2025屆高考數學一輪復習第九章概率統(tǒng)計與統(tǒng)計案例第三節(jié)幾何概型課時規(guī)范練文含解析北師大版

PAGE第九章概率、統(tǒng)計與統(tǒng)計案例第三節(jié)幾何概型課時規(guī)范練A組——基礎對點練1．某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現，紅燈持續(xù)時間為40秒．若一名行人來到該路口遇到紅燈，則至少須要等待15秒才出現綠燈的概率為()A.eq\f(7,10) B.eq\f(5,8)C.eq\f(3,8) D.eq\f(3,10)解析：記“至少須要等待15秒才出現綠燈”為事務A，則P(A)＝eq\f(25,40)＝eq\f(5,8).答案：B2．(2024·武漢武昌區(qū)調研)在區(qū)間[0，1]上隨機取一個數x，則事務“l(fā)og0.5(4x－3)≥0”發(fā)生的概率為 A.eq\f(3,4) B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,4)解析：因為log0.5(4x－3)≥0，所以0<4x－3≤1，即eq\f(3,4)<x≤1，所以所求概率P＝eq\f(1－\f(3,4),1－0)＝eq\f(1,4)，故選D.答案：D3．在棱長為3的正方體ABCD－A1B1C1D1內任取一點P，則點P到正方體各面的距離都不小于1的概率為 A.eq\f(1,27) B.eq\f(26,27)C.eq\f(8,27) D.eq\f(1,8)解析：正方體中到各面的距離都不小于1的點的集合是一個中心與原正方體中心重合，且棱長為1的正方體，該正方體的體積是V1＝13＝1，而原正方體的體積為V＝33＝27，故所求的概率P＝eq\f(V1,V)＝eq\f(1,27).答案：A4．已知事務“在矩形ABCD的邊CD上隨機取一點P，使△APB的最大邊是AB”發(fā)生的概率為eq\f(1,2)，則eq\f(AD,AB)＝ ()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,4)C.eq\f(\r(3),2) D.eq\f(\r(7),4)解析：由已知，點P的分界點恰好是邊CD的四等分點，由勾股定理可得AB2＝(eq\f(3,4)AB)2＋AD2，解得(eq\f(AD,AB))2＝eq\f(7,16)，即eq\f(AD,AB)＝eq\f(\r(7),4)，故選D.答案：D5．在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))上隨機取一個數x，則cosπx的值介于eq\f(\r(2),2)與eq\f(\r(3),2)之間的概率為 ()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,5) D.eq\f(1,6)解析：區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))的長度為1，滿意cos(πx)的值介于eq\f(\r(2),2)與eq\f(\r(3),2)之間的x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，－\f(1,6)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)，\f(1,4)))，區(qū)間長度為eq\f(1,6)，由幾何概型概率公式得P＝eq\f(\f(1,6),1)＝eq\f(1,6).答案：D6．如圖，正三角形ABC內的圖形來自中國古代的太極圖．正三角形內切圓中的黑色部分和白色部分關于正三角形的中心成中心對稱．在正三角形內隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是 ()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3)π,18) D.eq\f(2\r(3)π,9)解析：設正三角形邊長為a，則圓的半徑為eq\f(\r(3)a,6)，正三角形的面積為eq\f(\r(3),4)a2，圓的面積為eq\f(πa2,12).由圖形的對稱性可知，太極圖中黑白部分面積相等，即各占圓面積的一半．由幾何概型概率的計算公式得，此點取自黑色部分的概率是eq\f(\f(1,2)·\f(πa2,12),\f(\r(3),4)a2)＝eq\f(\r(3)π,18).故選C.答案：C7．在棱長為2的正方體內部隨機取一點，則該點到正方體8個頂點的距離都不小于1的概率為 ()A.eq\f(1,6) B.eq\f(5,6)C.eq\f(π,6) D．1－eq\f(π,6)解析：符合條件的點P落在棱長為2的正方體內，且以正方體的每一個頂點為球心，半徑為1的eq\f(1,8)球體外；依據幾何概型的概率計算公式得，P＝eq\f(23－8×\f(1,8)×π×\f(4,3)×13,23)＝1－eq\f(π,6).答案：D8．已知O，A，B三地在同一水平面內，A地在O地正東方向2km處，B地在O地正北方向2km處，某測繪隊員在A，B之間的直線馬路上任選一點C作為測繪點，用測繪儀進行測繪，O地為一磁場，距離其不超過eq\r(3)km的范圍內會對測繪儀等電子儀器形成干擾，使測量結果不精確，則該測繪隊員能夠得到精確數據的概率是 ()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C．1－eq\f(\r(3),2) D．1－eq\f(\r(2),2)解析：在等腰直角三角形OAB中，以O為圓心，eq\r(3)為半徑的圓截AB所得的線段長為2，而|AB|＝2eq\r(2)，故該測繪隊員能夠得到精確數據的概率是1－eq\f(2,2\r(2))＝1－eq\f(\r(2),2)，故選D.答案：D9．在區(qū)間[－2，4]上隨機地取一個數x，若x滿意|x|≤m的概率為eq\f(5,6)，則m＝________．解析：由幾何概型知eq\f(5,6)＝eq\f(m－（－2）,6)，解得m＝3.答案：310．利用計算機產生0～1之間的勻稱隨機數a，則事務“3a－1>0解析：由題意知0≤a≤1，事務“3a－1>0”發(fā)生時，a>eq\f(1,3)且a≤1，取區(qū)間長度為測度，由幾何概型的概率公式得其概率P＝eq\f(1－\f(1,3),1)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)B組——素養(yǎng)提升練11．(2024·洛陽統(tǒng)考)在區(qū)間(0，2)內隨機取一個實數a，則滿意eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y≥0，,y≥0，,x－a≤0))的點(x，y)構成區(qū)域的面積大于1的概率是 ()A.eq\f(1,8) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,2) D.eq\f(3,4)解析：作出約束條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y≥0，,y≥0，,x－a≤0))表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，則陰影部分的面積S＝eq\f(1,2)×a×2a＝a2＞1，∴1＜a＜2，依據幾何概型的概率計算公式得所求概率為eq\f(2－1,2－0)＝eq\f(1,2).答案：C12．(2024·湖北五校聯考)已知定義在區(qū)間[－3，3]上的函數f(x)＝2x＋m滿意f(2)＝6，在[－3，3]上任取一個實數x，則使得f(x)的值不小于4的概率為()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)解析：∵f(2)＝6，∴22＋m＝6，解得m＝2.由f(x)≥4，得2x＋2≥4，∴x≥1，而x∈[－3，3]，故依據幾何概型的概率計算公式，得f(x)的值不小于4的概率P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).答案：B13.如圖所示，A是圓上肯定點，在圓上其他位置任取一點A′，連接AA′，得到一條弦，則此弦的長度小于或等于半徑長度的概率為 ()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,4)解析：當AA′的長度等于半徑長度時，∠AOA′＝eq\f(π,3)，A′點在A點左右都可取得，故由幾何概型的概率計算公式得P＝eq\f(\f(2π,3),2π)＝eq\f(1,3).答案：C14．已知正棱錐S-ABC的底面邊長為4，高為3，在正棱錐內任取一點P，使得VP-ABC＜eq\f(1,2)VS-ABC的概率是 ()A.eq\f(3,4) B.eq\f(7,8)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)解析：由題意知，當點P在三棱錐的中截面以下時，滿意VP-ABC＜eq\f(1,2)VS-ABC，故使得VP-ABC＜eq\f(1,2)VS-ABC的概率P＝eq\f(大三棱錐的體積－小三棱錐的體積,大三棱錐的體積)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(7,8).答案：B15．在區(qū)間[－π，π]內隨機取兩個數分別記為a，b，則使得函數f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零點的概率為 ()A.eq\f(7,8) B.eq\f(3,4)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)解析：建立如圖所示的平面直角坐標系，則試驗的全部結果構成的區(qū)域為正方形ABCD及其內部．要使函數f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零點，則必需有Δ＝4a2－4(－b2＋π)≥0，即a2＋b2≥π，其表示的區(qū)域為圖中陰影部分．故所求概率P＝eq\f(S陰影,S正方形)＝