數(shù)學(xué)教案：獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用第二課時(shí)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精第二課時(shí)教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能通過(guò)實(shí)例，讓學(xué)生了解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用，能對(duì)兩個(gè)分類(lèi)變量是否有關(guān)做出明確的判斷，會(huì)對(duì)具體問(wèn)題做出獨(dú)立性檢驗(yàn)．過(guò)程與方法經(jīng)歷概念的探索、反思、建構(gòu)這一過(guò)程，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)獨(dú)立性檢驗(yàn)思想的基本原理,培養(yǎng)學(xué)生歸納、概括等合情推理能力．通過(guò)實(shí)際應(yīng)用,培養(yǎng)學(xué)生把實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力和學(xué)以致用的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)．情感、態(tài)度與價(jià)值觀通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)其嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)的態(tài)度．在學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程中培養(yǎng)其積極探索的精神，從而實(shí)現(xiàn)自我的價(jià)值．重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：獨(dú)立性檢驗(yàn)基本思想的初步應(yīng)用;教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)獨(dú)立性檢驗(yàn)基本思想的理解．eq\o（\s\up7（）,\s\do5(教學(xué)過(guò)程)）eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（引入新課)）有甲、乙兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行數(shù)學(xué)考試，按學(xué)生考試及格和不及格統(tǒng)計(jì)成績(jī)后，得到如下列聯(lián)表：不及格及格合計(jì)甲103545乙73845合計(jì)177390試判斷成績(jī)不及格與班級(jí)是否有關(guān)?學(xué)生活動(dòng)：回顧上一節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，選擇合適的方法進(jìn)行判斷．學(xué)情預(yù)測(cè)：根據(jù)列聯(lián)表可知甲班學(xué)生中不及格的比例為eq\f（10,45),乙班學(xué)生中不及格的比例為eq\f(7,45），相差eq\f（3,45)；畫(huà)出等高條形圖：有的學(xué)生可能說(shuō)有關(guān)系，因?yàn)閺牡雀邨l形圖來(lái)看，可以發(fā)現(xiàn)甲、乙兩班的及格率有明顯差異；有的學(xué)生可能會(huì)說(shuō)沒(méi)有關(guān)系，因?yàn)椴患案衤氏嗖頴q\f（3,45)，應(yīng)該不算大，所以說(shuō)及格與班級(jí)沒(méi)有關(guān)系．教師：由上面的問(wèn)題可以看出，雖然利用圖表來(lái)判斷兩個(gè)分類(lèi)變量是否有關(guān)比較直觀,但缺少精確性和可靠性,如何精確地刻畫(huà)兩個(gè)分類(lèi)變量的有關(guān)性，我們必須找到一個(gè)進(jìn)行精確判斷的方法．設(shè)計(jì)意圖：充分認(rèn)識(shí)獨(dú)立性檢驗(yàn)的必要性,創(chuàng)設(shè)懸念，激發(fā)斗志,讓學(xué)生躍躍欲試．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（探究新知））提出問(wèn)題：為了解決上面的問(wèn)題，我們可以先假設(shè)H0：不及格與班級(jí)無(wú)關(guān)．設(shè)A表示事件“在甲班”,B表示事件“不及格”,AB表示“在甲班且不及格”，則“不及格與班級(jí)無(wú)關(guān)”等價(jià)于事件A與B相互獨(dú)立，則有P（AB)＝P（A)P(B),否則,應(yīng)該有A與B不獨(dú)立，即“不及格與班級(jí)有關(guān)"．那么，如何驗(yàn)證P（AB）＝P(A）P（B)呢？學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生先獨(dú)立思考，然后分小組討論，老師加以適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)．學(xué)情預(yù)測(cè):根據(jù)概率的統(tǒng)計(jì)定義可知，上面各個(gè)事件的概率可以用相應(yīng)的頻率來(lái)估計(jì),則P(A）＝eq\f（45,90)＝eq\f（1,2），P（B）＝eq\f（17，90），P（A）P(B)＝eq\f(17，180），P（AB)＝eq\f(10，90）＝eq\f(1,9)＝eq\f（20，180），因?yàn)镻（AB)≠P（A）P（B)，故A與B不獨(dú)立，即“不及格與班級(jí)有關(guān)"．提出問(wèn)題：由P(AB)≠P（A)P(B)一定有“不及格與班級(jí)有關(guān)”嗎？如果不是，那么如何根據(jù)P（A），P(B),P(AB)的值來(lái)判斷其相關(guān)性？學(xué)生活動(dòng)：小組協(xié)作討論，然后說(shuō)出對(duì)這個(gè)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)．學(xué)情預(yù)測(cè)：P(AB)≠P（A）P(B）不一定有“不及格與班級(jí)有關(guān)”，因?yàn)樵跀?shù)據(jù)上我們是采用頻率來(lái)估計(jì)概率，另外，在實(shí)際問(wèn)題中我們也僅是用樣本來(lái)估計(jì)總體，這些因素都會(huì)造成數(shù)值上的偏差．但是，應(yīng)該肯定的是P（AB）與P(A）P（B)越接近,A與B獨(dú)立的可能性就越大，即“不及格與班級(jí)有關(guān)"的可能性就越?。O(shè)計(jì)目的：通過(guò)實(shí)例的分析,為引入和理解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想做好鋪墊．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(理解新知））提出問(wèn)題:若將表中“觀測(cè)值”用字母表示，則得下表：不及格及格合計(jì)甲aba＋b乙cdc＋d合計(jì)a＋cb＋da＋b＋c＋d令n＝a＋b＋c＋d,如何判斷不及格與班級(jí)是否有關(guān)系？試加以說(shuō)明．學(xué)生活動(dòng)：分組討論，協(xié)作完成,教師引導(dǎo)學(xué)生類(lèi)比上面的分析過(guò)程,將數(shù)字換成字母加以說(shuō)明．學(xué)情預(yù)測(cè)：假設(shè)H0：不及格與班級(jí)無(wú)關(guān)．設(shè)A表示事件“在甲班”，B表示事件“不及格”,AB表示“在甲班且不及格”，則P(A)＝eq\f（a＋b，n），P（B）＝eq\f（a＋c,n),P(A)P(B）＝eq\f(a＋b,n）×eq\f（a＋c,n），P（AB)＝eq\f（a，n），若“不及格與班級(jí)無(wú)關(guān)”，則eq\f(a＋b,n）×eq\f（a＋c,n)與eq\f(a,n）應(yīng)非常接近．教師：若eq\f（a＋b,n)×eq\f（a＋c,n）與eq\f（a，n）非常接近，則eq\f（a＋b，n）×eq\f(a＋c，n)≈eq\f(a,n），從而ad≈bc，因此eq\b\lc\|\rc\｜(\a\vs4\al\co1（ad－bc）)越小,說(shuō)明不及格與班級(jí)的關(guān)系越弱,eq\b\lc\｜\rc\|（\a\vs4\al\co1(ad－bc))越大，說(shuō)明不及格與班級(jí)的關(guān)系越強(qiáng)．而且我們還可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)eq\f(a＋b,n)×eq\f(a＋c,n）與eq\f（a,n）非常接近時(shí),eq\f（a＋b,n)×eq\f(b＋d,n）與eq\f（b，n)也應(yīng)該非常接近…或者說(shuō)(eq\f(a，n）－eq\f(a＋b，n）×eq\f(a＋c,n）)2,(eq\f(b，n）－eq\f（a＋b,n）×eq\f(b＋d，n)）2，（eq\f（c,n)－eq\f(c＋d,n）×eq\f（a＋c,n))2，（eq\f(d，n）－eq\f(c＋d,n）×eq\f(b＋d，n））2應(yīng)該比較小，從而eq\f((\f（a,n)－\f(a＋b，n）×\f（a＋c，n))2,\f(a＋b,n)×\f(a＋c，n））＋eq\f(（\f(b，n）－\f(a＋b，n)×\f（b＋d,n））2，\f（a＋b，n)×\f（b＋d,n）)＋eq\f((\f（c，n）－\f（c＋d,n)×\f(a＋c，n））2,\f(c＋d，n)×\f（a＋c,n））＋eq\f（（\f（d，n)－\f(c＋d,n)×\f(b＋d，n)）2，\f(c＋d，n)×\f(b＋d，n))＝eq\f(n（ad－bc）2,(a＋b)(a＋c）(b＋d)(c＋d)）也應(yīng)該很?。畼?gòu)造隨機(jī)變量K2＝eq\f(n(ad－bc）2,(a＋b)(a＋c）(b＋d)(c＋d）)，若H0成立，即“不及格與班級(jí)無(wú)關(guān)”，則K2應(yīng)該很?。贖0成立的情況下，統(tǒng)計(jì)學(xué)家估算出如下的概率P(K2≥6。635)≈0.01.即在H0成立的情況下，K2的觀測(cè)值大于6。635的概率非常小，近似于0.01，也就是說(shuō),在H0成立的情況下對(duì)隨機(jī)變量K2進(jìn)行多次觀測(cè)，觀測(cè)值超過(guò)6.635的頻率約為0。01。從而，也說(shuō)明我們把“H0成立”錯(cuò)判成“H0不成立”的概率不會(huì)超過(guò)0.01。這樣，我們就可以通過(guò)計(jì)算K2的觀測(cè)值k來(lái)判斷H0是否成立．我們把這種方法稱(chēng)為獨(dú)立性檢驗(yàn)．提出問(wèn)題:獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想是什么?學(xué)生活動(dòng)：反思上面的過(guò)程，進(jìn)行歸納總結(jié)，然后小組間交換意見(jiàn)．學(xué)情預(yù)測(cè):獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想是：要判斷“兩個(gè)分類(lèi)變量有關(guān)系”這一結(jié)論的可信程度，首先假設(shè)結(jié)論不成立，即假設(shè)“兩個(gè)分類(lèi)變量沒(méi)有關(guān)系”成立，在該假設(shè)下構(gòu)造的隨機(jī)變量K2應(yīng)該很?。绻捎^測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到的K2的觀測(cè)值k很大,則在一定程度上說(shuō)明假設(shè)不合理，即認(rèn)為“兩個(gè)分類(lèi)變量有關(guān)系"；如果觀測(cè)值k很小，則說(shuō)明在樣本數(shù)據(jù)中沒(méi)有發(fā)現(xiàn)足夠證據(jù)拒絕H0.獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想類(lèi)似于反證法．教師：當(dāng)確定“兩個(gè)分類(lèi)變量有關(guān)系”的可信程度時(shí)，需要確定一個(gè)正數(shù)k0與隨機(jī)變量K2的觀測(cè)值k比較大小,如果k≥k0,就認(rèn)為“兩個(gè)分類(lèi)變量之間有關(guān)系”，否則就認(rèn)為“兩個(gè)分類(lèi)變量之間沒(méi)有關(guān)系”．我們稱(chēng)這樣的k0為一個(gè)判斷規(guī)則的臨界值．按照這種規(guī)則，把“兩個(gè)分類(lèi)變量之間沒(méi)有關(guān)系”錯(cuò)誤地判斷為“兩個(gè)分類(lèi)變量有關(guān)系”的概率不超過(guò)P(K2≥k0)．獨(dú)立性檢驗(yàn)的具體做法是：（1）根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的需要確定容許推斷“兩個(gè)分類(lèi)變量有關(guān)系”犯錯(cuò)誤概率的上界α,然后查表確定臨界值k0。P(K2≥k0)0。500.400。250。150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550。7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910。828(2）利用公式計(jì)算K2的觀測(cè)值k.(3）如果k≥k0，就推斷“X與Y有關(guān)系”，這種推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)α；否則，就認(rèn)為在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)α的前提下不能推斷“X與Y有關(guān)系”,或者在樣本數(shù)據(jù)中沒(méi)有發(fā)現(xiàn)足夠證據(jù)支持結(jié)論“X與Y有關(guān)系”．設(shè)計(jì)目的：以問(wèn)題為驅(qū)動(dòng)，引領(lǐng)學(xué)生在積極的思考、探究中，理解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想，理解隨機(jī)變量K2的構(gòu)造過(guò)程．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（運(yùn)用新知)）提出問(wèn)題：根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想，判斷“不及格與班級(jí)是否有關(guān)”？學(xué)生活動(dòng)：類(lèi)比公式，用計(jì)算器進(jìn)行運(yùn)算比較．活動(dòng)結(jié)果：由題意知a＝10，b＝35,c＝7，d＝38，a＋b＝45,c＋d＝45,a＋c＝17，b＋d＝73，n＝90。代入公式得K2的觀測(cè)值為:k＝eq\f(n(ad－bc)2，（a＋b)（a＋c）（b＋d)(c＋d))＝eq\f(90×（10×38－7×35）2,45×45×17×73)≈0.65.因?yàn)?.65〉0.455，所以我們?cè)诜稿e(cuò)誤的概率不超過(guò)0。5的前提下可認(rèn)為“不及格與所在班級(jí)有關(guān)"．設(shè)計(jì)目的：通過(guò)問(wèn)題的解決，既照應(yīng)了開(kāi)頭提出的問(wèn)題，同時(shí)也是對(duì)公式應(yīng)用的一個(gè)鞏固．【變練演編】題為了探究吸煙習(xí)慣與患慢性氣管炎是否有關(guān),調(diào)查了339名50歲以上的人，獲數(shù)據(jù)如下：患慢性氣管炎未患慢性氣管炎總計(jì)吸煙43162205不吸煙13121134總計(jì)56283339吸煙習(xí)慣與患慢性氣管炎是否相關(guān)？試用獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想說(shuō)明理由．分析：根據(jù)公式求出隨機(jī)變量K2的觀測(cè)值k，然后和已知結(jié)論數(shù)值進(jìn)行比較．解：根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)得到K2的觀測(cè)值:k＝eq\f(n(ad－bc)2,（a＋b)(a＋c）(b＋d）(c＋d))＝eq\f（339×（43×121－162×13)2，205×56×283×134)≈7.469>6.635，所以，在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為“吸煙習(xí)慣與患慢性氣管炎有關(guān)”．提出問(wèn)題：請(qǐng)解答下列問(wèn)題:1．已知兩個(gè)分類(lèi)變量X與Y,你有哪些辦法判斷它們是否有關(guān)系？(把你知道的辦法都寫(xiě)出來(lái))2．已知K2的觀測(cè)值k＝6.635，你能得到哪些結(jié)論？(把你能得到的結(jié)論都寫(xiě)出來(lái)）活動(dòng)設(shè)計(jì):學(xué)生先獨(dú)立探索，允許互相交流成果．然后全班交流．學(xué)情預(yù)測(cè)：1。列聯(lián)表、等高條形圖、獨(dú)立性檢驗(yàn)等．2．P（K2≥6.635）≈0。01；我們判斷“X與Y有關(guān)系”的出錯(cuò)概率不超過(guò)0.01；在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下，可以認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”．設(shè)計(jì)意圖:設(shè)置本組開(kāi)放性問(wèn)題,旨在增加問(wèn)題的多樣性、有趣性、探索性和挑戰(zhàn)性，訓(xùn)練學(xué)生思維的發(fā)散性、收斂性、靈活性和深刻性，長(zhǎng)期堅(jiān)持,不僅會(huì)加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解、掌握，而且會(huì)潛移默化地學(xué)會(huì)編題、解題．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（課堂小結(jié))）(給學(xué)生1～2分鐘的時(shí)間泛讀教材，用精確的語(yǔ)言概括本節(jié)的知識(shí)脈絡(luò)、思想方法、解題規(guī)律)1．獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想方法以及它與反證法的關(guān)系．2．獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般操作步驟．設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生自己小結(jié)，這是一個(gè)多維整合的過(guò)程，是一個(gè)高層次的自我認(rèn)識(shí)過(guò)程．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（補(bǔ)充練習(xí))）【基礎(chǔ)練習(xí)】1．下面說(shuō)法正確的是（)A．統(tǒng)計(jì)方法的特點(diǎn)是統(tǒng)計(jì)推斷準(zhǔn)確、有效B．獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想類(lèi)似于數(shù)學(xué)上的反證法C．任何兩個(gè)分類(lèi)變量有關(guān)系的可信度都可以通過(guò)查表得到D．不能從等高條形圖中看出兩個(gè)分類(lèi)變量是否相關(guān)2．經(jīng)過(guò)對(duì)K2的統(tǒng)計(jì)量的研究，得到了若干個(gè)臨界值，當(dāng)K2的觀測(cè)值k＞3.841時(shí),我們（）A．在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下可認(rèn)為A與B有關(guān)B．在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下可認(rèn)為A與B無(wú)關(guān)C．在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0。01的前提下可認(rèn)為A與B有關(guān)D．沒(méi)有充分理由說(shuō)明事件A與B有關(guān)系3．利用獨(dú)立性檢驗(yàn)來(lái)考慮兩個(gè)分類(lèi)變量與是否有關(guān)系時(shí)，通過(guò)查閱下表來(lái)確定“X和Y有關(guān)系”的可信度．如果k>6。635,那么認(rèn)為“X和Y有關(guān)系”犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)…（)P(K2≥k0)0.500.400。250。150.100.050.0250。0100.0050。001k00。4550.7081.3232。0722.7063。8415。0246.6357.87910.828A.99%B．1%C．5％D．97。5%4．獨(dú)立性檢驗(yàn)所采用的思路是：要研究A，B兩類(lèi)分類(lèi)變量是否彼此相關(guān)，首先假設(shè)這兩類(lèi)變量彼此__________，在此假設(shè)下構(gòu)造隨機(jī)變量K2,如果K2的觀測(cè)值較大,那么在一定程度上說(shuō)明假設(shè)__________．答案：1。B2。A3。B4。無(wú)關(guān)不成立【拓展練習(xí)】5．某聾啞研究機(jī)構(gòu),對(duì)聾啞關(guān)系進(jìn)行抽樣調(diào)查,在耳聾的657人中有416人啞，而另外不聾的680人中有249人啞，你能運(yùn)用這組數(shù)據(jù)判斷,在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0。1%的前提下,能否認(rèn)為聾啞有關(guān)系？解：根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)，得到如下列聯(lián)表:啞不啞總計(jì)聾416241657不聾249431680總計(jì)6656721337根據(jù)列聯(lián)表數(shù)據(jù)得到K2的觀測(cè)值K＝eq\f（1337×（416×431－249×241）