專題14解直角三角形（全章分層練習(xí)）（培優(yōu)練）-2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊全章復(fù)習(xí)與專題突破講與練（浙教版）

專題1.4解直角三角形（全章分層練習(xí)）（培優(yōu)練）單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考一模）如圖，在下列網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，點(diǎn)A、B、O都在格點(diǎn)上，則的正弦值是（

）A． B． C． D．2．（2023下·浙江杭州·九年級杭州綠城育華學(xué)校校考階段練習(xí)）小杰在一個(gè)高為的建筑物頂端，測得一根高出此建筑物的旗桿頂端的仰角為，旗桿與地面接觸點(diǎn)的俯角為，那么該旗桿的高度是（

）A． B． C． D．3．（2023下·安徽·九年級專題練習(xí)）在中，，，點(diǎn)D是點(diǎn)B關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，，E，F(xiàn)是，上兩點(diǎn)，作，，垂足分別為M，N，若，，則的值是（）A． B．5 C． D．4．（2023·廣東東莞·東莞市厚街海月學(xué)校校考模擬預(yù)測）正方形ABCD的邊長為8，點(diǎn)E、F分別在邊AD、BC上，將正方形沿EF折疊，使點(diǎn)A落在處，點(diǎn)B落在處，交BC于G．下列結(jié)論錯誤的是（）A．當(dāng)為CD中點(diǎn)時(shí)，則＝B．當(dāng)時(shí)，則＝C．連接，則D．當(dāng)（點(diǎn)不與C、D重合）在CD上移動時(shí)，周長隨著位置變化而變化5．（2023·四川南充·統(tǒng)考一模）綜合與實(shí)踐課上，李老師讓同學(xué)們以矩形紙片的折疊為主題開展數(shù)學(xué)活動．如圖，將矩形紙片對折，折痕為，再把點(diǎn)A折疊在折痕上，其對應(yīng)點(diǎn)為，折痕為，連接，若，，則的值為（

）A． B． C． D．6．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)從出發(fā)，以每秒個(gè)單位長度的速度沿折線運(yùn)動了秒，直線上有一動點(diǎn)，軸上有一動點(diǎn)，當(dāng)?shù)暮妥钚r(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．7．（2023上·吉林長春·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．點(diǎn)、、、均在格點(diǎn)上，與相交于點(diǎn)，則的余弦值為（

）

A． B． C． D．8．（2023·安徽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，為半圓O的直徑，點(diǎn)O為圓心，點(diǎn)C是弧上的一點(diǎn)，沿為折痕折疊交于點(diǎn)M，連接，若點(diǎn)M為的黃金分割點(diǎn)（），則的值為（）

A． B． C． D．9．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在平行四邊形中，，已知點(diǎn)在邊上，以1m/s的速度從點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動，點(diǎn)在邊上，以的速度從點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動．若點(diǎn)，同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)恰好到達(dá)點(diǎn)處，此時(shí)兩點(diǎn)都停止運(yùn)動．圖2是的面積與點(diǎn)的運(yùn)動時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系圖象（點(diǎn)為圖象的最高點(diǎn)），則平行四邊形的面積為（

）

A． B． C． D．10．（2022·湖北咸寧·?？寄M預(yù)測）如圖，菱形邊在x軸的正半軸上，且點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為4，點(diǎn)P從點(diǎn)O開始向點(diǎn)A運(yùn)動，至點(diǎn)A停止，過P點(diǎn)與x軸垂直的直線與菱形另一邊交點(diǎn)為M，記，的面積為S，且S與x的函數(shù)關(guān)系圖象如右圖，則的值為（

）

A． B． C． D．填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2023·廣東深圳·深圳外國語學(xué)校?？寄M預(yù)測）用高為的測角儀器測得電線桿的頂點(diǎn)的仰角為，測角儀到電線桿的距離為，則電線桿的高度為．12．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考二模）如圖，將反比例函數(shù)的圖像繞著坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的圖像與軸交于，若，則．

13．（2023·廣東深圳·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，一同學(xué)進(jìn)行單擺運(yùn)動實(shí)驗(yàn)，從A點(diǎn)出發(fā)，在右側(cè)達(dá)到最高點(diǎn)B．實(shí)驗(yàn)過程中在O點(diǎn)正下方的P處有一個(gè)釘子．已知在O點(diǎn)測得起始位置A的俯角是，B點(diǎn)的俯角是，B點(diǎn)測得釘子P的仰角是，且長為4，則擺繩長為．14．（2023上·江蘇南通·九年級海南中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)為矩形的對角線上一動點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，，若，，則的最小值為．15．（2023上·上海寶山·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在正方形中，E是邊的中點(diǎn)，將沿直線翻折后，點(diǎn)B落在點(diǎn)M處，連接并延長與邊交于點(diǎn)N，那么的值為．16．（2023上·山東威?！ぞ拍昙壗y(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)A，B是第一象限內(nèi)雙曲線上的點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)），若B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，為等邊三角形，則k的值是．17．（2023·廣東東莞·統(tǒng)考一模）如圖，正方形的對角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在邊上，點(diǎn)F在的延長線上，，交于點(diǎn)G，，，則．

18．（2023上·江蘇淮安·九年級?？计谥校┤鐖D，正方形的邊長為，對角線，交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在邊上，連接，F(xiàn)為上一點(diǎn)，若，，則的長為．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（遼寧省部分學(xué)校20222023學(xué)年九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）計(jì)算下列的三角函數(shù)值（寫出計(jì)算過程，保留計(jì)算結(jié)果）：．20．（8分）（2022·湖北荊門·統(tǒng)考一模）在某海域內(nèi)有三個(gè)港口A、D、C．港口C在港口A北偏東60°方向上，港口D在港口A北偏西60°方向上．一艘船以每小時(shí)25海里的速度沿北偏東30°的方向駛離A港口3小時(shí)后到達(dá)B點(diǎn)位置處，測得港口C在B處的南偏東75°方向上，此時(shí)發(fā)現(xiàn)船艙漏水，應(yīng)立即向最近的港口?？浚?）試判斷此時(shí)哪個(gè)港口離B處最近？說明理由，并求出最近距離；（2）若海水以每小時(shí)48噸的速度滲入船內(nèi)，當(dāng)船艙滲入的海水超過75噸時(shí)，船將沉入海中．已知船上的抽水機(jī)每小時(shí)可將8噸的海水排出船外，問此船在B處至少應(yīng)以怎樣的航行速度駛向最近的港口?？?，才能保證船在抵達(dá)港口前不會沉沒？（計(jì)算結(jié)果保留根號）（10分）（2022·四川達(dá)州·四川省渠縣中學(xué)校考一模）（1）（2）若關(guān)于x的分式方程有增根，試求代數(shù)式的值．22．（10分）（2022下·廣東廣州·九年級廣州六中?？茧A段練習(xí)）如圖．△ABC中．AB=BC=．AC=4．D為AC的中點(diǎn)．E、F分別為AD、CD上的動點(diǎn)．過E作PE⊥AD．且DE+2PE=2．連接PF．（1）求sin∠C；（2）連接AP．①求證AP∥BC；②請直接寫出PF+CF的最大值．23．（10分）（2021·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)．（1）求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）點(diǎn)為該拋物線上一點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），直線將的面積分成2：1兩部分，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿軸移動，運(yùn)動時(shí)間為秒，當(dāng)時(shí)，求的值．24．（12分）（2022上·湖南永州·九年級校考階段練習(xí)）已知：中，，D為直線上一點(diǎn)．（1）如圖1，于點(diǎn)H，若，求證：．（2）如圖2，，點(diǎn)D在延長線上，點(diǎn)E在上且，若，，求的值．（3）如圖3，D在延長線上，E為上一點(diǎn)，且滿足：，，若，，求的長．參考答案：1．C【分析】利用勾股定理求出AB、AO、BO的長，再由S△ABO=AB?h=AO?BO?sin∠AOB可得答案．解：由題意可知，AB=2，AO=，BO=，∵S△ABO=AB?h=AO?BO?sin∠AOB，∴×2×2=×2×2×sin∠AOB，∴sin∠AOB=，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了解直角三角形，掌握三角形的面積公式是解題的關(guān)鍵．2．C【分析】過A作于E，在中，已知了的長，可利用俯角的正切函數(shù)求出的值；進(jìn)而在中，利用仰角的正切函數(shù)求出的長；從而可得答案．解：如圖，過A作于E，則四邊形是矩形，．∵在中，，，∴，∵在中，，∴，∴．即旗桿的高度為．故選C．【點(diǎn)撥】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，首先構(gòu)造直角三角形，再運(yùn)用三角函數(shù)的定義解題，是中考常見題型，解題的關(guān)鍵是作出高線構(gòu)造直角三角形．3．A【分析】作出相應(yīng)的圖形，由軸對稱的性質(zhì)可得，，，從而可求得，由勾股定理求得，再由平行線的性質(zhì)可得，可判定，則有，，再由線段的比即可求解．解：如圖，

∵點(diǎn)D是點(diǎn)B關(guān)于的對稱點(diǎn)，，∴，，，∵，∴，即，解得：，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∵，，∴，，∴，，∴，，∵，∴，即，∴，∴，即．故選：A．【點(diǎn)撥】本題主要考查解直角三角形，軸對稱的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形分析清楚各邊的關(guān)系．4．D【分析】當(dāng)為CD中點(diǎn)時(shí)，設(shè)則，由勾股定理列方程求解，進(jìn)一步求得的值，進(jìn)而可判斷A的正誤；當(dāng)三邊之比為3：4：5時(shí)，設(shè)，，，由可求a的值，進(jìn)一步求得的值，進(jìn)而可判斷B的正誤；過點(diǎn)E作EM⊥BC，垂足為M，連接交EM，EF于點(diǎn)N，Q，證明，進(jìn)而可判斷C的正誤；D．過點(diǎn)A作，垂足為H，連接，AG，先證，可得，，再證，可得，由此證得周長＝16，進(jìn)而可判斷D的正誤．解：∵為CD中點(diǎn)，正方形ABCD的邊長為8，∴，由折疊的性質(zhì)，設(shè)則，在中，由勾股定理得，即42+（8﹣x）2＝x2，解得x＝5，∴AE＝5，DE＝3，∴，故A正確；當(dāng)三邊之比為3：4：5時(shí)，設(shè)，，，則，∵，∴，解得：，∴，，故B正確；如圖，過點(diǎn)E作EM⊥BC，垂足為M，連接交EM，EF于點(diǎn)N，Q，∴，∴，由翻折可知：EF垂直平分，∴，∴，∴，在和中，，，∴，故C正確；過點(diǎn)A作，垂足為H，連接，AG，則，由折疊的性質(zhì)可知，∴∵∴，∵∴，∴在和中∴，∴，∵，∴，在與中，，∴，∴，∴周長∴當(dāng)在CD上移動時(shí)，周長不變，故D錯誤．故選D．【點(diǎn)撥】本題考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運(yùn)用．5．A【分析】先證明，，，，，可得，，再利用正切的定義求解即可.解：∵矩形紙片對折，折痕為，，，∴，，，，由折疊可得：，∴，∴，∴.故選A【點(diǎn)撥】本題考查的是軸對稱的性質(zhì),矩形的性質(zhì),勾股定理的應(yīng)用,求解銳角的正切,熟記軸對稱的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.6．B【分析】作點(diǎn)關(guān)于對稱的點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求，根據(jù)題意求得的坐標(biāo)，進(jìn)而得出的坐標(biāo)，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)求得點(diǎn)的坐標(biāo)，待定系數(shù)法求解析式，進(jìn)而即可求解．解：如圖所示，作點(diǎn)關(guān)于對稱的點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，當(dāng)，在直線上時(shí)，的和最小時(shí)∵點(diǎn)，點(diǎn)從出發(fā)，以每秒個(gè)單位長度的速度沿折線運(yùn)動了秒，∴∴∵∴的縱坐標(biāo)為∴∴，∵點(diǎn)關(guān)于對稱的點(diǎn)，∴即設(shè)直線的解析式為，∴解得：∴直線的解析式為當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了軸對稱求線段和最值問題，解直角三角形，求得點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．7．C【分析】作于E，由可證，則可得，由此可求出的長，再在中根據(jù)面積法求出的長，再根據(jù)勾股定理求出的長，即可求出的余弦值，由于，因此可得的余弦值．解：

作于E，，，，，．中，．，，解得，．，．故選：C【點(diǎn)撥】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、用面積法求直角三角形斜邊上的高、勾股定理及余弦的定義．熟練掌握以上知識并且正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．8．A【分析】過點(diǎn)M作，垂足為D，延長交半于點(diǎn)，連接，，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得：，，從而可得，再根據(jù)黃金分割的定義可得，然后利用直徑所對的圓周角是直角可得，從而證明A字模型相似三角形，進(jìn)而利用相似三角形的性質(zhì)可得，最后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)以及平角定義定義可得：，從而可得，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算，即可解答．解：過點(diǎn)M作，垂足為D，延長交半于點(diǎn)，連接，，

由折疊得：，，∴，∵點(diǎn)M為的黃金分割點(diǎn)（），∴，∵為半圓O的直徑，∴，∴，∵，∴，∴，∵四邊形是半的內(nèi)接四邊形，∴，∵，，∴，∴，在中，．故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，黃金分割，解直角三角形，翻折變換（折疊問題），圓周角定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．9．C【分析】根據(jù)題意可得：，，設(shè)，則，作交的延長線于點(diǎn)，作交的延長線于點(diǎn)，則可得，，從而得到，根據(jù)的最大值為3，求出的值，從而得到，最后由平行四邊形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．解：根據(jù)題意可得：，，設(shè)，則，作交的延長線于點(diǎn)，作交的延長線于點(diǎn)，

，，，，，，由圖象可得的最大值為3，，解得：或（舍去），，，平行四邊形的面積為：，故選：C．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、解直角三角形、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造直角三角形，是解題的關(guān)鍵．10．A【分析】根據(jù)題意得，，，，，在中，，，，利用勾股定理求得，據(jù)此求解即可．解：作于點(diǎn)D，作于點(diǎn)E，

根據(jù)題意得，，，，，∴，，在中，，，，∴，解得，即，，∴，故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．11．【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，，再由銳角三角函數(shù)定義求出，即可得出答案．解：如下圖：過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，，在中，，∴，∴，即電線桿的高度為，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了直角三角形的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是由銳角三角函數(shù)定義正確求出．12．【分析】作出點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)前的對應(yīng)點(diǎn)B，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)C，根據(jù)得出，根據(jù)勾股定理求出，即可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求解即可．解：設(shè)點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)前的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B，則，∵，∴，∴，過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)C，∵，∴，則，根據(jù)勾股定理可得：，則，解得：，負(fù)值舍去，∴，∴，把代入得：，故答案為：．

【點(diǎn)撥】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形，求反比例函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心連線相等，所成的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，勾股定理，以及用待定系數(shù)法求解函數(shù)表達(dá)式的方法．13．【分析】如圖，過作于，過作與，由題意知，，，，，，解得，，根據(jù)，即，求解的值，根據(jù)求解的值，進(jìn)而可得的值．解：如圖，過作于，過作與，由題意知，，，，∴，，∴，，∵，∴，解得，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵在于明確線段之間的數(shù)量關(guān)系．14．【分析】作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，則的最小值為的長度；然后求出和的長度，再利用勾股定理即可求出答案．解：作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，則的最小值為的長度，∵是矩形的對角線，∴，，在直角中，，，∴，∴，由對稱的性質(zhì)，得，，∴，∴∵，，∴是等邊三角形，∴，∴是直角三角形，∴，∴的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識，正確的找到點(diǎn)使得有最小值．15．【分析】連接，正方形和翻折的性質(zhì)，得到，，設(shè)，等邊對等角結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理，求出，得到，進(jìn)而得到，得到四邊形為平行四邊形，得到，求出，勾股定理求出的長，根據(jù)同角的余角相等，得到，結(jié)合勾股定理求出的長，進(jìn)而得到的長，即可得出結(jié)果．解：∵四邊形為正方形，為的中點(diǎn)，∴，，，，連接，如圖，∵翻折，∴，∴，∴，∵，∴，即：，∴，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形，∴，設(shè)，則：，，∴，在中，；∵，∴，∴，即：，∴，∵，∴，∴，∴；故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查正方形中的折疊問題，勾股定理，解直角三角形，平行四邊形的判定和性質(zhì)．本題的綜合性強(qiáng)，難度較大，屬于壓軸題．根據(jù)題意，正確的畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．16．/【分析】作，交的延長線于N，作軸于H，軸于Q，設(shè)，通過證得三角形相似求得N的坐標(biāo)，進(jìn)一步得到A的坐標(biāo)，代入雙曲線，得到關(guān)于a的方程，解方程即可求得a的值，從而求得k的值．解：作，交的延長線于N，作軸于H，軸于Q，設(shè)，∴，∵為等邊三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴∴，∵，∴，∴A是的中點(diǎn)，∴，∵點(diǎn)A、B是第一象限內(nèi)雙曲線上的點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)），∴解得或，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形，三角形相似的判定和性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，表示出A的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．17．【分析】過點(diǎn)E作于點(diǎn)H，則是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的三邊關(guān)系及，可求得；又，可得出各個(gè)邊的長度；證明，得到，再證明，則，所以是等腰直角三角形，即可得出結(jié)果．解：如圖，過點(diǎn)E作于點(diǎn)H，則是等腰直角三角形，

設(shè)，則，，在中，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，∴，，，，，是等腰直角三角形，．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，三角函數(shù)的定義等內(nèi)容，證得的正切值及是等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．18．【分析】在中，根據(jù)，可得出，又根據(jù)正方形的邊長為6，可得出，即可求得，，再根據(jù)，可得出，從而證得，進(jìn)而得出，代入數(shù)值進(jìn)行即可求解．解：設(shè)與相交于點(diǎn)H，如圖所示：四邊形為正方形，，，在中，，，，，，根據(jù)勾股定理可得：，，又，，，，，即，，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，以及正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能證明三角形的相似從而得出對應(yīng)線段成比例進(jìn)而解決問題．19．【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行計(jì)算即可求解．解：【點(diǎn)撥】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值的混合運(yùn)算，掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．20．（1）港口C離B點(diǎn)位置最近，最近距離為海里，理由見分析；（2）每小時(shí)海里【分析】（1）作輔助線連接AC、AD、BC、BD，過B作BH⊥AC于點(diǎn)H，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，分別求得BA、BC、BD的長，比較得出最近的港口；（2）根據(jù)題意“（每小時(shí)滲入船內(nèi)的海水總量每小時(shí)排出的海水總量）×船航行的時(shí)間≤75”列出不等關(guān)系式，然后再解不等式即可求得結(jié)果．（1）解：如圖所示，連接BD，過B作BH⊥AC于點(diǎn)H．由已知得∠BAD=90°，∠BAC=30°，∠ABC=105°，AB=3×25=75．在Rt△ABH中，∵∠BAH=30°，∴BH=．∵∠ABH=60°，∴∠CBH=45°．在等腰Rt△CBH中，BC=，∴AB＞BC．又∵△BAD是直角三角形，∴BD＞AB．

綜上可得，BD＞AB＞BC．∴港口C離B點(diǎn)位置最近，最近距離為海里．（2）解：此船應(yīng)立即轉(zhuǎn)向南偏東75°方向上直接駛向港口C．設(shè)由B駛向港口C船的速度為每小時(shí)x海里，則依題意得：，解得：．答：此船應(yīng)轉(zhuǎn)向沿南偏東75°的方向向港口C航行，且航行速度至少為每小時(shí)海里，才能保證船在抵達(dá)港口前不會沉沒．【點(diǎn)撥】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用即方向角問題，根據(jù)題意準(zhǔn)確畫出示意圖是解這類題的前提和保障，可通過作輔助線構(gòu)造直角三角形，再把條件和問題轉(zhuǎn)化到直角三角形中，使問題解決．21．（1）；（2）0【分析】（1）根據(jù)零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、分母有理化和特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可；（1）由分式方程有增根，得到x2=0或x+2=0，即x=2或x=2，分別代入整式方程計(jì)算即可求出m的值；再對分式先化簡，再把合適的m值代入化簡后的式子進(jìn)行計(jì)算即可解答．解：（1）=++1+=+1+1+=；（2）分式方程去分母得：x+2+mx=x2，由分式方程有增根，得到x2=0或x+2=0，即x=2或x=2，把x=2代入整式方程得：m=2；把x=2代入整式方程得：m=2；，∵m0，m1，m2，∴當(dāng)m=2時(shí)，原式=．【點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的運(yùn)算，特殊角的三角函數(shù)值，分式方程的增根，分式的化簡求值．注意：增根確定后可按如下步驟進(jìn)行：①化分式方程為整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．22．（1）；（2）①見詳解；②【分析】（1）連接BD，由三線合一得到，由勾股定理求出，進(jìn)而利用銳角三角函數(shù)的定義求解；（2）①根據(jù)，設(shè)，得到，結(jié)合（1）得到，進(jìn)而得到，利銳角三角函數(shù)的定義得到，易得，最后利用平行線的判定求解；②先用勾股定理求出，再利用E、F分別為AD、CD上的動點(diǎn)，使為中點(diǎn)得到，，進(jìn)而求出，，即可求解它的最大值．（1）解：連接BD，如下圖，∵，∴是等腰三角形．∵D為AC的中點(diǎn)，∴．∵，∴，∴，∴；（2）解：①∵，設(shè)，則，∴．∵由（1）得，，∴，∴．∵，∴，∴，∴，∴；②由①，，PE⊥AD，∴．∵E、F分別為AD、CD上的動點(diǎn)，使為中點(diǎn)，則，，∴．∵，且，x不能小于0，∴，解得，∴，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值是．【點(diǎn)撥】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理，平行線的判定和一次函數(shù)最大值的求法．理解銳角三角函數(shù)的定義是解答關(guān)鍵．23．（1）；（2）點(diǎn)（6，8）；（3）當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿軸正方向移動時(shí)，秒；沿CO方向在軸移動時(shí)，秒．【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法