3扭轉(zhuǎn)應力及強度

山西建筑職業(yè)技術學院建筑工程系建筑力學教研室建筑力學第五章剪切與扭轉(zhuǎn)第四節(jié)圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應力

要解決圓軸扭轉(zhuǎn)的強度問題，在求出橫截面上的扭矩后，還要知道應力的分布情況，以便確定危險截面和危險點。

本節(jié)將通過簡要的分析、研究，建立圓軸受扭時橫截面上的應力公式。山西建筑職業(yè)技術學院建筑工程系建筑力學教研室建筑力學

為觀察圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形，在圓軸表面畫上一些間距相等的縱線和圓周線，形成許多小的矩形網(wǎng)格，如圖a所示。(a)受扭后的變形如圖b所示。mm(b)

可觀察到如下現(xiàn)象：

(1)各圓周線的形狀、大小和間距都保持不變，僅繞軸線作相對轉(zhuǎn)動。

(2)各縱向線都傾斜了相同的角度γ，且仍保持直線，原來矩形方格變成平行四邊形。γ

通過以上現(xiàn)象，可作出以下假設和推斷：

(1)平面假設

代表橫截面的圓周線，變形前后均保持平面，其形狀、大小都不改變，只是繞軸線相對轉(zhuǎn)過一個角度；

(2)兩相鄰橫截面之間的距離也保持不變。山西建筑職業(yè)技術學院建筑工程系建筑力學教研室建筑力學

為進一步弄清圓軸橫截面上應力的分布情況，用相鄰兩截面截取受扭圓軸一微段dx，如圖a所示。OγdφmTabdx(a)

由于橫截面的間距保持不變，未發(fā)生軸向變形，故橫截面上沒有正應力；圓軸橫截面上的半徑Oa

，受扭后其位置轉(zhuǎn)至Ob

，同時產(chǎn)生切應變

γ，且切應變與點到圓心的距離成正比。由剪切胡克定律可以推測：切應力也與點到圓心的距離成正比。

由以上分析可知：扭轉(zhuǎn)圓軸的橫截面上只存在切應力，方向與半徑垂直，指向與截面的扭矩相一致，且呈線性分布。TOτmax(b)τmax分布規(guī)律如圖b所示。

據(jù)此，我們直接給出圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上任一點切應力的計算公式τρτ

=TρIP山西建筑職業(yè)技術學院建筑工程系建筑力學教研室建筑力學IP

——τ

=TρIPTOτmaxτmaxτρR截面對圓心的極慣性矩，與圓截面的尺寸有關，單位為

mm4。

對于一個指定截面，扭矩T與極慣性矩IP

是定值，ρmax=R時，切應力τ

取得最大值，即τmax=TRIP令WP=RIPτmax=WPT

式中WP與圓截面的尺寸有關，稱為抗扭截面系數(shù)，是反映圓軸抗扭的幾何量，單位為mm3。山西建筑職業(yè)技術學院建筑工程系建筑力學教研室建筑力學截面形狀實心圓形空心圓形有關尺寸DdD極慣性矩抗扭截面系數(shù)IP=32πD4WP=16πD3(1-

α4)IP=32πD4WP=16πD3(1-

α4)α=d/D實心圓、空心圓的極慣性矩和抗扭截面系數(shù)山西建筑職業(yè)技術學院建筑工程系建筑力學教研室建筑力學例5-4

實心圓軸的直徑

d=40mm，傳遞扭矩

T=628Nm。試計算距離圓心

ρ

=15mm

處某點的切應力以及截面上的最大切應力。628Nmτmaxτρ1520O解(1)計算極慣性矩和抗扭截面系數(shù)IP=32πD4=32π×404(mm4)WP=16πD3=16π×403(mm3)(2)計算15mm點的切應力。代入式(5-8)可得τ

=TρIP=×15628×103×32π×404=37.5()MPa(3)計算截面上的最大切應力。代入式(5-10)可得τmax=WPT=×16628×103π×403=50()MPa山西建筑職業(yè)技術學院建筑工程系建筑力學教研室建筑力學第五節(jié)圓軸扭轉(zhuǎn)時的強度計算

圓軸在扭轉(zhuǎn)時應滿足：圓軸橫截面上的最大切應力不超過材料的許用切應力，即≤

[τ]

上式稱為圓軸扭轉(zhuǎn)的強度條件。τmax=WPT

應用上式可以解決圓軸扭轉(zhuǎn)時的三類強度問題，即進行扭轉(zhuǎn)強度校核、圓軸截面設計及確定許用荷載。山西建筑職業(yè)技術學院建筑工程系建筑力學教研室建筑力學例5-5

某傳動軸橫截面上的最大扭矩T=1.5

kNm，材料的許用切應力[τ]=50MPa。試求：(1)若用實心軸，確定其直徑D1

；0.9，確定其內(nèi)徑d和外徑D；(3)比較實心軸和空心軸的重量。(2)若改用空心軸，且a=解這屬于圓軸截面設計問題。由強度條件可得圓軸所需的抗扭截面系數(shù)為WP

≥T[τ]=1.5×10650=30000()mm3(1)確定實心軸的直徑D1。由Wp=πD13/16可得D1

=16Wpπ3≥16π3×30000=53.5()mm取D1

=54mm(2)確定空心軸的外徑D和內(nèi)徑d。由Wp=πD3(1-a4)/16可得D1

=16Wpπ3≥16π3×30000=76.0()mm(1-0.94)(1-

a4)d

=76×0.9=68.4(mm)取d

=?mm68山西建筑職業(yè)技術學院建筑工程系建筑力學教研室建筑力學(3)比較兩軸的重量。重量比即面積比，即A空A實=-

682762=0.395542

上例表明：當兩軸具有相同的承載能力時，空心軸比實心軸輕得多。選用空心軸既可節(jié)省材料，又能減輕自重。因為采用實心軸時，只有橫截面邊緣處的切應力達到許用切應力，圓心附