山西省大同市第一中學(xué)全國(guó)Ⅰ卷2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題含解析

山西省大同市第一中學(xué)全國(guó)Ⅰ卷2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在棱長(zhǎng)均為1的平行六面體中，，則（）A. B.3C. D.62．已知橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則（）A. B.C. D.3．德國(guó)數(shù)學(xué)家米勒曾提出最大視角問(wèn)題，這一問(wèn)題一般的描述是：已知點(diǎn)A、B是的ON邊上的兩個(gè)定點(diǎn)，C是OM邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)C在何處時(shí)，最大？問(wèn)題的答案是：當(dāng)且僅當(dāng)?shù)耐饨訄A與邊OM相切于點(diǎn)C時(shí)，最大．人們稱這一命題為米勒定理．已知點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別是（2，0），（4，0），R是y軸正半軸上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)最大時(shí)，點(diǎn)R的縱坐標(biāo)為（）A.1 B.C. D.24．已知直線與直線垂直，則實(shí)數(shù)a為（）A. B.或C. D.或5．已知向量，，則以下說(shuō)法不正確的是（）A. B.C. D.6．已知向量，，且，則值是（）A. B.C. D.7．通過(guò)隨機(jī)詢問(wèn)110名不同的大學(xué)生是否愛(ài)好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，得到如下的列聯(lián)表：男女總計(jì)愛(ài)好402060不愛(ài)好203050總計(jì)6050110由附表：0．0500．0100．0013．8416．63510．828參照附表，得到的正確結(jié)論是（）A.有99%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”B.有99%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”C.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0．1%的前提下，認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”D.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0．1%的前提下，認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”8．已知，是橢圓的左，右焦點(diǎn)，是的左頂點(diǎn)，點(diǎn)在過(guò)且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則的離心率為A. B.C. D.9．已知函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A B.C. D.10．橢圓的離心率為（）A. B.C. D.11．“”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件12．命題，，則為（）A.， B.，C.， D.，二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為______14．若等比數(shù)列滿足，則的前n項(xiàng)和____________15．已知數(shù)列滿足，，則_________.16．如圖，在四面體中，BA，BC，BD兩兩垂直，，，則二面角的大小為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，圓：過(guò)橢圓的三個(gè)頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線（斜率存在且不為0）與橢圓交于兩點(diǎn)（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）證明：在軸上存在定點(diǎn)，使得為定值，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)18．（12分）已知橢圓的焦距為4，其短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)斜率為k的直線與橢圓C交于兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的面積為定值，判斷是否為定值，如果是，求出該定值；如果不是，說(shuō)明理由.19．（12分）已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，橢圓E的一個(gè)焦點(diǎn)為.（1）求橢圓E的方程；（2）若直線l過(guò)點(diǎn)且與橢圓E交于兩點(diǎn).求的最大值.20．（12分）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，S9=81，，求：（1）Sn；（2）若S3、、Sk成等比數(shù)列，求k21．（12分）已知橢圓的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，，離心率，短軸長(zhǎng)為21求橢圓的方程；2如圖，點(diǎn)A為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)非長(zhǎng)軸端點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與橢圓交于B點(diǎn)，AO的延長(zhǎng)線與橢圓交于C點(diǎn)，求面積的最大值22．（10分）已知橢圓焦距為，點(diǎn)在橢圓C上（1）求橢圓C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)R是直線上任意一點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為，若，求的方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】設(shè)，，，利用結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算即可得到答案.【詳解】設(shè)，，，由已知，得，，，，所以，所以.故選：C2、D【解析】根據(jù)給定的方程求出離心率，的表達(dá)式，再計(jì)算判斷作答.【詳解】因橢圓的離心率為，則有，因雙曲線的離心率為，則有，所以.故選：D3、C【解析】由題意，借助米勒定理，可設(shè)出坐標(biāo)，表示出的外接圓方程，然后在求解點(diǎn)R的縱坐標(biāo).【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別是（2，0），（4，0）是x軸正半軸上的兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)R是y軸正半軸上的一動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)米勒定理，當(dāng)?shù)耐饨訄A與y軸相切時(shí)，最大，由垂徑定理可知，弦的垂直平分線必經(jīng)過(guò)的外接圓圓心，所以弦的中點(diǎn)為（3，0），故弦中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為的外接圓半徑，即，由垂徑定理可得，圓心坐標(biāo)為，故的外接圓的方程為，所以點(diǎn)R的縱坐標(biāo)為.故選：C.4、B【解析】由題可得，即得.【詳解】∵直線與直線垂直，∴，解得或.故選：B.5、C【解析】可根據(jù)已知的和的坐標(biāo)，通過(guò)計(jì)算向量數(shù)量積、向量的模，即可做出判斷.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，所以，故，所以選項(xiàng)A正確；，，所以，故選項(xiàng)B正確；，所以，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；，所以，，故，所以選項(xiàng)D正確.故選：C.6、A【解析】求出向量，的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，所以，，因?yàn)椋?，解得：，故選：A.7、A【解析】由，而，故由獨(dú)立性檢驗(yàn)的意義可知選A8、D【解析】分析：先根據(jù)條件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c關(guān)系，即得離心率.詳解：因?yàn)榈妊切危?，所以PF2=F1F2=2c,由斜率為得，，由正弦定理得,所以，故選D.點(diǎn)睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問(wèn)題其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于的方程或不等式，再根據(jù)的關(guān)系消掉得到的關(guān)系式，而建立關(guān)于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等.9、A【解析】分離參數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)可知函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】由題意得有兩個(gè)零點(diǎn)令,則且所以，在上為增函數(shù)，可得，當(dāng)，在上單調(diào)遞減，可得，即要有兩個(gè)零點(diǎn)有兩個(gè)零點(diǎn)，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解10、A【解析】由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程求得，再計(jì)算出后可得離心率【詳解】在橢圓中，，，，因此，該橢圓的離心率為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查求橢圓的離心率，根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程求出即可11、B【解析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可；【詳解】解：由，得，反之不成立，如，，滿足，但是不滿足，故“”是“”的充分不必要條件故選：B12、B【解析】直接利用特稱命題的否定是全稱命題寫出結(jié)果即可.【詳解】命題，為特稱命題，而特稱命題的否定是全稱命題，所以命題，，則為：，.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】求出、的值，利用點(diǎn)斜式可得出所求切線的方程.【詳解】因?yàn)?，則，所以，，，故所求切線方程為，即.故答案為：.14、##【解析】由已知及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得到首項(xiàng)和公比，再利用前n項(xiàng)和公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由已知，得，解得，所以.故答案為：15、【解析】由已知可知即數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，進(jìn)而可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求.【詳解】由題意知：，即，而，∴數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，有，∴，則.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)，進(jìn)而得到的通項(xiàng)公式寫出項(xiàng).16、【解析】取的中點(diǎn)為，連接，由面面角的定義得出二面角的平面角為，再結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)得出二面角的大小.【詳解】取的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)椋远娼堑钠矫娼菫?，因?yàn)?，，所以為等腰直角三角形，即二面角的大小?故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）見(jiàn)解析，定點(diǎn)【解析】（1）先判斷圓經(jīng)過(guò)橢圓的上、下頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)，令圓方程中的，得，即．再由求即可.（2）設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，使得為定值，根據(jù)題意，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，再運(yùn)算將韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)有與k無(wú)關(guān)即可.【詳解】（1）由圓方程中的時(shí)，的兩根不為相反數(shù)，故可設(shè)圓經(jīng)過(guò)橢圓的上、下頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)，令圓方程中的，得，即有又，解得∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）證明：設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，使得為定值，由（1）可得，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，設(shè)，則，，要使為定值，只需，解得∴在軸上存在定點(diǎn)，使得為定值，定點(diǎn)的坐標(biāo)為【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)和直線與橢圓的位置關(guān)系，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.18、（1）（2）是定值，定值為6【解析】（1）根據(jù)題意條件，可直接求出的值，然后再利用條件中、的關(guān)系，借助即可求解出、的值，從而得到橢圓方程；（2）根據(jù)已知條件設(shè)出、所在直線方程，然后與橢圓聯(lián)立方程，分別表示出根與系數(shù)的關(guān)系，再表示出弦長(zhǎng)關(guān)系，再計(jì)算點(diǎn)到直線的距離，把面積用和的式子表示出來(lái)，通過(guò)給出的面積的值，找到和的等量關(guān)系，將等量關(guān)系帶入到利用跟與系數(shù)關(guān)系組合成的中即可得到答案.【小問(wèn)1詳解】由題意：，由知：，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，【小問(wèn)2詳解】設(shè)：，①橢圓.②聯(lián)立①②得：，，即∴，O到直線l的距離，∴，∴，即，∴.故為定值6.19、（1）（2）【解析】（1）設(shè)橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，．利用橢圓的定義求出，然后求解，得到橢圓方程；（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，，，，，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理以及弦長(zhǎng)公式得到弦長(zhǎng)的表達(dá)式，再通過(guò)換元利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最值即可【小問(wèn)1詳解】依題意，設(shè)橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，則，，，，橢圓的方程為【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，，，，由得由得由，得設(shè)，則，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，的最大值為20、（1）Sn=n2（2）11【解析】(1)由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式與下標(biāo)和性質(zhì)先求，然后結(jié)合可解；(2)由(1)中結(jié)論和已知列方程可解.【小問(wèn)1詳解】由，解得，又∵，∴，，∴【小問(wèn)2詳解】∵S3，S17–S16，Sk成等比數(shù)列，∴S3Sk=(S17–S16)2=，即9k2=332，解得：k=1121、（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）面積的最大值為【解析】（1）由題意得，再由，標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）①當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，不妨??；②當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)的方程為，聯(lián)立方程組，又直線的距離點(diǎn)到直線的距離為面積的最大值為.試題解析：（1）由題意得，解得，∵，∴，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，不妨取，故；②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，化簡(jiǎn)得，設(shè)點(diǎn)到直線的距離因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，所以點(diǎn)到直線的距離為，∴綜上，面積的最大值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離、弦長(zhǎng)公式和三角形面積公式等知識(shí)，涉及函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸等思想，并考查運(yùn)算求解能力和邏輯推理能力，屬于較難題型.第一小題由題意由方程思想建立方程組求得標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）利用分類與整合思想分當(dāng)?shù)男甭什淮嬖谂c存在兩種情況求解，在斜率存在時(shí)，由舍而不求法求得，再求得點(diǎn)到直線的距離為面積的最大