3.7 公倍數(shù)與最小公倍數(shù)（學(xué)霸課堂筆記）-2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)五年級下冊同步培優(yōu)講義（蘇教版）

3.7公倍數(shù)與最小公倍數(shù)第一部分第一部分學(xué)問清單6，12，18，24，…既是2的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)，它們是2和3的公倍數(shù)。6和9的公倍數(shù)有18，36，54，…其中最小的是18。18就是6和9的最小公倍數(shù)。兩個數(shù)中，假如較大數(shù)是較小數(shù)的倍數(shù)，那么較大數(shù)就是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)；假如兩個數(shù)只有公因數(shù)1，那么這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)就是這兩個數(shù)的積。兩個數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的積等于這兩個數(shù)的積。幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫作這幾個數(shù)的公倍數(shù)。幾個數(shù)的公倍數(shù)中最小的一個，叫作這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。其次部分其次部分典型例題例1：若a－b＝1（a、b為非零自然數(shù)），則a與b的最小公倍數(shù)是（

）。A．a(chǎn) B．b C．a(chǎn)b D．1答案：C分析：由于a－b＝1，所以a、b是相鄰的兩個自然數(shù)，那么a與b的最小公倍數(shù)是a與b的乘積，據(jù)此解答。詳解：依據(jù)分析，a、b是相鄰的兩個自然數(shù)，那么a與b的最小公倍數(shù)是a與b的乘積ab。比如a＝6，b＝5，則a與b的最小公倍數(shù)是6×5＝30。故答案為：C例2：一個汽車站內(nèi)有兩路公共汽車，1路公共汽車每4分鐘發(fā)一趟車，2路公共汽車每5分鐘發(fā)一趟車，這兩路公共汽車在7：06同時發(fā)車。把下面表格填寫完整。1路車7：067：102路車7：067：11（1）兩車（

）：（

）再次同時發(fā)車。（2）猜測一下，兩車（

）：（

）第三次同時發(fā)車。答案：表格見詳解：（1）7：26（2）7：46分析：由于4和5的最小公倍數(shù)是20，由此可知兩車至少經(jīng)過20分鐘又同時發(fā)車。據(jù)此解答。詳解：填表如下：1路車7：067：107：147：187：227：267：302路車7：067：117：167：217：267：317：367時6分＋20分＝7時26分（1）兩車（7）：（26）再次同時發(fā)車。7時26分＋20分＝7時46分（2）兩車（7）：（46）第三次同時發(fā)車。例3：a＝3×3×5，b＝3×5×7，a和b的最小公倍數(shù)是420。()答案：×分析：全部公有的質(zhì)因數(shù)和各自獨立的質(zhì)因數(shù)，它們連乘的積就是這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。詳解：3×3×5×7＝315a＝3×3×5，b＝3×5×7，a和b的最小公倍數(shù)是315，原題說法錯誤。故答案為：×例4：媽媽買來一箱雞蛋，有90多個，假如把它們裝進8個一盒的蛋托中，正好裝完；假如裝進12個一盒的蛋托中，也正好裝完。你能求出媽媽一共買了多少個雞蛋嗎？答案：96個分析：依據(jù)題意，雞蛋有90多個，且雞蛋的個數(shù)既是8的倍數(shù)，也是12的倍數(shù)。求出8和12的最小公倍數(shù)，再用最小公倍數(shù)依次乘2、3、4、5……，直到得數(shù)為90多，據(jù)此解答。詳解：8和12的最小公倍數(shù)是：；（個）（個）（個）答：媽媽一共買了96個雞蛋。：基礎(chǔ)過關(guān)練一、選擇題1．一筐蘋果，平均分給6個人，最終剩下2個；平均分給9個人，最終還是剩下2個。這筐蘋果最少有（

）個。A．50 B．38 C．20 D．182．用若干個長5厘米、寬3厘米的長方形拼成一個正方形，這個正方形的邊長至少是（

）厘米，面積是（

）平方厘米。A．8，64 B．15，225 C．30，9003．10÷5＝a，10和a的最小公倍數(shù)是（

）。A．a(chǎn) B．10 C．5 D．10a4．假如m÷12＝n，那么，m和12的最小公倍數(shù)是（

）。A．m B．12 C．n D．15．和是非零的自然數(shù)，且，已知，那么與的最小公倍數(shù)是（

）。A． B． C．1 D．6．六（1）班同學(xué)不超過50人，在分組時，4人一組或6人一組都剛好分完。這個班人數(shù)可能是（

）人。A．40 B．42 C．487．學(xué)校合唱社團，每組5人或每組8人都多1人，學(xué)校合唱社團最少有（

）。A．81人 B．41人 C．40人 D．39人二、填空題8．從小到大寫出6和8的倍數(shù)，再填空。6的倍數(shù)…8的倍數(shù)…（1）表格中既是6的倍數(shù)，又是8的倍數(shù)的有（

），這些數(shù)是6和8的公倍數(shù)。（2）6和8的公倍數(shù)中最小的是（

），這個數(shù)是6和8的（

）。9．課間，六（2）班同學(xué)（不超過50人）玩報數(shù)玩耍。他們先按1－2報數(shù)，再按1－2－3報數(shù)，最終按1－2－3－4－5－6－7報數(shù)。最終一位同學(xué)每次都報1，由此可以知道這個班有()名同學(xué)。10．面包店烤好了一批面包，每12個裝一袋或者每15個裝一袋都正好裝完，這批面包至少有()個。11．天干地支，簡稱干支，源自中國遠(yuǎn)古時代對天象的觀測。天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥。自古農(nóng)歷就借用天干地支來表示年份，例如：2021年是辛丑年，2022年是壬寅年，2023年是癸卯年……那么下一個癸卯年是()年。12．假如b＝5a（a、b都是不為0的自然數(shù)），那么a與b的最小公倍數(shù)是()。三、推斷題13．假如、、都是不為0的自然數(shù)），那么和的最小公倍數(shù)是。()14．兩個非0自然數(shù)的公倍數(shù)的個數(shù)是無限的。()15．任何兩個自然數(shù)都有很多個公倍數(shù)。()16．兩個質(zhì)數(shù)相乘的積是它們的最小公倍數(shù)。()17．兩個相鄰自然數(shù)的最小公倍數(shù)是72，這兩個自然數(shù)的和是17。()：培優(yōu)提升練四、計算題18．求出下面各組數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。8和2

12和20

7和8

15和75五、解答題19．一條跑道長96米，原來從起點到終點每隔3米插一面紅旗，現(xiàn)在改成每隔4米插一面紅旗，不需要移動的紅旗有幾面？20．一籃蘋果，5個5個地數(shù)，最終還差4個，7個7個地數(shù)，最終還余下1個。這籃蘋果最少有多少個？21．亮亮和麗麗去圖書館借書，亮亮每4天去一次，麗麗每7天去一次，7月31日他們兩人在圖書館相遇，下一次相遇是幾月幾日？22．小華的爸爸每上班4天休息1天，媽媽每上班6天休息1天。2022年2月18日他們同時在家休息，那么下一次同時在家休息是幾月幾日？23．王叔叔家有兩個兒子都在外地上班，哥哥6天回家一次在家休息兩天，弟弟8天回家一次在家休息兩天，兄弟兩人同時在4月20日回家，下一次兩人同時回家的時間是幾月幾日？24．暑假期間，小紅和小剛都去圖書館借書。小紅每8天去一次，小剛每6天去一次。7月13日兩人第一次在圖書館見面，幾月幾日她們會在圖書館其次次相遇？25．用若干塊長是12厘米、寬是9厘米的長方形硬紙板鋪成一個大的正方形。這個正方形的邊長最小是多少厘米？

1．C分析：由題意可知：若將這筐蘋果的個數(shù)減去2后，則蘋果的個數(shù)既是6的倍數(shù)，又是9的倍數(shù)。求這筐蘋果最少有多少個，可以先求6和9的最小公倍數(shù)，再加2。詳解：6和9的最小公倍數(shù)是3×2×3＝18。18＋2＝20（個）所以，這筐蘋果最少有20個。故答案為：C2．B分析：依據(jù)題意，拼成的正方形的邊長至少是5和3的最小公倍數(shù)。再依據(jù)“正方形面積＝邊長×邊長”求出它的面積即可。詳解：5×3＝15（厘米）15×15＝225（平方厘米）所以，這個正方形的邊長至少是15厘米，面積是225平方厘米。故答案為：B點睛：本題考查了最小公倍數(shù)和正方形的面積，把握最小公倍數(shù)的求法、正方形的面積公式是解題的關(guān)鍵。3．B分析：求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)，就是兩個數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)與每一個獨有質(zhì)因數(shù)的連乘積；假如兩個數(shù)成倍數(shù)關(guān)系，較大的數(shù)是兩個數(shù)的最小公倍數(shù)；假如兩個數(shù)為互質(zhì)數(shù)，兩個的乘積就是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)，據(jù)此解答。詳解：由于10÷5＝a，所以10÷a＝5，10和a成倍數(shù)關(guān)系，10和a的最小公倍數(shù)是10。10÷5＝a，10和a的最小公倍數(shù)是10。故答案為：B點睛：嫻熟把握求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)的方法是解答本題的關(guān)鍵。4．A分析：求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)，就是兩個數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)與每一個獨有質(zhì)因數(shù)的連乘積；假如兩個數(shù)成倍數(shù)關(guān)系，較大的數(shù)是兩個數(shù)的最小公倍數(shù)；假如兩個數(shù)為互質(zhì)數(shù)，兩個的乘積就是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)，據(jù)此解答。詳解：由于m÷12＝n，所以m和12成倍數(shù)關(guān)系，最小公倍數(shù)是m。假如m÷12＝n，那么，m和12的最小公倍數(shù)是m。故答案為：A點睛：嫻熟把握求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)的方法是解答本題的關(guān)鍵。5．A分析：依據(jù)題意可知，a＝3b，a÷b＝3；a和b成倍數(shù)關(guān)系；兩個數(shù)為倍數(shù)關(guān)系，則最小公倍數(shù)為較大的數(shù)；據(jù)此解答。詳解：a＝3b，則a÷b＝3，a和b成倍數(shù)關(guān)系。a和b的最小公倍數(shù)是a。a和b是非零的自然數(shù)，且，已知a＝3b，那么a與b的最小公倍數(shù)是a。故答案為：A點睛：本題考查兩個數(shù)為倍數(shù)關(guān)系時，求最小公倍數(shù)，本題關(guān)鍵是觀看得出來兩數(shù)是倍數(shù)關(guān)系。6．C分析：由題意可知：該班人數(shù)是小于50的4和6的公倍數(shù)；據(jù)此解答。詳解：4＝2×26＝2×3所以4和6的最小公倍數(shù)是2×2×3＝1212×2＝2412×3＝3612×4＝48結(jié)合選項可知：這個班人數(shù)可能是48人。故答案為：C點睛：本題主要考查公倍數(shù)的實際應(yīng)用。7．B分析：求出5和8的最小公倍數(shù)，再加上1，即可求出最少有多少人。詳解：5×8＋1＝40＋1＝41（人）所以，學(xué)校合唱社團最少有41人。故答案為：B點睛：本題考查了公倍數(shù)的計算與應(yīng)用，理解題意，找出最小公倍數(shù)是解決本題的關(guān)鍵。8．見詳解（1）24、48（2）24；最小公倍數(shù)分析：一個數(shù)的倍數(shù)是無限的，兩個數(shù)的公倍數(shù)的個數(shù)也是無限的，但兩個數(shù)的最小公倍數(shù)只有一個，用列舉法找出兩個數(shù)的最小公倍數(shù)，由此解決問題即可。詳解：6×1＝66×2＝126×3＝186×4＝246×5＝30……8×1＝88×2＝168×3＝248×4＝328×5＝40……填空如下：6的倍數(shù)612182430364248…8的倍數(shù)816243240485664…（1）表格中既是6的倍數(shù)，又是8的倍數(shù)的有24、48，這些數(shù)是6和8的公倍數(shù)。（2）6和8的公倍數(shù)中最小的是24，這個數(shù)是6和8的最小公倍數(shù)。9．43分析：本題考查公倍數(shù)的實際應(yīng)用。按1－2報數(shù)，最終一人報1，說明同學(xué)人數(shù)是2的倍數(shù)加1；按1－2－3報數(shù)，最終一人報1，說明同學(xué)人數(shù)是3的倍數(shù)加1；按1－2－3－4－5－6－7報數(shù)，最終一人報1，說明同學(xué)人數(shù)是7的倍數(shù)加1。則出勤同學(xué)人數(shù)是2、3、7的公倍數(shù)加1，在50以內(nèi)2、3、7的公倍數(shù)只有2×3×7＝42，所以六（2）班有42＋1＝43（名）同學(xué)。詳解：2×3×7＝42（人）42＋1＝43（人）則這個班有43名同學(xué)。10．60分析：每12個裝一袋或者每15個裝一袋都正好裝完，說明面包個數(shù)是12和15的公倍數(shù)，求出12和15的最小公倍數(shù)是面包至少個數(shù)，全部公有的質(zhì)因數(shù)和各自獨立的質(zhì)因數(shù)，它們連乘的積就是這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。詳解：12＝2×2×315＝3×52×2×3×5＝60（個）這批面包至少有60個。11．2083分析：全部公有的質(zhì)因數(shù)和各自獨立的質(zhì)因數(shù)，它們連乘的積就是這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。已知天干有10個，地支有12個，求出天干和地支數(shù)量的最小公倍數(shù)，是下一個癸卯年的間隔時間，依據(jù)起點時間＋經(jīng)過時間＝終點時間，推算出下一個癸卯年即可。詳解：10＝2×512＝2×2×32×2×3×5＝60（年）10和12的最小公倍數(shù)是60。2023＋60＝2083（年）那么下一個癸卯年是2083年。12．b分析：當(dāng)兩個數(shù)成倍數(shù)關(guān)系時，較大數(shù)就是它們的最小公倍數(shù)。據(jù)此解答即可。詳解：b＝5a（a、b都是不為0的自然數(shù)），說明b是a的倍數(shù)，b是較大數(shù)，a是較小數(shù)，所以a與b的最小公倍數(shù)是b。13．√分析：由a÷b＝c（a、b、c都是不為0的自然數(shù)），可知a和c是倍數(shù)關(guān)系，依據(jù)倍數(shù)關(guān)系的最大公因數(shù)是較小數(shù)，最小公倍數(shù)是較大數(shù)，據(jù)此可推斷此題說法是否正確。詳解：假如、、都是不為0的自然數(shù)），那么和的最大公因數(shù)是，最小公倍數(shù)是，所以原題的說法正確。故答案為：√點睛：本題主要考查求兩個數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的方法，留意倍數(shù)關(guān)系的最大公因數(shù)是較小數(shù)，最小公倍數(shù)是較大數(shù)。14．√分析：假如a×b＝c（a、b、c都是非0自然數(shù)），則a和b是c的因數(shù)，c是a和b的倍數(shù)，一個數(shù)的因數(shù)是有限的，倍數(shù)是無限的；幾個數(shù)公有的因數(shù)，就叫這幾個數(shù)的公因數(shù)；幾個數(shù)公有的倍數(shù)就叫這幾個數(shù)的公倍數(shù)，公因數(shù)是有限的，公倍數(shù)是無限的。據(jù)此解答。詳解：由于一個數(shù)的倍數(shù)個數(shù)是無限的，只有最小的倍數(shù)，沒有最大的倍數(shù)，所以兩個非0自然數(shù)的公倍數(shù)中只有最小公倍數(shù)，沒有最大的公倍數(shù)，公倍數(shù)的個數(shù)是無限的。故答案為：√點睛：把握倍數(shù)和因數(shù)的特征、公倍數(shù)和公因數(shù)的含義是解決此題的關(guān)鍵。15．×分析：由于一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的，但是0除外。詳解：由分析可知：除0以外，任何兩個自然數(shù)的公倍數(shù)的個數(shù)是無限的；所以原題說法錯誤。故答案為：×點睛：此題考查的目的是理解倍數(shù)、公倍數(shù)的意義；明確：0除外，一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的，兩個數(shù)的公倍數(shù)的個數(shù)也是無限的。16．√分析：兩個質(zhì)數(shù)是互質(zhì)數(shù)，它們的最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是它們的乘積，據(jù)此解答。詳解：兩個質(zhì)數(shù)相乘的積是它們的最小公倍數(shù)。原題干說法正確。故答案為：√點睛：依據(jù)最小公倍數(shù)求法和質(zhì)數(shù)的意義，進行解答。17．√分析：依據(jù)題意，兩個相鄰自然數(shù)是互質(zhì)數(shù)，這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)是這兩個數(shù)的乘積；由于8×9＝72，由此可知，這兩個數(shù)是8和9，再把8與9相加，即可解答。詳解：依據(jù)分析可知，這兩個數(shù)為8和98＋9＝17兩個相鄰自然數(shù)的最小公倍數(shù)是72，這兩個自然數(shù)的和是17。原題干說法正確。故答案為：√點睛：明確兩個相鄰自然數(shù)是互質(zhì)數(shù)是解題的關(guān)鍵。18．2，8；4，60；1，56；15，75分析：成倍數(shù)關(guān)系的兩個數(shù)，其中的較小數(shù)就是它們的最大公因數(shù)，較大數(shù)就是它們的最小公倍數(shù)；假如兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)，則它們的最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是它們的乘積。用質(zhì)因數(shù)分解法可以求兩個數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。全部共有的質(zhì)因數(shù)（公有質(zhì)因數(shù)）相乘的積就是這兩個數(shù)的最大公因數(shù)；全部公有的質(zhì)因數(shù)和各自獨立的質(zhì)因數(shù)，它們連乘的積就是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)。詳解：（1）8是2的倍數(shù)，則8和2的最大公因數(shù)是2，最小公倍數(shù)是8。（2）12＝2×2×320＝2×2×512和20的最大公因數(shù)是2×2＝4，最小公倍數(shù)是2×2×3×5＝60。（3）7和8是互質(zhì)數(shù)，則7和8的最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是7×8＝56。（4）75是15的倍數(shù)，則它們的最大公因數(shù)是15，最小公倍數(shù)是75。19．9面分析：3和4的最小公倍數(shù)是12，所以每12米有1面紅旗不需要移動，96÷12＋1＝9（面），留意不能遺漏第1面！詳解：3和4的最小公倍數(shù)是1296÷12＋1＝8＋1＝9（面）答：不需要移動的紅旗有9面。20．36個分析：本題考查最小公倍數(shù)的應(yīng)用。5個5個地數(shù)差4個，也就是5個5個地數(shù)會余下1個；又由于7個7個地數(shù)，蘋果也余下1個，所以假如拿走1個蘋果，那么蘋果的個數(shù)是5和7的公倍數(shù)，所以這籃蘋果最少時，個數(shù)比5和7的最小公倍數(shù)多1個，5和7的最小公倍數(shù)是35，據(jù)此解答即可。詳解：5和7的最小公倍數(shù)是35，35＋1＝36（個）答：這籃蘋果最少有36個。21．8月28日分析：4和7的最小公倍數(shù)是28,也就是每28天兩人同時去圖書館借書一次,7月31日再過28天是8月28日,所以下一次相遇是8月28日。詳解：4和7的最小公倍數(shù)是28，所以他們下一次相遇是8月28日。答：下一次相遇是8月28日。點睛：本題考查了最小公倍數(shù)的應(yīng)用。22．3月25日分析：依據(jù)題意，爸爸每上班4天休息1天，即爸爸每5天休息1天；媽媽每上班6天休息1天，