2025屆湖南省常德市臨澧一中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測(cè)試題含解析_第1頁
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文檔簡介

2025屆湖南省常德市臨澧一中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知拋物線的焦點(diǎn)為,過點(diǎn)且傾斜角為銳角的直線與交于、兩點(diǎn),過線段的中點(diǎn)且垂直于的直線與的準(zhǔn)線交于點(diǎn),若,則的斜率為()A. B.C. D.2.某校開展研學(xué)活動(dòng)時(shí)進(jìn)行勞動(dòng)技能比賽,通過初選,選出共6名同學(xué)進(jìn)行決賽,決出第1名到第6名的名次(沒有并列名次),和去詢問成績,回答者對(duì)說“很遺?,你和都末拿到冠軍;對(duì)說“你當(dāng)然不是最差的”.試從這個(gè)回答中分析這6人的名次排列順序可能出現(xiàn)的結(jié)果有()A.720種 B.600種C.480種 D.384種3.甲、乙、丙、丁共4名同學(xué)進(jìn)行黨史知識(shí)比賽,決出第1名到第4名的名次(名次無重復(fù)),其中前2名將獲得參加市級(jí)比賽的資格,甲和乙去詢問成績,回答者對(duì)甲說:“很遺憾,你沒有獲得參加市級(jí)比賽的資格.”對(duì)乙說:“你當(dāng)然不會(huì)是最差的.”從這兩個(gè)回答分析,4人的排名有()種不同情況.A.6 B.8C.10 D.124.如果雙曲線的一條漸近線方程為,且經(jīng)過點(diǎn),則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A. B.C. D.5.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為,過點(diǎn)的直線與圓相切于點(diǎn),交雙曲線的右支于點(diǎn),且點(diǎn)是線段的中點(diǎn),則雙曲線的漸近線方程為()A. B.C. D.6.如圖所示,直三棱柱中,,,分別是,的中點(diǎn),,則與所成角的余弦值為()A. B.C. D.7.設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),P是C上的點(diǎn),則的周長為()A.13 B.16C.20 D.8.橢圓上的一點(diǎn)M到其左焦點(diǎn)的距離為2,N是的中點(diǎn),則等于()A.1 B.2C.4 D.89.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且,則()A.2 B.4C.6 D.810.已知點(diǎn)的坐標(biāo)為(5,2),F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn),若點(diǎn)在拋物線上移動(dòng),當(dāng)取得最小值時(shí),則點(diǎn)的坐標(biāo)是A.(1,) B.C. D.11.已知焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的一條漸近線方程為,則該雙曲線的離心率為()A. B.C.2 D.12.已知橢圓的離心率為,雙曲線的離心率為,則()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù),是其導(dǎo)函數(shù),若曲線的一條切線為直線:,則的最小值為___________.14.銀行一年定期的存款的利率為p,如果將a元存入銀行一年定期,到期后將本利再存一年定期,到期后再存一年定期……,則10年后到期本利共________元15.若,且,則_____________16.正四棱錐底面邊長和高均為分別是其所在棱的中點(diǎn),則棱臺(tái)的體積為___________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)某微小企業(yè)員工的年齡分布莖葉圖如圖所示:(1)求該公司員工年齡的極差和第25百分位數(shù);(2)從該公司員工中隨機(jī)抽取一位,記所抽取員工年齡在區(qū)間內(nèi)為事件,所抽取員工年齡在區(qū)間內(nèi)為事件,判斷事件與是否互相獨(dú)立,并說明理由;18.(12分)現(xiàn)將兩個(gè)班的藝術(shù)類考生報(bào)名表分別裝進(jìn)2個(gè)檔案袋,第一個(gè)檔案袋內(nèi)有6名男生和4名女生的報(bào)名表,第二個(gè)檔案袋內(nèi)有5名男生和5名女生的報(bào)名表.隨機(jī)選擇一個(gè)檔案袋,然后從中隨機(jī)抽取2份報(bào)名表(1)若選擇的是第一個(gè)檔案袋,求從中抽到兩名男生報(bào)名表的概率;(2)求抽取的報(bào)名表是一名男生一名女生的概率19.(12分)已知點(diǎn)及圓,點(diǎn)P是圓B上任意一點(diǎn),線段的垂直平分線l交半徑于點(diǎn)T,當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),記點(diǎn)T的軌跡為曲線E(1)求曲線E的方程;(2)設(shè)存在斜率不為零且平行的兩條直線,,它們與曲線E分別交于點(diǎn)C、D、M、N,且四邊形是菱形,求該菱形周長的最大值20.(12分)新高考取消文理分科,采用選科模式,這賦予了學(xué)生充分的自由選擇權(quán).新高考地區(qū)某校為了解本校高一年級(jí)將來高考選考物理的情況,隨機(jī)選取了100名高一學(xué)生,將他們某次物理測(cè)試成績(滿分100分)按照,,,,分成5組,制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求圖中的值并估計(jì)這100名學(xué)生本次物理測(cè)試成績的中位數(shù).(2)根據(jù)調(diào)查,本次物理測(cè)試成績不低于60分的學(xué)生,高考將選考物理科目;成績低于60分的學(xué)生,高考將不選考物理科目.按分層抽樣的方法從測(cè)試成績?cè)?,的學(xué)生中選取5人,再從這5人中任意選取2人,求這2人中至少有1人高考選考物理科目的概率.21.(12分)已知圓:,定點(diǎn),Q為圓上的一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P在半徑CQ上,且,設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線E.(1)求曲線E的方程;(2)過點(diǎn)的直線交曲線E于A,B兩點(diǎn),過點(diǎn)H與AB垂直的直線與x軸交于點(diǎn)N,當(dāng)取最大值時(shí),求直線AB的方程.22.(10分)已知橢圓C的兩焦點(diǎn)分別為,長軸長為6⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;⑵已知過點(diǎn)(0,2)且斜率為1的直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn),求線段AB的長度

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】設(shè)直線的方程為,其中,設(shè)點(diǎn)、、,將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立,列出韋達(dá)定理,求出、,根據(jù)條件可求得的值,即可得出直線的斜率.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為,設(shè)直線的方程為,其中,設(shè)點(diǎn)、、,聯(lián)立可得,,,所以,,,,直線的斜率為,則直線的斜率為,所以,,因?yàn)?,則,因?yàn)?,解得,因此,直線的斜率為.故選:C.2、D【解析】不是第一名且不是最后一名,的限制最多,先排有4種情況,再排,也有4種情況,余下的問題是4個(gè)元素在4個(gè)位置全排列,根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理求解即可【詳解】由題意,不是第一名且不是最后一名,的限制最多,故先排,有4種情況,再排,也有4種情況,余下4人有種情況,利用分步相乘計(jì)數(shù)原理知有種情況故選:D.3、C【解析】由題可知甲不在前2名,乙不在最后一名,然后分類討論可得答案.【詳解】若甲是最后一名,則其他三人沒有限制,4人排名即為,若甲是第三名,4人的排名為,所以4人的排名有種情況.故選:C4、D【解析】根據(jù)漸近線方程設(shè)出雙曲線方程,然后將點(diǎn)代入,進(jìn)而求得答案.【詳解】因?yàn)殡p曲線的一條漸近線方程為,所以設(shè)雙曲線方程為,將代入得:,即雙曲線方程為.故選:D.5、D【解析】焦點(diǎn)三角形問題,可結(jié)合為三角形的中位線,判斷:焦點(diǎn)三角形為直角三角形,并且有,,可由勾股定理得出關(guān)系,從而得到關(guān)系,從而求得漸近線方程.【詳解】由題意知,,且點(diǎn)是線段的中點(diǎn),點(diǎn)是線段的中點(diǎn),為三角形的中位線故,故,由雙曲線定義有由勾股定理有故則則,故故漸近線方程為:故選:D【點(diǎn)睛】雙曲線上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形,稱為雙曲線的焦點(diǎn)三角形,與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的計(jì)算或證明常利用正弦定理、余弦定理、||PF1|-|PF2||=2a,得到a,c的關(guān)系6、A【解析】取的中點(diǎn)為,的中點(diǎn)為,然后可得或其補(bǔ)角即為與所成角,然后在中求出答案即可.【詳解】取的中點(diǎn)為,的中點(diǎn)為,,,所以或其補(bǔ)角即為與所成角,設(shè),則,,在,,故選:A7、B【解析】利用橢圓的定義及即可得到答案.【詳解】由橢圓的定義,,焦距,所以的周長為.故選:B8、C【解析】先利用橢圓定義得到,再利用中位線定理得即可.【詳解】由橢圓方程,得,由橢圓定義得,又,,又為的中點(diǎn),為的中點(diǎn),線段為中位線,∴.故選:C.9、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式,結(jié)合等差數(shù)列下標(biāo)的性質(zhì)、等差數(shù)列通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為,,,故選:B10、D【解析】過作準(zhǔn)線的垂線,垂足為,則,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立,此時(shí),故,所以,選D11、D【解析】由題意,化簡即可得出雙曲線的離心率【詳解】解:由題意,.故選:D12、D【解析】根據(jù)給定的方程求出離心率,的表達(dá)式,再計(jì)算判斷作答.【詳解】因橢圓的離心率為,則有,因雙曲線的離心率為,則有,所以.故選:D二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】設(shè)直線與曲線相切的切點(diǎn)為,借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義用表示出m,n即可作答.【詳解】設(shè)直線與曲線相切的切點(diǎn)為,而,則直線的斜率,于是得,即,由得,而,于是得,即因,則,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”,所以的最小值為.故答案為:【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛:函數(shù)y=f(x)是區(qū)間D上的可導(dǎo)函數(shù),則曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線方程為:.14、【解析】根據(jù)題意求出每年底的本利和,歸納即可.【詳解】由題意知,第一年本利和為:元,第二年本利和為:元,第三年本利和為:元,以此類推,第十年本利和為:元,故答案:15、【解析】由,可得,,,從而利用換底公式及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.【詳解】解:因?yàn)?,所以,,,又,所以,所以,所以,故答案為?16、【解析】分別計(jì)算,,作差得到答案.【詳解】分別是其所在棱的中點(diǎn),則正四棱錐底面邊長和高均為,,,故.故答案為:.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)極差為;第25百分位數(shù)為(2)事件和相互獨(dú)立,理由見解析【解析】(1)根據(jù)定義直接計(jì)算極差和百分位數(shù)得到答案.(2)計(jì)算得到,,,即,得到答案.【小問1詳解】員工年齡的極差為,,故第25百分位數(shù)為.【小問2詳解】,,,故,故事件和相互獨(dú)立.18、(1);(2).【解析】(1)選擇的是第一個(gè)檔案袋,從中隨機(jī)抽取2份報(bào)名表,基本事件總數(shù),從中抽到兩名男生報(bào)名表包含的基本事件個(gè)數(shù)為,由此能求出從中抽到兩名男生報(bào)名表的概率;(2)設(shè)事件表示抽取到第個(gè)檔案袋,,設(shè)事件表示抽取的報(bào)名表是一名男生一名女生,利用全概率公式能求出抽取的報(bào)名表是一名男生一名女生的概率【小問1詳解】(1)第一個(gè)檔案袋內(nèi)有6名男生和4名女生的報(bào)名表,選擇的是第一個(gè)檔案袋,從中隨機(jī)抽取2份報(bào)名表,基本事件總數(shù),從中抽到兩名男生報(bào)名表包含的基本事件個(gè)數(shù)為,從中抽到兩名男生報(bào)名表的概率【小問2詳解】設(shè)事件表示抽取到第個(gè)檔案袋,,設(shè)事件表示抽取的報(bào)名表是一名男生一名女生,則,,,,抽取的報(bào)名表是一名男生一名女生的概率為:19、(1)(2)【解析】(1)根據(jù)橢圓的定義和性質(zhì),建立方程求出,即可(2)設(shè)的方程為,,,,,設(shè)的方程為,,,,,分別聯(lián)立直線方程和橢圓方程,運(yùn)用韋達(dá)定理和判別式大于0,以及弦長公式,求得,,運(yùn)用菱形和橢圓的對(duì)稱性可得,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,結(jié)合菱形的對(duì)角線垂直和向量數(shù)量積為0,可得,設(shè)菱形的周長為,運(yùn)用基本不等式,計(jì)算可得所求最大值【小問1詳解】點(diǎn)在線段的垂直平分線上,,又,曲線是以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心,和為焦點(diǎn),長軸長為的橢圓設(shè)曲線的方程為,,,曲線的方程為【小問2詳解】設(shè)的方程為,,,,,設(shè)的方程為,,,,,聯(lián)立可得,由可得,化簡可得,①,,,同理可得,因?yàn)樗倪呅螢榱庑?,所以,所以,又因?yàn)?,所以,所以,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,又橢圓關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,,也關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以且,所以,,,,因?yàn)樗倪呅螢榱庑?,可得,即,即,即,可得,化簡可得,設(shè)菱形的周長為,則,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立,此時(shí),滿足①,所以菱形的周長的最大值為【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:在處理此類直線與橢圓相交問題中,一般先設(shè)出直線方程,聯(lián)立方程,利用韋達(dá)定理得出,,再具體問題具體分析,一般涉及弦長計(jì)算問題,運(yùn)算比較繁瑣,需要較強(qiáng)的運(yùn)算能力,屬于難題。20、(1),中位數(shù)為;(2).【解析】(1)由頻率和為1求參數(shù)a,根據(jù)直方圖及中位數(shù)性質(zhì)求中位數(shù)即可.(2)首先由分層抽樣原則求選取的5人在、的人數(shù)分布情況,再應(yīng)用列舉法求古典概型的概率即可.【小問1詳解】由圖知:,解得.學(xué)生成績?cè)诘念l率為;學(xué)生成績?cè)诘念l率為.設(shè)這100名學(xué)生本次物理測(cè)試成績的中位數(shù)為,則,解得,故估計(jì)這100名學(xué)生本次物理測(cè)試成績的中位數(shù)為.【小問2詳解】由(1)知,學(xué)生成績?cè)诘念l數(shù)為,學(xué)生成績?cè)诘念l數(shù)為.按分層抽樣的方法從中選取5人,則成績?cè)诘膶W(xué)生被抽取人,分別記為,,成績?cè)诘膶W(xué)生被抽取人,分別記為,,.從中任意選取2人,有,,,,,,,,,這10種選法,其中至少有1人高考選考物理科目的選法有,,,,,,,,這9種,∴這2人中至少有1人高考選考物理科目的概率.21、(1)(2)或【解析】(1)結(jié)合已知條件可得到點(diǎn)P在線段QF的垂直平分線上,然后利用橢圓定義即可求解;(2)結(jié)合已知條件設(shè)出直線的方程,然后聯(lián)立橢圓方程,利用弦長公式求出,再設(shè)出直線NH的方程,求出N點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而求出,然后表示出,再利用換元法和均值不等式求解即可.【小問1詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,∵,∴點(diǎn)P在線段QF垂直平分線上,∴,又∵,∴∴點(diǎn)P在以C,F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓上,且,∴,∴曲線的方程為:.【小問2詳解】設(shè)直線AB方程為,,由,解得,,解得,由韋

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