專題06二次函數(shù)的新定義問題專訓(xùn)

專題06二次函數(shù)的新定義問題專訓(xùn)【精選最新40道二次函數(shù)的新定義問題專訓(xùn)】1．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）定義表示不超過實數(shù)的最大整數(shù)，如，，，則方程的解有(

)個A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據(jù)新定義和函數(shù)圖象討論：當(dāng)時，則；當(dāng)時，則，當(dāng)時，則；當(dāng)時，則；然后分別解關(guān)于的一元二次方程即可．【詳解】解：：當(dāng)時，則，解得：當(dāng)時，則，無解當(dāng)時，則，解得；當(dāng)時，則，無解；當(dāng)時，則，解得，故有1個解；綜上所述，方程的解有3個；;故選：C．【點睛】本題考查了新定義運算與二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題意建立方程是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·山東濟(jì)寧·九年級?？茧A段練習(xí)）對于任意的實數(shù)m、n，定義符號的含義為m，n之間的最大值，如，．定義一個新函數(shù)：，則時，x的取值范圍為（

）A．或 B．或 C． D．或【答案】D【分析】符號的含義是取較大的值．則本題實為函數(shù)比較大小的問題，聯(lián)立方程，畫出函數(shù)圖象，根據(jù)求得交點坐標(biāo)，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：令，如圖所示，則的值為函數(shù)較大的值，∴比較兩個函數(shù)的交點，較大的y值即為最大值．聯(lián)立方程?

解得令，解得，，令，解得：，∴當(dāng)時，或故選：D【點睛】本題主要考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，正確畫出函數(shù)圖象是解答本題的關(guān)鍵．3．（2023秋·河南開封·九年級?？茧A段練習(xí)）定義一種新函數(shù)，形如（a≠0且）的函數(shù)叫做“鵲橋”函數(shù)，某同學(xué)畫出函數(shù)的圖象如圖．并寫出了下列結(jié)論：①圖象與坐標(biāo)軸的交點為（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；②圖象具有對稱性，對稱軸是直線x＝1；③當(dāng)﹣1≤x≤1或x≥3時，y隨x的增大而增大；④當(dāng)x＝﹣1或x＝3函數(shù)有最小值是0；⑤當(dāng)x＝1時函數(shù)的最大值是4．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【分析】將分別代入求得于坐標(biāo)軸的交點可得①是正確的；從圖象可以看出圖象具有對稱性，對稱軸是直線x=1，②也是正確的；根據(jù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)1≤x≤1或x≥3時，函數(shù)值y隨x值的增大而增大，因此③也是正確的；函數(shù)圖象的最低點就是與x軸的兩個交點，根據(jù)y=0，求出相應(yīng)的x的值為x=1或x=3，因此④也是正確的；從圖象上看，當(dāng)x＜1或x＞3，函數(shù)值要大于當(dāng)x=1時的，因此⑤時不正確的；逐個判斷之后，可得出答案．【詳解】解：①∵令，得，令，則解得∴與坐標(biāo)軸的交點為（1，0），（3，0）和（0，3），∴①是正確的；②從圖象可知圖象具有對稱性，對稱軸為直線，因此②也是正確的；③根據(jù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)1≤x≤1或x≥3時，函數(shù)值y隨x值的增大而增大，因此③也是正確的；④函數(shù)圖象的最低點就是與x軸的兩個交點，根據(jù)y=0，求出相應(yīng)的x的值為x=1或x=3，因此④也是正確的；⑤從圖象上看，當(dāng)x＜1或x＞3，存在函數(shù)值要大于當(dāng)x=1時的，因此⑤是不正確的；故正確的為：①②③④．故選C．【點睛】考查了二次函數(shù)圖象與x軸的交點問題，理解“鵲橋”函數(shù)的意義，掌握“鵲橋”函數(shù)與與二次函數(shù)之間的關(guān)系；兩個函數(shù)性質(zhì)之間的聯(lián)系和區(qū)別是解決問題的關(guān)鍵；二次函數(shù)與x軸的交點、對稱性、對稱軸及最值的求法以及增減性應(yīng)熟練掌握．4．（2023·廣東·統(tǒng)考二模）新定義：為二次函數(shù)（，a，b，c為實數(shù)）的“特征數(shù)”，如：的“特征數(shù)”為．若“特征數(shù)”為的二次函數(shù)的圖象與軸只有一個交點，則的值為（

）A．或2 B． C． D．2【答案】C【分析】把特征數(shù)代入中，得，求出m的值即可．【詳解】解：∵是二次函數(shù)的特征數(shù)，∴∵拋物線的圖象與軸只有一個交點，∴，∴，∵，∴，∴．故選：C．【點睛】本題主要考查了拋物線與x軸的交點，把求二次函數(shù)（，a，b，c為實數(shù)）與x軸的交點坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于m的一元二次方程是解答本題的關(guān)鍵．5．（2023·湖南岳陽·校聯(lián)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，對于點和，給出如下新定義，若則稱點是點的限變點，例如：點的限變點是，點的限變點是，若點在二次函數(shù)的圖象上，則當(dāng)時，其限變點的縱坐標(biāo)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分別求出當(dāng)和時n的取值范圍即可．【詳解】解：由題意知：當(dāng)時，，∴當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴當(dāng)時，，∴當(dāng)時，其限變點的縱坐標(biāo)的取值范圍是，故選D．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是根據(jù)限變點的定義得到關(guān)于m的函數(shù)．6．（2023·福建·模擬預(yù)測）新定義：若一個點的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的2倍，則稱這個點為二倍點．若二次函數(shù)（c為常數(shù)）在的圖象上存在兩個二倍點，則c的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由點的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的2倍可得二倍點在直線上，由可得二倍點所在線段的端點坐標(biāo)，結(jié)合圖象，通過求拋物線與線段交點求解．【詳解】解：由題意可得二倍點所在直線為，將代入得，將代入得，設(shè)，，如圖，聯(lián)立方程，當(dāng)△時，拋物線與直線有兩個交點，即，解得，此時，直線和直線與拋物線交點在點，上方時，拋物線與線段有兩個交點，把代入得，把代入得，，解得，滿足題意．故選：D．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題關(guān)鍵掌握函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為圖形問題求解．7．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考一模）定義：對于二次函數(shù)y＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0），若存在自變量x0，使得函數(shù)值等于x0成立，則稱x0為該函數(shù)的不動點，對于任意實數(shù)b，該函數(shù)恒有兩個相異的不動點，則實數(shù)a的取值范圍為（）A．0＜a＜2 B．0＜a≤2 C．﹣2＜a＜0 D．﹣2≤a＜0【答案】A【分析】若存在自變量x0，使得函數(shù)值等于x0成立，即恒有兩個不相等的實數(shù)解，可設(shè)x為不動點，使y＝x，可得關(guān)系式ax2+bx+b﹣2＝0，由恒有兩個相異的不動點知△＞0，即得a的取值范圍．【詳解】解：由題意可知方程x＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0），恒有兩個不相等的實數(shù)解，則△＝b2﹣4a（b﹣2）＝b2﹣4ab+8a＞0，對任意實數(shù)b恒成立，把b2﹣4ab+8a看作關(guān)于b的二次函數(shù)，則有△1＝（4a）2﹣4×8a＝16a2﹣32a＝16a（a﹣2）＜0，令16a（a﹣2）＝0，解得a＝0或a＝2，①當(dāng)a≥2時，16a＞0，a﹣2≥0，即16a（a﹣2）≥0，②當(dāng)a≤0時，16a≤0，a﹣2＜0，即16a（a﹣2）≥0，③0＜a＜2時，16a＞0，a﹣2＜0，即16a（a﹣2）＜0，即16a（a﹣2）＜0的解集，解得0＜a＜2，故選A．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象與一元二次方程的關(guān)系，熟練掌握根的判別式結(jié)合問題進(jìn)行求解，認(rèn)真理解新定義滲透的數(shù)學(xué)問題是關(guān)鍵．8．（2023秋·安徽蚌埠·九年級?？计谥校┒x：我們將頂點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)互為相反數(shù)的二次函數(shù)稱為“互異二次函數(shù)”．如圖，在正方形OABC中，點A（0，2），點C（2，0），則互異二次函數(shù)y＝（x﹣m）2﹣m與正方形OABC有交點時m的最大值和最小值之差為（

）A．5 B． C．4 D．【答案】B【分析】畫出圖象，從圖象可以看出，當(dāng)函數(shù)圖象從左上向右下運動時，當(dāng)跟正方形有交點時，先經(jīng)過點A，再逐漸經(jīng)過點O，點B，點C，最后再經(jīng)過點B，且在運動的過程中，兩次經(jīng)過點A，兩次經(jīng)過點O，點B和點C，只需算出當(dāng)函數(shù)經(jīng)過點A及點B時m的值，即可求出m的最大值及最小值．【詳解】解：如圖，由題意可得，互異二次函數(shù)y＝（x?m）2?m的頂點（m，?m）在直線y＝?x上運動，在正方形OABC中，點A（0，2），點C（2，0），∴B（2，2），從圖象可以看出，當(dāng)函數(shù)圖象從左上向右下運動時，若拋物線與正方形有交點，先經(jīng)過點A，再逐漸經(jīng)過點O，點B，點C，最后再經(jīng)過點B，且在運動的過程中，兩次經(jīng)過點A，兩次經(jīng)過點O，點B和點C，∴只需算出當(dāng)函數(shù)經(jīng)過點A及點B時m的值，即可求出m的最大值及最小值．當(dāng)互異二次函數(shù)y＝（x?m）2?m經(jīng)過點A（0，2）時，m＝2或m＝?1；當(dāng)互異二次函數(shù)y＝（x?m）2?m經(jīng)過點B（2，2）時，m＝或m＝．∴互異二次函數(shù)y＝（x?m）2?m與正方形OABC有交點時m的最大值和最小值分別是，?1，∴m的最大值和最小值之差為故選：B．【點睛】本題為二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)圖象性質(zhì)．解答關(guān)鍵是研究動點到達(dá)臨界點時圖形的變化，從而得到臨界值．9．（2020秋·安徽亳州·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，過一點P分別作坐標(biāo)軸的垂線，這兩條垂線與坐標(biāo)軸圍成一個矩形，若矩形的周長值與面積值相等，則點P叫作和諧點，所圍成的矩形叫作和諧矩形．已知點P是拋物線上的和諧點，所圍成的和諧矩形的面積為16，則k的值可以是（

）A．16 B．4 C．12 D．18【答案】C【分析】根據(jù)和諧點的定義與二次函數(shù)的性質(zhì)列出m，n的方程，求解m，n即可；【詳解】∵點是拋物線上的點，∴，∴，∴點是和諧點，對應(yīng)的和諧矩形的面積為16，∴，∴，，當(dāng)時，；當(dāng)時，；故答案選C．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象特征和矩形的性質(zhì)，準(zhǔn)確理解計算是解題的關(guān)鍵．10．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考三模）新定義：若兩個函數(shù)圖象有公共點，則稱這兩個函數(shù)圖象為牽手函數(shù)．已知拋物線與線段是牽手函數(shù)，則m的取值范圍是（

）A． B． C．或 D．【答案】B【分析】依據(jù)二函數(shù)有公共點，則聯(lián)立的二次方程有實數(shù)根，判別式大于或等于0，可初步確定m的取值范圍，然后再依據(jù)自變量x的取值范圍進(jìn)一步確定m的取值范圍，即可求解．【詳解】∵拋物線與線段有公共點，∴拋物線與平行于x軸的線段相切或者相交．代入中，即關(guān)于x的二次方程有兩個相等或者不等的實數(shù)根．整理上述關(guān)于x的二次方程得，．①∴對于①式，，即，．

將①式整理成關(guān)于m的二次方程：，則關(guān)于m的判別式：，解得：．結(jié)合x的已知取值范圍得出：線段與拋物線有公共點的取值范圍為：．觀察圖1～圖4中拋物線與線段的相對位置關(guān)系遞變規(guī)律發(fā)現(xiàn)：當(dāng)時，正好是線段與拋物線有公共點時的拋物線最高與最低的位置，其遞變規(guī)律是．把代入方程①式：，可求得，即拋物線與線段有公共點時的最高與最低位置．因此，m的取值范圍是．故選：B．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握函數(shù)的遞變規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．11．（2023秋·吉林長春·九年級校考階段練習(xí)）定義：橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點叫做整點．當(dāng)二次函數(shù)的圖象與直線（a為常數(shù)）圍成的封閉區(qū)域內(nèi)（不包含邊界）只有2個整點時，則a的取值范圍是______．【答案】【分析】由題意大致畫出二次函數(shù)的圖象與直線的圖象，再根據(jù)圍成的封閉區(qū)域內(nèi)（不包含邊界）只有2個整點，結(jié)合圖象即可得出，求解集即可．【詳解】∵，且，∴二次函數(shù)的圖象與直線的圖象大致如圖，∵圍成的封閉區(qū)域內(nèi)（不包含邊界）只有2個整點，∴，解得：．故答案為：．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．正確畫出大致圖象，并利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．12．（2023秋·江蘇蘇州·九年級?？茧A段練習(xí)）定義表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，如，函數(shù)的圖象如圖所示，則方程的解為_________．【答案】【分析】利用數(shù)形結(jié)合思想求解即可．【詳解】解：畫出函數(shù)與函數(shù)的圖象，則兩個函數(shù)的圖象的公共點的橫坐標(biāo)就是方程的根，根據(jù)圖象可知兩個函數(shù)的圖象共有兩個公共點，其中一個點是，另一個點也在第三象限，且縱坐標(biāo)為，令解得：（舍去），∴兩個函數(shù)圖象的公共點是，∴方程的解為【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，掌握數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．13．（2023秋·北京西城·九年級北京十四中?？计谥校δ骋粋€函數(shù)給出如下定義：如果存在實數(shù)M，對于任意的函數(shù)值y，都滿足，那么稱這個函數(shù)是有上界函數(shù)．在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個函數(shù)的上確界．例如，圖中的函數(shù)是有上界函數(shù)，其上確界是2．如果函數(shù)是以3為上確界的有上界函數(shù)，則實數(shù)___________．【答案】【分析】當(dāng)時，，可得（舍）；當(dāng)時，，可得（舍）；當(dāng)時，，可得；當(dāng)時，，可得（舍）．【詳解】解：的對稱軸為直線，當(dāng)時，y的最大值為，∵3為上確界，∴，∴（舍）；當(dāng)時，y的最大值為，∵3為上確界，∴，∴（舍）；當(dāng)時，y的最大值為，∵3為上確界，∴，∴；當(dāng)時，y的最大值為，∵3為上確界，∴，∴（舍），綜上所述：a的值為，故答案為：．【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，熟練掌握二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，根據(jù)所給范圍分類討論求二次函數(shù)的最大值是解題的關(guān)鍵．14．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考一模）新定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對于點和點，若滿足時，；時，，則稱點是點的限變點．例如：點的限變點是，則點的限變點是____________．若點在二次函數(shù)的圖象上，則當(dāng)時，其限變點的縱坐標(biāo)的取值范圍是____________．【答案】【分析】根據(jù)新定義可求得點的限變點，根據(jù)新定義得到當(dāng)時，，在時，得到；當(dāng)時，，在時，得到，即可得到限變點的縱坐標(biāo)n'的取值范圍是．【詳解】解：∵，，∴，∴點的限變點是，∵點在二次函數(shù)的圖象上，∴當(dāng)時，，∴，當(dāng)時，，∴當(dāng)時，，綜上，當(dāng)時，其限變點的縱坐標(biāo)n'的取值范圍是，故答案為：，．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是根據(jù)限變點的定義得到n′關(guān)于m的函數(shù)．15．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）定義：若一個函數(shù)圖象上存在橫縱坐標(biāo)相等的點，則稱該點為這個函數(shù)圖象的“等值點”．例如，點是函數(shù)的圖象的“等值點”．若函數(shù)的圖象記為，將其沿直線翻折后的圖象記為．當(dāng)、兩部分組成的圖象上恰有個“等值點”時，的取值范圍為______．【答案】或【分析】先求出函數(shù)的圖象上有兩個“等值點”或，再利用翻折的性質(zhì)分類討論即可．【詳解】令，解得：，，函數(shù)的圖象上有兩個“等值點”或，當(dāng)時，，兩部分組成的圖象上必有個“等值點”或，：，：，令，整理得：，的圖象上不存在“等值點”，，，，當(dāng)時，有個“等值點”、、，當(dāng)時，，兩部分組成的圖象上恰有個“等值點”,，當(dāng)時，，兩部分組成的圖象上恰有個“等值點”，當(dāng)時，，兩部分組成的圖象上沒有“等值點”，綜上所述，當(dāng)，兩部分組成的圖象上恰有個“等值點”時，或．故答案為：或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)與新定義“等值點”的綜合運用，一元二次方程根的判別式，翻折的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是理解并運用新定義，運用分類討論思想解決問題．16．（2023·江蘇鹽城·?？家荒＃┒x{a，b，c}＝c（a＜c＜b），即（a，b，c）的取值為a，b，c的中位數(shù)，例如：{1，3，2}＝2，{8，3，6}＝6，已知函數(shù)y＝{x2+1，﹣x+2，x+3}與直線y＝x+b有3個交點時，則b的值為_____．【答案】或【分析】畫出函數(shù)的數(shù)y＝{x2+1，﹣x+2，x+3}的圖象，觀察圖象，利用圖象法解決問題即可．【詳解】解：由題意：函數(shù)y＝{x2+1，﹣x+2，x+3}的圖象如圖所示（圖中實線）．由圖象可得，當(dāng)直線y＝x+b經(jīng)過點A和點B時，函數(shù)y＝{x2+1，﹣x+2，x+3}與直線y＝x+b有3個交點，令x2+1＝x+3，解得x＝﹣1或x＝2（舍去），∴A（﹣1，2），令x+3＝﹣x+2，解得，∴，當(dāng)直線y＝x+b經(jīng)過點A時，+b＝2，解得；當(dāng)直線y＝x+b經(jīng)過點B時，，解得．故答案為：或．【點睛】本題考查函數(shù)中的新定義類問題，涉及中位數(shù)的定義，函數(shù)的圖象等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會利用圖象法解決問題．17．（2023秋·吉林長春·九年級長春市第五十二中學(xué)?？计谀┒x：在平面直角坐標(biāo)系中，若點的橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)，則把這樣的點叫做“整點”．如：A(1，0)，B(﹣3，2)都是“整點”，拋物線y＝ax2﹣2ax+a+2（a＜0）與x軸交于P，Q兩點，若該拋物線在P，Q之間的部分與線段PQ所圍的區(qū)域（不包括邊界）恰有3個整點，則a的取值范圍是_____．【答案】【分析】將函數(shù)解析式化為頂點式，確定圖象的對稱軸及頂點坐標(biāo)，得到3個整點的位置，由此得到不等式組，求解即可．【詳解】解：∵y＝ax2﹣2ax+a+2=，∴函數(shù)的對稱軸為直線x=1，頂點坐標(biāo)為（1，2），∴P，Q兩點關(guān)于直線x=1對稱，根據(jù)題意，拋物線y＝ax2﹣2ax+a+2（a＜0）與x軸交于P，Q兩點（不包括邊界）恰有3個整點，這些整點是（0，1），（1，1），（2，1），∵當(dāng)x=0時，y=a+2，∴，當(dāng)x=1時，y=4a+2，∴,∴，解得，故答案為：．．【點睛】此題考查了將二次函數(shù)一般式化為頂點式，二次函數(shù)的性質(zhì)，一元一次不等式組的應(yīng)用，根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸及頂點確定3個點的位置，由此頂點不等式組是解題的關(guān)鍵．18．（2023秋·上海浦東新·九年級統(tǒng)考期末）定義：直線與拋物線兩個交點之間的距離稱作拋物線關(guān)于直線的“割距”，如圖，線段MN長就是拋物線關(guān)于直線的“割距”．已知直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，點B恰好是拋物線的頂點，則此時拋物線關(guān)于直線y的割距是______．【答案】【分析】先求出B點坐標(biāo)，從而求出拋物線解析式，然后求出直線與拋物線的兩個交點，利用兩點距離公式即可求出答案．【詳解】解：∵B直線與y軸的交點，∴B點坐標(biāo)為（0，3），∵B是拋物線的頂點，∴拋物線解析式為，∴，解得或，∴直線與拋物線的兩個交點坐標(biāo)為（0，3），（1，2），∴拋物線關(guān)于直線y的割距是，故答案為：．【點睛】本題主要考查了求一次函數(shù)與y軸交點，二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點，兩點距離公式，二次函數(shù)圖像的性質(zhì)，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．19．（2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）新定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對于點和點，若滿足m≥0時，n′＝n?4；m＜0時，n′＝?n，則稱點是點的限變點．例如：點的限變點是，點P2（?2，3）的限變點是（?2，?3）．若點P（m，n）在二次函數(shù)y＝?x2＋4x＋2的圖象上，則當(dāng)?1≤m≤3時，其限變點P′的縱坐標(biāo)n'的取值范圍是______．【答案】?2≤n′≤3【分析】根據(jù)新定義得到當(dāng)m≥0時，n′＝?m2＋4m＋2?4＝?（m?2）2＋2，在0≤m≤3時，得到?2≤n′≤2；當(dāng)m＜0時，n′＝m2?4m?2＝（m?2）2?6，在?1≤m＜0時，得到?2≤n′≤3，即可得到限變點P′的縱坐標(biāo)n'的取值范圍是?2≤n′≤3．【詳解】解：由題意可知，當(dāng)m≥0時，n′＝?m2＋4m＋2?4＝?（m?2）2＋2，∴當(dāng)0≤m≤3時，?2≤n′≤2，當(dāng)m＜0時，n′＝m2?4m?2＝（m?2）2?6，∴當(dāng)?1≤m＜0時，?2＜n′≤3，綜上，當(dāng)?1≤m≤3時，其限變點P′的縱坐標(biāo)n'的取值范圍是?2≤n′≤3，故答案為：?2≤n′≤3【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是根據(jù)限變點的定義得到n′關(guān)于m的函數(shù)．20．（2023秋·浙江寧波·九年級?？计谀┒x：在平面直角坐標(biāo)系中，若點滿足橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)，則把點叫做“整點”如：、都是“整點”．當(dāng)拋物線與其關(guān)于軸對稱拋物線圍成的封閉區(qū)域內(nèi)（包括邊界）共有個整點時，的取值范圍______．【答案】【分析】通過拋物線的解析式可得對稱軸為，過點，對分情況討論或，分別求解即可．【詳解】解：由可得，過點，當(dāng)時，開口向下，如下圖：此時整點有等等，顯然超過9個，不符合題意；當(dāng)時，開口向上，如下圖：要保證封閉區(qū)域內(nèi)（包括邊界）共有個整點，需要滿足，，此時整數(shù)點為，，即，解得故答案為【點睛】此題考查了二次函數(shù)的新定義問題，涉及了二次函數(shù)的性質(zhì)與一元一次不等式組的求解，解題的關(guān)鍵是理解題意，并列出不等式組．21．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考二模）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對于某函數(shù)圖象上的一點P，先向右平移1個單位長度，再向上平移個單位長度得到點Q，若點Q也在該函數(shù)圖象上，則稱點P為該函數(shù)圖象的“n倍平點”．(1)函數(shù)①；②；③中，其圖象存在“2倍平點”的是_______（填序號）；(2)若反比例函數(shù)，圖象恰有1個“n倍平點”，求n的值；(3)求函數(shù)圖象的“3倍平點”的坐標(biāo)．【答案】(1)②(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象的“n倍平點”的定義逐個進(jìn)行判斷即可；（2）設(shè)，則，把代入得，根據(jù)圖象恰有1個“n倍平點”，得出，即可求出答案；（3）當(dāng)時，，當(dāng)時，，分兩種情況，根據(jù)函數(shù)圖象的“n倍平點”的定義分別計算即可得出結(jié)論．【詳解】（1）當(dāng)時，①設(shè)，則，當(dāng)時，，∴點不在的圖象上．∴該函數(shù)圖象不存在“2倍平點”．②設(shè)，則，當(dāng)時，，∴點在的圖象上．∴該函數(shù)圖象存在“2倍平點”．③設(shè)，則，當(dāng)時，，∴點不在的圖象上．∴該函數(shù)圖象不存在“2倍平點”．故答案是②；（2）設(shè)，則，把代入得，，即，∵圖象恰有1個“n倍平點”，∴．∴．∵，∴．（3）當(dāng)時，，設(shè)，則，把代入得，，解得：，∴，．∴，．當(dāng)時，，設(shè)，則，把代入得，，解得：，∴，．∴，．綜上所述，函數(shù)圖象的“3倍平點”的坐標(biāo)是或．【點睛】本題主要考查了新定義，正確理解新定義：函數(shù)圖象的“n倍平點”是解題的關(guān)鍵．22．（2023·貴州遵義·統(tǒng)考三模）定義：二次項系數(shù)之和為1，對稱軸相同，且圖象與y軸交點也相同的兩個二次函數(shù)互為友好同軸二次函數(shù)．例如：的友好同軸二次函數(shù)為．(1)函數(shù)的對稱軸為__________．其友好同軸二次函數(shù)為__________．(2)已知二次函數(shù)（其中且且），其友好同軸二次函數(shù)記為．①若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于A、B兩點（點A的橫坐標(biāo)小于點B的橫坐標(biāo)），求線段的長；②當(dāng)時，函數(shù)的最大值與最小值的差為8，求a的值．【答案】(1)直線，(2)①4；②或3【分析】（1）將函數(shù)畫出頂點式即可得函數(shù)的對稱軸，再根據(jù)友好同軸二次函數(shù)的定義求解即可得；（2）①根據(jù)友好同軸二次函數(shù)的定義求出函數(shù)，聯(lián)立函數(shù)，，解方程可求出點的坐標(biāo)，由此即可得；②分且且、兩種情況，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可得．【詳解】（1）解：函數(shù)的對稱軸為直線，因為，所以設(shè)函數(shù)的友好同軸二次函數(shù)為，所以，解得，所以函數(shù)的友好同軸二次函數(shù)為，故答案為：直線，．（2）解：①二次函數(shù)，則設(shè)，所以，解得，所以，聯(lián)立得：，解得或，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以，所以；②函數(shù)的對稱軸為直線，（Ⅰ）當(dāng)且且時，拋物線的開口向上，當(dāng)時，隨的增大而減?。划?dāng)時，隨的增大而增大，則當(dāng)時，取得最小值，最小值為，當(dāng)時，取得最大值，最大值為4，所以，解得，符合題設(shè)；（Ⅱ）當(dāng)時，拋物線開口向下，當(dāng)時，隨的增大而增大；當(dāng)時，隨的增大而減小，則當(dāng)時，取得最大值，最大值為，當(dāng)時，取得最小值，最小值為4，所以，解得，符合題設(shè)；綜上，的值為或3．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，掌握理解友好同軸二次函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．23．（2021春·貴州貴陽·九年級貴陽市第二實驗中學(xué)校考階段練習(xí)）定義：同時經(jīng)過x軸上兩點，的兩條拋物線稱為同弦拋物線．如拋物線：與拋物線：是都經(jīng)過，的同弦拋物線．(1)任意寫出一條拋物線的同弦拋物線．(2)已知拋物線是的同弦拋物線，且過點，求拋物線對應(yīng)函數(shù)的最大值或最小值．【答案】(1)（答案不唯一）(2)最小值為【分析】（1）根據(jù)同弦拋物線的定義即可得；（2）先根據(jù)同弦拋物線的定義可設(shè)拋物線的解析式為（且），將點代入可求出的值，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可得．【詳解】（1）解：拋物線與拋物線：為同弦拋物線，拋物線的函數(shù)解析式為．（2）解：由題意可設(shè)拋物線的解析式為（且），將點代入得：，解得，則拋物線的解析式為，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時，拋物線對應(yīng)函數(shù)取得最小值，最小值為．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，讀懂同弦拋物線的定義，并熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．24．（2023春·江蘇鹽城·九年級?？计谥校┒x：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，稱兩個不同的點和為“反射對稱點”、如：點（1，3）和（3，1）是一對“反射對稱點”．(1)下列函數(shù)：①；②；③，其中圖像上存在，“反射對稱點”的是________（填序號）(2)直線與反比例函數(shù)的圖像在第一象限內(nèi)交于點P，點P和點Q為一對“反射對稱點”，若，求k的值；(3)拋物線上是否存在一對“反射對稱點”？如果存在，求出這一對“反射對稱點”所連線段的中點坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．【答案】(1)①②③(2)(3)存在，中點坐標(biāo)為或【分析】(1)根據(jù)定義，把點，分別代入函數(shù)解析式，解方程組即可；(2)根據(jù)題意，用的代數(shù)式將坐標(biāo)表示出來，然后根據(jù)列出方程求出即可；(3)假設(shè)存在一對“反射對稱點”，，由此得到線段中點坐標(biāo)為，再將，兩點代入中聯(lián)立方程組求出的值即可．【詳解】（1）解：對于，若，是一對“反射對稱點”，則，得到，此時方程組有無數(shù)組解，∴函數(shù)圖像上存在無數(shù)對“反射對稱點”；對于，若，是一對“反射對稱點”，則，得到，此時方程組有無數(shù)組解，∴函數(shù)圖像上存在無數(shù)對“反射對稱點”；對于函數(shù)，若，是一對“反射對稱點”，則，得到，∴函數(shù)圖像上存在唯一一對“反射對稱點”，故答案為：①②③；（2）解：聯(lián)立方程組，∴，∴，∵且點在第一象限，∴，∵點和點為一對“反射對稱點”，∴，設(shè)直線解析式為，代入兩點坐標(biāo)，∴，解得，∴直線解析式為，設(shè)直線與軸交于點，過作于點，過作于點，如下圖所示，則，∴整理得到：，又已知，∴，解得；（3）解：假設(shè)拋物線上存在一對“反射對稱點”，，則線段的中點坐標(biāo)為，∴，①－②并整理得到：，當(dāng)即時，回代方程①得到，解得或，若此時重合，舍去；若時，，線段中點坐標(biāo)為；當(dāng)時，即時，回代方程①得到，解得或，當(dāng)時，，此時，，此時線段中點坐標(biāo)為；當(dāng)時，，此時，，此時線段中點坐標(biāo)為；綜上所述，線段中點坐標(biāo)為或．【點睛】本題是反比例函數(shù)和二次函數(shù)的綜合題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)，能理解應(yīng)用新定義是解題的關(guān)鍵．25．（2023春·湖南長沙·九年級長沙市實驗中學(xué)?？计谥校δ骋粋€函數(shù)給出如下定義：對于任意的函數(shù)值y，都滿足，且在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個函數(shù)的上邊界值；對于任意的函數(shù)值y，都滿足，且在所有滿足條件的N中，其最大值稱為這個函數(shù)的下邊界值；若一個函數(shù)既有上邊界值又有下邊界值，則稱這個函數(shù)是有界函數(shù)，其上邊界與下邊界的差稱為邊界差．例如，圖中的函數(shù)上邊界值是，下邊界值是．所以這個函數(shù)是“有界函數(shù)”，邊界差為．(1)在下列關(guān)于x的函數(shù)中，是“有界函數(shù)”的，請在相應(yīng)題目后面的括號中打“√”，不是“有界函數(shù)”的打“×”．①（_________）；②（___________）；③（_________）(2)若函數(shù)（為常數(shù)，且），當(dāng)時，這個函數(shù)的邊界差為2，求的值；(3)若關(guān)于x的函數(shù)（為常數(shù)）經(jīng)過點，當(dāng)時，其邊界差為1，求t的值．【答案】(1)①√；②×；③×(2)(3)2或3【分析】（1）根據(jù)“有界函數(shù)”的定義結(jié)合各函數(shù)解析式判斷即可；（2）分類討論：當(dāng)時和當(dāng)時，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)解答即可；（3）將點代入，可求出m的值，從而得出．分別求出當(dāng)，時，y．再分類討論：當(dāng)，即時；當(dāng)時；當(dāng)，且，即時；當(dāng)，且，即時，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)結(jié)合“邊界差”的定義，可分別得出關(guān)于t的等式，解出t即可．【詳解】（1）解：①對于，∵，∴當(dāng)時，y隨x的增大而增大，∴有最大值和最小值，∴是“有界函數(shù)”．故答案為：；②對于，總有，∴不是“有界函數(shù)”．故答案為：；③對于，總有，∴不是“有界函數(shù)”．故答案為：；（2）解：當(dāng)時，當(dāng)時，y隨x的增大而增大，∴有上邊界值，有下邊界值，∴邊界差為，∵這個函數(shù)的邊界差為2，∴，即；當(dāng)時，當(dāng)時，y隨x的增大而減小，∴有上邊界值，有下邊界值，∴邊界差為，∵這個函數(shù)的邊界差為2，∴，即；綜上所述：k的值為；（3）解：將點代入，得：，解得：，．當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，．∵其邊界差為1，當(dāng)，即時，，解得：（舍去）；當(dāng)時，，解得：（舍去）；當(dāng)，且，即時，，解得：或4（舍去）；當(dāng)，且，即時，，或1（舍去），綜上所述：或3．【點睛】本題考查對新定義的理解，正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．讀懂題意，理解“有界函數(shù)”和“邊界差”的定義是解題關(guān)鍵．26．（2023·山西運城·山西省運城中學(xué)校?？既＃╅喿x與理解定義新運算：若，則；若，則；(1)已知，求；(2)已知，令，求y，并思考的函數(shù)圖象與一次函數(shù)的圖象是否相交，請說明理由．【答案】(1)16(2)，兩圖象相交，理由見詳解【分析】（1）根據(jù)，代入數(shù)據(jù)即可求出結(jié)論；（2）根據(jù)、結(jié)合即可得出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，將其代入中整理得，再根據(jù)根的判別式，即可得出的函數(shù)圖象與一次函數(shù)的圖象相交．【詳解】（1）解：，，．（2）解：兩函數(shù)圖象相交．理由如下：，，．將代入，整理得：．，方程有兩個不相等的實數(shù)根，兩函數(shù)圖象相交．【點睛】本題考查了根的判別式以及直線與拋物線的交點問題，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)定義式代入數(shù)據(jù)求值；（2）利用根的判別式，得出的函數(shù)圖象與一次函數(shù)的圖象相交．27．（2023春·江蘇蘇州·八年級星海實驗中學(xué)?？计谥校鹃喿x理解】把一個函數(shù)圖象上每個點的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼牡箶?shù)（原函數(shù)圖象上縱坐標(biāo)為0的點除外）、橫坐標(biāo)不變，可以得到另一個函數(shù)的圖象，我們稱這個過程為倒數(shù)變換．

【知識運用】如圖1，將的圖象經(jīng)過倒數(shù)變換后可得到的圖象（部分）．特別地，因為圖象上縱坐標(biāo)為0的點是原點，所以該點不作變換，因此的圖象上也沒有縱坐標(biāo)為0的點．小明在求的圖象與的交點時速用了開平方的定義：，得，解得，則圖象交點坐標(biāo)為或．【拓展延伸】請根據(jù)上述閱讀材料完成：(1)請在圖2的平面直角坐標(biāo)系中畫出的圖象和它經(jīng)過倒數(shù)變換后的圖象．(2)設(shè)函數(shù)的圖象和它經(jīng)過倒數(shù)變換后的圖象的交點為A，B（點A在左邊），直接寫出其坐標(biāo)．A______，B______；(3)設(shè)，且，求m．【答案】(1)見解析(2)，(3)【分析】（1）畫出函數(shù)和函數(shù)的圖象；（2）解析式聯(lián)立成方程組，解方程組即可求解；（3）利用三角形面積公式即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示：

（2）解，得或，，，故答案為：，；（3），，．【點睛】本題考查倒數(shù)變換，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點，三角形面積．理解倒數(shù)變換的定義是解題的基礎(chǔ)，能夠熟練用描點法畫圖是正確畫出圖象的關(guān)鍵．28．（2023春·廣東深圳·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）【定義】若拋物線與一水平直線交于兩點，我們把這兩點間線段的長稱為拋物線關(guān)于這條直線的跨徑，拋物線的頂點到該直線的距離稱為拋物線關(guān)于這條直線的矢高，矢高與跨徑的比值稱為拋物線關(guān)于這條直線的矢跨比．如圖1，拋物線的頂點為，軸于點，它與軸交于點，，則的長為拋物線關(guān)于軸的跨徑，的長為拋物線關(guān)于軸的矢高，的值為拋物線關(guān)于軸的矢跨比．【特例】如圖2，已知拋物線與軸交于點，（點在點右側(cè)）；①拋物線關(guān)于軸的矢高是______，跨徑是______，矢跨比是______；②有一拋物線經(jīng)過點，與拋物線開口方向與大小一樣，且矢高是拋物線關(guān)于軸的矢高的，求它關(guān)于軸的矢跨比；【推廣】結(jié)合拋物線的平移規(guī)律可以發(fā)現(xiàn)，兩條開口方向與大小一樣的拋物線，若第一條拋物線的矢高是第二條拋物線關(guān)于同一直線的矢高的（）倍，則第一條拋物線的跨徑是第二條拋物線關(guān)于同一直線的跨徑的______倍（用含的代數(shù)式表示）；【應(yīng)用】如圖3是某地一座三拱橋梁建筑示意圖，其中主跨與邊跨的拱軸線為開口方向與大小一樣的拋物線，它們關(guān)于水平鋼梁所在直線的跨徑分別為420米與280米，已知主跨的矢跨比為，則邊跨的矢跨比是______．【答案】【特例】①4；4；1；②；【推廣】；【應(yīng)用】【分析】①根據(jù)矢高，跨徑，矢跨比的定義，即可求解；②根據(jù)題意可設(shè)該拋物線解析式為，可求出該拋物線與x軸的另一個交點為，即可求解；【推廣】設(shè)第二條拋物線的解析式為，第一條拋物線沿x軸向左平移h個單位得到第二條拋物線，其中，可得第一條拋物線的解析式為，再分別求出兩拋物線的跨徑，即可求解；【應(yīng)用】中的結(jié)論可得，從而得到邊跨的矢高，即可求解．【詳解】①∵拋物線的頂點坐標(biāo)為，∴拋物線關(guān)于軸的矢高是4，當(dāng)時，，解得：，∴點，∴跨徑是，∴矢跨比是；故答案為：4；4；1②∵拋物線經(jīng)過點的矢高是拋物線關(guān)于軸的矢高的，∴拋物線經(jīng)過點的矢高是，∵與拋物線開口方向與大小一樣，∴可設(shè)該拋物線解析式為，把點代入得：，解得：（舍去）或3，∴該拋物線解析式為，當(dāng)時，，解得：或2，∴該拋物線與x軸的另一個交點為，∴該拋物線的跨徑是，∴它關(guān)于軸的矢跨比是；【推廣】設(shè)第二條拋物線的解析式為，第一條拋物線沿x軸向左平移h個單位得到第二條拋物線，其中，∴第一條拋物線的解析式為，對于，頂點坐標(biāo)為，當(dāng)時，，∴第二條拋物線的跨徑是，對于，當(dāng)時，，∴第一條拋物線的跨徑是，∵，∴第一條拋物線的跨徑是第二條拋物線關(guān)于同一直線的跨徑的倍；故答案為：【應(yīng)用】∵主跨的矢跨比為，主跨的關(guān)于水平鋼梁所在直線的跨徑為420米，∴主跨的矢高是米，根據(jù)題意得：，解得：，∴主跨的矢高是邊跨矢高的倍，∴邊跨的矢高是米，∴邊跨的矢跨比是．故答案為：【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．29．（2023春·湖南長沙·九年級校聯(lián)考期中）定義：若一次函數(shù)與反比例函數(shù)滿足，則我們把函數(shù)稱為一次函數(shù)與反比例函數(shù)的“守正創(chuàng)新函數(shù)”．(1)一次函數(shù)與反比例函數(shù)是否存在“守正創(chuàng)新函數(shù)”？如果存在，寫出其“守正創(chuàng)新函數(shù)”；如果不存在，請說明理由；(2)若一次函數(shù)與反比例函數(shù)存在“守正創(chuàng)新函數(shù)”，且該“守正創(chuàng)新函數(shù)”的圖像與直線有唯一交點，求的值；(3)若一次函數(shù)與反比例函數(shù)的“守正創(chuàng)新函數(shù)”的圖像與軸有兩個交點分別是，，其中，點，求的面積的變化范圍．【答案】(1)存在，(2)，(3)【分析】（1）根據(jù)定義新運算的規(guī)則即可求解；（2）根據(jù)題意，確定“守正創(chuàng)新函數(shù)”的解析式，根據(jù)有交點，韋達(dá)定理即可計算出的值；（3）根據(jù)題意，確定“守正創(chuàng)新函數(shù)”的解析式，根據(jù)與軸有兩個交點，根據(jù)韋達(dá)定理，求根公式，三角形的面積公式即可求解．【詳解】（1）解：存在，理由如下，一次函數(shù)與反比例函數(shù)中，∵，，，∴，即滿足，∴存在“守正創(chuàng)新函數(shù)”為．（2）解：∵，∴，∴，∴“守正創(chuàng)新函數(shù)”為，∵該“守正創(chuàng)新函數(shù)”的圖像與直線有唯一交點，∴，即有兩個相等的實數(shù)根，∴，即，∴，∴．（3）解：∵，∴，∴“守正創(chuàng)新函數(shù)”為，∴，∴，∴，，∴，又三角形高為，∴，∵，，∴，，當(dāng)時，，時，，∴的面積的變化范圍為．【點睛】本題主要考查定義新運算，一次函數(shù)，反比例函數(shù)，一元二次方程的綜合，掌握一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系，求根公式等知識是解題的關(guān)鍵．30．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考二模）定義：若一個函數(shù)圖象上存在到坐標(biāo)軸距離相等的點，則稱該點為這個函數(shù)圖象的“等距點”．例如，點和是函數(shù)圖象的“等距點”．(1)判斷函數(shù)的圖象是否存在“等距點”？如果存在，求出“等距點”的坐標(biāo)；如果不存在，說明理由；(2)設(shè)函數(shù)圖象的“等距點”為A、B，函數(shù)圖象的“等距點”為C，若的面積為時，求函數(shù)的表達(dá)式；(3)若函數(shù)圖象恰存在2個“等距點”，試求出m的取值范圍．【答案】(1)存在，或或(2)或(3)或【分析】（1）根據(jù)題中“等距點”的定義列出方程求解即可；（2）先求出反比例函數(shù)及一次函數(shù)圖象上的“等距點”，然后由三角形面積列出方程求解即可；（3）根據(jù)“等距點”列出一元二次方程，再由題意中恰好有2個“等距點”，利用一元二次方程根的判別式求解即可．【詳解】（1）解：存在“等距點”令，解得，∴函數(shù)的圖象上有兩個“等距點”或令，解得，∴函數(shù)的圖象上有兩個“等距點”或．綜上所述，函數(shù)的圖象上有三個“等距點”或或（2）令，解得，則，∴令，解得，則，∴，∵，∴即，解得，∴或，（3）令，整理得，．當(dāng)或時，此時在一、三象限有2個“等距點”．令，整理得，當(dāng)或時，此時在二四象限有2個“等距點”．∵函數(shù)圖象恰存在個“等距點”∴或．【點睛】題目主要考查新定義題型的理解，包括一次函數(shù)，二次函數(shù)及反比例函數(shù)，理解題意是解題關(guān)鍵．31．（2023春·江蘇鹽城·九年級?？茧A段練習(xí)）定義：點是軸上一點，將函數(shù)的圖像位于直線右側(cè)部分，以軸為對稱軸翻折，得到新的函數(shù)l′的圖像，我們稱函數(shù)是函數(shù)的相關(guān)函數(shù)，函數(shù)的圖像記作，函數(shù)的圖像未翻折部分記作，圖像和合起來記作圖像．例如：函數(shù)l的表達(dá)式為，當(dāng)時，它的相關(guān)函數(shù)的表達(dá)式為．(1)如圖，函數(shù)的表達(dá)式為，當(dāng)時，它的相關(guān)函數(shù)的表達(dá)式為；(2)函數(shù)l的表達(dá)式為，當(dāng)時，圖像上某點的縱坐標(biāo)為，求該點的橫坐標(biāo)；(3)函數(shù)的表達(dá)式為．①已知點的坐標(biāo)分別為、，當(dāng)，且圖像與線段只有一個共點時，結(jié)合函數(shù)圖像，求的取值范圍；②若，點是圖像上任意一點，當(dāng)時，的最大值始終保持不變，求的取值范圍（直接寫出結(jié)果）．【答案】(1)(2)該點的橫坐標(biāo)為或2(3)①的取值范圍是或或；②的取值范圍是或【分析】（1）運用“相關(guān)函數(shù)”的定義結(jié)合待定系數(shù)法解答即可；（2）先寫出圖象的解析式，再分別將代入，解得值，即可得出該點的橫坐標(biāo)；（3）①先根據(jù)“相關(guān)函數(shù)”的定義得出圖象的解析式，把或或代入，求得的值，再運用二次函數(shù)圖象和性質(zhì)分類討論：當(dāng)圖象與線段只有一個公共點時，當(dāng)圖象的頂點在線段上時，圖象與線段只有一個公共點時，當(dāng)圖象在其對稱軸左側(cè)的部分與線段只有一個公共點時，綜合得出結(jié)論即可；②由得，令可求出的值，當(dāng)時，的最大值始終保持不變，當(dāng)?shù)淖畲笾凳冀K為4時，當(dāng)?shù)淖畲笾禐?時，綜合得出結(jié)論即可．【詳解】（1）解：由相關(guān)函數(shù)的定義可知，當(dāng)時，的相關(guān)函數(shù)的解析式為，故答案為：；（2）解：函數(shù)的解析式為，當(dāng)時，圖象上的解析式為：，把分別代入，得：或，或，該點的橫坐標(biāo)為或2．（3）解：①函數(shù)的解析式為，圖象的函數(shù)解析式為，把代入，得；把代入，得；把代入，得．圖象的頂點坐標(biāo)為．當(dāng)圖象與線段只有一個公共點時，如圖由題意，得，解得．當(dāng)圖象的頂點在線段上時，圖象與線段只有一個公共點時，如圖圖象的頂點坐標(biāo)為，，即．當(dāng)圖象在其對稱軸左側(cè)的部分與線段只有一個公共點時，如圖由題意，得，解得．綜上所述，的取值范圍是或或；②，，令，則，解得，，與軸交于，，，的頂點坐標(biāo)為，點是圖象上任意一點，當(dāng)時，的最大值始終保持不變，當(dāng)?shù)淖畲笾凳冀K為4時，，解得；當(dāng)?shù)淖畲笾禐?時，，解得，的取值范圍是或．【點睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了新定義在函數(shù)中的應(yīng)用、拋物線的圖象與線段的交點個數(shù)問題、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一元二次方程等知識點，數(shù)形結(jié)合、分類討論、讀懂定義并熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．32．（2023春·四川自貢·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，對于和點，給出如下定義：若，則稱點為點的限變點．例如：點的限變點的坐標(biāo)是，點的限變點的坐標(biāo)是．(1)點的限變點的坐標(biāo)是；(2)判斷點中，哪一個點是函數(shù)圖象上某一個點的限變點？并說明理由；(3)若點在函數(shù)的圖象上，其限變點的縱坐標(biāo)的取值范圍是，求的取值范圍．【答案】(1)(2)點B是函數(shù)圖象上某一個點的限變點，理由見解析(3)或【分析】（1）根據(jù)限變點的定義進(jìn)行求解即可；（2）先分別假設(shè)A、B是函數(shù)圖象上某一個點的限變點，進(jìn)而求出函數(shù)圖象上對應(yīng)點的坐標(biāo)，看該點是否在函數(shù)圖象上即可；（3）根據(jù)題意可得圖象上的點P的關(guān)聯(lián)點必在函數(shù)的圖象上，然后結(jié)合函數(shù)圖象求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴點的限變點的坐標(biāo)是，故答案為：（2）解：點B是函數(shù)圖象上某一個點的限變點，理由如下：∵，∴若點A是函數(shù)圖象上某一個點的限變點，則這個點的坐標(biāo)為，又∵不在函數(shù)圖象上，∴點A不是函數(shù)圖象上某一個點的限變點；∵，∴若點B是函數(shù)圖象上某一個點的限變點，則這個點的坐標(biāo)為，又∵在函數(shù)圖象上，∴點B是函數(shù)圖象上某一個點的限變點；（3）解：由題意得，圖象上的點P的關(guān)聯(lián)點必在函數(shù)的圖象上，∵，∴或．

【點睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點，一次函數(shù)與幾何綜合等等，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．33．（2023春·江蘇泰州·九年級泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）二次函數(shù)的圖象是拋物線，定義一種變換，先作這條拋物線關(guān)于原點對稱的拋物線，再將得到的對稱拋物線向上平移m（）個單位，得到新的拋物線，我們稱叫做二次函數(shù)的m階變換．(1)二次函數(shù)的頂點關(guān)于原點的對稱點為___________，這個拋物線的2階變換的解析式為___________；(2)若二次函數(shù)M的5階變換的關(guān)系式為．①二次函數(shù)M的解析式為___________；②若二次函數(shù)M的頂點為點A，與x軸相交的兩個交點中右側(cè)交點為點B，動點P在拋物線y5上，過點P作于點H，請求出最小時，點P的坐標(biāo)．【答案】(1)，(2)①；②【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出其頂點坐標(biāo)，再根據(jù)關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)特點，寫出其關(guān)于原點的對稱點的坐標(biāo)，根據(jù)定義即可求解解析式；（2）①將向下平移5個單位得到，此時該拋物線的頂點坐標(biāo)為，該點關(guān)于原點的對稱點為，進(jìn)而求解；②先求出直線的函數(shù)表達(dá)式，設(shè)直線交y軸于點C，二次函數(shù)交y軸于點E，過點P作軸交于點D，證明，設(shè)點，則點，表示出，即可求解．【詳解】（1）∵二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)為，則該點關(guān)于原點的對稱點為，∴這個拋物線的2階變換的表達(dá)式為，故答案為：，；（2）①∵，∴，∴的頂點坐標(biāo)為，∴二次函數(shù)M的頂點坐標(biāo)為，∴二次函數(shù)M的解析式為；故答案為：；②令，解得或0，∴，設(shè)直線的解析式為，把和的坐標(biāo)代入，得，解得，∴直線的解析式為，∵，如圖，設(shè)直線交y軸于點C，二次函數(shù)交y軸于點E，過點P作軸交于點D，當(dāng)時，，∴，∴，∴，∴，設(shè)點，則點，∴，∴當(dāng)時，最小，最小值為，∴當(dāng)時，最小，此時，∴．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)圖象的平移等，綜合性強，難度適中，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．34．（2023秋·江蘇南通·九年級統(tǒng)考期末）定義：平面直角坐標(biāo)系中，若點繞原點順時針旋轉(zhuǎn)，恰好落在函數(shù)圖象上，則稱點為函數(shù)圖象的“直旋點”．例如，點是函數(shù)圖象的“直旋點”．(1)在①，②，③三點中，是一次函數(shù)圖象的“直旋點”的有_____（填序號）；(2)若點為反比例函數(shù)圖象的“直旋點”，求的值；(3)二次函數(shù)與軸交于兩點（A在的左側(cè)），與軸交于點，點是二次函數(shù)圖象的“直旋點”且在直線上，求點坐標(biāo)．【答案】(1)②③(2)(3)或【分析】（1）分別寫出三個點繞原點順時針旋轉(zhuǎn)得到的點的坐標(biāo)，逐個驗證是否在一次函數(shù)圖象上即可；（2）把點繞原點順時針旋轉(zhuǎn)得到的點的坐標(biāo)代入即可得到答案；（3）先求出點A、B、C的坐標(biāo)，再求出直線的解析式，設(shè)點D的坐標(biāo)為，則點D繞原點順時針旋轉(zhuǎn)得到點，根據(jù)點是二次函數(shù)圖象的“直旋點”且在直線上，得到關(guān)于m、n的方程組，解方程組即可得到點D的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：①繞原點順時針旋轉(zhuǎn)得到，當(dāng)時，，故不是一次函數(shù)圖象的“直旋點”，②繞原點順時針旋轉(zhuǎn)得到，當(dāng)時，，故是一次函數(shù)圖象的“直旋點”，③繞原點順時針旋轉(zhuǎn)得到，當(dāng)時，，故是一次函數(shù)圖象的“直旋點”，故答案為：②③（2）點繞原點順時針旋轉(zhuǎn)得到，∵點為反比例函數(shù)圖象的“直旋點”，∴點滿足，代入可得，，解得；（3）當(dāng)時，，解得∴點，當(dāng)時，，∴點,設(shè)直線的解析式為，則解得，∴直線的解析式為，設(shè)點D的坐標(biāo)為，則點D繞原點順時針旋轉(zhuǎn)得到點，∵點是二次函數(shù)圖象的“直旋點”且在直線上，∴點在二次函數(shù)圖象上，在直線上，∴，解得，，∴點坐標(biāo)為或【點睛】此題考查了反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、待定系數(shù)法、點的旋轉(zhuǎn)等知識，讀懂題意，準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵．35．（2023·湖南懷化·統(tǒng)考三模）定義：若一個函數(shù)圖象上存在橫、縱坐標(biāo)相等的點，則稱該點為這個函數(shù)圖像的“等值點”．例如，點是函數(shù)的圖象的“等值點”．(1)分別判斷函數(shù)，的圖象上是否存在“等值點”？如果存在，求出“等值點”的坐標(biāo)；(2)設(shè)函數(shù)（），的圖象的“等值點”分別為點，，過點作軸，垂足為．當(dāng)?shù)拿娣e為3時，求的值：(3)若函數(shù)（）的圖象記為，將其沿直線翻折后的圖象記為．當(dāng)，兩部分組成的圖象上恰有2個“等值點”時，直接寫出的取值范圍．【答案】(1)函數(shù)的圖象上不存在“等值點”，函數(shù)的圖象上有兩個“等值點”或(2)的值為或(3)或【分析】（1）根據(jù)“等值點”的定義建立方程求解即可得出答案；（2）先根據(jù)“等值點”的定義求出函數(shù)的圖象上有兩個“等值點”，同理求出，根據(jù)的面積為3可得，求解即可；（3）先求出函數(shù)的圖象上有兩個“等值點”或，再利用翻折的性質(zhì)分類討論即可．【詳解】（1）解：在中，令，得不成立，函數(shù)的圖象上不存在“等值點”；在中，令，解得：，，函數(shù)的圖象上有兩個“等值點”或；（2）解：在函數(shù)中，令，解得：，，在函數(shù)中，令，解得：，，軸，，，的面積為3，，當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，，，方程沒有實數(shù)根，當(dāng)時，，解得：，綜上所述，的值為或；（3）解：令，解得：，，函數(shù)的圖象上有兩個“等值點”或，①當(dāng)時，，兩部分組成的圖象上必有2個“等值點”或，，，令，整理得：，的圖象上不存在“等值點”，，，，②當(dāng)時，有3個“等值點”、、，

③當(dāng)時，，兩部分組成的圖象上恰有2個“等值點”，

④當(dāng)時，，兩部分組成的圖象上恰有1個“等值點”，

⑤當(dāng)時，，兩部分組成的圖象上沒有“等值點”，

綜上所述，當(dāng)，兩部分組成的圖象上恰有2個“等值點”時，或．【點睛】本題考查了一次函數(shù)，反比例函數(shù)，二次函數(shù)與新定義“等值點”綜合運用，一元二次方程根的判別式，翻折的性質(zhì)等，綜合性較強，解題的關(guān)鍵是理解并運用新定義，運用分類討論思想解決問題．36．（2023·浙江金華·統(tǒng)考一模）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，直線與某函數(shù)圖象交點記為點P，作該函數(shù)圖象中，點P及點P右側(cè)部分關(guān)于直線的軸對稱圖形，與原函數(shù)圖象上的點P及點P右側(cè)部分共同構(gòu)成一個新函數(shù)的圖象，稱這個新函數(shù)為原函數(shù)關(guān)于直線的“迭代函數(shù)”．例如：圖1是函數(shù)的圖象，則它關(guān)于直線的“迭代函數(shù)”的圖象如圖2所示，可以得出它的“迭代函數(shù)”的解析式為．

(1)寫出函數(shù)關(guān)于直線的“迭代函數(shù)”的解析式為_________．(2)若函數(shù)關(guān)于直線的“迭代函數(shù)”圖象經(jīng)過，則_________．(3)以如正方形的頂點分別為：，其中．①若函數(shù)關(guān)于直線的“迭代函數(shù)”的圖象與正方形的邊有3個公共點，則______；②若，函數(shù)關(guān)于直線的“迭代函數(shù)”的圖象與正方形有4個公共點，則n的取值范圍為______．【答案】(1)(2)或．(3)①或，②或或．【分析】（1）根據(jù)“迭代函數(shù)”的定義可知“迭代函數(shù)”的圖象是關(guān)于的對稱，故求出圖象上任意兩點坐標(biāo)，再根據(jù)函數(shù)關(guān)于直線的“迭代函數(shù)”是關(guān)于對稱，求出對稱點坐標(biāo)，再由待定系數(shù)法求出“迭代函數(shù)”的解析式即可；（2）先求出原拋物線當(dāng)時兩點坐標(biāo)，根據(jù)“迭代函數(shù)”的對稱性可知與其中一點對稱，分兩種情況求解即可；（3）①先畫出函數(shù)關(guān)于直線的“迭代函數(shù)”的圖象．根據(jù)三個公共點的不同情況分兩種情況求解即可；②根據(jù)正方形和“迭代函數(shù)”的圖象對稱性可知．四個公共點的分別是第一象限兩個、第三象限或第二象限兩個，分別結(jié)合圖象進(jìn)行求解．【詳解】（1）解：當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴則點、關(guān)于直線的對稱點為，，設(shè)直線關(guān)于直線的對稱直線為，則，解得，∴直線為，∴函數(shù)關(guān)于直線的”迭代函數(shù)”的解析式為；故答案為：（2），∴的頂點坐標(biāo)為當(dāng)時，解得：，，即與軸交點為、若函數(shù)關(guān)于直線的“迭代函數(shù)”圖象經(jīng)過，當(dāng)與是關(guān)于直線對稱時，，當(dāng)與是關(guān)于直線對稱時，，綜上所述：若函數(shù)關(guān)于直線的“迭代函數(shù)”圖象經(jīng)過，則或，故答案為：或．（3）①函數(shù)關(guān)于直線的“迭代函數(shù)”的圖象如圖所示：

∴函數(shù)關(guān)于直線的“迭代函數(shù)”的圖象與正方形有3個公共點，有兩種情況：當(dāng)?shù)谝幌笙抻袃蓚€公共點時，第三個交點在第三象限，當(dāng)圖象上的點，，此時，當(dāng)?shù)谌笙抻袃蓚€公共點時，第三個公共點在第一象限，函數(shù)圖象正好經(jīng)過正方形的頂點，，，此時，綜上所述：若函數(shù)關(guān)于直線的“迭代函數(shù)”的圖象與正方形的邊有3個公共點，則或．②如圖：

若，函數(shù)關(guān)于直線的“迭代函數(shù)”的圖象與正方形有4個公共點，則第一象限一點一定有兩個交點它們是、；根據(jù)正方形和“迭代函數(shù)”的圖象對稱性，I．當(dāng)時，“迭代函數(shù)”的圖象與正方形最多有3個公共點，II．當(dāng)時，“迭代函數(shù)”的圖象與正方形有4個公共點，如圖所示，III．當(dāng)，若第三象限由兩個公共點，則第二象限無公共點，此時點關(guān)于對稱點在正方形外，即：，解得：，此時點在函數(shù)關(guān)于直線的“迭代函數(shù)”的圖象，即：，即：時，“迭代函數(shù)”的圖象與正方形在第三象限有兩個公共點，第二象限無公共點，Ⅳ．當(dāng)，若第二象限有兩個公共點，則第三象限無公共點，此時點關(guān)于對稱點在正方形內(nèi)，即：，解得：，此時點不在函數(shù)關(guān)于直線的“迭代函數(shù)”的圖象，即：，∴．當(dāng)，若第二象限有兩個公共點，則第三象限無公共點，綜上所述：若，函數(shù)關(guān)于直線的“迭代函數(shù)”的圖象與正方形有4個公共點，n的取值范圍為或或．【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用；理解并運用新定義”迭代函數(shù)”，能夠?qū)D象的對稱轉(zhuǎn)化為點的對稱，借助圖象解題是關(guān)鍵．37．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)點N在圖形M的內(nèi)部，或在圖形M上，且點N的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等時，則稱點N為圖形M的“夢之點”．

(1)如圖①，矩形的頂點坐標(biāo)分別是，，，，在點，，中，是矩形“夢之點”的是___________；(2)點是反比例函數(shù)圖象上的一個“夢之點”，則該函數(shù)圖象上的另一個“夢之點”H的坐標(biāo)是___________，直線的解析式是___________．當(dāng)時，x的取值范圍是___________．(3)如圖②，已知點A，B是拋物線上的“夢之點”，點C是拋物線的頂點，連接，，，判斷的形狀，并說明理由．【答案】(1)，(2)，，或(3)是直角三角形，理由見解析【分析】（1）根據(jù)“夢之點”的定義判斷這幾個點是否在矩形內(nèi)部或邊上即可；（2）把代入求出解析式，再求與的交點即為，最后根據(jù)函數(shù)圖象判斷當(dāng)時，x的取值范圍；（3）根據(jù)“夢之點”的定義求出點A，B的坐標(biāo)，再求出頂點C的坐標(biāo)，最后求出，，，即可判斷的形狀．【詳解】（1）∵矩形的頂點坐標(biāo)分別是，，，，∴矩形“夢之點”滿足，，∴點，是矩形“夢之點”，點不是矩形“夢之點”，故答案為：，；（2）∵點是反比例函數(shù)圖象上的一個“夢之點”，∴把代入得，∴，∵“夢之點”的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，∴“夢之點”都在直線上，聯(lián)立，解得或，∴，∴直線的解析式是，函數(shù)圖象如圖：

由圖可得，當(dāng)時，x的取值范圍是或；故答案為：，，或；（3）是直角三角形，理由如下：∵點A，B是拋物線上的“夢之點”，∴聯(lián)立，解得或，∴，，∵∴頂點，∴，，，∴，∴是直角三角形．【點睛】本題是函數(shù)的綜合題，考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)，理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，記住兩點間的距離公式，正確理解新定義是解決此題的關(guān)鍵．38．（2023·江西新余·統(tǒng)考一模）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸的交點坐標(biāo)為，那么我們把經(jīng)過點且平行于軸的直線稱為這條拋物線的極限分割線．【特例感知】(1)拋物線的極限分割線與這條拋物線的交點坐標(biāo)為______．【深入探究】(2)經(jīng)過點和的拋物線與軸交于點，它的極限分割線與該拋物線另一個交點為，請用含的代數(shù)式表示點的坐標(biāo)．【拓展運用】(3)在（2）的條件下，設(shè)拋物線的頂點為，直線垂直平分，垂足為，交該拋物線的對稱軸于點．①當(dāng)時，求點的坐標(biāo)．②若直線與直線關(guān)于極限分割線對