2025屆湖南省長(zhǎng)沙市開福區(qū)長(zhǎng)沙一中數(shù)學(xué)高二上期末檢測(cè)模擬試題含解析

2025屆湖南省長(zhǎng)沙市開福區(qū)長(zhǎng)沙一中數(shù)學(xué)高二上期末檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，在四面體中，，，兩兩垂直，已知，，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B.C. D.2．19世紀(jì)法國(guó)著名數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日，創(chuàng)立了畫法幾何學(xué)，推動(dòng)了空間幾何學(xué)的獨(dú)立發(fā)展，提出了著名的蒙日?qǐng)A定理：橢圓的兩條切線互相垂直，則切線的交點(diǎn)位于一個(gè)與橢圓同心的圓上，稱為蒙日?qǐng)A，且該圓的半徑等于橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的平方和的算術(shù)平方根．若圓與橢圓的蒙日?qǐng)A有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則b的值為（）A. B.C. D.3．設(shè)，，則“”是“”的A.充要條件 B.充分而不必要條件C.必要而不充分條件 D.既不充分也不必要條件4．已知的周長(zhǎng)等于10，，通過(guò)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，頂點(diǎn)的軌跡方程可以是（）A. B.C. D.5．設(shè)函數(shù)在R上存在導(dǎo)數(shù)，對(duì)任意的有，若，則k的取值范圍是（）A. B.C. D.6．已知是空間的一個(gè)基底，若，，若，則（）A B.C.3 D.7．已知，若與的展開式中的常數(shù)項(xiàng)相等，則（）A.1 B.3C.6 D.98．某雙曲線的一條漸近方程為，且焦點(diǎn)為，則該雙曲線的方程是（）A. B.C. D.9．散點(diǎn)圖上有5組數(shù)據(jù)：據(jù)收集到的數(shù)據(jù)可知，由最小二乘法求得回歸直線方程為，則的值為（）A.54.2 B.87.64C.271 D.438.210．不等式的解集為（）A.或 B.C. D.11．從某個(gè)角度觀察籃球(如圖1)，可以得到一個(gè)對(duì)稱的平面圖形，如圖2所示，籃球的外輪形為圓O，將籃球表面的粘合線看成坐標(biāo)軸和雙曲線，若坐標(biāo)軸和雙曲線與圓O的交點(diǎn)將圓O的周長(zhǎng)八等分，AB＝BC＝CD，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.12．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，記直線的斜率分別為，則______.14．某工廠年前加緊手套生產(chǎn)，設(shè)該工廠連續(xù)5天生產(chǎn)的手套數(shù)依次為，，，，（單位：萬(wàn)只），若這組數(shù)據(jù)，，，，的方差為4，且，，，，的平均數(shù)為8，則該工廠這5天平均每天生產(chǎn)手套______萬(wàn)只15．=______.16．若函數(shù)在（0，+∞）內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn),則a的值為_____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在如圖所示的多面體中，且，，，且，，且，平面，（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的余弦值18．（12分）已知圓，點(diǎn).（1）若，半徑為的圓過(guò)點(diǎn)，且與圓相外切，求圓的方程；（2）若過(guò)點(diǎn)的兩條直線被圓截得的弦長(zhǎng)均為，且與軸分別交于點(diǎn)、，，求.19．（12分）已知，是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn).（1）求的解析式；（2）記，，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，有一條長(zhǎng)度為3的線段，端點(diǎn)，分別在軸、軸上運(yùn)動(dòng)，為線段上一點(diǎn)，且.（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）已知不過(guò)原點(diǎn)的直線與相交于，兩點(diǎn)，且線段始終被直線平分.求的面積取最大時(shí)直線的方程.21．（12分）已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，三個(gè)頂點(diǎn)（左、右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)）構(gòu)成的三角形的面積為，離心率為方程的根.（1）求橢圓方程；（2）橢圓的一個(gè)內(nèi)接平行四邊形的一組對(duì)邊分別過(guò)點(diǎn)和，如圖，若這個(gè)平行四邊形面積為，求平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)的乘積.22．（10分）已知雙曲線C：(a>0，b>0）的離心率為，且雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2（1）求雙曲線C的方程；（2）已知直線x－y+m=0與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B，且線段AB中點(diǎn)在圓x2＋y2=17上，求m的值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】利用三線垂直建立空間直角坐標(biāo)系，將線面角轉(zhuǎn)化為直線的方向向量和平面的法向量所成的角，再利用空間向量進(jìn)行求解.【詳解】以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示），則，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，，所以平面的一個(gè)法向量為；設(shè)直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為.故選：D.2、B【解析】由題意求出蒙日?qǐng)A方程，再由兩圓只有一個(gè)交點(diǎn)可知兩圓相切，從而列方程可求出b的值【詳解】由題意可得橢圓的蒙日?qǐng)A的半徑，所以蒙日?qǐng)A方程為，因?yàn)閳A與橢圓的蒙日?qǐng)A有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，所以兩圓相切，所以，解得，故選：B3、C【解析】不能推出，反過(guò)來(lái)，若則成立，故為必要不充分條件.4、A【解析】根據(jù)橢圓的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)等于10，，所以，因此點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，且不在直線上，因此有，所以頂點(diǎn)的軌跡方程可以是，故選：A5、C【解析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后利用單調(diào)性，對(duì)題干條件變形后得到不等關(guān)系，求出答案.【詳解】令，則恒成立，故單調(diào)遞增，變形為，即，從而，解得：，故k的取值范圍是故選：C6、C【解析】由，可得存在實(shí)數(shù)，使，然后將代入化簡(jiǎn)可求得結(jié)果【詳解】，，因?yàn)?，所以存在?shí)數(shù)，使，所以，所以，所以，得，，所以，故選：C7、B【解析】根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式即可求出【詳解】的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為，而的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為，所以，又，所以故選：B8、D【解析】設(shè)雙曲線的方程為，利用焦點(diǎn)為求出的值即可.【詳解】因?yàn)殡p曲線的一條漸近方程為，且焦點(diǎn)為，所以可設(shè)雙曲線的方程為，則，，所以該雙曲線方程為.故選：D.9、C【解析】通過(guò)樣本中心點(diǎn)來(lái)求得正確答案.【詳解】，故，則，故.故選：C10、A【解析】根據(jù)一元二次不等式的解法可得答案.【詳解】由不等式可得或不等式的解集為或故選：A11、D【解析】設(shè)出雙曲線方程，通過(guò)做標(biāo)準(zhǔn)品和雙曲線與圓O的交點(diǎn)將圓的周長(zhǎng)八等分，且AB＝BC＝CD，推出點(diǎn)在雙曲線上，然后求出離心率即可.【詳解】設(shè)雙曲線的方程為，則，因?yàn)锳B＝BC＝CD，所以，所以，因?yàn)樽鴺?biāo)軸和雙曲線與圓O的交點(diǎn)將圓O的周長(zhǎng)八等分，所以在雙曲線上，代入可得，解得，所以雙曲線的離心率為.故選：D12、B【解析】利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則即可求導(dǎo).【詳解】，故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】過(guò)焦點(diǎn)作直線要分為有斜率和斜率不存在兩種情況進(jìn)行分類討論.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)當(dāng)過(guò)焦點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)，直線方程可設(shè)為，不妨令則，故當(dāng)過(guò)焦點(diǎn)的直線斜率存在時(shí)，直線方程可設(shè)為，令由整理得則，綜上，故答案為：14、2【解析】結(jié)合方差、平均數(shù)的公式列方程，化簡(jiǎn)求得正確答案.【詳解】依題意設(shè)，則，.故答案為：15、【解析】根據(jù)被積函數(shù)（）表示一個(gè)半圓，利用定積分的幾何意義即可得解.【詳解】被積函數(shù)（）表示圓心為，半徑為2的圓的上半部分，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了利用定積分的幾何意義來(lái)求定積分，在用該方法求解時(shí)需注意被積函數(shù)的在給定區(qū)間內(nèi)的函數(shù)值符號(hào)，本題屬于中檔題.16、a＝3【解析】對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),分類討論函數(shù)單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性結(jié)合已知可以求出a的值.【詳解】∵函數(shù)在（0，+∞）內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn),∴f′（x）＝2x（3x﹣a），x∈（0，+∞），①當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＝2x（3x﹣a）＞0,函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增,f（0）＝1，f（x）在（0，+∞）上沒(méi)有零點(diǎn),舍去；②當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）＝2x（3x﹣a）＞0的解為x，∴f（x）在（0,）上遞減,在（,+∞）遞增，又f（x）只有一個(gè)零點(diǎn),∴f（）1＝0，解得a＝3故答案為：a＝3【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究已知函數(shù)的零點(diǎn)求參數(shù)取值問(wèn)題,考查了分類討論和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得，，如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，證明即可得證；（2）求出平面與平面的法向量，再利用向量法即可得解.【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)槠矫?，平面，平面，所以，且，因?yàn)?，如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，所以，，，所以；【小問(wèn)2詳解】，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，有，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，有，設(shè)平面和平面的夾角為，，所以平面和平面的夾角的余弦值為18、（1）或（2）【解析】（1）設(shè)圓心，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的方程組，解出、的值，即可得出圓的方程；（2）分析可知直線、的斜率存在，設(shè)過(guò)點(diǎn)且斜率存在的直線的方程為，即，利用勾股定理可得出，可知直線、的斜率、是關(guān)于的二次方程的兩根，求出、的坐標(biāo)，結(jié)合韋達(dá)定理可求得的值.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)圓心，圓的圓心為，由題意可得，解得或，因此，圓的方程為或.【小問(wèn)2詳解】解：若過(guò)點(diǎn)的直線斜率不存在，則該直線的方程為，圓心到直線的距離為，不合乎題意.設(shè)過(guò)點(diǎn)且斜率存在的直線的方程為，即，由題意可得，整理可得，設(shè)直線、的斜率分別為、，則、為關(guān)于的二次方程的兩根，，由韋達(dá)定理可得，，在直線的方程中，令，可得，即點(diǎn)在直線的方程中，令，可得，即點(diǎn)，所以，，解得.19、（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)極值點(diǎn)的定義，可知方程的兩個(gè)解即為，，代入即得結(jié)果；（2）根據(jù)題意，將方程轉(zhuǎn)化為，則函數(shù)與直線在區(qū)間，上有三個(gè)交點(diǎn)，進(jìn)而求解的取值范圍【詳解】解：（1）因?yàn)椋愿鶕?jù)極值點(diǎn)定義，方程的兩個(gè)根即為，，，代入，，可得，解之可得，，故有；（2）根據(jù)題意，，，，根據(jù)題意，可得方程在區(qū)間，內(nèi)有三個(gè)實(shí)數(shù)根，即函數(shù)與直線在區(qū)間，內(nèi)有三個(gè)交點(diǎn)，又因?yàn)?，則令，解得；令，解得或，所以函數(shù)在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；又因?yàn)?，，，，函?shù)圖象如下所示：若使函數(shù)與直線有三個(gè)交點(diǎn)，則需使，即20、（1）（2）【解析】(1)設(shè)，根據(jù)題意可得，，利用兩點(diǎn)之間的距離公式表示出，化簡(jiǎn)即可得出結(jié)果；(2)設(shè)，，線段的中點(diǎn)為，利用兩點(diǎn)坐標(biāo)表示直線斜率的公式和點(diǎn)差法求出直線的斜率，設(shè)的方程為，聯(lián)立橢圓方程并消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理表示、進(jìn)而得出弦長(zhǎng)，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出原點(diǎn)到的距離，結(jié)合基本不等式計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，由為線段上一點(diǎn)，且，得，，又，則，整理可得，所以軌跡的方程為；【小問(wèn)2詳解】設(shè)，，線段的中點(diǎn)為.∵在直線上，∴，∵A，在軌跡上，∴兩式相減，可得，∴，即直線的斜率為，依題意，可設(shè)直線的方程為，由可得，則解得且由韋達(dá)定理，得，∴∵原點(diǎn)到直線的距離為∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，即時(shí)，三角形的面積最大，此時(shí)直線的方程為.21、（1）；（2）.【解析】（1）由橢圓離心率的性質(zhì)及一元二次方程的根可得，再由橢圓參數(shù)關(guān)系、已知三角形面積求橢圓參數(shù)，即可得橢圓方程.（2）設(shè)直線，聯(lián)立橢圓方程并結(jié)合韋達(dá)定理求，進(jìn)而可得，再根據(jù)求參數(shù)t，可得，結(jié)合橢圓的對(duì)稱性求，即可求結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】由的根為，所以橢圓的離心率，依題意，，解得，即橢圓的