PAGE第一章立體幾何初步[課時作業(yè)][A組基礎鞏固]1．下列說法正確的個數(shù)是()①假如直線l與平面α內(nèi)的多數(shù)條直線垂直，則l⊥α；②假如直線l與平面α內(nèi)的一條直線垂直，則l⊥α；③假如直線l不垂直于α，則α內(nèi)沒有與l垂直的直線；④假如直線l不垂直于α，則α內(nèi)也可以有多數(shù)條直線與l垂直．A．0個 B．1個C．2個 D．3個解析：易知只有④正確．答案：B2．設a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列命題中正確的是()A．若a∥b，a∥α，則b∥αB．若α⊥β，a∥α，則a⊥βC．若α⊥β，a⊥β，則a∥αD．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，則α⊥β解析：A錯，可能bα；B錯；C錯，可能aα.只有D正確．答案：D3．如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q分別為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ不垂直的是()解析：對于A，易證AB⊥MN，AB⊥NQ，即可得直線AB⊥平面MNQ；對于B，易證AB⊥MN，AB⊥NQ，即可得直線AB⊥平面MNQ；對于C，易證AB⊥NQ，AB⊥MQ，即可得直線AB⊥平面MNQ；對于D，由圖可得MN與直線AB相交且不垂直，故直線AB與平面MNQ不垂直．故選D.答案：D4.如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，側(cè)面AA1D1D為正方形，E為棱CD上隨意一點，則()A．AD1⊥B1EB．AD1∥B1EC．AD1與B1E共面D．以上都不對解析：連接A1D(圖略)，則由正方形的性質(zhì)，知AD1⊥A1D.又B1A1⊥平面AA1D1D，所以B1A1⊥AD1，所以AD1⊥平面A1B1ED.又B1E平面A1B1ED，所以AD1⊥B1E，故選A.答案：A5．如圖，拿一張矩形的紙對折后略微綻開，直立在桌面上，折痕與桌面的位置關系是________．解析：折痕與矩形在桌面內(nèi)的兩條相交直線垂直，因此折痕與桌面垂直．答案：垂直6．已知m、l是直線，α、β是平面，給出下列命題：①若l垂直于平面α內(nèi)兩條相交直線，則l⊥α；②若l∥α，則l平行于α內(nèi)全部直線；③若mα，lβ，且l⊥m，則α⊥β；④若lβ，且l⊥α，則α⊥β；⑤若mα，lβ，且α∥β，則m∥l.其中正確命題的序號是________．解析：①④是線面垂直、面面垂直的判定定理，故均正確．l∥α，則l與α內(nèi)的直線可能平行，也可能異面，故②不正確；兩個平面平行時，分別在兩平面內(nèi)也可以有相互垂直的直線，故③不正確；兩個平面平行，兩個平面內(nèi)的直線有可能是異面直線，故⑤不正確．答案：①④7.如圖，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，則圖中相互垂直的平面共有________對．解析：因為AB⊥平面BCD，所以平面ABD⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，又因為BC⊥CD，AB⊥CD，AB∩BC＝B，所以DC⊥平面ABC，所以平面ADC⊥平面ABC.故共有3對．答案：38．如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，G是EF的中點，現(xiàn)在沿AE，AF及EF把這個正方形折成一個空間圖形，使B，C，D三點重合，重合后的點記為H，那么給出下面四個結(jié)論：①AH⊥平面EFH；②AG⊥平面EFH；③HF⊥平面AEF；④HG⊥平面AEF.其中正確命題的序號是________．解析：在這個空間圖形中，AH⊥HF，AH⊥HE，HF∩HE＝H，所以AH⊥平面EFH.答案：①9.如圖，PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.求證：(1)平面AEF⊥平面PBC；(2)PB⊥EF.解析：(1)∵AB是⊙O的直徑，C在圓上，∴AC⊥BC.又PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC.又AF平面PAC，∴BC⊥AF.又AF⊥PC，PC∩BC＝C，∴AF⊥平面PBC.又AF平面AEF，∴平面AEF⊥平面PBC.(2)由(1)知AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB.又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF.又EF平面AEF，∴PB⊥EF.10.如圖，已知四棱錐S-ABCD中ABCD為矩形，SA⊥平面AC，AE⊥SB于點E，EF⊥SC于點F.(1)求證：AF⊥SC；(2)若平面AEF交SD于點G，求證：AG⊥SD.證明：(1)∵SA⊥平面AC，BC平面AC，∴SA⊥BC.∵四邊形ABCD為矩形，∴AB⊥BC.又∵SA∩AB＝A，∴BC⊥平面SAB.∴BC⊥AE.又SB⊥AE，BC∩SB＝B，∴AE⊥平面SBC.又∵SC平面SBC，∴AE⊥SC.又EF⊥SC，EF∩AE＝E，∴SC⊥平面AEF.∵AF平面AEF，∴AF⊥SC.(2)∵SA⊥平面AC，∴SA⊥DC.又AD⊥DC，AD∩SA＝A，∴DC⊥平面SAD.又AG平面SAD，∴DC⊥AG.又由(1)有SC⊥平面AEF，AG平面AEF，∴SC⊥AG.又SC∩DC＝C，∴AG⊥平面SDC.∵SD平面SDC，∴AG⊥SD.[B組實力提升]1.如圖，點A∈α，點B∈α，點P?α，PB⊥α，C是α內(nèi)異于A和B的動點，且PC⊥AC，則動點C在平面α內(nèi)的軌跡是()A．一條線段，但要去掉兩個點B．一個圓，但要去掉兩個點C．兩條平行直線D．半圓，但要去掉兩個點解析：連接BC(圖略)，由于PC⊥AC，PB⊥AC，所以AC⊥平面PBC，所以AC⊥BC，說明動點C在以AB為直徑的圓上，但不與點A，B重合．答案：B2．如圖，∠C＝90°，AC＝BC，M，N分別是BC，AB的中點，沿直線MN將△BMN折起至△B′MN位置，使二面角B′-MN-B的大小為60°，則B′A與平面ABC所成角的正切值為()A.eq\f(\r(2),5) B.eq\f(4,5)C.eq\f(\r(3),5) D.eq\f(3,5)解析：設BC＝2.過B′作B′D⊥BC，垂足為D，則B′D⊥平面ABC，連接AD，則∠B′AD是B′A與平面ABC所成的角(圖略)．由題意，知∠B′MB＝60°，MB′＝MB＝1，則MD＝eq\f(1,2)，B′D＝eq\f(\r(3),2)，AD＝eq\r(1＋\f(1,2)2＋22)＝eq\f(5,2)，∴tan∠B′AD＝eq\f(B′D,AD)＝eq\f(\f(\r(3),2),\f(5,2))＝eq\f(\r(3),5).答案：C3.如圖，已知六棱錐P-ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，則下列結(jié)論正確的是________(填序號)．①PB⊥AD；②平面PAB⊥平面PAE；③BC∥平面PAE；④直線PD與平面ABC所成的角為45°.解析：由于AD與AB不垂直，因此得不到PB⊥AD，①不正確；由PA⊥AB，AE⊥AB，PA∩AE＝A，得AB⊥平面PAE，因為AB平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAE，②正確；延長BC，EA，兩者相交，因此BC與平面PAE相交，③不正確；由于PA⊥平面ABC，所以∠PDA就是直線PD與平面ABC所成的角，由PA＝2AB，AD＝2AB，得PA＝AD，所以∠PDA＝45°，④正確．答案：②④4．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M、N分別是棱AA1和AB上的點，若∠B1MN是直角，則∠C1MN解析：∵B1C1⊥平面ABB1A1，∴B1C1⊥MN.又∵MN⊥B1M，且B1M∩B1C1＝B1，∴MN⊥平面C1B1M，∵C1M平面C1B1M，∴MN⊥C1M.∴∠C1MN＝90°.答案：90°5.如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中點，PA⊥底面ABCD，PA＝eq\r(3).(1)求證：平面PBE⊥平面PAB；(2)求二面角A-BE-P的大?。馕觯?1)證明：如圖所示，連接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等邊三角形．因為E是CD的中點，所以BE⊥CD.又AB∥CD，所以BE⊥AB.又因為PA⊥平面ABCD，BE平面ABCD，所以PA⊥BE.而PA∩AB＝A，因此BE⊥平面PAB.又BE平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.(2)由(1)知，BE⊥平面PAB，PB平面PAB，所以PB⊥BE.又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A-BE-P的平面角．在Rt△PAB中，tan∠PBA＝eq\f(PA,AB)＝eq\r(3)，所以∠PBA＝60°.故二面角A-BE-P的大小是60°.6.如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠BCA＝90°，點D、E分別在棱PB、PC上，且DE∥BC.(1)求證：BC⊥平面PAC；(2)是否存在點E使得二面角A-DE-P為直二面角？并說明理由．解析：(1)證明：∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.又∠BCA＝90°，∴AC