第17講圖形變換（原卷版）

第17講圖形變換考法一：平移變換1．（2019·江蘇蘇州·統考中考真題）如圖，菱形的對角線，交于點，，將沿點到點的方向平移，得到，當點與點重合時，點與點之間的距離為(

)A． B． C． D．2．（2020·江蘇鎮(zhèn)江·統考中考真題）如圖，在△ABC中，BC＝3，將△ABC平移5個單位長度得到△A1B1C1，點P、Q分別是AB、A1C1的中點，PQ的最小值等于_____．3．（2018·江蘇宿遷·統考中考真題）在平面直角坐標系中，將點（3，﹣2）先向右平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度，則所得點的坐標是_____．4．（2018·江蘇南京·統考中考真題）在平面直角坐標系中，點的坐標是.作點關于軸的對稱點，得到點，再將點向下平移個單位，得到點，則點的坐標是()，__________）.5．（2019·江蘇淮安·統考中考真題）如圖，方格紙上每個小正方形的邊長均為1個單位長度，點A、B都在格點上（兩條網格線的交點叫格點）．（1）將線段AB向上平移兩個單位長度，點A的對應點為點，點B的對應點為點，請畫出平移后的線段；（2）將線段繞點按逆時針方向旋轉，點的對應點為點，請畫出旋轉后的線段；（3）連接、，求的面積．1.平移的概念：在平面內，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動稱為平移，平移不改變圖形的形狀和大小．【拓展】（1）平移是運動的一種形式，是圖形變換的一種，本講的平移是指平面圖形在同一平面內的變換；（2）圖形的平移有兩個要素：一是圖形平移的方向，二是圖形平移的距離，這兩個要素是圖形平移的依據；（3）圖形的平移是指圖形整體的平移，經過平移后的圖形，與原圖形相比，只改變了位置，而不改變圖形的大小，這個特征是得出圖形平移的基本性質的依據．2．平移的基本性質：由平移的概念知，經過平移，圖形上的每一個點都沿同一個方向移動相同的距離，平移不改變圖形的形狀和大小，因此平移具有下列性質：經過平移，對應點所連的線段平行且相等，對應角相等．【拓展】（1）要注意正確找出“對應線段，對應角”，從而正確表達基本性質的特征；（2）“對應點所連的線段平行且相等”，這個基本性質既可作為平移圖形之間的性質，又可作為平移作圖的依據．1．（2021·江蘇揚州·?？家荒＃┤鐖D，在邊長為2的正方形ABCD中，連接對角線AC，將△ADC沿射線CA的方向平移得到△A'D'C'，分別連接BC'，AD'，BD'，則BC'＋BD'的最小值為________．2．（2023·江蘇徐州·徐州市第十三中學?？家荒＃┤鐖D，的頂點C在反比例函數的圖像上，且點A坐標為，點B坐標為，則k的值為_________．3．（2022·江蘇南京·統考二模）將函數y=的圖象先向左平移1個單位長度，再沿y軸翻折，所得到的圖象對應的函數表達式是________．4．（2022·江蘇淮安·模擬預測）如圖，方格紙中的每個小方格都是邊長為個單位的正方形，的頂點均在格點上．(1)將向右平移個單位，得到，試在圖中畫出；(2)將繞點順時針旋轉后得到，試在圖中畫出，并計算在上述旋轉過程中線段所掃過的面積．5．（2022·江蘇淮安·統考模擬預測）如圖，方格紙中每個小正方形的邊長都是1個單位長度，Rt△ABC的三個頂點坐標分別為A（﹣2，2），B（0，5），C（0，2）．(1)將△ABC以點C為旋轉中心旋轉180°，得到，請畫出的圖形；(2)平移△ABC，使點A的對應點坐標為（﹣2，﹣6），請畫出平移后對應的的圖形；（用黑水筆將圖形描清楚）(3)直接寫出的面積．考法二：軸對稱變換1．（2022·江蘇南通·統考中考真題）下面由北京冬奧會比賽項目圖標組成的四個圖形中，可看作軸對稱圖形的是（

）A． B．C． D．2．（2022·江蘇徐州·統考中考真題）下列圖案是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是（

）A． B． C． D．3．（2022·江蘇常州·統考中考真題）在平面直角坐標系中，點A與點關于軸對稱，點A與點關于軸對稱．已知點，則點的坐標是（

）A． B． C． D．4．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·統考中考真題）如圖，有一張平行四邊形紙片，，，將這張紙片折疊，使得點落在邊上，點的對應點為點，折痕為，若點在邊上，則長的最小值等于_________．5．（2022·江蘇揚州·統考中考真題）“做數學”可以幫助我們積累數學活動經驗．如圖，已知三角形紙片，第1次折疊使點落在邊上的點處，折痕交于點；第2次折疊使點落在點處，折痕交于點．若，則_____________．1．軸對稱：把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線對稱，也叫做這兩個圖形成軸對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的對應點，叫做對稱點.

2.軸對稱圖形：把一個圖形沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形.

3．軸對稱變換的性質

①關于直線對稱的兩個圖形是全等圖形.

②如果兩個圖形關于某直線對稱，對稱軸是對應點連線的垂直平分線.

③兩個圖形關于某直線對稱，如果它們對應線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上.

④如果兩個圖形的對應點連線被同一直線垂直平分，那么這兩個圖形關于這條直線對稱.

4．軸對稱作圖步驟

①找出已知圖形的關鍵點，過關鍵點作對稱軸的垂線，并延長至2倍，得到各點的對稱點．

②按原圖形的連結方式順次連結對稱點即得所作圖形。1．（2023·江蘇蘇州·統考一模）蘇州的景色非常優(yōu)美，其中以蘇州園林最具代表性．蘇州園林溯源于春秋，發(fā)展于晉唐，繁榮于兩宋，全勝于明清，現存五十多處．如圖是蘇州園林中的一種窗格，下面從窗格圖案中提取的幾何圖形，不一定是軸對稱圖形的是（

）A．矩形 B．正八邊形 C．平行四邊形 D．等腰三角形2．（2022·江蘇無錫·模擬預測）下列熟悉的幾何圖形中，是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是（

）A． B． C．D．3．（2015·江蘇無錫·統考一模）如圖，在一張矩形紙片ABCD中，AB＝4，BC＝8，點E，F分別在AD，BC上，將紙片ABCD沿直線EF折疊，點C落在AD上的一點H處，點D落在點G處，有以下四個結論：其中正確的有(

)個．①四邊形CFHE是菱形；

②EC平分∠DCH；

③線段BF的取值范圍為3≤BF≤4；

④當點H與點A重合時，EF＝．A．1 B．2 C．3 D．44．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·模擬預測）如圖，正方形中，對角線、交于點，折疊正方形紙片，使落在上，點恰好與上的點重合，展開后折痕分別交、于點、，連接，給出下列結論：①；②；③；④四邊形是菱形；⑤；⑥，則正方形的面積是，其中正確的是______只填寫序號5．（2022·江蘇蘇州·校考一模）如圖，在平面直角坐標系中，已知、．現將折疊，使點A落在OB邊的中點處，折痕為CD，其中點C在y軸上，點D在AB邊上，則點C的坐標為_____．考法三：旋轉變換1．（2022·江蘇鹽城·統考中考真題）如圖，在矩形中，，將線段繞點按逆時針方向旋轉，使得點落在邊上的點處，線段掃過的面積為___________．2．（2021·江蘇泰州·統考中考真題）如圖，木棒AB、CD與EF分別在G、H處用可旋轉的螺絲鉚住，∠EGB＝100°，∠EHD＝80°，將木棒AB繞點G逆時針旋轉到與木棒CD平行的位置，則至少要旋轉___°．3．（2019·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）將邊長為的正方形繞點按順時針方向旋轉到的位置（如圖），使得點落在對角線上，與相交于點，則＝_________.（結果保留根號）4．（2022·江蘇連云港·統考中考真題）【問題情境】在一次數學興趣小組活動中，小昕同學將一大一小兩個三角板按照如圖1所示的方式擺放．其中，，．【問題探究】小昕同學將三角板繞點B按順時針方向旋轉．(1)如圖2，當點落在邊上時，延長交于點，求的長．(2)若點、、在同一條直線上，求點到直線的距離．(3)連接，取的中點，三角板由初始位置（圖1），旋轉到點、、首次在同一條直線上（如圖3），求點所經過的路徑長．(4)如圖4，為的中點，則在旋轉過程中，點到直線的距離的最大值是_____．5．（2021·江蘇淮安·統考中考真題）如圖，方格紙上每個小正方形的邊長均為1個單位長度，△ABC的頂點A、B、C都在格點上（兩條網格線的交點叫格點）．請僅用無刻度的直尺按下列要求畫圖，并保留畫圖痕跡（不要求寫畫法）．（1）將△ABC繞點A按順時針方向旋轉90°，點B的對應點為B1，點C的對應點為C1，畫出△AB1C1；（2）連接CC1，△ACC1的面積為；（3）在線段CC1上畫一點D，使得△ACD的面積是△ACC1面積的．1．旋轉概念：把一個圖形繞著某一點O轉動一個角度的圖形變換叫做旋轉，點O叫做旋轉中心，轉動的角叫做旋轉角。

2.旋轉變換的性質：圖形通過旋轉，圖形中每一點都繞著旋轉中心沿相同的方向旋轉了同樣大小的角度，任意一對對應點與旋轉中心的連線都是旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等，對應線段相等，對應角相等，旋轉過程中，圖形的形狀、大小都沒有發(fā)生變化。

3．旋轉作圖步驟

①分析題目要求，找出旋轉中心，確定旋轉角；

②分析所作圖形，找出構成圖形的關鍵點.

③沿一定的方向，按一定的角度、旋轉各頂點和旋轉中心所連線段,從而作出圖形中各關鍵點的對應點.

④按原圖形連結方式順次連結各對應點.

4．中心對稱：把一個圖形繞著某一點旋轉180°，它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做對稱中心，這兩個圖形中的對應點叫做關于中心對稱的對稱點。

5.中心對稱圖形：把一個圖形繞著某一點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫中心對稱圖形。

6．中心對稱作圖步驟

①連結決定已知圖形的形狀、大小的各關鍵點與對稱中心，并且延長至2倍，得到各點的對稱點。

②按原圖形的連結方式順次連結對稱點即得所作圖形。7.圖形變換與圖案設計的基本步驟：①確定圖案的設計主題及要求；

②分析設計圖案所給定的基本圖案；

③利用平移、旋轉、軸對稱對基本圖案進行變換，實現由基本圖案到各部分圖案的有機組合；

④對圖案進行修飾，完成圖案。1．（2023·江蘇宿遷·統考一模）如圖，在中，．將繞頂點C旋轉得到，若點O是中點，點P是中點，在旋轉過程中，線段的最大值等于（

）A．4 B．6 C．8 D．102．（2022·江蘇常州·?？级＃┤鐖D，一個機器人最初面向北站立，按程序：每次移動都向前直走，然后逆時針轉動一個角度，每次轉動的角度增加．第一次直走后轉動，第二次直走后轉動，第三次直走后轉動，如此下去．那么它在移動過程中第二次面向西方時一共走了_____米．3．（2022·江蘇常州·常州市第二十四中學校聯考一模）如圖，將△ABC繞點A逆時針旋轉100°，得到△，若點在線段BC的延長線上，則∠的度數為___________．4．（2022·江蘇泰州·校聯考三模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A和點都在反比例函數的圖象上，如果，求直線OA的表達式．5．（2015·江蘇南京·統考一模）【問題提出】如圖①，四邊形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，AB＝2，BC＝1，求四邊形ABCD的面積．【嘗試解決】旋轉是一種重要的圖形變換，當圖形中有一組鄰邊相等時，往往可以通過旋轉解決問題．(1)如圖②，連接BD，由于AD＝CD，∠ADC＝60°，因此可以將△DCB繞點D按順時針方向旋轉60°，得到△DA，則△BD的形狀是；(2)在（1）的基礎上，求四邊形ABCD的面積．【類比應用】(3)如圖③，四邊形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝75°，∠ADC＝60°，AB＝2，BC＝，求四邊形ABCD的面積．一、單選題1．（2022秋·江蘇無錫·九年級統考期末）已知，，且的周長為，則的周長為()A．3 B．5 C．15 D．452．（2023春·江蘇泰州·九年級校聯考階段練習）2022年卡塔爾世界杯（英語：FIFAWorld

CupOatar2022）是第二十二屆世界杯足球賽，是歷史上首次在卡塔爾和中東國家境內舉行，也是第二次在亞洲舉行的世界杯足球賽．下列四個圖案是歷屆會徽圖案上的一部分圖形，其中軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．（2023秋·江蘇鹽城·九年級統考期末）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（

）．A． B． C． D．4．（2022秋·江蘇蘇州·九年級統考期末）如圖，C為⊙O上一點，是⊙O的直徑，，，現將繞點B按順時針方向旋轉30°后得到，交⊙O于點D，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．5．（2022秋·江蘇揚州·九年級統考期中）如圖，在中，，點D為的中點，點P在上，且，將繞點C在平面內旋轉，點P的對應點為點Q，連接，當時，的最大值為（）A．2 B． C． D．56．（2022·江蘇蘇州·模擬預測）現有一張紙片，∠BAF＝∠B＝∠C＝∠D＝∠FED＝∠F＝90°，AB＝AF＝2，EF＝ED＝1．有甲、乙兩種剪拼方案，如圖1，2所示將它們沿著虛線剪開后，各自要拼一個與原來面積相等的正方形，則（

）A．甲、乙都可以 B．甲、乙都不可以C．甲不可以、乙可以 D．甲可以、乙不可以二、填空題7．（2022秋·江蘇連云港·九年級連云港市新海實驗中學?？计谥校┤鐖D，將半徑為的扇形沿西北方向平移，得到扇形，若，則陰影部分的面積為_________．8．（2021秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級統考期中）如圖，△ABC內接于⊙O，將沿BC翻折，交AC與點D，連接BD，若∠BAC＝68°，則∠ABD＝____．9．（2022·江蘇揚州·九年級專題練習）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足為D，△ADB與△ADB'關于直線AD對稱，點B的對稱點是點B'，若∠CAB'＝14°，則∠B的度數為_________．10．（2021春·江蘇無錫·九年級?？茧A段練習）如圖，在中，是的角平分線，將繞點逆時針旋轉，如果點落在射線上，點落在點處，連接，那么_____．11．（2022秋·江蘇鹽城·九年級校聯考階段練習）如圖，在銳角中，，點為線段中點，點是線段上的動點，將繞點按逆時針方向旋轉，得到，點的對應點是點，在旋轉的過程中，線段長度最小值是___________．12．（2021·江蘇宿遷·統考三模）如圖在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2．D是AB上一動點，以DC為斜邊向右側作等腰Rt△DCE，使∠CED＝90°，連接BE，則線段BE的最小值為__________________．三、解答題13．（2022秋·江蘇南通·九年級校考期中）如圖，在平面直角坐標系內，的頂點坐標分別為，，．(1)平移，使點C移到點，畫出平移后的；(2)將繞點旋轉180°，得到，畫出旋轉后的；(3)與是否關于某點成中心對稱？若是，直接寫出對稱中心的坐標：若不是，請寫出理由．14．（2022秋·江蘇泰州·九年級泰州市姜堰區(qū)第四中學?？茧A段練習）在平面直角坐標系中，點A的坐標為（－4，1），點B的坐標為（－1，1），點C的坐標為（－1，3）．(1)將△ABC向右平移5個單位長度，再向下平移1個單位長度，得到△，作出△；(2)將Rt△繞點A1順時針旋轉90°后得到Rt△，試在圖中畫出圖形Rt△(3)直接寫出在上述旋轉過程中點所經過的路徑長．15．（2022秋·江蘇無錫·九年級?？计谥校┰谥?，，點、分別是邊、上的兩個點，點關于直線的對稱點恰好落在邊上且滿足．(1)請你利用無刻度的直尺和圓規(guī)畫出對稱軸；（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)若，，則線段____