003第三章連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析

§3.1信號的正交分解與傅里葉級數(shù)一、三角傅里葉級數(shù)二、指數(shù)傅里葉級數(shù)三、函數(shù)的奇偶性與諧波含量一、三角傅里葉級數(shù)當所取函數(shù)為無窮多個時，函數(shù)集{1,cosΩt,cos2Ωt,…,sinΩt,sin2Ωt,…}是一個完備正交函數(shù)集。周期為T的函數(shù)f(t)可以展開成三角級數(shù)兩點說明：1、f(t)必須滿足狄里赫萊(Dirichlet)條件①、在一個周期內絕對可積；②、在一個周期內極值數(shù)目有限；③、f(t)

在一個周期內或連續(xù)或有有限個第一類間斷點（當t從較大和較小時間趨近與間斷點時函數(shù)f(t)趨于不同的有限極值），在電子技術中信號一般都滿足狄里赫萊條件。周期為T的函數(shù)f(t)可以展開成三角級數(shù)直流分量基波分量n次諧波分量(nΩ為頻率)§3.1信號的正交分解與傅里葉級數(shù)例：將圖示信號f(t)用傅里葉級數(shù)表示。周期延拓當0<t<T時f(t)=f1(t)解：當0<t<T時f(t)=f1(t)說明：非周期信號通過周期延拓也可展開成傅里葉級數(shù)，但在結果中應標明t的取值范圍。

當n→∞時正交函數(shù)集完備，諧波分量無限多，均方誤差為0；§3.1信號的正交分解與傅里葉級數(shù)一、三角傅里葉級數(shù)當所取函數(shù)為無窮多個時，函數(shù)集{1,cosΩt,cos2Ωt,…,sinΩt,sin2Ωt,…}是一個完備正交函數(shù)集。二、指數(shù)傅里葉級數(shù)周期為T的任意函數(shù)f(t)可以展開成指數(shù)傅里葉級數(shù)。稱為：n次諧波分量的復數(shù)振幅指數(shù)傅里葉級數(shù)與三角傅里葉級數(shù)的關系二、指數(shù)傅里葉級數(shù)n次諧波分量的復數(shù)振幅小結：1、三角級數(shù)、指數(shù)級數(shù)兩者形式不同實質卻相同。實用中指數(shù)級數(shù)更方便，因為只要求一個分量系數(shù)。2、指數(shù)級數(shù)中有nΩ和-nΩ項，并不意味著有負頻率，而是ejnΩt和e–jnΩt兩者一起構成一個n次諧波分量。3、分量系數(shù)的模An是關于n的偶函數(shù)，相位Φn是關于n的奇函數(shù)。4、不管是三角級數(shù)還是指數(shù)級數(shù)，在求分量系數(shù)時積分下限t1可任取，只要積分區(qū)間為T即可。為計算方便通常取5、周期函數(shù)可展成傅里葉級數(shù)；非周期函數(shù)通過周期延拓也可展開，但要注明適用的時間范圍。三、函數(shù)的奇偶性與諧波含量偶函數(shù)、奇函數(shù)奇諧函數(shù)、偶諧函數(shù)三、函數(shù)的奇偶性與諧波含量1、偶函數(shù)函數(shù)的波形關于縱軸對稱f(t)=f(-t)結論：偶函數(shù)的三角傅里葉級數(shù)中不含正弦項，只含余弦項（可能含直流分量）。求an時只要在的區(qū)間內積分。2、奇函數(shù)函數(shù)的波形關于原點對稱f(t)=-f(-t)結論：奇函數(shù)的三角傅里葉級數(shù)中只含正弦項，不含余弦項和直流分量。求bn時也只要在的區(qū)間內積分。非奇非偶的函數(shù)？總可分解為一個奇分量（oddcomponent）和一個偶分量（evencomponent）的疊加。例：t

偶分量奇分量常數(shù)，無需再分解只含有奇次諧波分量3、奇諧函數(shù)相鄰兩個半周期對橫軸成鏡象關系結論：

奇諧函數(shù)只含有奇次諧波，但可有正弦也可有余弦。

注意不要與奇函數(shù)混淆。奇函數(shù)時只含正弦，可有奇次、偶次諧波；相鄰兩個半周期完全重疊

4、偶諧函數(shù)只含有偶次諧波即是偶函數(shù)，又是偶諧函數(shù)三、函數(shù)的奇偶性與諧波含量偶函數(shù)的三角傅里葉級數(shù)中不含正弦項，只含余弦項（可能含直流分量）。奇函數(shù)的三角傅里葉級數(shù)中只含正弦項，不含余弦項和直流分量。奇諧函數(shù)只含有奇次諧波，可有正弦也可有余弦偶諧函數(shù)只含有偶次諧波，可有正弦也可有余弦§3.2周期信號的頻譜

信號的頻譜圖可以更直觀地了解信號的頻譜結構振幅相位頻率研究頻譜：研究An及φn關于頻率的關系既是一個奇函數(shù)又是一個奇諧函數(shù)n為奇數(shù)§3.2周期信號的頻譜

例：周期性方波的頻譜An=？φn=？幅值相位以角頻率ω(或頻率f)為橫坐標，An為縱坐標作出的圖形稱為振幅譜。若以φn為縱坐標作出的圖形稱為相位譜。一般相位譜比較簡單可以不必另外作圖，可以將它標在振幅譜圖旁?！?.2周期信號的頻譜

例：周期性方波的頻譜3、收斂性，諧波的振幅隨諧波的次數(shù)增高而減小，諧波次數(shù)無限增高則其振幅無限趨小。1、離散性，頻譜由一些離散的線條構成，是離散譜。周期信號頻譜的特點：2、諧波性，每條譜線表示信號的一個分量，其頻率都是基波頻率的整數(shù)倍。例：周期性方波的頻譜例：周期性矩形脈沖的頻譜。復數(shù)振幅§3.2周期信號的頻譜

解：對于周期性矩形脈沖離散性、諧波性、收斂性▲頻譜的包絡為抽樣函數(shù)的絕對值相鄰譜線間的間隔為▲頻譜結構與比值τ/T有關性質：基本信號－抽樣信號定義：抽樣信號Sa(t)t01-2

2

-

3

-3

-0.217-

0.2170.1280.128對于周期性矩形脈沖▲頻譜結構與比值τ/T有關▲頻譜的包絡為抽樣函數(shù)取絕對值對于周期性矩形脈沖※相位比較簡單,可根據(jù)抽樣函數(shù)的符號變化標在振幅譜旁邊下面是以T=5τ，T=10τ，T=20τ為例作出的頻譜圖§3.2周期信號的頻譜

▲頻譜結構與比值τ/T有關▲頻譜的包絡為抽樣函數(shù)取絕對值▲頻譜結構與比值τ/T有關▲頻譜的包絡為抽樣函數(shù)取絕對值§3.2周期信號的頻譜

.頻譜圖也可以不標相位，而是直接根據(jù)復數(shù)振幅進行作圖，稱復數(shù)振譜。也可以根據(jù)指數(shù)傅里葉級數(shù)的系數(shù)，即復數(shù)振幅的一半進行作圖，稱為雙邊譜§3.2周期信號的頻譜

§3.2周期信號的頻譜頻譜圖也可以不標相位，而是直接根據(jù)復數(shù)振幅進行作圖，稱復數(shù)振譜。也可以根據(jù)指數(shù)傅里葉級數(shù)的系數(shù)，即復數(shù)振幅的一半進行作圖，稱為雙邊譜只有在復數(shù)振幅為實數(shù)時才能這樣畫。不為實數(shù)，為復數(shù)，振幅頻譜和相位頻譜不能合在一張圖中，必須分畫兩張圖1、離散譜，譜線間隔（與其他信號周期信號一樣也具有離散性、諧波性）2、，

周期矩形脈沖信號頻譜的包絡為抽樣函數(shù)對周期矩形脈沖信號頻譜的認識§3.2周期信號的頻譜

共5點，

△零點出現(xiàn)在：

△

,雖然An不是單調收斂但總的趨勢是收斂的，符合周期信號頻譜的第三個特點：收斂性。3、相位譜不必另作，可參照抽樣函數(shù)的符號變化標在幅度譜上，也可以作復數(shù)譜或雙邊譜?！?.2周期信號的頻譜

4、信號的頻帶寬度在工程應用中可忽略一部分幅度較小的分量，而把能量主要集中的頻率范圍稱信號的頻帶寬度（也稱有效帶寬，帶寬等）。§3.2周期信號的頻譜

周期信號頻譜具有離散性、諧波性、收斂性諧波次數(shù)n

因此信號的能量主要集中在頻率較低的分量中。諧波的幅度An

在信號處理中：帶寬一般取到基波幅度的十分之一。例如：稱半功率點(3dB帶寬)——通頻帶以信號功率衰減到一半為準。頻帶寬度有多種定義方法§3.2周期信號的頻譜

或帶寬：

特別地，對于周期矩形脈沖信號一般將它的第一個零點定義為它的帶寬。A只影響各次諧波分量幅度的大小，不影響頻譜的結構和形狀。5、脈沖參數(shù)與頻譜結構的關系所以討論T和τ

的影響在周期矩形脈沖信號中有3個脈沖參數(shù)A,τ,T5、脈沖參數(shù)與頻譜結構的關系①.T改變，τ

不變T

:

周期脈沖非周期脈沖離散譜

連續(xù)譜各次諧波分量幅度

無窮小△各次諧波分量的幅度An△包絡的零點位置

△

T

譜線間隔（信號的頻帶寬度不變）

譜線密集

不變τ

包絡零點(信號的頻帶寬度)②.τ

改變，T不變5、脈沖參數(shù)與頻譜結構的關系譜線間隔不變

收斂速度

§3.3傅里葉變換與非周期信號的頻譜

三、傅里葉變換的奇偶性一、傅里葉變換二、傅里葉變換的物理意義四、求矩形單脈沖信號的頻譜，并討論非周期信號可看作是周期為∞的周期信號①.T改變，τ

不變T

:

周期脈沖非周期脈沖離散譜

連續(xù)譜各次諧波分量幅度

無窮小△各次諧波分量的幅度An

△

T

譜線間隔

譜線密集

△包絡的零點位置（信號的頻帶寬度不變）不變對于周期性矩形脈沖一、傅里葉變換T

時：定義非周期信號的頻譜為：稱為頻譜密度函數(shù)簡稱頻譜函數(shù)——稱為f(t)的傅里葉變換

T

時：周期信號指數(shù)傅里葉級數(shù)展開式得到一對傅里葉正變換和反變換公式：常用記號f(t)?F(jω)表示它們是一個傅里葉變換對§3.3傅里葉變換與非周期信號的頻譜

正變換核反變換核周期信號：每個分量的幅度為無窮小量非周期信號：將一個非正弦的周期信號分解為一系列正弦分量將f(t)分解為無限多個連續(xù)指數(shù)函數(shù)ejωt分量ω從-

連續(xù)變化二、傅里葉變換的物理意義對f(t)進行傅里葉變換一般要求f(t)滿足絕對可積這個條件是充分條件并不必要，有些函數(shù)雖然非絕對可積，但也可有傅里葉變換存在。在頻域中對系統(tǒng)進行分析時就是求系統(tǒng)對每一個頻率分量的響應，然后將它們疊加起來。二、傅里葉變換的物理意義三、傅里葉變換的奇偶性實函數(shù)的頻譜一般是復函數(shù)§3.3傅里葉變換與非周期信號的頻譜

實信號f(t)的偶分量的頻譜函數(shù)是f(t)頻譜函數(shù)的實部，

奇分量的頻譜函數(shù)是f(t)頻譜函數(shù)虛部乘以j。f(t)為實偶函數(shù)，f(-t)=f(t)f(t)為實奇函數(shù)，f(-t)=-f(t)時域中的實奇函數(shù)，它的頻譜函數(shù)是頻域中的虛奇函數(shù)b(ω)=0F(jω)=a(ω)

時域中的實偶函數(shù)，它的頻譜函數(shù)是頻域中的實偶函數(shù)

a(ω)=0F(jω)=jb(ω)例2:求幅度為A、寬度為τ的門函數(shù)的頻譜函數(shù)頻域中的實偶函數(shù)§3.4典型信號的傅里葉變換1、單邊指數(shù)函數(shù)2、單位階躍函數(shù)ε(t)3、符號函數(shù)sgn(t)4、雙邊指數(shù)函數(shù)

5、單位直流信號6、單位沖激函數(shù)δ(t)7、指數(shù)函數(shù)

8、周期性沖激序列δT(t)9、門函數(shù)1、單邊指數(shù)函數(shù)滿足絕對可積條件典型信號的傅里葉變換—11、單邊指數(shù)函數(shù)典型信號的傅里葉變換—1α

0α

02、單位階躍函數(shù)ε(t)顯然不符合絕對可積條件典型信號的傅里葉變換—2可見a(ω)為頻域中的沖激函數(shù)，須求出它的沖激強度，即a(ω)下的面積。典型信號的傅里葉變換—22、單位階躍函數(shù)ε(t)典型信號的傅里葉變換—2注意兩點：1.實部、虛部2.0點和非0點2、單位階躍函數(shù)ε(t)3、符號函數(shù)sgn(t)典型信號的傅里葉變換—3f(t)是一個實奇函數(shù)，F(xiàn)(jω)是一個虛奇函數(shù)4、偶雙邊指數(shù)函數(shù)

f(t)是一個實偶函數(shù)，F(xiàn)(jω)也是一個實偶函數(shù)典型信號的傅里葉變換—4的傅里葉變換解法2：典型信號的傅里葉變換—4不滿足絕對可積條件典型信號的傅里葉變換—55、單位直流信號f(t)01可看作雙邊指數(shù)信號在

0的極限值為頻域中的沖激函數(shù)，須求出它的沖激強度(即面積)|F(j

)| 0

(2

) f(t)

0 t 1 典型信號的傅里葉變換—55、單位直流信號解法2：模仿符號函數(shù)sgn(t)典型信號的傅里葉變換—55、單位直流信號6、單位沖激函數(shù)δ(t)典型信號的傅里葉變換—67、指數(shù)函數(shù)

不符合絕對可積條件典型信號的傅里葉變換—7典型信號的傅里葉變換—77、指數(shù)函數(shù)

綜合上述，凡符合絕對可積條件的函數(shù)可通過定義直接求出頻譜函數(shù)；若不符合絕對可積條件則不能直接計算，但可通過其它變換對推出，并且一般含有沖激函數(shù)。δT(t)是一個周期函數(shù)，可以展開成傅里葉級數(shù)：8、周期性沖激序列δT(t)間隔為T的均勻沖激序列，以符號δT(t)表示典型信號的傅里葉變換—8周期、強度均為Ω典型信號的傅里葉變換—8時域上間隔為T的均勻沖激序列，其頻譜函數(shù)也是一個均勻沖激序列，且周期和強度均為Ω。推廣：周期信號的傅里葉變換典型信號的傅里葉變換—89.門信號求幅度為A、寬度為τ的門函數(shù)的頻譜函數(shù)典型信號的傅里葉變換—9典型信號的傅氏變換1、單邊指數(shù)信號4、偶雙邊指數(shù)信號3、符號函數(shù)2、單位階躍信號典型信號的傅氏變換5、單位直流信號6、單位沖激信號7、復指數(shù)信號8、余弦正弦典型信號的傅氏變換9、單位沖激序列信號10、門信號§3.5傅里葉變換的性質

共列舉了線性、延遲、移頻、尺度變換、對稱性質、微分（時域、頻域）、卷積定理（時域、頻域）、積分性質（時域、頻域）、帕色伐爾九個重要性質，再加上前面的奇偶性共十個。一、線性舉例：§3.5傅里葉變換的性質

二、延遲特性信號在時域延遲t0，在頻域中所有頻率分量都產生ωt0的相移，而振幅譜沒有變化。例：求f(t)的頻譜函數(shù)。二、延遲特性§3.5傅里葉變換的性質

與門函數(shù)相比，幅度譜完全相同，相位譜則產生了一個的線性相移。三、移頻特性§3.5傅里葉變換的性質

例：已知求的頻譜。解：

以門函數(shù)為例，可以畫出它的示意圖。三、移頻特性通信中的調制例：求的頻譜函數(shù)。解：三、移頻特性四、尺度變換特性（時域頻域成反比）§3.5傅里葉變換的性質

四、尺度變換特性（時域頻域成反比）擴展擴展壓縮壓縮例：已知f(t)的頻譜函數(shù)求f1(t)的頻譜函數(shù)F1(jω)四、尺度變換特性（時域頻域成反比）壓縮例：已知f(t)的頻譜函數(shù)求f1(t)的頻譜函數(shù)F1(jω)延遲1.5τ§3.5傅里葉變換的性質

解：

§3.5傅里葉變換的性質

四、尺度變換特性（時域頻域成反比）五、對稱特性五、對稱特性例：求頻譜函數(shù)。

解：

五、對稱特性六、微分性質2、頻域微分性質1、時域微分性質證明：1、時域微分性質證明：

2、頻域微分性質六、微分性質練習：七、卷積定理2、頻域卷積1、時域卷積

1、時域卷積

2、頻域卷積例：已知求的頻譜。解法2：

1、時域積分性質八、積分性質2、頻域積分性質1、時域積分性質八、積分性質2、頻域積分性質八、積分性質例：求f(t)的頻譜函數(shù)。

解：

利用傅里葉變換的積分性質

利用傅里葉變換的積分性質?。?！例：求如圖所示梯形脈沖的傅里葉變換解：提供了一條近似求解任意脈沖波頻譜的方法例：積分方法一：先判斷原函數(shù)中是否含有直流分量，利用傅里葉變換的線性性質方法二：考慮積分常數(shù)的影響，修正傅里葉變換的

積分性質公式證明：g(t)f(t)微分積分證明：g(t)f(t)微分積分證明：方法一：先判斷原函數(shù)中是否含有直流分量，利用傅里葉變換的線性性質方法二：考慮積分常數(shù)的影響，修正傅里葉變換的

積分性質公式例3：如圖所示信號f(t),其傅里葉變換為其實部的表達式為

？tf(t)210-11解題思路：時移性！例：如圖所示信號f(t),其傅里葉變換為其實部的表達式為

？tf(t)210-11解題思路：奇偶性！非周期單脈沖信號（能量信號）九、帕色伐爾（Parseval）定理非周期單脈沖信號的能量在時域的表達式非周期單脈沖信號的能量在頻域的表達式雷利定理：非周期信號在時域中求得的信號能量與在頻域中求得的信號能量相等是帕色伐爾定理在非周期信號時的表現(xiàn)形式為研究信號能量在頻域中的分布情況，定義一個能量譜密度函數(shù)，簡稱能量頻譜，用G(ω)表示G(ω)意義：某個角頻率ω處的單位頻帶中的能量能量譜的形狀與幅度譜的平方相同，而與相位無關顯然如果信號在時間上的移位，不影響能量譜的形狀e(t)rzs(t)E(jω)Rzs(jω

)時域：

頻域：

h(t)H(jω)系統(tǒng)轉移函數(shù)§3.6頻域系統(tǒng)函數(shù)

系統(tǒng)轉移函數(shù)H(jω)的求法方法一：方法二：方法三：方法四：§3.6頻域系統(tǒng)函數(shù)

兩邊求傅里葉變換§3.6頻域系統(tǒng)函數(shù)§3.6頻域系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)轉移函數(shù)H(jω)的求法方法一：方法二：方法三：方法四：H(jω)還可由電路來求感抗:jωL容抗:1/

jωC例1：單位階躍電壓作用于圖示RC電路，求uc(t)解：1、求E(jω)2、求H(jω)

分壓3、求響應Uc(jω)4、求反變換1、求H(jω)時使用阻抗的概念，直接用分壓公式求出。當然也可列出電路的微分方程或算子方程而得到H(p)，然后將p換成jω。例1討論：2、求傅里葉反變換依靠：1.常用傅里葉變換對2.傅里葉變換的性質頻域分析法步驟：1、求激勵信號的頻譜函數(shù):e(t)→E(jω)2、求系統(tǒng)轉移函數(shù)3、求響應函數(shù)R(jω):

R(jω)=E(jω).H(jω)4、求傅里葉反變換：r(t)=F-1[R(jω)]2、求系統(tǒng)轉移函數(shù)H(jω)§3.7連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析法例：一線性系統(tǒng)頻響曲線如圖所示，設，求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應。H(jω)是ω的函數(shù)，故又稱為頻率響應函數(shù)，簡稱頻響例：一線性系統(tǒng)頻響曲線如圖所示，設，求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應。解：1、求

2、由曲線寫出§3.7連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析法3、求低通濾波器4、求§3.7連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析法(1)求系統(tǒng)沖激響應h(t)(2)系統(tǒng)激勵為，初始狀態(tài)為

求系統(tǒng)全響應.例：已知線性時不變系統(tǒng)微分方程解:(1)(1)求系統(tǒng)沖激響應h(t)(2)系統(tǒng)激勵為，初始狀態(tài)為

求系統(tǒng)全響應.例：已知線性時不變系統(tǒng)微分方程解:(1)解:(2)解:(2)§3.8傅里葉變換的應用◆理想低通濾波器傳輸特性◆調制與解調◆系統(tǒng)無失真?zhèn)鬏敿捌錀l件§3.8.1理想低通濾波器傳輸特性一、濾波器的概念

濾波器是一種網絡，在某一頻率范圍內信號傳輸時衰減很小，信號能順利通過——該范圍稱濾波器的通帶。在通帶之外信號傳輸時衰減很大，阻止信號通過——這個范圍稱濾波器的阻帶。按照濾波器的特性不同，可分為低通、高通、帶通、帶阻等。fc為截止頻率濾波器分類高通、帶通、帶阻濾波器均可由低通濾波器經過頻率變換來導得二、理想低通濾波器及其沖激響應理想低通濾波器的特點是在通帶0~ωc0內所有頻率分量均勻一致地通過，所有頻率分量有相同的延遲t0。二、理想低通濾波器及其沖激響應時移二、理想低通濾波器及其沖激響應§3.8.2調制與解調

未經調制的正弦波可以表示為幅度頻率初相位調幅、調頻和調相都是由調制信號直接控制高頻振蕩的某一個參數(shù)達到的把待傳輸?shù)男盘柾懈兜礁哳l振蕩的過程，就是調制的過程調幅的過程就是用調制信號來控制載頻幅度的過程cosωcte(t)r(t)可以通過乘法器來實現(xiàn)§3.8.2調制與解調

H2(jω)y(t)H1(jω)f(t)cos5ω0tcos3ω0tfs1(t)f2(t)fs2(t)-3ω

0H1(jω)103