2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章常用邏輯用語1.3全稱量詞與存在量詞學(xué)案含解析北師大版選修2-11

PAGE§3全稱量詞與存在量詞學(xué)問點(diǎn)一全稱量詞與全稱命題的定義[填一填](1)在命題的條件中，“全部”“每一個(gè)”“任何”“隨意一條”“一切”等都是在指定范圍內(nèi)，表示整體或全部的含義，這樣的詞叫作全稱量詞，像這樣含有全稱量詞的命題叫作全稱命題．(2)在某些全稱命題中，有時(shí)全稱量詞可以省略．[答一答]將下列不含全稱量詞的全稱命題改寫成含有全稱量詞的命題．(1)不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面；(2)平行線不相交；(3)對頂角相等．提示：(1)隨意不共線的三點(diǎn)都可以確定一個(gè)平面．(2)隨意兩條平行線都不相交．(3)每一組對頂角都相等．學(xué)問點(diǎn)二存在量詞與特稱命題的定義[填一填]在命題中，“有些”“至少有一個(gè)”“有一個(gè)”“存在”等都有表示個(gè)別或一部分的含義，這樣的詞叫作存在量詞，像這樣含有存在量詞的命題，叫作特稱命題．[答一答]下列各命題中含有的量詞分別是什么？(1)隨意實(shí)數(shù)的平方都是正數(shù)；(2)0乘以任何數(shù)都等于0；(3)任何一個(gè)實(shí)數(shù)都有相反數(shù)；(4)△ABC的內(nèi)角中有小于60°的角．提示：(1)隨意(2)任何(3)任何(4)有學(xué)問點(diǎn)三全稱命題、特稱命題的否定形式[填一填](1)要說明一個(gè)全稱命題是錯(cuò)誤的，只需找出一個(gè)反例就可以了．事實(shí)上是要說明這個(gè)全稱命題的否定是正確的．全稱命題的否定是特稱命題．(2)要說明一個(gè)特稱命題“存在一些對象滿意某一性質(zhì)”是錯(cuò)誤的，就要說明全部的對象都不滿意這一性質(zhì)．事實(shí)上是要說明這個(gè)特稱命題的否定是正確的．特稱命題的否定是全稱命題．[答一答]1．命題的否定和否命題的區(qū)分與聯(lián)系．提示：命題的否定是只否定命題的結(jié)論，而否命題是條件和結(jié)論同時(shí)否定，原命題和命題的否定必需一真一假，原命題和否命題沒有固定的真假關(guān)系．2．如何寫出含有量詞的命題的否定，原先的命題與它的否定在形式上有何改變？提示：寫含有量詞的否定，不只是否定命題的結(jié)論，還要把全稱量詞改為存在量詞或把存在量詞改為全稱量詞．1．關(guān)于全稱量詞和全稱命題的幾個(gè)留意點(diǎn)：(1)全稱量詞往往有肯定的限制范圍，該范圍干脆影響著全稱命題的真假．若對于給定范圍x∈M內(nèi)的一切值，全稱命題成立，則全稱命題為真命題．若能舉出反例，則為假命題．(2)有的命題省去全稱量詞，仍是全稱命題．如“有理數(shù)都是實(shí)數(shù)”就省去了全稱量詞“全部”．因此，要判定一個(gè)命題是否是全稱命題，除看它是否含有全稱量詞外，還要結(jié)合詳細(xì)意義．(3)在全稱命題中，可以包括多個(gè)變量．如：對隨意a，b∈R，(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3.全稱命題為真，意味著對限定集合中的每一個(gè)元素都具有某種性質(zhì)，使所給語句為真．當(dāng)然，當(dāng)a＝3，b＝5時(shí)，上式自然是正確的．2．特稱命題的真假判定：要判定一個(gè)特稱命題為真，只要在限定集合M中，能找到一個(gè)元素，使特稱命題成馬上可；否則，這一特稱命題為假．3．常見量詞的否定形式：類型一全稱命題、特稱命題的推斷【例1】推斷下列命題哪些是全稱命題，哪些是特稱命題．(1)對隨意x∈R，x2>0；(2)有些無理數(shù)的平方也是無理數(shù)；(3)正四面體的各面都是正三角形；(4)存在x＝1，使方程x2＋x－2＝0；(5)對隨意x∈{x|x>－1},3x＋4>0成立；(6)存在a＝1且b＝2，使a＋b＝3成立．【思路探究】先視察命題中所含的量詞，依據(jù)量詞的意義來推斷命題的類別．不含量詞的命題要留意結(jié)合命題的語境進(jìn)行分析．【解】(1)(5)含全稱量詞“隨意”，(3)雖不含有量詞，但其本義是全部正四面體的各面都是正三角形．故(1)(3)(5)為全稱命題；(2)(4)(6)為特稱命題，分別含有存在量詞“有些”“存在”“存在”．規(guī)律方法推斷一個(gè)命題是全稱命題還是特稱命題時(shí)，須要留意以下兩點(diǎn)：(1)若命題中含有量詞，則干脆推斷所含量詞是全稱量詞還是存在量詞；(2)若命題中不含有量詞，則要依據(jù)命題的實(shí)際意義進(jìn)行推斷．推斷下列語句是否是全稱命題或特稱命題．(1)有一個(gè)實(shí)數(shù)a，a不能取對數(shù)．(2)全部不等式的解集A，都有A?R.(3)三角函數(shù)都是周期函數(shù)嗎？(4)有的向量方向不定．(5)自然數(shù)的平方是正數(shù)．解：因?yàn)?1)(4)含有存在量詞，所以命題(1)(4)為特稱命題．又因?yàn)椤白匀粩?shù)的平方是正數(shù)”的實(shí)質(zhì)是“隨意一個(gè)自然數(shù)的平方都是正數(shù)”，所以(2)(5)均為全稱命題．(3)是疑問句，不是命題．綜上所述，(1)(4)為特稱命題，(2)(5)為全稱命題，(3)不是命題．類型二全稱命題、特稱命題的否定形式【例2】推斷下列命題的真假，并寫出這些命題的否定．(1)三角形的內(nèi)角和為180°；(2)每個(gè)二次函數(shù)的圖像都開口向下；(3)存在一個(gè)四邊形不是平行四邊形．【思路探究】全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題．【解】(1)是全稱命題且為真命題．命題的否定是：三角形的內(nèi)角和不全為180°，即存在一個(gè)三角形且它的內(nèi)角和不等于180°.(2)是全稱命題且為假命題．命題的否定是：存在一個(gè)二次函數(shù)的圖像開口不向下．(3)是特稱命題且為真命題．命題的否定是：全部的四邊形都是平行四邊形．規(guī)律方法解題時(shí)要留意存在量詞、全稱量詞的不同表示形式．特稱命題p：存在x∈A，p(x)，其否定為：隨意x∈A，非p(x)；全稱命題q：隨意x∈A，q(x)，其否定為：存在x∈A，非q(x)．推斷下列命題是全稱命題還是特稱命題，并寫出其否定形式．(1)有理數(shù)都能寫成分?jǐn)?shù)的形式；(2)方程x2＋2x＋8＝0有實(shí)數(shù)解；(3)有一個(gè)素?cái)?shù)是偶數(shù)；(4)對隨意m∈Z，都有m2－3>0成立．解：(1)是全稱命題，省略了全稱量詞“隨意一個(gè)”，即“隨意一個(gè)有理數(shù)都能寫成分?jǐn)?shù)的形式”，命題的否定為：存在一個(gè)有理數(shù)不能寫成分?jǐn)?shù)的形式，為假命題．(2)是特稱命題，即“存在實(shí)數(shù)x，使方程x2＋2x＋8＝0成立”，命題的否定為：對隨意實(shí)數(shù)x，方程x2＋2x＋8＝0不成立，為真命題．(3)是特稱命題，即“存在一個(gè)素?cái)?shù)是偶數(shù)”，命題的否定為：全部的素?cái)?shù)都不是偶數(shù)，為假命題(2是素?cái)?shù)，也是偶數(shù))．(4)命題中含有全稱量詞“隨意”，所以是全稱命題；否定形式：存在m∈Z，使m2－3≤0成立．類型三利用全稱命題、特稱命題求參數(shù)的取值范圍【例3】對于滿意0≤p≤4的一切實(shí)數(shù)，不等式x2＋px>4x＋p－3恒成立，試求x的取值范圍．【思路探究】本題看上去是一個(gè)不等式的問題，但是經(jīng)過等價(jià)轉(zhuǎn)化，確定適當(dāng)?shù)淖兞亢蛥?shù)，把它轉(zhuǎn)化為一個(gè)簡潔的一次函數(shù)，并借助函數(shù)圖像建立一個(gè)關(guān)于x的不等式組，從而求得x的取值范圍．【解】不等式x2＋px>4x＋p－3恒成立，即(x－1)p＋x2－4x＋3>0恒成立，構(gòu)造函數(shù)f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3.當(dāng)x＝1時(shí)，f(p)＝0，不滿意f(p)>0，∴f(p)表示p的一次函數(shù)．∵p∈[0,4]，∴函數(shù)f(p)的圖像是一條線段，要使f(p)>0在[0,4]上恒成立，需滿意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f0>0，,f4>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋3>0，,x－1·4＋x2－4x＋3>0，))解得x<－1或x>3.所以x的取值范圍是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．規(guī)律方法全稱命題的考查在試題中常常出現(xiàn)，如：“恒成立”問題就屬于這一題型．其命題方憧憬往是求式子中某個(gè)參數(shù)的取值范圍．而特稱命題常常以適合某種條件的結(jié)論“存在”“不存在”“是否存在”，求出相應(yīng)的參數(shù)的取值范圍．解題時(shí)的依據(jù)是：“假設(shè)存在，利用條件進(jìn)行推理論證，若導(dǎo)出合理結(jié)論，則存在性隨之解決；若導(dǎo)致沖突，則可否定存在性．”已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋x.對于隨意x∈[0,1]，|f(x)|≤1成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：|f(x)|≤1?－1≤f(x)≤1?－1≤ax2＋x≤1，x∈[0,1]．①當(dāng)x＝0時(shí)，a≠0，①式明顯成立；當(dāng)x∈(0,1]時(shí)，①式化為－eq\f(1,x2)－eq\f(1,x)≤a≤eq\f(1,x2)－eq\f(1,x)在x∈(0,1]上恒成立．設(shè)t＝eq\f(1,x)，則t∈[1，＋∞)，則有－t2－t≤a≤t2－t，所以只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥－t2－tmax＝－2，,a≤t2－tmin＝0，))?－2≤a≤0，又a≠0，故－2≤a<0.綜上，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－2,0)．——規(guī)范解答——依據(jù)全稱命題、特稱命題的真假確定參數(shù)范圍【例4】若命題“存在x0∈R，使axeq\o\al(2,0)＋2x0＋a<0成立”是真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【思路分析】解決本題的關(guān)鍵是將已知的特稱命題是真命題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)在x軸下方肯定有圖象，這是函數(shù)思想的應(yīng)用．【解】設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2＋2x＋a，原命題為真等價(jià)于函數(shù)f(x)在x軸下方有圖象．當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝2x，滿意題意；當(dāng)a<0時(shí)，二次函數(shù)f(x)的圖象是開口向下的拋物線，在x軸下方肯定有圖象，滿意題意；當(dāng)a>0時(shí)，只需4－4a2>0，所以0<a<1.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，1)．(1)若命題“對于隨意實(shí)數(shù)x，不等式sinx＋cosx>m恒成立”是真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若命題“存在實(shí)數(shù)x，使不等式sinx＋cosx>m有解”是真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：(1)令y＝sinx＋cosx，x∈R，∵y＝sinx＋cosx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))≥－eq\r(2)，又∵隨意x∈R，sinx＋cosx>m恒成立，∴只要m<－eq\r(2)即可．∴所求m的取值范圍是(－∞，－eq\r(2))．(2)令y＝sinx＋cosx，x∈R，∵y＝sinx＋cosx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))∈[－eq\r(2)，eq\r(2)]．又∵存在x∈R，使sinx＋cosx>m有解，∴只要m<eq\r(2)即可，∴所求m的取值范圍是(－∞，eq\r(2))．1．下列特稱命題是真命題的是(B)A．存在x∈R，使x2<0B．有的三角形是等邊三角形C．有的偶數(shù)不能被2整除D．平面內(nèi)存在一個(gè)四邊形的內(nèi)角和小于360°解析：A，C，D均為假命題，B是真命題．2．給出下列四個(gè)命題：①對隨意的x∈R，x2>0；②存在x∈R，使得x2≤x成立；③對于集合M，N，若x∈M∩N，則x∈M且x∈N；④存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tanα＋tanβ.其中真命題的個(gè)數(shù)是(D)A．0 B．1C．2 D．3解析：存在x＝0，使x2＝0，故①是假命題；明顯②③④都是真命題．3．命題“某些平行四邊形是矩形”的否定是(C)A．某些平行四邊形不是矩形B．每一個(gè)平行四邊形都是矩形C．每一個(gè)平行四邊形都不是矩形D．以上都不對解析：先否定結(jié)論，再把量