第03講二次函數(shù)的性質(zhì)（8類題型）（原卷版）

第03講二次函數(shù)的性質(zhì)（8類題型）課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.二次函數(shù)的性質(zhì)2.二次函數(shù)的解析式3.二次函數(shù)的平移問題1．掌握二次函數(shù)解析式的三種形式，并會選用不同的形式，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式．2．能根據(jù)二次函數(shù)的解析式確定拋物線的開口方向，頂點(diǎn)坐標(biāo)，對稱軸，最值和增減性．3．能根據(jù)二次函數(shù)的解析式畫出函數(shù)的圖象，并能從圖象上觀察出函數(shù)的一些性質(zhì)．知識點(diǎn)01：二次函數(shù)的圖象與a，b，c的關(guān)系學(xué)生對二次函數(shù)中字母系數(shù)a、b、c及其關(guān)系式的符號判斷常有些不知所措，這里介紹幾個口訣來幫助同學(xué)們解惑．1．基礎(chǔ)四看“基礎(chǔ)四看”是指看開口，看對稱軸，看與y軸的交點(diǎn)位置，看與x軸的交點(diǎn)個數(shù)．“四看”是對二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象最初步的認(rèn)識，而且這些判斷都可以通過圖象直接得到，同時還可以在此基礎(chǔ)上進(jìn)行一些簡單的組合應(yīng)用．2．組合二看(1)三全看點(diǎn)在a、b、c間的加減組合式中，最常見的如“a＋b＋c"，“a－b＋c”，“4a＋2b＋c”，“4a－2b＋c”等類型的式子，這類式子a、b、c三個字母都在，并且c的系數(shù)通常為1，這時只要取x為b前的系數(shù)代入二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c就可以得到所需的形式，從而由其對應(yīng)的y的值時進(jìn)行判斷即可．(2)有缺看軸當(dāng)a、b、c三個字母只出現(xiàn)兩個間的組合時，這時對同學(xué)們來講難度是較大的，如何解決呢？其實我們只要想一想為什么會少一個字母，這個問題就可以較好的解決．少一個字母的原因就是因為有對稱軸為我們提供了a、b之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，如果少的是字母c，則直接用對稱軸提供的信息即可解決；如果少的是字母a或b，則可利用對稱軸提供的a、b間轉(zhuǎn)換信息，把a(bǔ)（或b）用b（或a）代換即可．3．取值計算當(dāng)解題感到無從下手時，可以嘗試取值法，只要根據(jù)函數(shù)圖象的特點(diǎn)及所給出的數(shù)據(jù)（或范圍），取相應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式中，求出其字母系數(shù)，即可進(jìn)行相關(guān)判斷．二次函數(shù)的圖象與系數(shù)之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是弄清楚圖象的開口方向、對稱軸的位置、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)及其圖象中特殊點(diǎn)的位置，確定出與0的大小關(guān)系及含有的代數(shù)式的值的大小關(guān)系.(1)決定開口方向:當(dāng)時拋物線開口向上;當(dāng)時拋物線開口向下.(2)共同決定拋物線的對稱軸位置:當(dāng)同號時，對稱軸在軸左側(cè);當(dāng)異號時，對稱軸在軸右側(cè)(可以簡稱為“左同右異”);當(dāng)時，對稱軸為軸.(3)決定與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo):當(dāng)時，圖象與軸交于正半軸;當(dāng)時，圖象過原點(diǎn);當(dāng)時，圖象與軸交于負(fù)半軸.(4)的值決定了拋物線與軸交點(diǎn)的個數(shù):當(dāng)時，拋物線與軸有兩個交點(diǎn);當(dāng)時，拋物線與軸有一個交點(diǎn);當(dāng)時，拋物線與軸沒有交點(diǎn).(5)的符號由時，的值確定:若，則;若，則.(6)的符號由時，的值確定:若，則;若，則.知識點(diǎn)02：二次函數(shù)圖象的平移由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，拋物線()的圖象是由拋物線()的圖象平移得到的.在平移時，不變(圖象的形狀、大小不變)，只是頂點(diǎn)坐標(biāo)中的或發(fā)生變化(圖象的位置發(fā)生變化)。平移規(guī)律是“左加右減，上加下減”，左、右沿軸平移，上、下沿軸平移，即.因此，我們在解決拋物線平移的有關(guān)問題時，首先需要化拋物線的解析式為頂點(diǎn)式，找出頂點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)上面的平移規(guī)律，解決與平移有關(guān)的問題，注意：(1)a的絕對值越大，拋物線的開口越小.(2)理解并掌握平移的過程，由，的圖象與性質(zhì)及上下平移與左右平移的規(guī)律：將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)；保持拋物線的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到處，具體平移方法如下：平移規(guī)律：概括成八個字“左加右減，上加下減”．知識點(diǎn)03：待定系數(shù)求解析式用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，要根據(jù)具體已知條件靈活選擇解析式的三種表達(dá)形式:(1)已知三點(diǎn)坐標(biāo)，常設(shè)拋物線的解析式為一般式;(2)已知頂點(diǎn)(或最值)，常設(shè)拋物線的解析式為頂點(diǎn)式;(3)已知拋物線與軸的兩個交點(diǎn)坐標(biāo)為，常設(shè)拋物線的解析式為交點(diǎn)式.二次函數(shù)解析式的形式一般式：頂點(diǎn)式：交點(diǎn)式頂點(diǎn)在原點(diǎn)：過原點(diǎn)：頂點(diǎn)在y軸：求二次函數(shù)（a≠0）的最值的方法配方法：任意一個二次函數(shù)的一般式都可以配方成的形式若a＞0，當(dāng)x=h時，函數(shù)有最小值，且②若a＜0，當(dāng)x=h時，函數(shù)有最大值，且公式法：因為拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（），則若a＞0，當(dāng)x=時，函數(shù)有最小值，且若a＜0，當(dāng)x=h時，函數(shù)有最大值，且題型01二次函數(shù)圖象與各系數(shù)關(guān)系【典例1】（2023·上海·九年級假期作業(yè)）已知二次函數(shù)的圖像如圖所示，那么下列四個結(jié)論中，錯誤的是（

）A． B． C． D．【典例2】（2022秋·天津河西·九年級天津市海河中學(xué)?？计谀┒魏瘮?shù)的圖象如圖所示，有如下結(jié)論：①；②；③；④（為實數(shù)）．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式1】（2022秋·廣東廣州·九年級統(tǒng)考期末）已知，二次函數(shù)的圖象如圖所示，且該圖象經(jīng)過點(diǎn)．(1)c______0（填“”、“”或“”）；(2)直接寫出時，自變量x的取值范圍；題型02根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求函數(shù)值【典例1】（2023秋·九年級單元測試）已知二次函數(shù)（a為常數(shù)，且）的圖象上有三點(diǎn)，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【變式1】（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的對稱軸為直線，與軸的一個交點(diǎn)為，則與軸的另一個交點(diǎn)為．【變式2】（2023·上海寶山·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)、、．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)D與點(diǎn)E是拋物線上關(guān)于對稱軸對稱的兩點(diǎn)，如果點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為，試求點(diǎn)E的坐標(biāo)．題型03二次函數(shù)的平移問題【典例1】（2023春·重慶北碚·八年級西南大學(xué)附中?？计谀佄锞€向右平移1個單位，再向上平移3個單位后所得到的拋物線解析式為()A． B．C． D．【變式1】（2022秋·甘肅平?jīng)觥ぞ拍昙壭？茧A段練習(xí)）函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象沿x軸向平移個單位，再沿y軸向平移個單位得到．【變式2】（2023·全國·九年級假期作業(yè)）如圖，點(diǎn)在拋物線C：上，且在的對稱軸右側(cè)．坐標(biāo)平面上放置一透明膠片，并在膠片上描畫出點(diǎn)P及C的一段，分別記為，．平移該膠片，使所在拋物線對應(yīng)的函數(shù)恰為．則點(diǎn)移動的最短路程是．

題型04待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式（一般式）【典例1】（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）一個二次函數(shù)，當(dāng)x＝0時，y＝﹣5；當(dāng)x＝﹣1時，y＝﹣4；當(dāng)x＝﹣2時，y＝5，則這個二次函數(shù)的關(guān)系式是（

）A．y＝4x2+3x﹣5 B．y＝2x2+x+5 C．y＝2x2﹣x+5 D．y＝2x2+x﹣5【典例2】（2022·浙江·九年級專題練習(xí)）已知函數(shù)y＝ax2+bx，當(dāng)x＝1時，y＝﹣1；當(dāng)x＝﹣1時，y＝2，則a，b的值分別是（

）A．，﹣ B．， C．1，2 D．﹣1，2【變式1】（2023秋·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期末）已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)和，求a、c的值．題型05待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式（頂點(diǎn)式）【典例1】（2022秋·河北滄州·九年級?？茧A段練習(xí)）若二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且過點(diǎn)，則該二次函數(shù)的解析式為（）A． B．C． D．【變式1】（2022春·江蘇·九年級專題練習(xí)）與拋物線的圖象形狀相同，但開口方向不同，頂點(diǎn)坐標(biāo)是的拋物線解析式是．【變式2】（2023春·廣東河源·九年級校考階段練習(xí)）已知拋物線的頂點(diǎn)是，且經(jīng)過點(diǎn)，求該拋物線的表達(dá)式．題型06待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式（兩點(diǎn)式）【典例1】（2022春·九年級課時練習(xí)）已知二次函數(shù)中的滿足下表：…………根據(jù)表中信息，下列判斷正確的是（）A．開口向下 B．當(dāng)時，C．圖像的對稱軸是直線 D．函數(shù)最小值是【變式1】（2022·廣東廣州·二模）拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，，則當(dāng)時，y的值為（

）．A．6 B．1 C．1 D．6【變式2】（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，且與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，求這個二次函數(shù)的解析式．題型07拋物線與x、y軸的交點(diǎn)問題【典例1】（2023·天津河西·統(tǒng)考二模）拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C．和 D．和【典例2】（2023春·陜西西安·九年級?？茧A段練習(xí)）將拋物線向下平移8個單位長度后與x軸的兩個交點(diǎn)之間的距離為．【變式1】（2023·山東棗莊·?？寄M預(yù)測）二次函數(shù)的圖象交x軸于點(diǎn)A，B．則點(diǎn)的距離為．題型08y=ax2+bx+c的最值【典例1】（2023·浙江·一模）已知二次方程的兩根為和5，則對于二次函數(shù)，下列敘述正確的是（

）A．當(dāng)時，函數(shù)的最大值是9． B．當(dāng)時，函數(shù)的最大值是9．C．當(dāng)時，函數(shù)的最小值是． D．當(dāng)時，函數(shù)的最小值是．【典例2】（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）已知二次函數(shù)（m為常數(shù)），當(dāng)自變量x的值滿足時，與其對應(yīng)的函數(shù)值y的最小值為3，則m的值為（

）A．0或3 B．0或7 C．3或4 D．4或7【變式1】（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模）設(shè)二次函數(shù)（b，c是常數(shù)）的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)．(1)若A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，求函數(shù)y的表達(dá)式及其圖象的對稱軸．(2)若函數(shù)y的表達(dá)式可以寫成（h是常數(shù)）的形式，求的最小值．(3)若函數(shù)y的表達(dá)式可以寫成（h是常數(shù)）的形式，當(dāng)時，求函數(shù)的最小值．A夯實基礎(chǔ)1．（2022秋·河南鄭州·九年級?？茧A段練習(xí)）將二次函數(shù)的圖象向左平移3個單位長度，再向下平移4個單位長度得到二次函數(shù)表達(dá)式為（

）A． B． C． D．2．（2023·四川成都·?？既＃┤鐖D，二次函數(shù)的圖象與軸交于和原點(diǎn)，且頂點(diǎn)在第二象限．下列說法正確的是（

）A． B．當(dāng)時，的值隨值的增大而減小C． D．函數(shù)值有最小值3．（2023秋·浙江·九年級專題練習(xí)）已知二次函數(shù)（，，，為常數(shù)）的與的部分對應(yīng)值如表：判斷方程的一個解的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）已知拋物線與二次函數(shù)的的圖象形狀相同，開口方向相同，且頂點(diǎn)坐標(biāo)為，它對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為（

）A． B．C． D．5．（2023春·黑龍江綏化·八年級?？计谀┮阎魏瘮?shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則a的值為6．（2021春·廣東梅州·九年級?？计谥校佄锞€經(jīng)過點(diǎn)，且．則拋物線的對稱軸是．7．（2022秋·湖南益陽·九年級?？计谥校佄锞€向左平移3個單位，向上平移2個單位后得到拋物線，那么原拋物線的解析式為．8．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）、、、、的圖象及性質(zhì)對稱軸軸軸頂點(diǎn)時，頂點(diǎn)是最低點(diǎn)，此時y有最值；時，頂點(diǎn)是最高點(diǎn)，此時y有最值．

最小值(或最大值)為0或或．增減性(或)時，隨的增大而；(或)時，隨的增大而．即在對稱軸的左邊，隨的增大而；在對稱軸的右邊，隨的增大而．(或)時，隨的增大而；(或)時，隨的增大而．即在對稱軸的左邊，隨的增大而；在對稱軸的右邊，隨的增大而．9．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）已知拋物線過點(diǎn)和，求該拋物線的解析式．10．（2022秋·河南商丘·九年級?？茧A段練習(xí)）已知二次函數(shù)．(1)將二次函數(shù)化為一般形式，并指出相應(yīng)的，，的值；(2)當(dāng)時，求的值；(3)當(dāng)時，求的值．B能力提升1．（2023·浙江溫州·校聯(lián)考三模）二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)與，，且是關(guān)于的方程的解，則下列選項正確的是(

)A． B．時， C． D．時，2．（2023·陜西榆林·?？既＃┮阎獟佄锞€上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的幾組數(shù)據(jù)如下：1322若點(diǎn)是拋物線上不同的兩個點(diǎn)，則的值為（

）A．3 B．4 C． D．3．（2022秋·甘肅蘭州·九年級?？计谀┤鐖D，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于，頂點(diǎn)是，則以下結(jié)論：①若，則或；②．其中正確的是（

）A．① B．② C．都對 D．都不對4．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）已知函數(shù)在上有最大值9，則常數(shù)a的值是（）A．1 B． C．或 D．1或5．（2022秋·四川南充·九年級?？茧A段練習(xí)）把二次函數(shù)的圖象沿軸向下平移1個單位長度，再沿軸向左平移3個單位長度后，此時拋物線相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是．6．（2022秋·河南鄭州·九年級校考階段練習(xí)）已知二次函數(shù)，當(dāng)時，y隨x的增大而減小，則k的范圍是．7．（2022秋·江蘇淮安·九年級校考階段練習(xí)）若點(diǎn)在拋物線上，則的值為．8．（2023·安徽蕪湖·統(tǒng)考三模）在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時，y隨x的增大而減小，則k的范圍是．9．（2022秋·河南鄭州·九年級校考階段練習(xí)）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A，B（A在B的左側(cè)），與一次函數(shù)的圖象交于A，C兩點(diǎn)．

(1)求b的值；(2)求的面積．10．（2022秋·河南鄭州·九年級校考階段練習(xí)）已知二次函數(shù)．(1)在所給的坐標(biāo)系中畫出這個函數(shù)的大致圖象；(2)利用函數(shù)圖象直接寫出：①當(dāng)時，x的取值范圍是______；②當(dāng)時，y的取值范圍是______．

C綜合素養(yǎng)1．（2022秋·河南鄭州·九年級校考階段練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的是（

）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④2．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）已知二次函數(shù)（h為常數(shù)），當(dāng)時，函數(shù)y的最大值為，則h的值為（）A．1或3 B．4或6 C．3或6 D．1或63．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）已知二次函數(shù)（h為常數(shù)），當(dāng)自變量x的值滿足時，與其對應(yīng)的函數(shù)值y的最大值為，則h的值為（）A．3或4 B．1或6 C．1或3 D．4或64．（2023春·四川達(dá)州·九年級?？计谥校┤鐖D，二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)在與之間，對稱軸為直線，函數(shù)