數(shù)學(xué)教案：回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用第四課時(shí)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精第四課時(shí)教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能通過(guò)典型案例的探究，進(jìn)一步了解回歸分析的基本思想和求回歸方程的步驟．過(guò)程與方法通過(guò)對(duì)回歸模型的選擇，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)建立回歸模型的步驟，體會(huì)各個(gè)步驟的功能和重要性．情感、態(tài)度與價(jià)值觀通過(guò)案例的分析，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神,提高對(duì)數(shù)據(jù)的處理能力，并且使學(xué)生了解回歸分析在生活實(shí)際中的應(yīng)用，增強(qiáng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí),提高學(xué)習(xí)興趣．重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):掌握在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中尋找更好的模型的方法，總結(jié)求回歸方程的步驟，會(huì)用合適的方法進(jìn)行模型分析．教學(xué)難點(diǎn)：如何根據(jù)散點(diǎn)圖選擇合適的回歸模型并對(duì)其擬合效果進(jìn)行檢驗(yàn)．eq\o(\s\up7（)，\s\do5(教學(xué)過(guò)程）)eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（引入新課)）提出問(wèn)題：某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值如下：身高x（cm）60708090100110120130140150160170體重y（kg)6。137.909。9912.1515。0217.5020。9226。8631。1138。8547。2555。05(1）試建立y與x之間的回歸方程；（2）若體重超過(guò)相同身高男性體重平均值的1。2倍為偏胖，低于平均值的0.8為偏瘦，那么這個(gè)地區(qū)一名身高為175cm，體重為82kg的在校男生的體重是否正常？學(xué)生活動(dòng)：合作交流，探討方案并計(jì)算檢驗(yàn)．學(xué)情預(yù)測(cè):方案一：計(jì)算相關(guān)系數(shù)r≈0.96>0.75，故y與x之間具有很強(qiáng)的線(xiàn)性相關(guān)性．設(shè)y與x之間的回歸方程為eq\o（y,\s\up6(^）)＝eq\o（b,\s\up6（^)）x＋eq\o(a，\s\up6(^）），則eq\o(b，\s\up6（^）)＝eq\f(\i\su(i＝1,12,x)iyi－12\x\to(x）\x\to（y）,\i\su（i＝1，12，x）\o\al（2，i）－12\x\to(x)2）≈0。4319,eq\o（a，\s\up6（^))＝eq\x\to(y)－eq\o（b,\s\up6(^))eq\x\to(x)≈－25.679，故回歸方程為：eq\o（y,\s\up6(^））＝0.4319x－25.679.當(dāng)x＝175時(shí)，eq\o(y，\s\up6(^）)≈55.15.因?yàn)?5.15×1.2＝66。18＜82，故這名男生偏胖．方案二：畫(huà)出散點(diǎn)圖如圖所示：樣本點(diǎn)分布在某條指數(shù)函數(shù)曲線(xiàn)y＝c1ec2x的周?chē)?，于是令z＝lny，得x60708090100110120130140150160170z1。812.072.302。502.712。863.043。293.443.663。864。01作出散點(diǎn)圖:由表中數(shù)據(jù)可得z與x之間的回歸直線(xiàn)方程為eq\o（z，\s\up6(^)）＝0。693＋0.020x，則有eq\o（y，\s\up6（^)）＝e0.693＋0。020x.當(dāng)x＝175時(shí),eq\o(y,\s\up6(^)）≈66。22，由于66.22×1.2＝79.464〈82,所以這名男生偏胖．設(shè)計(jì)目的:復(fù)習(xí)回歸分析的基本步驟，讓學(xué)生體會(huì)回歸思想在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，在操作過(guò)程中鍛煉學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（探究新知))提出問(wèn)題：雖然兩種解法的結(jié)論是一致的，但分析過(guò)程同學(xué)們可以發(fā)現(xiàn)，兩種解法中求得的體重平均值是不同的，試分析兩種模型哪種更合適？學(xué)生活動(dòng):討論交流．學(xué)情預(yù)測(cè)：可能學(xué)生會(huì)出現(xiàn)爭(zhēng)論：一種觀點(diǎn)：原因出在選取的回歸模型不同，從散點(diǎn)圖上觀察，選取指數(shù)型模型可能更好，得到的答案可信度可能更高．另一種觀點(diǎn):計(jì)算x與y的相關(guān)系數(shù)可得：r≈0.96>0.75,顯示具有很強(qiáng)的線(xiàn)性相關(guān)性，故采用線(xiàn)性回歸模型不會(huì)出錯(cuò)．提出問(wèn)題:怎樣來(lái)評(píng)判這兩種解法呢？學(xué)生活動(dòng)：分組合作，討論解決的方法．學(xué)情預(yù)測(cè)：可以求相關(guān)指數(shù)、計(jì)算殘差平方和或畫(huà)殘差圖來(lái)分析兩種模型的擬合效果．對(duì)于方案1:殘差平方和約為：190。424,相關(guān)指數(shù)：Req\o\al（2，1)≈0.93,殘差圖：對(duì)于方案2：殘差平方和約為：33.8，相關(guān)指數(shù)：Req\o\al（2，2)≈0.988,殘差圖:通過(guò)圖形可以發(fā)現(xiàn),方案二在數(shù)據(jù)擬合效果上更好，故應(yīng)該采用方案二的結(jié)論．設(shè)計(jì)目的：通過(guò)對(duì)問(wèn)題的探討，讓學(xué)生回顧學(xué)過(guò)的比較回歸模型擬合效果的方法，體會(huì)在進(jìn)行回歸分析時(shí)方程類(lèi)型合理選取的重要性．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（理解新知））提出問(wèn)題：通過(guò)對(duì)上面問(wèn)題的分析，同學(xué)們覺(jué)得進(jìn)行線(xiàn)性回歸分析時(shí)，確定完變量后是計(jì)算線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)還是畫(huà)散點(diǎn)圖？學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生分組討論．學(xué)情預(yù)測(cè)：應(yīng)該是先畫(huà)散點(diǎn)圖，根據(jù)散點(diǎn)圖判斷出回歸方程的類(lèi)型進(jìn)行求解，當(dāng)根據(jù)圖形無(wú)法確定哪種方程形式更合理時(shí)，可多設(shè)出幾個(gè)方程分別求出，再根據(jù)殘差分析和計(jì)算相關(guān)指數(shù)來(lái)比較回歸方程的擬合效果，選擇擬合效果最好的方程進(jìn)行預(yù)測(cè)．教師：殘差分析的作用不光在于比較回歸模型的擬合效果，它還有一個(gè)重要的作用，就是通過(guò)殘差樣本點(diǎn)的分布，還可以發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn)收集過(guò)程中的錯(cuò)誤，有利于糾正采集中的錯(cuò)誤．提出問(wèn)題：同學(xué)們自己能否把回歸分析的步驟補(bǔ)充完整．學(xué)生活動(dòng)：分組討論，合作交流．學(xué)情預(yù)測(cè)：(1)確定變量；(2)畫(huà)散點(diǎn)圖;（3）分析回歸模型類(lèi)型；（4）求回歸方程;(5）分析擬合效果．設(shè)計(jì)目的：讓學(xué)生整理回歸分析的基本步驟，進(jìn)一步明確每一個(gè)步驟的作用和重要性．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(運(yùn)用新知))例1通常一個(gè)人的身高越高，他的腳就越大，為了調(diào)查這一問(wèn)題，對(duì)9名高三男生的身高和腳長(zhǎng)進(jìn)行測(cè)量,得到如下數(shù)據(jù)：（單位：cm)身高x168170172174176178180180181腳長(zhǎng)y24.525。52626。52727。52727.527.5（1)根據(jù)上述數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖,能發(fā)現(xiàn)兩者有何近似關(guān)系?根據(jù)判斷求出回歸方程．(2）如果一名學(xué)生的身高為185cm，估計(jì)他的腳長(zhǎng)．思路分析：先畫(huà)出散點(diǎn)圖,根據(jù)散點(diǎn)圖確定回歸模型的類(lèi)型，然后求y與x之間的回歸方程并進(jìn)行預(yù)測(cè)．解：（1)根據(jù)上表中的數(shù)據(jù),作出散點(diǎn)圖．由圖可以看出，身高與腳長(zhǎng)之間的總體趨勢(shì)成一條直線(xiàn),即它們線(xiàn)性相關(guān)，因此可用線(xiàn)性回歸模型來(lái)擬合，設(shè)線(xiàn)性回歸模型為eq\o（y，\s\up6(^））＝eq\o(b，\s\up6（^))x＋eq\o（a,\s\up6（^)），由圖中數(shù)據(jù)可求得回歸方程為：eq\o（y,\s\up6(^)）＝0。163x－2。037。（2）當(dāng)x＝185時(shí)，eq\o（y，\s\up6（^）)≈28。1,即當(dāng)一名學(xué)生的身高185cm時(shí)，估計(jì)他的腳長(zhǎng)為28。1cm?！咀兙氀菥帯坷?下表是1957年美國(guó)舊轎車(chē)價(jià)格的調(diào)查資料,以x表示轎車(chē)的使用年數(shù)，y表示相應(yīng)的年均價(jià)格,求y關(guān)于x的方程。使用年數(shù)x12345678910平均價(jià)格y2651194314941087765538484290226204思路分析:根據(jù)散點(diǎn)圖,判斷回歸方程的類(lèi)型，當(dāng)不能確定時(shí)，就多選擇幾個(gè)進(jìn)行比較選擇．解：畫(huà)出散點(diǎn)圖：根據(jù)樣本點(diǎn)的分布規(guī)律，若選擇線(xiàn)性回歸模型，可設(shè)方程為eq\o(y,\s\up6（^）)＝eq\o(b，\s\up6(^))x＋eq\o（a，\s\up6(^)）,由圖中數(shù)據(jù)可求得回歸方程為：eq\o（y,\s\up6（^））＝－255.14x＋2371。5,計(jì)算相關(guān)指數(shù)Req\o\al(2，1)＝0.8763.若選擇指數(shù)型回歸方程模型，可設(shè)為eq\o（y,\s\up6（^））＝c1ec2x，于是令z＝lny，變換后的數(shù)據(jù)：x12345678910y7。8837。5727。3096。9916.6406。2886。1825.6705.4215.318畫(huà)出散點(diǎn)圖：由圖可知各點(diǎn)基本位于一條直線(xiàn)附近,由上表中數(shù)據(jù)可得線(xiàn)性回歸模型為eq\o（z,\s\up6（^)）＝8。165－0。298x，因此舊轎車(chē)的平均價(jià)格對(duì)使用年數(shù)的非線(xiàn)性回歸模型為:eq\o(y,\s\up6(^）)＝e8。165－0。298x計(jì)算相關(guān)指數(shù)Req\o\al（2,2）＝0。9924,因?yàn)镽eq\o\al（2,2）〉Req\o\al（2,1），故非線(xiàn)性回歸模型eq\o（y,\s\up6（^))＝e8.165－0.298x的擬合效果更好．所以y關(guān)于x的方程應(yīng)為eq\o(y,\s\up6(^))＝e8.165－0.298x.設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步體會(huì)回歸分析思想的應(yīng)用，熟悉求回歸方程的基本步驟．【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】1．某化工廠(chǎng)為預(yù)測(cè)某產(chǎn)品的回收率y，需要研究它和原料有效成分含量之間的相關(guān)關(guān)系．現(xiàn)取了8對(duì)觀測(cè)值,計(jì)算得：eq\i\su(i＝1，8，x）i＝52，eq\i\su（i＝1,8,y)i＝228，eq\i\su(i＝1,8，x）eq\o\al（2,i)＝478,eq\i\su（i＝1，8，x）iyi＝1849，則y與x的回歸直線(xiàn)方程是（)A.eq\o(y，\s\up6（^)）＝11。47＋2.62xB。eq\o(y,\s\up6（^)）＝－11.47＋2.62xC.eq\o(y，\s\up6(^））＝2.62x＋11.47xD.eq\o(y，\s\up6（^))＝11。47－2。62x2．相關(guān)的一組數(shù)據(jù)如下表所示，它們的線(xiàn)性回歸方程為eq\o（y,\s\up6（^)）＝0x＋1.5，則當(dāng)解釋變量x＝1時(shí)，預(yù)測(cè)變量y等于（）x12345y1。31。71.71。31.5A.1。5B．1。3C．1。4D．1。553．部分國(guó)家13歲學(xué)生數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)平均分?jǐn)?shù)為：中國(guó)韓國(guó)瑞士俄羅斯法國(guó)以色列加拿大英國(guó)美國(guó)約旦授課天數(shù)251222207210174215188192180191分?jǐn)?shù)80737170646362615546對(duì)于授課天數(shù)與分?jǐn)?shù)是否存在回歸直線(xiàn)，下列說(shuō)法正確的是（)A．一定存在B．可能存在也可能不存在C．一定不存在D．以上都不正確答案：1。A2。A3．A解析:作出散點(diǎn)圖進(jìn)行直觀分析，也可以求出相關(guān)系數(shù)進(jìn)行判斷，答案選A.eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(課堂小結(jié))）師生回顧課堂內(nèi)容，由學(xué)生進(jìn)行小結(jié)：1．建立回歸模型的基本步驟：2．如何選擇合適的回歸模型：3．如何將非線(xiàn)性回歸模型轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性回歸模型．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（補(bǔ)充練習(xí)）)【基礎(chǔ)練習(xí)】1．散點(diǎn)圖在回歸分析中的作用是()A．查找個(gè)體個(gè)數(shù)B．比較個(gè)體數(shù)據(jù)大小關(guān)系C．探究個(gè)體分類(lèi)D．粗略判斷變量是否相關(guān)2．設(shè)兩個(gè)變量x和y之間具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，它們的相關(guān)系數(shù)是r，y關(guān)于x的回歸直線(xiàn)的斜率是b,縱截距是a，那么必有（）A．b與r的符號(hào)相同B．a(chǎn)與r的符號(hào)相同C．b與r的符號(hào)相反D．a(chǎn)與r的符號(hào)相反3．一組觀察值（x1,y1),（x2，y2)，…，（xn,yn）之間滿(mǎn)足yi＝a＋bxi＋ei（i＝1，2,…,n)，若ei恒為0，則R2為_(kāi)_________．答案或提示：1。D2.A3．1解析：ei＝0,eq\i\su(i＝1,n，e)eq\o\al(2，i)＝0,R2＝1，其實(shí)此時(shí)隨機(jī)誤差e為0，即沒(méi)有誤差，y與x是確定的函數(shù)關(guān)系．所以答案為1.【拓展練習(xí)】4．在鋼線(xiàn)碳含量對(duì)于電阻的效應(yīng)中，得到如下表所示的數(shù)據(jù)：碳含量（x/％)0。100.300。400.550.700.800.9520℃時(shí)電阻(y/Ω)1518192122.623.626求y對(duì)x的線(xiàn)性回歸方程，并檢驗(yàn)回歸方程的顯著性．解：eq\x\to（x)≈0。543，eq\x\to（y）≈20。74,eq\o(∑，\s\up6（7)，\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2，i)＝2。595，eq\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1）)yeq\o\al（2，i)＝3094.72,eq\o(∑,\s\up6(7），\s\do4（i＝1)）xiyi＝85。45。∴eq\o(b，\s\up6（^))＝eq\f(85。45－7×0.543×20.74,2。595－7×(0.543)2）≈12。46,eq\o（a,\s\up6（^)）＝20。74－12.46×0.543≈13.97,∴所求回歸直線(xiàn)方程為eq\o(y,\s\up6（^））＝13.97＋12.46x。利用相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)是否顯著：eq\o(∑，\s\up6（7)，\s\do4（i＝1）)xiyi－7eq\x\to（x）eq\x\to（y)≈6。62，eq\o(∑，\s\up6（7),\s\do4(i＝1））xeq\o\al（2,i）－7eq\x\to(x）2≈0。531，eq\o（∑，\s\up6(7），\s\do4(i＝1)）yeq\o\al（2，i)－7eq\x\to(y）2≈83。69，∴r≈0。993，由于r＞0.75，故鋼線(xiàn)碳含量對(duì)于電阻的效應(yīng)線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系顯著．eq\o(\s\up7(）,\s\do5(設(shè)計(jì)說(shuō)明))本節(jié)課以問(wèn)題創(chuàng)設(shè)情境引發(fā)矛盾，并引導(dǎo)學(xué)生分析矛盾產(chǎn)生的原因,以問(wèn)題為主線(xiàn)，展開(kāi)對(duì)建立回歸方程各個(gè)步驟的分析,引導(dǎo)學(xué)生