福建省福州一中2025屆高一上數學期末統考試題含解析

福建省福州一中2025屆高一上數學期末統考試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知函數，將的圖象上所有點沿x軸平移個單位長度，再將圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），得到函數的圖象，且函數的圖象關于y軸對稱，則的最小值是（）A. B.C. D.2．已知函數，則下列區(qū)間中含有的零點的是（）A. B.C. D.3．已知角的終邊經過點，則（）A. B.C. D.4．設，，，則的大小關系是（）A. B.C. D.5．下列函數中，在區(qū)間單調遞增的是（）A. B.C. D.6．冪函數的圖象過點，則（）A. B.C. D.7．為了得到函數的圖象，只需把函數的圖象上所有點（）A.向左平移個單位長度 B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度 D.向右平移個單位長度8．若，則（）A. B.C. D.9．某幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積是A.B.C.D.10．已知，，，則下列關系中正確的是A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數定義域為___________12．下圖是某機械零件的幾何結構，該幾何體是由兩個相同的直四棱柱組合而成的，且前后，左右、上下均對稱，每個四棱柱的底面都是邊長為2的正方形，高為4，且兩個四棱柱的側棱互相垂直.則這個幾何體的體積為________.13．有下列四個說法：①已知向量，，若與的夾角為鈍角，則；②若函數的圖象關于直線對稱，則；③函數在上單調遞減，在上單調遞增；④當時，函數有四個零點其中正確的是___________（填上所有正確說法的序號）14．函數的定義域是______________．15．函數在區(qū)間上單調遞增，則實數的取值范圍_______.16．已知，，，則___________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．為弘揚中華傳統文化，學校課外閱讀興趣小組進行每日一小時“經典名著”和“古詩詞”的閱讀活動.根據調查，小明同學閱讀兩類讀物的閱讀量統計如下：小明閱讀“經典名著”的閱讀量（單位：字）與時間t（單位：分鐘）滿足二次函數關系，部分數據如下表所示；t01020300270052007500閱讀“古詩詞”的閱讀量（單位：字）與時間t（單位：分鐘）滿足如圖1所示的關系.（1）請分別寫出函數和的解析式；（2）在每天的一小時課外閱讀活動中，小明如何分配“經典名著”和“古詩詞”的閱讀時間，使每天的閱讀量最大，最大值是多少？18．已知，，，，求.19．已知角終邊上有一點，且.（1）求的值，并求與的值；（2）化簡并求的值.20．已知數列的前n項和為（1）求；（2）若，求數列的前項的和21．已知集合，（1）若，求實數a，b滿足的條件；（2）若，求實數m的取值范圍

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】先將解析式化簡后，由三角函數圖象變換得到的解析式后求解.【詳解】若向左平移個單位長度，再將圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變）得到，由題意得，的最小值為；若向右平移個單位長度，再將圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變）得到，同理得的最小值為，故選：B2、C【解析】分析函數的單調性，利用零點存在定理可得出結論.【詳解】由于函數為增函數，函數在和上均為增函數，所以，函數在和上均為增函數.對于A選項，當時，，，此時，，所以，函數在上無零點；對于BCD選項，當時，，，由零點存在定理可知，函數的零點在區(qū)間內.故選：C.3、C【解析】根據任意角的三角函數的定義，求出，再利用二倍角公式計算可得.【詳解】解：因為角的終邊經過點，所以，所以故選：C4、C【解析】根據對數函數和冪函數單調性可比較出大小關系.【詳解】，；，，，即，又，.故選：C.5、B【解析】根據單調性依次判斷選項即可得到答案.【詳解】對選項A，區(qū)間有增有減，故A錯誤，對選項B，，令，，則，因為，在為增函數，在為增函數，所以在為增函數，故B正確.對選項C，，，解得，所以，為減函數，，為增函數，故C錯誤.對選項D，在為減函數，故D錯誤.故選：B6、C【解析】將點代入中，求解的值可得，再求即可.【詳解】因為冪函數的圖象過點，所以有：，即.所以，故，故選：C.7、D【解析】利用三角函數圖象的平移變換及誘導公式即可求解.【詳解】將函數的圖象向右平移個單位長度得到.故選：D.8、A【解析】令，則，所以，由誘導公式可得結果.【詳解】令，則，且，所以.故選：A.9、A【解析】根據已知的三視圖想象出空間幾何體，然后由幾何體的組成和有關幾何體體積公式進行計算由幾何體的三視圖可知幾何體為一個組合體，即一個正方體中間去掉一個圓錐體，所以它的體積是.10、C【解析】利用函數的單調性、正切函數的值域即可得出【詳解】，，∴，又∴，則下列關系中正確的是：故選C【點睛】本題考查了指對函數的單調性、三角函數的單調性的應用，屬于基礎題二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、[0,1）【解析】要使函數有意義，需滿足，函數定義域為[0,1）考點：函數定義域12、【解析】該幾何體體積等于兩個四棱柱的體積和減去兩個四棱柱交叉部分的體積，根據直觀圖分別進行求解即可.【詳解】該幾何體的直觀圖如圖所示，該幾何體的體積為兩個四棱柱的體積和減去兩個四棱柱交叉部分的體積.兩個四棱柱的體積和為.交叉部分的體積為四棱錐的體積的2倍.在等腰中，邊上的高為2，則由該幾何體前后，左右上下均對稱，知四邊形為邊長為的菱形.設的中點為，連接易證即為四棱錐的高，在中，又所以因為，所以，所以求體積為故答案為：【點睛】本題考查空間組合體的結構特征.關鍵點弄清楚幾何體的組成，屬于較易題目.13、②③【解析】①：根據平面向量夾角的性質進行求解判斷；②：利用函數的對稱性，結合兩角和（差）的正余弦公式進行求解判斷即可；③：利用導數的性質、函數的奇偶性進行求解判斷即可.④：根據對數函數的性質，結合零點的定義進行求解判斷即可【詳解】①：因為與的夾角為鈍角，所以有且與不能反向共線，因此有，當與反向共線時，，所以有且，因此本說法不正確；②：因為函數的圖象關于直線對稱，所以有，即，于是有：，化簡，得，因為，所以，因此本說法正確；③：因為，所以函數偶函數，，當時，單調遞增，即在上單調遞增，又因為該函數是偶函數，所以該在上單調遞減，因此本說法正確；④：，問題轉化為函數與函數的交點個數問題，如圖所示：當時，，此時有四個交點，當時，，所以交點的個數不是四個，因此本說法不正確，故答案為：②③14、【解析】根據表達式有意義列條件，再求解條件得定義域.【詳解】由題知，，整理得解得.所以函數定義域是.故答案為：.15、【解析】由對數真數大于零可知在上恒成立，利用分離變量的方法可求得，此時結合復合函數單調性的判斷可知在上單調遞增，由此可確定的取值范圍.【詳解】由題意知：在上恒成立，在上恒成立，在上單調遞減，，；當時，單調遞增，又此時在上單調遞增，在上單調遞增，滿足題意；實數的取值范圍為.故答案為：.16、【解析】由已知條件結合所給角的范圍求出、，再將展開即可求解【詳解】因為，所以，又因為，所以，所以，因為，，所以，因為，所以，所以，故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題解題的關鍵點是由已知角的三角函數值的符號確定角的范圍進而可求角的正弦或余弦，將所求的角用已知角表示即.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）見解析【解析】（1）設f（t）=代入（10，2700）與（30，7500），解得a與b.令＝kt，,代入（40，8000），解得k,再令＝mt+b，,代入（40，8000），（60，11000），解得m，b的值．即可得到和的解析式；（2）由題意知每天的閱讀量為=，分和兩種情況，分別求得最大值，比較可得結論.【詳解】（1）因為f（0）=0，所以可設f（t）=代入（10，2700）與（30，7500），解得a=-1,b=280.所以,又令＝kt，,代入（40，8000），解得k=200,令＝mt+b，,代入（40，8000），（60，11000），解得m=150,b=2000，所以.（2）設小明對“經典名著”的閱讀時間為，則對“古詩詞”的閱讀時間為，①當，即時，==，所以當時，有最大值13600.當，即時，h=，因為的對稱軸方程為，所以當時，是增函數，所以當時，有最大值為13200.因為13600>13200，所以閱讀總字數的最大值為13600，此時對“經典名著”的閱讀時間為40分鐘，對“古詩詞”的閱讀時間為20分鐘【點睛】本題考查了分段函數解析式的求法及應用，二次函數的圖象和性質，難度中檔18、【解析】由已知結合商數關系、平方關系求，根據的范圍及平方關系求，最后由結合差角余弦公式求值即可.【詳解】因為，所以，又，可得或，而，所以，由，且，解得，因為，，則，所以，所以.19、（1），，（2）【解析】（1）直接利用三角函數的定義依次計算得到答案.（2）根據誘導公式化簡得到原式等于，計算得到答案.【小問1詳解】，，解得.故，.【小問2詳解】.20、（1）；（2）.【解析】（1）由條件求得數列是等差數列，由首項和公差求得.（2）由（1）求得通項，代入求得，分組