第02講 矩形的性質(zhì)和判定（知識(shí)解讀+達(dá)標(biāo)檢測(cè)）（原卷版）-A4

第頁(yè)第02講矩形的性質(zhì)和判定【題型1矩形的概念和性質(zhì)】【題型2矩形和垂直平分線的綜合應(yīng)用】【題型3直角三角形斜邊上的中線】【題型4矩形的判定】【題型5矩形的性質(zhì)與判定綜合】考點(diǎn)1：矩形的性質(zhì)※矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫矩形。矩形是特殊的平行四邊形。※矩形的性質(zhì)：（1）具有平行四邊形的性質(zhì)（2）對(duì)角線相等（3）四個(gè)角都是直角。注意：（矩形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，有兩條對(duì)稱(chēng)軸）【題型1矩形的概念和性質(zhì)】【典例1】（2023秋?興寧市期末）矩形具有而平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是（）A．對(duì)角線相等 B．對(duì)角線互相平分 C．對(duì)邊平行 D．對(duì)角相等【變式1-1】（2023秋?禪城區(qū)期末）如圖，矩形ABCD兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O，若∠AOD＝60°，BC＝1，則BD的長(zhǎng)是．【變式1-2】（2023秋?遼中區(qū)期末）如圖，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3．在邊AD上取一點(diǎn)E，使BE＝BC．過(guò)點(diǎn)C作CF⊥BE，垂足為點(diǎn)F，則BF的長(zhǎng)為．【變式1-3】（2023秋?清遠(yuǎn)期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上不與A和D重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作AC和BD的垂線，垂足分別為E、F．求PE+PF＝．【題型2矩形和垂直平分線的綜合應(yīng)用】【典例2】（2023?呼和浩特）如圖，矩形ABCD中，對(duì)角線BD的垂直平分線MN分別交AD，BC于點(diǎn)M，N．若AM＝1，BN＝2，則BD的長(zhǎng)為（）A． B．3 C． D．【變式2-1】（2023春?海口期末）如圖，矩形ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O，CE垂直平分DO，AB＝4，則BE等于（）A．4 B．5 C．6 D．7【變式2-2】（2023春?新昌縣期末）如圖，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝8，對(duì)角線AC的垂直平分線與邊AD，BC分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，則EF的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．5【變式2-3】（2023春?環(huán)翠區(qū)期中）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，對(duì)角線AC的垂直平分線分別交AD，AC于點(diǎn)E，O，連接CE，則CE＝（）A．3 B．3.5 C．2.8 D．2.5考點(diǎn)2：直角三角形斜邊上的中線直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半【題型3直角三角形斜邊上的中線】【典例1】（2023秋?榆陽(yáng)區(qū)校級(jí)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC邊上的中線，且AD＝4，則BC＝（）A．6 B．8 C．9 D．10【變式1-1】（2023秋?雙橋區(qū)校級(jí)期末）如圖，在Rt△ABC中、點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，連接CD．若CD＝2，則AB的長(zhǎng)是（）A．2 B．3 C．4 D．5【變式1-2】（2023秋?城固縣期中）如圖，在Rt△ABC中，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，若∠B＝25°，則∠ADC的度數(shù)為（）A．50° B．48° C．55° D．25°【變式1-3】（2023秋?建湖縣期中）如圖，△ABC中∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，線段DE的兩個(gè)端點(diǎn)D、E分別在邊AC、BC上滑動(dòng)，且DE＝6，若點(diǎn)M、N分別是AB、DE的中點(diǎn)，則MN的最小值為（）A．2 B．3 C．3.5 D．4考點(diǎn)3：矩形的判定※矩形的判定：（1）有一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形叫矩形(根據(jù)定義)。（2）對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。（3）四個(gè)角都相等的四邊形是矩形?！绢}型4矩形的判定】【典例4】（2023秋?蘭州期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，點(diǎn)E在邊AD上，AE＝CF，連接BE．求證：四邊形BFDE是矩形．【變式4-1】（2023秋?清遠(yuǎn)期末）木藝活動(dòng)課上有一塊平行四邊形木板，現(xiàn)要判斷這塊木板是否是矩形，以下測(cè)量方案正確的是（）A．測(cè)量?jī)山M對(duì)邊是否相等 B．測(cè)量一組鄰邊是否相等 C．測(cè)量對(duì)角線是否相等 D．測(cè)量對(duì)角線是否互相垂直【變式4-2】（2023秋?白銀期末）如圖，建筑公司驗(yàn)收門(mén)框時(shí)要求是矩形．在?ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，下列驗(yàn)算方法錯(cuò)誤的是（）A．AD⊥DC B．OA＝OB C．AC＝BD D．OA＝OC【變式4-3】（2023秋?鳳城市期末）如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，下列條件中，能判定四邊形ABCD是矩形的是（）A．AB∥DC，AB＝CD B．AB∥CD，AD∥BC C．AC＝BD，AC⊥BD D．OA＝OB＝OC＝OD【變式4-4】（2023秋?子洲縣期末）如圖，點(diǎn)O是菱形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CE∥OD，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC，CE與DE相交于點(diǎn)E．求證：四邊形OCED是矩形．【題型5矩形的性質(zhì)與判定綜合】【典例5】（2023秋?振興區(qū)校級(jí)期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，BE∥AC交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，BD＝BE．（1）求證：四邊形ABCD是矩形；（2）若∠ABD＝60°，AC＝4，求矩形ABCD的面積．【變式5-1】（2022秋?焦作期末）如圖，在?ABCD中，連接BD，E為邊AD的中點(diǎn)，連接BE并延長(zhǎng)交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接BD，AF，已知∠BDF＝90°．（1）求證：四邊形ABDF是矩形；（2）若AD＝5，DF＝3，求四邊形ABCF的面積．【變式5-2】（2023?大慶）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為線段CD的中點(diǎn)，連接AC，AE，延長(zhǎng)AE，BC交于點(diǎn)F，連接DF，∠ACF＝90°．（1）求證：四邊形ACFD是矩形；（2）若CD＝13，CF＝5，求四邊形ABCE的面積．【變式5-3】（2023春?中山市期中）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，且CE＝BC，AE＝AB，AE、DC相交于點(diǎn)O，連接DE．（1）求證：四邊形ACED是矩形；（2）若∠AOD＝120°，AC＝4，求對(duì)角線CD的長(zhǎng)．一．選擇題（共12小題）1．（2022秋?禪城區(qū)期末）如圖，矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于O點(diǎn)．若∠AOB＝60°，AC＝8，則AB的長(zhǎng)為（）A．4 B． C．3 D．52．（2023秋?烏當(dāng)區(qū)月考）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O的直線分別交AD和BC于點(diǎn)E、F，AB＝2，AD＝3，則圖中陰影部分的面積為（）A．6 B．3 C．2 D．13．（2023秋?新鄭市校級(jí)月考）如圖，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC＝3：2，則∠BDE的度數(shù)為（）A．36° B．27° C．18° D．9°4．（2023春?澧縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是邊AB的中點(diǎn)，若AB＝12，則CD的長(zhǎng)是（）A．12 B．6 C．4 D．35．（2023春?高郵市期末）如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC和AC邊的中點(diǎn)，若添加一個(gè)條件，使四邊BEFD為矩形，則下列添加的條件可以是（）A．AB＝AC B．AB＝BC C．∠B＝90° D．∠C＝90°6．（2023春?七星區(qū)校級(jí)期中）下列條件中，不能判定四邊形為矩形的是（）A．對(duì)角線相等且互相平分的四邊形 B．有一組鄰角相等的平行四邊形 C．對(duì)角線相等且垂直的四邊形 D．有一組對(duì)角互補(bǔ)的平行四邊形7．（2023?衡水二模）依據(jù)所標(biāo)數(shù)據(jù)，下列一定為矩形的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．③8．（2023春?康巴什期末）為了研究特殊的四邊形，老師制作了一個(gè)教具（如圖1）：用釘子將四根木條釘成一個(gè)平行四邊形框架ABCD，并在A與C，B與D兩點(diǎn)之間分別用一根橡皮筋拉直固定，右手握住木條BC，用左手向右推動(dòng)框架至AB⊥BC（如圖2），觀察這個(gè)變化過(guò)程和所得到的四邊形，下列說(shuō)法正確的是（）①四邊形ABCD由平行四邊形變?yōu)榫匦?；②B、D兩點(diǎn)之間的距離不變；③四邊形ABCD的面積不變；④四邊形ABCD的周長(zhǎng)不變．A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④9．（2023春?貴州期末）如圖，已知在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AE⊥BD于點(diǎn)E．若∠DAE：∠BAE＝3：1，則∠EAC的度數(shù)是（）A．18° B．36° C．45° D．72°10．（2023春?尋烏縣期末）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別是AO、AD的中點(diǎn)，連接EF，若AB＝6，BC＝8，則EF的長(zhǎng)是（）A．5 B．2 C．2.5 D．311．（2023?南開(kāi)區(qū)一模）如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，3），則AC長(zhǎng)為（）A． B． C．5 D．412．（2023春?和縣校級(jí)期末）如圖，若正五邊形ABCDE和矩形AFCG按如圖方式疊放在一起，則∠DCG的度數(shù)為（）A．8° B．18° C．24° D．28°二．填空題（共4小題）13．（2023秋?佛山期末）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，若OA＝2，則BD的長(zhǎng)為．14．（2023秋?清遠(yuǎn)期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上不與A和D重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作AC和BD的垂線，垂足分別為E、F．求PE+PF＝．15．（2023秋?射洪市期末）如圖，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，E是CD上一點(diǎn)，把△ADE沿直線AE翻折，D點(diǎn)恰好落在BC邊上的F點(diǎn)處，則CE＝．16．（2023秋?蓮湖區(qū)期末）如圖，∠MON＝90°，矩形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在邊OM、ON上，當(dāng)B在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A隨之在OM上運(yùn)動(dòng)，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB＝6，BC＝2．運(yùn)動(dòng)過(guò)程中點(diǎn)D到點(diǎn)O的最大距離是．三．解答題（共3小題）17．（2023?平南縣一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在CD邊上，DF＝BE，連接AF，BF．（1）求證：四邊形BFDE是矩形；（2）若AF平分∠DAB，CF＝3，DF＝5，求四邊形BFDE的面積．18．（2022秋?楚雄州期末）如圖，在四邊形AB