數(shù)學(xué)教案：對數(shù)函數(shù)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精示范教案eq\o（\s\up7(）,\s\do5(整體設(shè)計）)教學(xué)分析有了學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的學(xué)習(xí)經(jīng)歷,以及對數(shù)知識的知識準(zhǔn)備，對數(shù)函數(shù)概念的引入、對數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)的研究便水到渠成．對數(shù)函數(shù)的概念是通過實(shí)際問題引入的，既說明對數(shù)函數(shù)的概念來自實(shí)踐,又便于學(xué)生接受．在教學(xué)中，學(xué)生往往容易忽略對數(shù)函數(shù)的定義域,因此,在進(jìn)行定義教學(xué)時，要結(jié)合指數(shù)式強(qiáng)調(diào)說明對數(shù)函數(shù)的定義域,加強(qiáng)對對數(shù)函數(shù)定義域?yàn)椋?，＋∞)的理解．在理解對數(shù)函數(shù)概念的基礎(chǔ)上掌握對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是本節(jié)的教學(xué)重點(diǎn)，而理解底數(shù)a的值對于函數(shù)值變化的影響（即對對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的影響)是教學(xué)的一個難點(diǎn)，教學(xué)時要充分利用圖象，數(shù)形結(jié)合，幫助學(xué)生理解．為了便于學(xué)生理解對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，教學(xué)時可以先讓學(xué)生在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)y＝log2x和y＝logeq\f(1，2）x的圖象,通過兩個具體的例子，引導(dǎo)學(xué)生共同分析它們的性質(zhì)．有條件的學(xué)校也可以利用《幾何畫板》軟件，定義變量a，作出函數(shù)y＝logax的圖象，通過改變a的值，在動態(tài)變化的過程中讓學(xué)生認(rèn)識對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)．研究了對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)之后,可以將對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)與指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行比較,以便加深學(xué)生對對數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)的理解，同時也可以為反函數(shù)的概念的引出作一些準(zhǔn)備．三維目標(biāo)1．理解對數(shù)函數(shù)的概念，掌握對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)．2．了解對數(shù)函數(shù)在生產(chǎn)實(shí)際中的簡單應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)交流能力和與人合作精神,用聯(lián)系的觀點(diǎn)分析問題，通過對對數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí),滲透數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想．3．能根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象，畫出含有對數(shù)式的函數(shù)的圖象，并研究它們的有關(guān)性質(zhì)，使學(xué)生用聯(lián)系的觀點(diǎn)分析、解決問題．4．認(rèn)識事物之間的相互轉(zhuǎn)化,通過師生雙邊活動使學(xué)生掌握比較同底對數(shù)大小的方法，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識．5．掌握對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及其判定，會進(jìn)行同底數(shù)的對數(shù)和不同底數(shù)的對數(shù)的大小比較，加深對對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的理解，深化學(xué)生對函數(shù)圖象變化規(guī)律的理解．6．通過對數(shù)函數(shù)有關(guān)性質(zhì)的研究，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納的思維能力以及數(shù)學(xué)交流能力，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的積極性,同時培養(yǎng)學(xué)生傾聽、接受別人意見的優(yōu)良品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)交流能力．重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：對數(shù)函數(shù)的定義、圖象和性質(zhì);對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的初步應(yīng)用，利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較同底對數(shù)大小，對數(shù)函數(shù)的特性以及函數(shù)的通性在解決有關(guān)問題中的靈活應(yīng)用．教學(xué)難點(diǎn)：底數(shù)a對對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的影響，不同底數(shù)的對數(shù)比較大小，單調(diào)性和奇偶性的判斷和證明．課時安排1課時eq\o（\s\up7(）,\s\do5（教學(xué)過程)）導(dǎo)入新課思路1.考古學(xué)家一般通過提取附著在出土文物、古遺址上死亡物體的殘留物，利用t＝logeq\r（5730,\f(1，2））P估算出土文物或古遺址的年代．根據(jù)問題的實(shí)際意義可知，對于每一個碳14含量P，通過對應(yīng)關(guān)系t＝logeq\r(5730,\f（1,2)）P都有唯一確定的年代t與它對應(yīng)，所以t是P的函數(shù)．同理，對于每一個對數(shù)式y(tǒng)＝logax中的x,任取一個正的實(shí)數(shù)值，y均有唯一的值與之對應(yīng)，所以y＝logax是關(guān)于x的函數(shù)．這就是本節(jié)課的主要內(nèi)容，教師點(diǎn)出課題：對數(shù)函數(shù)．思路2.我們研究指數(shù)函數(shù)時，曾經(jīng)討論過細(xì)胞分裂問題，某種細(xì)胞分裂時,得到的細(xì)胞的個數(shù)y是分裂次數(shù)x的函數(shù)，這個函數(shù)可以用指數(shù)函數(shù)y＝2x表示．現(xiàn)在，我們來研究相反的問題，如果要求這種細(xì)胞經(jīng)過多少次分裂，大約可以得到1萬個，10萬個，……細(xì)胞，那么，分裂次數(shù)x就是要得到的細(xì)胞個數(shù)y的函數(shù)．根據(jù)對數(shù)的定義，這個函數(shù)可以寫成對數(shù)的形式就是x＝log2y.如果用x表示自變量，y表示函數(shù)，這個函數(shù)就是y＝log2x.這一節(jié)，我們來研究與指數(shù)函數(shù)密切相關(guān)的函數(shù)-—對數(shù)函數(shù)．教師點(diǎn)出課題：對數(shù)函數(shù)．推進(jìn)新課eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(新知探究)）eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(提出問題）)(1)用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的eq\f(3,4）,寫出存留污垢x表示的漂洗次數(shù)y的關(guān)系式，請根據(jù)關(guān)系式計算若要使存留的污垢，不超過原有的eq\f（1,64），則至少要漂洗幾次?(2）你是否能根據(jù)上面的函數(shù)關(guān)系式，給出一個一般性的概念？（3)為什么對數(shù)函數(shù)的概念中明確規(guī)定a＞0，a≠1？(4）你能求出對數(shù)函數(shù)的定義域、值域嗎？(5）如何根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義判斷一個函數(shù)是否是一個對數(shù)函數(shù)？請你說出它的步驟．活動:先讓學(xué)生仔細(xì)審題,交流討論，然后回答,教師提示引導(dǎo)，及時鼓勵表揚(yáng)給出正確結(jié)論的學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生在不斷探索中提高自己應(yīng)用知識的能力，教師巡視，個別輔導(dǎo)，評價學(xué)生的結(jié)論．討論結(jié)果：(1)若每次能洗去污垢的eq\f(3,4)，則每次剩余污垢的eq\f(1，4），漂洗1次存留污垢x＝eq\f(1,4)，漂洗2次存留污垢x＝(eq\f（1,4））2，…,漂洗y次后存留污垢x＝(eq\f(1，4)）y，因此y用x表示的關(guān)系式是對上式兩邊取對數(shù)得y＝x，當(dāng)x＝eq\f(1,64)時，y＝3,因此至少要漂洗3次．（2)對于式子y＝x，如果用字母a替代eq\f（1,4）,這就是一般性的結(jié)論，即對數(shù)函數(shù)的定義:根據(jù)對數(shù)式x＝logay（a＞0，a≠1)，對于y在正實(shí)數(shù)集內(nèi)的每一個確定的值，在實(shí)數(shù)集R內(nèi)都有唯一確定的x值和它對應(yīng)．根據(jù)函數(shù)的定義，這個式子確定了正實(shí)數(shù)集上的一個函數(shù)關(guān)系，其中y是自變量，x是因變量．函數(shù)x＝logay(a＞0,a≠1，y＞0）叫做對數(shù)函數(shù)．它的定義域是正實(shí)數(shù)集，值域是實(shí)數(shù)集R.由對數(shù)函數(shù)的定義可知，在指數(shù)函數(shù)y＝ax和對數(shù)函數(shù)y＝logay中,x，y兩個變量之間的關(guān)系是一樣的．所不同的只是在指數(shù)函數(shù)y＝ax里,x當(dāng)作自變量，y當(dāng)作因變量,而在對數(shù)函數(shù)x＝logay中，y當(dāng)作自變量，x是因變量．習(xí)慣上，常用x表示自變量,y表示因變量，因此對數(shù)函數(shù)通常寫成y＝logax(a＞0，a≠1，x＞0）．(3）根據(jù)對數(shù)與指數(shù)式的關(guān)系，知y＝logax可化為ay＝x，由指數(shù)的概念,要使ay＝x有意義，必須規(guī)定a＞0，a≠1.（4)因?yàn)閥＝logax可化為x＝ay，不管y取什么值，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)ay＞0，所以x∈（0，＋∞），對數(shù)函數(shù)的值域?yàn)镽.(5)只有形如y＝logax(a＞0，a≠1，x＞0)的函數(shù)才叫做對數(shù)函數(shù)，即對數(shù)符號前面的系數(shù)為1，底數(shù)是正常數(shù)，真數(shù)是x的形式,否則就不是對數(shù)函數(shù)．像y＝loga(x＋1),y＝2logax，y＝logax＋1等函數(shù)，它們是由對數(shù)函數(shù)變化而得到的，都不是對數(shù)函數(shù)．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(提出問題))eq\a\vs4\al（下面研究對數(shù)函數(shù)y＝log2x的圖象和性質(zhì).可以用兩種不同方法畫出函數(shù)y＝log2x的圖象.,方法一：描點(diǎn)法。,先列出x，y的對應(yīng)值表如下：)x…eq\f(1，4）eq\f(1,2)1248…y＝log2x…－2－10123…再用描點(diǎn)法畫出圖象如下圖．方法二：畫出函數(shù)x＝log2y的圖象，再變換為y＝log2x的圖象．由于指數(shù)函數(shù)y＝ax和對數(shù)函數(shù)x＝logay所表示的x和y這兩個變量間的關(guān)系是一樣的，因而函數(shù)x＝log2y和y＝2x的圖象是一樣的(如下圖（1））．用x表示自變量，把x軸、y軸的位置互換,就得到y(tǒng)＝log2x的圖象（如下圖（2)）．習(xí)慣上，x軸在水平位置，y軸在豎直位置，把上圖(2)翻轉(zhuǎn)，使x軸在水平位置，得到通常的y＝log2x的圖象（如上圖（3))．觀察對數(shù)函數(shù)y＝log2x的圖象，過點(diǎn)(1,0),即x＝1時，y＝0；函數(shù)圖象都在y軸右邊，表示了零和負(fù)數(shù)沒有對數(shù)；當(dāng)x＞1時,y＝log2x的圖象位于x軸上方，即x＞1時,y＞0；函數(shù)y＝log2x在(0，＋∞）上是增函數(shù)．對數(shù)函數(shù)y＝logax（a＞0，a≠1），在其底數(shù)a＞1及0＜a＜1這兩種情況下的圖象和性質(zhì)可以總結(jié)如下表．a(chǎn)＞10＜a＜1圖象性質(zhì)(1)定義域:（0,＋∞)(1)定義域：(0，＋∞）(2)值域:R(2）值域：R（3)過點(diǎn)(1，0)，即x＝1時，y＝0(3）過點(diǎn)（1,0）,即x＝1時，y＝0（4)當(dāng)x＞1時,y＞0；當(dāng)0＜x＜1時,y＜0（4）當(dāng)x＞1時，y＜0；當(dāng)0＜x＜1時,y＞0(5)是（0,＋∞）上的增函數(shù)（5）是(0,＋∞)上的減函數(shù)eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(應(yīng)用示例)）思路1例1求下列函數(shù)的定義域：（1）y＝logax2；(2)y＝loga（4－x）．解:(1）要使函數(shù)有意義，必須x2＞0，即x≠0，所以函數(shù)y＝logax2的定義域是{x｜x≠0}，或記為(－∞，0)∪(0，＋∞）．（2）要使函數(shù)有意義，必須4－x＞0，即x＜4，所以函數(shù)y＝loga（4－x）的定義域是（－∞，4）．點(diǎn)評：該題主要考查對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的解析式,列出相應(yīng)不等式或不等式組,解不等式或不等式組即可.變式訓(xùn)練求下列函數(shù)的定義域：（1）y＝log3(2x＋2)；（2)y＝log(x－2）(x－1）．答案：(1）(－1，＋∞)；(2）(2，3)∪（3，＋∞）.例2(1)比較log23與log23。5的大?。?2）已知log0。7(2m)＜log0.7（m－1）,求m的取值范圍．解：(1)考察函數(shù)y＝log2x，它在區(qū)間(0，＋∞）上是增函數(shù)．因?yàn)?＜3.5,所以log23＜log23.5;(2)考察函數(shù)y＝log0。7x，它在（0,＋∞)上是減函數(shù)．因?yàn)閘og0。7（2m）＜log0.7（m－1)，所以2m＞m－1＞0.由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（2m〉m－1，,m－1〉0，)）得m＞1。點(diǎn)評:對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性取決于對數(shù)的底數(shù)是大于1還是小于1。而已知條件并未指明時，需要對底數(shù)a進(jìn)行討論，體現(xiàn)了分類討論的思想，要求學(xué)生逐步掌握．同時本題采用了多種解法，從中還體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法，要注意體會和運(yùn)用.變式訓(xùn)練比較下列各組數(shù)中的兩個值的大?。?1)log25.3,log24.7；(2)log0。27，log0。29；（3)log3π，logπ3；（4）loga3。1，loga5.2(a＞0，a≠1）．解：（1）解法一：用圖形計算器或多媒體畫出對數(shù)函數(shù)y＝log2x的圖象，如下圖．在圖象上，橫坐標(biāo)為4.7的點(diǎn)在橫坐標(biāo)為5。3的點(diǎn)的下方，所以log24.7＜log25。3.解法二：由函數(shù)y＝log2x在（0，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù),且4。7＜5。3，所以log24。7＜log25.3.（2)因?yàn)?.2＜1，函數(shù)y＝log0。2x是減函數(shù)，7＜9，所以log0。27＞log0。29。（3)解法一：因?yàn)楹瘮?shù)y＝log3x和函數(shù)y＝logπx都是定義域上的增函數(shù)，所以logπ3＜logππ＝1＝log33＜log3π。所以logπ3＜log3π。解法二：直接利用對數(shù)的性質(zhì)，logπ3＜1,而log3π＞1,因此logπ3＜log3π.（4)當(dāng)a＞1時,y＝logax在（0，＋∞)上是增函數(shù),且3。1＜5.2，所以loga3.1＜loga5.2。當(dāng)0＜a＜1時，y＝logax在（0，＋∞）上是減函數(shù)，且3.1＜5。2，所以loga3.1＞loga5。2。思路2例1已知f（x）＝1＋logx3,g（x)＝2logx2，試比較f(x）與g（x）的大小．活動：學(xué)生先思考討論，再交流回答，教師要求學(xué)生展示自己的思維過程，教師根據(jù)實(shí)際，可以提示引導(dǎo)．學(xué)生回憶數(shù)的大小的比較方法，選擇合適的．要比較兩個代數(shù)式的大小，通常采取作差法或作商法，作差時，所得差同零比較；作商時，應(yīng)先分清代數(shù)式的正負(fù)，再將商同“1”比較大?。?yàn)楸绢}中的f（x)與g(x)的正負(fù)不確定，所以采取作差比較法．解:f（x)，g（x)的定義域都是(0,1）∪（1，＋∞）．f(x）－g（x)＝1＋logx3－2logx2＝1＋logx3－logx4＝logxeq\f（3，4)x。（1)當(dāng)0＜x＜1時，若0＜eq\f（3,4)x＜1，即0＜x＜eq\f（4,3）,此時logxeq\f（3，4）x＞0,即0＜x＜1時，f（x）＞g（x）；若eq\f（3，4）x≥1,即x≥eq\f(4，3)，這與0＜x＜1相矛盾．(2)當(dāng)x＞1時，若eq\f(3,4)x＞1,即x＞eq\f(4，3),此時logxeq\f（3，4)x＞0，即x＞eq\f（4，3)時，f（x）＞g(x）；若eq\f(3，4）x＝1，即x＝eq\f(4,3),此時logxeq\f（3,4)x＝0,即x＝eq\f(4,3)時,f(x)＝g(x)；若0＜eq\f(3,4)x＜1，即0＜x＜eq\f（4,3)，此時logxeq\f(3，4)x＜0，即1＜x＜eq\f（4,3)時，f(x)＜g(x)．綜上所述,當(dāng)x∈（0,1)∪(eq\f（4,3），＋∞)時，f(x)＞g（x）；當(dāng)x＝eq\f（4，3）時，f（x)＝g(x);當(dāng)x∈(1，eq\f（4，3））時，f(x)＜g（x）．點(diǎn)評：對數(shù)值的正負(fù)取決于對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)的關(guān)系．而已知條件并未指明時，需要對底數(shù)和真數(shù)進(jìn)行討論,體現(xiàn)了分類討論的思想，要求學(xué)生逐步掌握,注意體會和運(yùn)用。變式訓(xùn)練已知logm5＜logn5,比較m、n的大?。顒?學(xué)生觀察思考，交流探討，教師提示,并評價學(xué)生的思維過程．已知對數(shù)式的大小關(guān)系，要求我們確定底數(shù)的大小關(guān)系，若變量在真數(shù)位置上，我們就可以解決這個問題了，我們設(shè)法對原式進(jìn)行變換使變量在真數(shù)位置上，我們知道log5m和logm5的關(guān)系是倒數(shù)關(guān)系,有了這個關(guān)系，題中已知條件就變?yōu)閑q\f(1，log5m）＜eq\f（1,log5n)，由已知條件知道m(xù)、n都大于0,且都不等于1,據(jù)此確定m、n的大小關(guān)系．解：因?yàn)閘ogm5＜logn5，所以eq\f（1，log5m)＜eq\f(1，log5n).①當(dāng)m＞1,n＞1時，得0＜eq\f（1，log5m)＜eq\f(1,log5n)，所以log5n＜log5m.所以m＞n＞1。②當(dāng)0＜m＜1，0＜n＜1時，得eq\f（1,log5m)＜eq\f（1,log5n)＜0，所以log5n＜log5m。所以0＜n＜m＜1.③當(dāng)0＜m＜1，n＞1時，得log5m＜0，log5n＞0，所以0＜m＜1，n＞1.所以0＜m＜1＜n。綜上所述，m、n的大小關(guān)系為m＞n＞1或0＜n＜m＜1或0＜m＜1＜n.例2求函數(shù)y＝log2（x2－x－6)的單調(diào)區(qū)間，并證明．活動:學(xué)生先思考或討論，再回答．教師根據(jù)實(shí)際，可以提示引導(dǎo)．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間一般用定義法，有時也利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性．定義法求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，其步驟是：①確定函數(shù)的定義域，在定義域內(nèi)任取兩個變量x1和x2，通常令x1＜x2；②通過作差比較f（x1)和f（x2）的大小,來確定函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間（注意保持變量x1和x2的“任意性”）;③再歸納結(jié)論．解法一：由x2－x－6＞0，得x＜－2或x＞3，不妨設(shè)x1＜x2＜－2，則f(x1）－f（x2）＝log2（xeq\o\al（2,1)－x1－6)－log2（xeq\o\al（2，2）－x2－6)＝log2eq\f（x1\o\al(2）－x1－6,x2\o\al（2)－x2－6）＝log2eq\f((x1－3)（x1＋2），（x2－3）（x2＋2)）.因?yàn)閤1＜x2＜－2，所以x1－3＜x2－3＜0，x1＋2＜x2＋2＜0。所以eq\f（（x1－3）（x1＋2),(x2－3)（x2＋2)）＞1.所以log2eq\f(x1\o\al(2）－x1－6,x2\o\al（2）－x2－6)＝log2eq\f(（x1－3)(x1＋2),（x2－3）（x2＋2））＞0，即f(x1)－f(x2）＞0，f（x1）＞f(x2)．所以函數(shù)f（x)＝log2(x2－x－6)在區(qū)間（－∞，－2）上是減函數(shù)．同理，函數(shù)f（x）＝log2（x2－x－6）在區(qū)間(3，＋∞)上是增函數(shù)．解法二：令u＝x2－x－6,則y＝log2u。因?yàn)閥＝log2u為u的增函數(shù)，所以當(dāng)u為x的增函數(shù)時,y為x的增函數(shù)；當(dāng)u為x的減函數(shù)時,y為x的減函數(shù)．由x2－x－6＞0，得x＜－2或x＞3，借助于二次函數(shù)的圖象，可知當(dāng)x∈(－∞，－2）時，u是x的減函數(shù),當(dāng)x∈(3，＋∞)時，u是x的增函數(shù)．所以原函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（－∞，－2),單調(diào)增區(qū)間是(3,＋∞)．點(diǎn)評：本題考查復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定方法．一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(u）,u＝g（x)都是給定區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)．若y＝f（u），u＝g（x）在給定區(qū)間上的單調(diào)性相同，則函數(shù)y＝f[g（x）]是增函數(shù);若y＝f（u)，u＝g（x)在給定區(qū)間上的單調(diào)性相反，則函數(shù)y＝f[g（x）]是減函數(shù)．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(知能訓(xùn)練)）1．函數(shù)y＝eq\r（log2x－2）的定義域是（）A．(3，＋∞）B．[3，＋∞)C．（4，＋∞）D．[4，＋∞）2．求y＝log0。3（x2－2x）的單調(diào)遞減區(qū)間．3．求函數(shù)y＝log2(x2－4x)的單調(diào)遞增區(qū)間．4．已知y＝loga(2－ax)在[0，1］上是x的減函數(shù)，求a的取值范圍．答案:1.D要使函數(shù)有意義，需log2x－2≥0，log2x≥2，x≥4，因此函數(shù)的定義域是[4，＋∞)．2．先求定義域:由x2－2x＞0，得x(x－2）＞0，所以x＜0或x＞2。因?yàn)楹瘮?shù)y＝log0。3t是減函數(shù)，故所求單調(diào)減區(qū)間即為t＝x2－2x在定義域內(nèi)的增區(qū)間．又t＝x2－2x的對稱軸為x＝1，所以所求單調(diào)遞減區(qū)間為（2，＋∞）．3．先求定義域：由x2－4x＞0得x（x－4)＞0，所以x＜0或x＞4。又函數(shù)y＝l