2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章推理與證明1.2.2分析法課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)含解析北師大版選修2-2

PAGE課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)四分析法(20分鐘·50分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1.用分析法證明：欲使①A>B，只需②C<D，這里②是①的 ()A.充分條件 B.必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【解析】選A.分析法證明的本質(zhì)是證明結(jié)論成立的充分條件成立，所以②是①的充分條件.2.設(shè)a>1，n∈N+，當(dāng)不等式QUOTE-1<QUOTE恒成立時(shí)，n的最小值為 ()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選B.n=1時(shí)，結(jié)論不成立；n=2時(shí)，不等式變?yōu)?QUOTE-2<a-1，所以(QUOTE-1)2>0，因?yàn)閍>1，所以不等式成立.3.要證QUOTE-QUOTE<QUOTE成立，a，b應(yīng)滿意的條件是 ()A.ab<0且a>bB.ab>0且a>bC.ab<0且a<bD.ab>0且a>b或ab<0且a<b【解析】選D.要證QUOTE-QUOTE<QUOTE，只需證(QUOTE-QUOTE)3<(QUOTE)3，即證a-b-3QUOTE+3QUOTE<a-b，即證QUOTE<QUOTE，只需證ab2<a2b，即證ab(b-a)<0.只需ab>0且b-a<0或ab<0，且b-a>0.4.若P=QUOTE+QUOTE，Q=QUOTE+QUOTE(a≥0)，則P，Q的大小關(guān)系是()A.P>Q B.P=Q C.P<Q D.由a的取值確定【解析】選C.因?yàn)镻>0，Q>0，所以要比較P，Q的大小關(guān)系，只需比較P2，Q2的大小關(guān)系，因?yàn)镻2=a+a+7+2QUOTE·QUOTE=2a+7+2QUOTE，Q2=a+3+a+4+2QUOTE·QUOTE=2a+7+2QUOTE.因?yàn)?a+3)(a+4)=a2+7a+12>a2+7a=a(a+7).所以Q2>P2.所以P<Q.二、填空題(每小題5分，共10分)5.使QUOTE>QUOTE成立的一個(gè)充分條件為______________.

【解析】要使QUOTE>QUOTE成立，只需QUOTE-QUOTE>0，即QUOTE>0，只要b>a>0或0>b>a或a>0>b.答案：b>a>0(或0>b>a或a>0>b)6.如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的側(cè)棱垂直于底面，滿意_________時(shí)，BD⊥A1C(寫上一個(gè)條件即可).

【解析】要證BD⊥A1C，只需證BD⊥平面AA1C.因?yàn)锳A1⊥BD，只要再添加條件AC⊥BD，即可證明BD⊥平面AA1C，從而有BD⊥A1C.答案：AC⊥BD(答案不唯一)三、解答題(每小題10分，共20分)7.設(shè)a，b，c均為大于1的正數(shù)，且ab=10，求證：logac+logbc≥4lgc.【證明】由于a>1，b>1，故要證logac+logbc≥4lgc，只需證QUOTE·lgc≥4lgc.又因?yàn)閏>1，故lgc>0，所以只需證QUOTE≥4.因?yàn)閍b=10，故lga+lgb=1，即只需證QUOTE≥4. (*)由于a>1，b>1，故lga>0，lgb>0，所以0<lgalgb≤QUOTE=QUOTE=QUOTE，即(*)式成立.所以原不等式成立.8.設(shè)實(shí)數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，非零實(shí)數(shù)x，y分別為a與b，b與c的等差中項(xiàng)，求證：QUOTE+QUOTE=2.【證明】由已知條件得b2=ac，①2x=a+b，2y=b+c.②要證QUOTE+QUOTE=2，只要證ay+cx=2xy，只要證2ay+2cx=4xy.由①②得2ay+2cx=a(b+c)+c(a+b)=ab+2ac+bc，4xy=(a+b)(b+c)=ab+b2+ac+bc=ab+2ac+bc，所以2ay+2cx=4xy.命題得證.(15分鐘·30分)1.(5分)設(shè)a，b∈R，則“ab≠0”是“QUOTE≤1”成立的 ()A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充分且必要條件 D.非充分非必要條件【解析】選A.QUOTE≤1?QUOTE≤1?QUOTE?|a|+|b|≠0，所以ab≠0成立時(shí)|a|+|b|≠0成立，即QUOTE≤1成立，a=0，b=1時(shí)QUOTE≤1成立ab≠0不成立，“ab≠0”是“QUOTE≤1”成立的充分非必要條件.2.(5分)下列不等式不成立的是 ()A.a2+b2+c2≥ab+bc+caB.QUOTE+QUOTE>QUOTE(a>0，b>0)C.QUOTE-QUOTE<QUOTE-QUOTE(a≥3)D.QUOTE+QUOTE>2QUOTE【解析】選D.對(duì)A選項(xiàng)，要證a2+b2+c2≥ab+bc+ca，只需證2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac≥0，只需證(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2≥0，明顯成立，故A不符合題意.對(duì)B選項(xiàng)，要證QUOTE+QUOTE>QUOTE(a>0，b>0)，只需證(QUOTE+QUOTE)2>a+b，只需證2QUOTE>0，明顯成立，故B不符合題意.對(duì)C選項(xiàng)，要證QUOTE-QUOTE<QUOTE-QUOTE，只需證QUOTE+QUOTE<QUOTE+QUOTE，只需證(QUOTE+QUOTE)2<(QUOTE+QUOTE)2，只需證2a-3+2QUOTE<2a-3+2QUOTE，只需證a(a-3)<(a-2)(a-1)，只需證a2-3a<a2-3a+2，明顯0<2，故C不符合題意.3.(5分)已知x，y∈(0，+∞)，當(dāng)x2+y2=_________時(shí)，有xQUOTE+yQUOTE=1.

【解析】要使xQUOTE+yQUOTE=1，只需x2(1-y2)=1+y2(1-x2)-2yQUOTE，即2yQUOTE=1-x2+y2，只需使(QUOTE-y)2=0，即QUOTE=y，所以x2+y2=1.答案：14.(5分)分析法又叫執(zhí)果索因法，若運(yùn)用分析法證明“設(shè)a>b>c，且a+b+c=0，求證：QUOTE<QUOTEa”，則索的因應(yīng)是下列式子中的_________.(填序號(hào))

①a-b>0；②a-c>0；③(a-b)(a-c)>0；④(a-b)(a-c)<0.【解析】要證明QUOTE<QUOTEa，即證b2-ac<3a2.因?yàn)閍+b+c=0，所以即證(a+c)2-ac<3a2.需證2a2-ac-c2>0，即證(2a+c)(a-c)>0，即證(a-b)(a-c)>0，故③正確.答案：③5.(10分)已知m>0，n>0，且m+n=1，試用分析法證明不等式QUOTE·QUOTE≥QUOTE成立.【證明】要證QUOTE·QUOTE≥QUOTE，只需證mn+QUOTE≥QUOTE，只需證mn+QUOTE-2≥QUOTE，只需證4(nm)2-33mn+8≥0，即證mn≥8或mn≤QUOTE，而由1=m+n≥2QUOTE，可得mn≤QUOTE明顯成立，所以不等式QUOTE·QUOTE≥QUOTE成立.1.將下面用分析法證明QUOTE≥ab的步驟補(bǔ)充完整：要證QUOTE≥ab，只需證a2+b2≥2ab，也就是證_________，即證_________.由于_________明顯成立，因此原不等式成立.

【解析】用分析法證明QUOTE≥ab的步驟為：要證QUOTE≥ab成立，只需證a2+b2≥2ab，也就是證a2+b2-2ab≥0，即證(a-b)2≥0.由于(a-b)2≥0明顯成立，所以原不等式成立.答案：a2+b2-2ab≥0(a-b)2≥0(a-b)2≥02.已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公比為QUOTE的等比數(shù)列，Sn為它的前n項(xiàng)和.(1)用Sn表示Sn+1.(2)是否存在自然數(shù)c和k，使得QUOTE>2成立.【解析】(1)因?yàn)镾n=4QUOTE，所以Sn+1=4QUOTE=QUOTESn+2(n∈N*).(2)不存在這樣的自然數(shù)c和k使不等式成立.要使QUOTE>2，只要QUOTE<0.因?yàn)镾k=4QUOTE<4，所以Sk-QUOTE=2-QUOTESk>0(k∈N*).故只要QUOTESk-2<c<Sk(k∈N*)①.因?yàn)镾k+1>Sk(k∈N*)，所以QUOTESk-2≥QUOTES1-2=1.又Sk<4，故要使①成立，c只能取2或3.當(dāng)c=2時(shí)，因?yàn)镾1=2，所以當(dāng)k=1時(shí)，c<Sk不成立，從而①不成立.當(dāng)k≥2時(shí)，因?yàn)镼UOTES2-2=QUOTE>c，所以由Sk<Sk+1(k∈N*)，得QUOTE