數(shù)學教材習題點撥：第一章計數(shù)原理

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精教材習題點撥復習參考題A組1．(1）n2點撥:這里的“一件事情”是“得到展開式中的一項”．由于項的形式是aibj，而i，j都有n種取法．（2)525點撥：.(3)或點撥：第一種方法是先考慮有限制的這名歌手的出場位置；第二種方法是先考慮有限制的兩個位置．(4)5點撥：因為足球票無座，所以與順序無關,是組合問題．(5)35點撥：對于每一名同學來說，有3種講座選擇，而且允許5名同學聽同一個講座,因此是一個“有重復排列”問題，可以用分步乘法原理解答．（6)54點撥：對角線的條數(shù)等于連結(jié)正十二邊形中任意兩個頂點的線段的條數(shù)Ceq\o\al（2,12)，減去其中的正十二邊形的邊12條：.(7）n＋1點撥：展開式共有2n＋1項，且各項的系數(shù)與相應的二項式系數(shù)相同．2．解：(1)1956；（2)240。點撥：（1)只要數(shù)字是1,2，3,4，5,6中的，而且數(shù)字是不重復的一位數(shù)、二位數(shù)、三位數(shù)、四位數(shù)、五位數(shù)和六位數(shù)都符合要求．（2)只有首位數(shù)是6和5的六位數(shù)才符合要求．3．解:（1）56；(2）30.點撥：（1)；(2).4．解：98。點撥：所請的人的地位沒有差異,所以是組合問題．按照“其中兩位同學是否都請”為標準分為兩類．5．解：(1)；（2).點撥：(1）任意兩條直線都有交點，而且交點各不相同；（2）任意兩個平面都有一條交線，而且交線各不相同．6．解：（1)64446024；（2)442320；(3）446976.點撥：(1)＝64446024；(2)；(3）。7．解：103680.點撥：由于不同類型的書不能分開，所以可以將它們看成一個整體，相當于是3個元素的全排列．但同類書之間可以交換順序,所以可以分步對它們進行全排列．8．解:（1)－26x2。（2）Tk＋1＝(9x）18－k，由題意有18－k－＝0，解得k＝12，T13＝18564。（3)由題意，得,即，化簡，得n2－37n＋322＝0，解得n＝14或n＝23。（4）解法一:設Tk＋1′是(1－x）10展開式的第k＋1項，由題意,知所求展開式中x4的系數(shù)為T4＋1′，T3＋1′與T2＋1′的系數(shù)之和．T4＋1′＝（－x）4，T3＋1′＝（－x）3，T2＋1′＝（－x)2，所以x4的系數(shù)＝。解法二：原式＝（1－x3）(1－x)9＝(1－x3)（1－9x＋－＋＋…），所以x4的系數(shù)＝＋9＝135.點撥：（1）問，第三項是含x2的項,其系數(shù)是。9．證明：因為5555＋9＝(56－1)55＋9＝5655－·5654＋…＋·56－1＋9＝5655－·5654＋…＋·56＋8.因為5655－·5654＋…＋·56＋8中各項都能被8整除,所以5555＋9也能被8整除．B組1．（1）6點撥：，即(n＋1）·n＝21,解得n＝6.(2）192點撥：先排有特殊要求的,再排其他的．(3)34，43點撥：根據(jù)映射定義，只要集合A中任意一個元素在集合B中能夠找到唯一對應的元素，就能確定一個映射，對應的元素可以相同，所以是“有重復排列”問題．(4）6500000點撥:注意數(shù)字可以相同．根據(jù)分步乘法原理，有·104＝6500000種牌照．（5）58點撥：在從正方體的8個頂點中任取4個的所有種數(shù)Ceq\o\al(4，8）中，排除四點共面的12種情況,即正方體表面上的6種四點共面的情況，以及對角面上的四點共面的6種情況，因此三棱錐的個數(shù)為－12＝58.（6）1或－1點撥:令x＝1，這時（1－2x）n的值就是展開式中各項系數(shù)的和，其值是(1－2)n＝（－1)n＝2．解：（1）先從1,3，5中選1個數(shù)放在末位，有種情況；再從除0以外的4個數(shù)中選1個數(shù)放在首位，有種情況；然后將剩余的數(shù)進行全排列，有種情況；所以能組成的六位奇數(shù)有個．(2）解法一：由0,1，2，3,4，5組成的所有沒有重復數(shù)字的正整數(shù)的個數(shù)是，其中不大于201345的正整數(shù)的個數(shù)，當首位數(shù)字是2時，只有201345這1個；當首位數(shù)字是1時，有個．因此，所求的正整數(shù)的個數(shù)是。解法二:由0,1,2，3，4,5組成的所有沒有重復數(shù)字的正整數(shù)中，大于201345的正整數(shù)分為以下幾種情況：前4位數(shù)字為2013，只有201354,個數(shù)是1；同理，前3位數(shù)字為201，個數(shù)為；前2位數(shù)字為20，個數(shù)為；首位數(shù)字為2，個數(shù)為；首位數(shù)字為3，4，5中的一個,個數(shù)為。根據(jù)分類加法計數(shù)原理,所求的正整數(shù)的個數(shù)是.點撥：(2)解法一應用間接法，解法二應用分類加法計數(shù)原理．3．解:（1)；(2)．點撥：(1)分別從兩組平行線中各取兩條平行線，就可構成一個平行四邊形．（2)分別從三組平行平面中各取兩個平行平面,便可構成一個平行六面體．4．解：（1）種；(2).點撥:(1)先排不能放在最后的那道工序,有種排法；再排其余的4道工序，有種排法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得;(2)先排不能放在最前和最后的兩道工序，有種排法；再排其余的3道工序，有種排法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得．5．解：由等比數(shù)列求和公式得(1＋x)3＋（1＋x）4＋…＋(1＋x)n＋