奇偶性-2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)考點(diǎn)講解練（人教A版2019必修第一冊）（解析版）公開課教學(xué)設(shè)計(jì)課件資料

3.2.2奇偶性

0知識歸納

函數(shù)的奇偶性

奇偶性偶函數(shù)奇函數(shù)

條件設(shè)函數(shù)/X)的定義域?yàn)?,如果□%口/,都有一%□/

結(jié)論—=網(wǎng)/(—x)=一/(x)

圖象特點(diǎn)關(guān)于謝對稱關(guān)于原點(diǎn)對稱

?［思考］具有奇偶性的函數(shù)，其定義域有何特點(diǎn)？

【提示】定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱.

Q考點(diǎn)講解

考點(diǎn)1:函數(shù)奇偶性的判斷

［例1］(2021?全國高一課時練習(xí))判斷下列函數(shù)的奇偶性：

(1)f(x)=2x4+3x2；(2)/(x)=x2-2x.

(3)/(x)=x2+l；(4)=

廠+1

【答窠】(1)偶函數(shù)；(2)非奇非偶函數(shù).(3)偶函數(shù)：(4)奇函數(shù)

【解析】(1)函數(shù)〃力=2/+3/的定義域?yàn)镽,

/(-X)=2(-x)4+3(-x)?=2x4+3x2=/(^),所以，函數(shù)f(x)為偶函數(shù);

(2)函數(shù)/(力=/-2%的定義域?yàn)镽,

/(-X)=(-X)2-2(-X)=X2+2X,則/(-A)*f(x)且〃一x),

所以，函數(shù)/(X)為非奇非偶函數(shù).

(3)定義域?yàn)榉瞯f(-x)=(-x)2+1=+1=/(x),

+1為偶函數(shù).

(4)定義域?yàn)榉藏绑?合=一/(幻，

??/*）=07為奇函數(shù).

x+\

【方法技巧】

判斷函數(shù)奇偶性的兩種方法

L定義法：

2.圖象法:

【變式訓(xùn)練】

1.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的有.（填序號）

□肥）=3；q/（x）=k|+l；口/）=己；q/[x）=x+*□/（x）=x2,XD[—1,2].

【答案】□□

【解析】對于口，火一.丫）=一/=一危），貝J為奇函數(shù)；

對于□,人一刈=|一%|+1=網(wǎng)+1,則為偶函數(shù)；

對于口，定義域?yàn)椤皼_0},關(guān)于原點(diǎn)對稱，/（一勸=「與=己=/（幻，則為偶函數(shù);

對于□,定義域?yàn)閧X-0},關(guān)于原點(diǎn)對稱，火一%）=—x—（=一/），則為奇函數(shù)：

對于口，定義域?yàn)閇-1,2],不關(guān)于原點(diǎn)對稱，不具有奇偶性，則為非奇非偶函數(shù).

2.判斷下列函數(shù)的奇偶性：

（1）,心）=/+r（2）/）=4]_/+正_1；

X—1?x<0,

2/+2x

（3）次%）=一《+]；（4）加）=2x=0,

、x+l,x>0.

【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對稱.

又火一幻=（一工）3+（一》）=_（/+彳）=一外）,

因此函數(shù)/（X）是奇函數(shù).

1—x2>0,

(2)由《得x2=l,即x=±L

因此函數(shù)的定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對稱.

又/U)=A—1)=一火-1)=0,所以應(yīng)。既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).

(3)函數(shù)及)的定義域是(一8,-1)□(-1,+oo),

不關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以.危)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).

(4)函數(shù)外)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對稱.

-x-1,-x<0?

y(—x)=<o,—x=o,

x+1,—x>0,

—(x+1),x>0,

艮］｛―4)=?0,x=0,

(x—1),x<0.

于是有人-x)=—J(x).

所以加)為奇函數(shù).

3.(2021?江蘇高一期末)(多選)下列說法正確的是()

A.若定義在R上的函數(shù)/(“滿足/(—1)=/(1),則/(可是偶函數(shù)

B.若定義在R上的函數(shù)/(“滿足則/(6不是偶函數(shù)

C.若定義在R上的函數(shù)“X)滿足則“X)在R上是增函數(shù)

D.若定義在R上的函數(shù)“X)滿足則“X)在R上不是減函數(shù)

【答案】BD

【解析】對于A選項(xiàng)，取函數(shù)“力=1任一1),則==

函數(shù)〃力的定義域?yàn)镽，/(-x)=-x(x2-l)=-/(x),此時，函數(shù)/(力為奇函數(shù)，A選項(xiàng)錯誤:

對于B選項(xiàng)，若函數(shù)“X)為定義在R上的偶函數(shù)，對任意的xcR，必有〃r)=/(x),

因?yàn)椤═)工”1)，所以，“力不是偶函數(shù)，B選項(xiàng)正確；

對于C選項(xiàng)，取函數(shù)f(x)=f+x,則=41)=2,/(-1)</(1),

但函數(shù)/(力=/+式在R上不單調(diào)，C選項(xiàng)錯誤；

對于D選項(xiàng)，假設(shè)函數(shù)f(x)是定義在H上的減函數(shù)，則這與題設(shè)矛盾,

假設(shè)不成立，所以，函數(shù)/（可在R上不是減函數(shù)，D選項(xiàng)正確.

故選：BD.

考點(diǎn)2：奇偶函數(shù)的圖象問題

【例2】已知奇函數(shù)次的的定義域?yàn)椋?5,5］,且在區(qū)間［0,5］上的圖象如圖所示.

U）畫出在區(qū)間［-5,0］上的圖象；

：2）寫出使｛x）＜0的x的取值集合.

【解析】（1）因?yàn)楹瘮?shù)./（X）是奇函數(shù)，所以y=/（x）在［-5,5］上的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.

由y=/（x）在［0,5］上的圖象，可知它在［-5,0］上的圖象，如圖所示.

（2）由圖象知，使函數(shù)值產(chǎn)0的x的取值集合為（一2,0）（2,5）.y

一j_

-5-2\>0

【變式訓(xùn)練】

（變條件）將本例中的“奇函數(shù)”改為“偶函數(shù)”，再求解上述問題.

【解析】（1）如圖所示

（2）由（1）可知，使函數(shù)值尸0的x的取值集合為（一5,-2）0（2,5）.

【方法技巧】

巧用奇、偶函數(shù)的圖象求解問題

L依據(jù)：奇函數(shù)□圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.偶函數(shù)□圖象關(guān)于y軸對稱.

2.求解：根據(jù)奇、偶函數(shù)圖象的對稱性可以解決諸如求函數(shù)值或畫出奇偶函數(shù)圖象的問題.

【變式訓(xùn)練】

1.如圖是函數(shù)在區(qū)間［0,+8）上的圖象，請據(jù)此在該坐標(biāo)系中補(bǔ)全函數(shù)危）在定義域內(nèi)的圖象,

請說明你的作圖依據(jù).

y

111111111

~~?-t-t-tj

【解析】因?yàn)榇髕）=*y所以4）的定義域?yàn)镽.又對任意xEJR,都有人一%）=1

=袋),

(-x)2+lf+1

所以心0為偶函數(shù).所以4r）的圖象關(guān)于y軸對稱，其圖象如圖所示.

2.定義在[-3,-1][1,3]上的函數(shù)人x）是奇函數(shù)，其部分圖象如圖所示.

y*

-3-2-10123

3）請?jiān)谧鴺?biāo)系中補(bǔ)全函數(shù).火功的圖象；

⑵比較火1）與火3）的大小.

【解析】（1）由于兒丫）是奇函數(shù)，則其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，其圖象如圖所示.

⑵觀察圖象，知人3）守（1）.

考點(diǎn)3：利用函數(shù)的奇偶性求值

探究問題

1.對于定義域內(nèi)的任意x,若火一%）+九0=0,則函數(shù)./（x）是否具有奇偶性？若人一口一兒丫）=0呢?

【解析】由人—%）+以）=0得人一冷=一左），

兒，）為奇函數(shù).

由火一幻一/(%)=0得./(-x)=/(x)，U/(x)為偶函數(shù).

2.若＜x)是奇函數(shù)且在x=0處有定義，則40)的值可求嗎？若/)為偶函數(shù)呢？

【解析】若")為奇函數(shù)，則｛0)=0：若左)為偶函數(shù)，無法求出義0)的值.

【例3】(1)若函數(shù)人工)=打2+灰+3。+6是偶函數(shù)，定義域?yàn)榭谝?,20，則。=,b=；

12)已知於)=N—川+以+2,若人一3)=—3,則次3)=.

【答案】(1)10(2)7

【解析】(1)因?yàn)榕己瘮?shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以。-1=一2°,解得。=g.

又函數(shù)｛x)=++bx+b+l為二次函數(shù)，結(jié)合偶函數(shù)圖象的特點(diǎn)，易得5=0.

⑵令時)=/一〃/+川+爐，則g(x)是奇函數(shù)，

4—3)=兼-3)+2=一躍3)+2,又大-3)=—3,

「以3)=5.又人3)=茉3)+2,所以43)=5+2=7.

【方法技巧】

利莊奇偶性求參數(shù)的常見類型及策略

L定義域含參數(shù)：奇、偶函數(shù)人r)的定義域?yàn)閇a,b],根據(jù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，利用〃+6=0求參數(shù).

2.解析式含參數(shù)：根據(jù)火-x)=-/(x)或人一好寸刈列式，比較系數(shù)即可求解.

【變式訓(xùn)練】

1.(2021?上海市川沙中學(xué)高一期末)若函數(shù)/(x)=(x—2)(x+〃7)為偶函數(shù)，則m=.

【答案】2

【解析】f(x)=(x-2)(x+m)=x1+(m-2)x-2in

因?yàn)楹瘮?shù)/a)=(x-2)(x+，〃)為偶函數(shù)，所以怙2=0,解得加=2.

也可用/1⑴=〃-1),解出m=2.故答案為:2

2.若/(x)=(x+a)(x—4)為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)。=.

【答案】4

【解析】法一：-)=(工+。)。-4)=/+(a—4)x—4a,/(—x)=(—x+a)(—x—4)=/一(白一4)x—4a,兩式恒

相等，則a—4=0,即4=4.

法二：兒:)=(r+a)(x—4)=f+(a—4)r—4a,要使函數(shù)為偶函數(shù)，只需多項(xiàng)式的奇次項(xiàng)系數(shù)為0,即a

—4=0,則a=4.

法三：根據(jù)二次函數(shù)的奇偶性可知，形如段)=。/+。的都是偶函數(shù)，因而本題只需將解析式看成是平

方差公式，則a=4.

3.(2021?浙江高一期末)已知/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)工之0時，〃工)=/+辦+。-1,則/(一1)二

【答案】-2

【解析】因?yàn)?(力是定義在R上的奇函數(shù),

所以〃0)=。-1=0,解得。=1,

因?yàn)楫?dāng)xNO時,/(x)=x*2+x,

所以“1)=2,

/(-1)=-/0)=-2,

故答案為：-2

考點(diǎn)4：用奇偶性求解析式

【例4】(1)函數(shù)./(4)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)*>0時，共0=一%+1,求共丫)的解析式;

[2)設(shè)兀0是偶函數(shù)，以乃是奇函數(shù)，且-)+g(x)==，求函數(shù)/(、)，盛工)的解析式.

_______________,當(dāng)40

[分析](1)設(shè)x〈0,則一x>0|/(0=_?+]

奇函數(shù)寄函數(shù)分段函數(shù)

求Xr)|------?|得力。時危)的解析式|由葉質(zhì)|火。)=。|----->|危)的解析式|

-------------?用一X代式中X|------------------------------?奇偶性?-----------------口解方程組

(2)yw+g(x)=￡77--------^—x)+g(—x)=Y]--------------->得ZW—g(x)=—RY------->

得AM，gW

的解析式

【解析】⑴設(shè)x<0,則一x>0,

4—%)=-(—x)+l=x+l，

又□函數(shù)以)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),

匚_/(一彳)=-/。:)=彳+1,

匚當(dāng)x<0時，危)=一“一1.

又x=0時，<0)=0,

—X—1?x<0>

所以yw=0,x=。，

—x+l,x>0.

(2)二府)是偶函數(shù)，鼠乃是奇函數(shù),

L/(-x)=/(x),g(-x)=-g(x).

由貝力+》)=言7，口

用一X代替X得/(—x)+g(—x)=,

(□+□尸2,得大、)=吉：

(口一口尸2,得其r)=±.

【變式訓(xùn)練】

把本例(2)的條件%x)是偶函數(shù)，趴x)是奇函數(shù)”改為7(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)”，再求火x),以x)的解

析式.

【解析】鞏工)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，

口/(一%)=—/)，g(_x)=g(x)，

又｛x)+?x)=Frp口

用一X代替上式中的X,得

._x)+g(_x)=_1_],

即./w-ga)=*[Q

聯(lián)立□□得

X1

危尸WTg尸目.

【方法技巧】

利用函數(shù)奇偶性求解析式的方法

1,“求誰設(shè)誰”，既在哪個區(qū)間上求解析式，X就應(yīng)在哪個區(qū)間上設(shè).

2.要利用已知區(qū)間的解析式進(jìn)行代入.

3.利用風(fēng)。的奇偶性寫出一人外或人一x),從而解出義x).

提醒：若函數(shù)人外的定義域內(nèi)含0且為奇函數(shù)，則必有/(0)=0,但若為偶函數(shù)，未必有/(0)=0.

【變式訓(xùn)練】

1.已知函數(shù)y=/(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時，-)=/-2工+3,則當(dāng)正0時，段)的解析式是()

A.火力=—f+2x—3B.j(x)=—x1—2x—3

C./)=%2—2r+3D.f(x)=—x2—2x-^3

【答案】B

【解析】若x〈0,則一40,因?yàn)楫?dāng)它0時，外)=/一法+3,所以次-x)=/+2x+3,因?yàn)楹瘮?shù)")是奇函

數(shù)，所以大一/(x),所以y(x)=-X?—2r—3,所以x<0時，4》)=-x2—2x—3.故選B.

2.(2020?寧夏大學(xué)附屬中學(xué)高一期中)己知/")是定義在H上的奇函數(shù)，xNO時，/(x)=f+2x,則

在，/<0上/(力的表達(dá)式是()

A.f(x)=-x1+2xB.f[x)=-JC-2x

C.f(x)=x2-2xD./(x)=x2+2x

【答案】A

【解析】因?yàn)閤NO時，〃x)=f+2x,

設(shè)x<0,則-x>0,

所以/(一力=/一2%，

又因?yàn)橥夤?是定義在R上的奇函數(shù)，

所以/(力=-/(-X)=-X2+2X,

故選：A.

3.(2021?湖南省長沙縣第九中學(xué)高一期末)已知函數(shù)〃力是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)/K)時，

/(x)=x(l+x).則函數(shù)的解析式為.

A(1+A)A>0

【答窠】/U)=

MDx<0

【解析】設(shè)XV0,「T>0,

所以/(—X)=T(l-X)=T+k，

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),

所以-/(x)=-x+a

所以/(x)=_f+x=x(I).

Ml+x)x>0

所以函數(shù)的解析式為/*)=

x(l-x)x<0

fx（l+x）x＞0

故答案為：/*）=，A

［Ml-x）x＜0

考點(diǎn)5：函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的綜合問題

探究問題

1.如果奇函數(shù)/（x）在區(qū)間（。，6）上單調(diào)遞增，那么大x）在（一瓦一〃）上的單調(diào)性如何？

如果偶函數(shù)｛x）在區(qū)間（。，6）上單調(diào)遞減，那么火x）在（一4一0）上的單調(diào)性如何？

【解析】如果奇函數(shù)危）在區(qū)間（4,力上單調(diào)遞增，那么人力在（一兒一。）上單調(diào)遞增；如果偶函數(shù)｛X）

在區(qū)間（。，6）上單調(diào)遞減，那么y（x）在（一4一a）上單調(diào)遞增.

2.你能否把上述問題所得出的結(jié)論月一句話概括出來？

【解析】奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上單調(diào)性相反.

3.若偶函數(shù)人力在（-8,0）上單調(diào)遞增，那么43）和人一2）的大小關(guān)系如何？若/（。）況6）,你能得到什

么結(jié)論？

【解析】人一2）X3），若曲）刁⑼,則a|v同.

角度一比較大小問題

【例5】（2022?廣東珠海?高一期末）已知/（"是R上的偶函數(shù)，在（-8,0］上單調(diào)遞增，且八2）=0,則下

列不等式成立的是（）

A.0＜/（1）＜/（5）＜/（-3）B./（5）＜/（-3）＜0＜/（1）

C./（-3）＜/（-1）＜0＜/（1）D./（-3）＜0＜/（1）＜/（5）

【答案】B

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)值的大小即可.

【詳解】

因?yàn)槭荝上的偶函數(shù)，在（-％0］上卑調(diào)遞增，

所以〃力在（。,m）上單調(diào)遞減，/（-3）=/（3）.

又因?yàn)椤?）=0,

因?yàn)镮v2＜3v5,在（0,+oo］上單調(diào)遞減，

所以/（1）＞〃2）＞〃3）＞〃5）,

BP/（5）＜/（-3）＜O＜/（l）.

故選：B.

【方法技巧】

比較大小的求解策略，看自變量是否在同一單調(diào)區(qū)間上.

1.在同一單調(diào)區(qū)間上，直接利用函數(shù)的單調(diào)性比較大??；

2.不在同一單調(diào)區(qū)間上，需利用函數(shù)的奇偶性把自變量轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上，然后利用單調(diào)性比較

大小.

【變式訓(xùn)練】

1.(2021年廣東)已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間［0,+8)上單調(diào)遞增，則下列關(guān)系式成立的是()

A./(-9</(-3)v/(4)B./(-3)/(4)

C./(-3)</(4)</^-1jD./(4)</|^-1)</(-3)

【答案】B

【解析】因?yàn)?(x)為偶函數(shù)，所以〃-3)=〃3),/卜￡|=/6)，

又因?yàn)?<g<4旦/(x)在［0,-)上單調(diào)遞增，所以

所以-￡|<f(4),故選：B.

2.(2021年廣西)/⑶是定義在［-6,6］上的偶函數(shù)，且八0)</(6),則下列各式一定成立的是()

A./(0)</(-6)B./(-3)>/(1)C./(2)</(3)D./(-1)>/(0)

【答案】A

【解析】由f(x)是定義在［-6,6］上的偶函數(shù)，所以f(-6)=f(6),由/(0)</(6),則八0)</(-6),

其它的不能確定，故選：A

3.(2021?吉林高一期末)設(shè)偶函數(shù)/(X)的定義域?yàn)镽,當(dāng)工?0,y)時，/(?是增函數(shù)，則/(一2),〃4),

/(-3)的大小關(guān)系是()

A./W>/(-3)>/(-2)B.〃乃)>/(-2)>/(-3)

C.。乃)</(-3)</(-2)D./W</(-2)</(-3)

【答案】A

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以"-3)=/(3),/(-2)=/(2),

因?yàn)榱?。,”)時,/(x)是增函數(shù)，所以〃乃>/(3)>八2),所以〃乃)>/(-3)>/(-2).故選:A

角度二解不等式問題

【例6】已知定義在［-2,2］上的奇函數(shù)火x)在區(qū)間［0,2］上是減函數(shù)，若01一加％機(jī))，求實(shí)數(shù)m的取

值范圍.

【解析】因?yàn)?)在區(qū)間［—2,2］上為奇函數(shù)，且在區(qū)間［0,2］上是減函數(shù)，所以火x)在［—2,2］上為減函

數(shù).

—2<1—w<2,

又川一⑼勺(⑼，所以，—2<w?<2,

J-ni>mf

一干2,解得舄.

m<2-

故實(shí)數(shù)的取值范圍是一Km*.

【方法技巧】

解有關(guān)奇函數(shù)4x)的不等式火〃)+人與<0,先將人〃)+大力vO變形為火〃)<一/(力)=人一與，再利用人工)的單

調(diào)性去掉?二化為關(guān)于4,〃的不等式.另外，要特別注意函數(shù)的定義域.，由于偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個

區(qū)間上的單調(diào)性相反，所以我們要利用偶函數(shù)的性質(zhì)火X)=A⑼=逐一⑼將大式0)中的虱力全部化到同一個單

調(diào)區(qū)間內(nèi)，再利用單調(diào)性去掉符號/,使不等式得解.

【針對訓(xùn)練】

1.函數(shù)危)是定義在實(shí)數(shù)集上的偶函數(shù)，且在［0,+8)上是增函數(shù)，義3)勺(2。+1),則a的取值范圍是()

A.。>1B.a<-2

C.或2D.—\<a<2

【答案】C

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)義x)在實(shí)數(shù)集上是偶函數(shù)，且角3)依2a+l),所以<3)磯2a+l|),又函數(shù)Jx)在［0,+oo)

上是增函數(shù)，所以3V|2a+l|,解之得或av—2.故選C.

2.(2021?遼寧高一期末)奇函數(shù)/⑶在(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞減且f(2)=0,則不等式(x+l)/(x)<0的解集為

()

A.(^o-2)U(-L0)U(2,+oo)B.(-2,-1)U(2,小)

C.(f,—2)U(Z”)D.(—，-2)U(-LO)U(O,2)

【答案】A

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)/⑶在(。，+8)上單調(diào)遞減，/(2)=0,

所以當(dāng)xe?2)時，f(x)>0,當(dāng)xe(2,+8),f(x)<0,

又因?yàn)榘嘶檬瞧婧瘮?shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，

所以/㈤在(-8,0)上單調(diào)遞減，/(-2)=0,

所以當(dāng)xe（-2,0）時，/（-r）＜0,當(dāng)“￡（一?,-2）時，/（x）＞0,

大致圖象如下，

故選：A.

3.（2021?福建高一期末）若定義在R的奇函數(shù)/（同在（-8,0］單調(diào)遞減，則不等式“力+/（工-2）20的解

集為〔）

A.（-oo,2］B.（-00,1］C.D.［2,-HO）

【答案】B

【解析】□/*）是奇函數(shù)，在（-8,0］上遞減，則解力在［0,+00）上遞減,

/（X）在R上是減函數(shù)，

又由/㈤是奇函數(shù)，則不等式/（力+/5―2）20可化為，*-2）2/（一幻，

□x—2^—x,x41.

故選：B.

0知識小結(jié)

1.奇偶性是函數(shù)“整體”性質(zhì)，只有對函數(shù)4刈定義域內(nèi)的每一個值X，都有逐-x）=一/（x）（或人一x）=/（x））,

才能說心）是奇函數(shù)（或偶函數(shù)）.

2.函數(shù)的奇偶性是其相應(yīng)圖象特殊對稱性的反映，也體現(xiàn)了在關(guān)于原點(diǎn)對稱的定義域的兩個區(qū)間上函

數(shù)值及其性質(zhì)的相互轉(zhuǎn)化，這是對稱思想的應(yīng)用.

3.具有奇偶性的函數(shù)的單調(diào)性的特點(diǎn)

⑴奇函數(shù)在⑷句和［一兒一句上具有相同的單調(diào)性.

⑵偶函數(shù)在口，6］和［一瓦一封上具有相反的單調(diào)性.

4.利用函數(shù)奇偶性求函數(shù)解析式的美鍵是利用奇偶函數(shù)的關(guān)系式.4-x）=-/（x）或y（—x）=/（x）,但要注

意求給定哪個區(qū)間的解析式就設(shè)這個區(qū)間上的變量為X,然后把X轉(zhuǎn)化為一式另一個已知區(qū)間上的解析式中

的變量），通過適當(dāng)推導(dǎo)，求得所求區(qū)間上的解析式.

5.偶函數(shù)的一個重要性質(zhì)：火田）=危），它能使自變量化歸到[0,+8）上，避免分類討論.

rfi鞏固提升

1.設(shè)火X）是定義在R上的奇函數(shù)，巨當(dāng)爛0時，兒:）=好一5,則｛1）=（）

A.?2

C.1D，5

3

【解析】A因?yàn)?）是定義在R上的奇函數(shù)，所以川）=一次-1）=一方

2.若函數(shù)｛x）（/（x）和）為奇函數(shù)，則必有（）

A."次一外＞0B.y(xM-x)<o

c.y（x）＜A-x）D.Ax)>A-x)

【解析】B/（》）為奇函數(shù)，

□X-x）=-y（x）,

又火工）知，

□W（-^）=-[/?]2＜0.

3.函數(shù)Xx）=2x-5的圖象關(guān)于（

A.?軸對稱B.直線y=-x對稱

C.直線y=x對稱D.坐標(biāo)原點(diǎn)對稱

【解析】D函數(shù)的定義域?yàn)椋?8,0)0(0,+oo),

則｛―勸=_次+:=—(2x-^)=

則函數(shù)大幻是奇函數(shù)，則函數(shù)yu）=2x-：的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱.故選D.

4.下列函數(shù)為奇函數(shù)的是（）

A.y=~\x\B.y=2-x

C.產(chǎn)&D.y=-f+8

【解析】CA、D兩項(xiàng)，函數(shù)均為偶函數(shù)，B項(xiàng)中函數(shù)為非奇北偶，而C項(xiàng)中函數(shù)為奇函數(shù).

5.下列說法中錯誤的個數(shù)為（）

圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的函數(shù)是奇函數(shù)；□圖象關(guān)于y軸對稱的函數(shù)是偶函數(shù)；

—奇函數(shù)的圖象一定過坐標(biāo)原點(diǎn)；I偶函數(shù)的圖象一定與y軸相交.

A.4B.3

C.2D.1

【解析】C由奇函數(shù)、偶函數(shù)的性質(zhì)，知□□說法正確；對于口，如.?=!，"□（—8,0）0（0,+8）,

它是奇函數(shù)，但它的圖象不過原點(diǎn)，所以□說法錯誤；對于口，如外）=已，工口（-8,0）0（0,+8）,它是偶

函數(shù)，但它的圖象不與7軸相交，所以口說法錯誤.故選C.

6.已知人外是偶函數(shù)，且在區(qū)間［0,+8）上是增函數(shù)，則大一0.5）,/-I）,人0）的大小關(guān)系是（）

A.^-o.5）＜y（o）＜y（-i）

B./(-1)<7(-0.5)<X0)

C.^0)<7(-0.5)</(-1)

D.x-i)<y(o)<y(-o.5)

【解析】C□函數(shù)小）為偶函數(shù)，匚火一0.5）=/（0.5）,又匚加）在區(qū)間［0,+8）上是增函數(shù),

□{0）＜述0.5）〈人1）,即40）〈人一0.5）〈火一1），故選C.

7.若函數(shù)加:）="+（2+〃?+1是偶函數(shù)，則函數(shù)＜x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

A.(—co,0]B.[0,+8)

C.(—co,+oo)D.[1,+oo)

【解析】A因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以。+2=0,。=-2,即該函數(shù)4r）=-2?+1,所以函數(shù)在（一8,

0］上單調(diào)遞增.

8.一個偶函數(shù)定義在區(qū)間［-7,7］上，它在［0,7］上的圖象如圖，下列說法正確的是（）

A.這個函數(shù)僅有一個單調(diào)增區(qū)間

B.這個函數(shù)有兩個單調(diào)減區(qū)間

C.這個函數(shù)在其定義域內(nèi)有最大值是7

D.這個函數(shù)在其定義域內(nèi)有最小值是一7

【解析】C根據(jù)偶函數(shù)在［0,7］上的圖象及其對稱性，作出函數(shù)在［-7,7］上的圖

象，如圖所示，可知這個函數(shù)有三個單調(diào)增區(qū)間；有三個單調(diào)減區(qū)間；在其定義域內(nèi)有最大值是7；在其定

義域內(nèi)最小值不是一7.故選C.

9.偶函數(shù)人防在(0,+8)內(nèi)的最小值為2019,則加)在(一8,0)上的最小值為.

【解析】2019由于偶函數(shù)的圖象關(guān)于)，軸對稱，

所以危)在對稱區(qū)間內(nèi)的最值相等.

又當(dāng)％□((),+8)時，/(X)min=2019,

故當(dāng)直口(一8,0)時，/X)min=2019.

10.若｛x)=(/n-1)/+6蛆+2是偶函數(shù)，則火0),次1),人一2)從小到大的排列是.

【解析】人一2)勺(1)飲0)當(dāng)機(jī)=1時，兒:)=6x+2不合題意；

當(dāng)〃靖1時，由題意可知，其圖象關(guān)于y軸對稱，口小=0,

匚<工)=一爐+2，

Mx)在(一8,0)上遞增，在(0,+8)上遞減.

又(Xl<2,□｛0)次1)次2)=H-2)?

11.已知人力=爐+2%，則/(〃)+/(-&)的值為.

【解析】0—X)=—X3—2x=—/(X),

匚應(yīng)—制+用。=0，

')+/(—。)=0.

12.若函數(shù)次》)=(〃?-1"2+地-2)X+(加2-7m+12)為偶函數(shù)，則〃?的值是.

【解析】2次0為偶函數(shù)，故〃［-2=0,口zn=2.

13.設(shè)危)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，危)=/+1,則火-2)+<0)=.

【解析】一5由題意知人—2)=一｛2)=—(22+1)=-5,火0)=0,匚貝-2)+<0)=—5.

14.設(shè)函數(shù)火x)="管@為奇函數(shù)，則。=.

【解析】-1□/(%)為奇函數(shù)，o/(-x)=-7(x),

x+l)(~x+t?)(x+1)(X+Q)

RJ-----------------------.

~XX

顯然；#0,整理得r—(a+l)x+a=r+(a+l)x+a,故〃+l=0,得。=-1.

15.設(shè)奇函數(shù)人助的定義域?yàn)椋?6,6］,當(dāng)x」0,6］時大x)的圖象如圖所示，不等式及)<0的解集用區(qū)間表

示為.

【解析】［-6,-3)U(0,3)由/(x)在［0,6］上的圖象知，滿足/(x)v0的不等式的解集為(0,3).又/(%)為奇

函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以在［-6,0)上，不等式的解集為［-6,-3).綜上可知，不等式./(x)vo

的解集為［-6,-3)0(0,3).

1

16.已知函數(shù)<x)=1可是奇函數(shù)，且人1)=3,{2)=5,求a,b,c的值.

【解析1因?yàn)楹瘮?shù)人工)=號?是奇函數(shù),

所以人一》)=一兀0，

故圻生=—洋，即.加+1

b(—X)十COX-rC一辰+c6x+c'

所以一Z)x+c=—(bx+c),即c=-c,解得c=0.

所以")="專.而<1)=axl24-la+1

bxl1=3,

所以°+1=3/>.口

“22+14。+1

由｛2)=5,即"2五~=，

(7

7a=y

a=g,2

解口組成的方程組,得，故，Z>=|,

匕=|.

、c=0.

17.設(shè)定義在［-2,2］上的奇函數(shù)/)=1?+%3+也

［1)求b值：

⑵若火x)在［0,2］上單調(diào)遞增，且火⑼十順一1)>0,求實(shí)數(shù)6的取值范圍.

【解析】(1)因?yàn)楹瘮?shù)外)是定義在［-2,2］上的奇函數(shù)，

所以.火0)=0,解得6=0.

⑵因?yàn)楹瘮?shù).危)在［0,2］上是增函數(shù)，又因?yàn)槿?是奇函數(shù)，所以段)在［-2,2］上是單調(diào)遞增的,

因?yàn)槿思?+/(/??—1)>0,

所以火小-1)>-/(m)=/(一”)，

所以加一1>一加，□

又需要不等式處〃)+人機(jī)-1)>0

在函數(shù).段)定義域范圍內(nèi)有意義.

一23燃2,

所以

-2<m—\<2

解二［得會機(jī)52,所以m的取值范圍為Q，2.

提升訓(xùn)練

1.(2021?北京)已知函數(shù)/(x)對任意總有f(x+y)=〃H+/(y),且當(dāng)x>0時，f(x)<0,

/(-1)=；,

(口)求證：函數(shù)f(x)是奇函數(shù)；

(口)利用函數(shù)的單調(diào)性定義證明，/(力在R上的單調(diào)遞減；

(口)若不等式/W+X)-對于任意的xe恒成立，求實(shí)數(shù)〃，的取值范圍.

【答案】①)見解析；(口)見解析；(口)川告

【解析】(口)令x=y=o,得/(析=C(O)+/(O),所以/(o)=o,

令〉=一次，得f(0)=/(%)+/(r),即O=/(X)+F(T),所以f(-x)=-/(x),

所以函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù).

(口)任取與％2€&且%>工2，貝一/(.)=/(百)+/(-%2)=〃%一馬)，

因?yàn)楫?dāng)x>0時，fM<0，而%>七，即芭一聲,。，所以/(%-％2)<0，

所以〃百)<