專(zhuān)題18特殊四邊形及圓的相關(guān)證明與計(jì)算（17類(lèi)重點(diǎn)考向）

主題四平面幾何專(zhuān)題18特殊四邊形及圓的相關(guān)證明與計(jì)算目錄一覽知識(shí)目標(biāo)（新課程標(biāo)準(zhǔn)提煉）中考命題趨勢(shì)（分析考察方向，精準(zhǔn)把握重難點(diǎn)）重點(diǎn)考向（以真題為例，探究中考命題方向）?考向一直角三角形斜邊上的中線?考向二平行四邊形的判定與性質(zhì)?考向三矩形的判定與性質(zhì)?考向四菱形的判定與性質(zhì)?考向五正方形的判定與性質(zhì)?考向六垂徑定理的應(yīng)用?考向七圓周角定理?考向八圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)?考向九三角形的外接圓與外心?考向十直線與圓的位置關(guān)系?考向十一切線的判定與性質(zhì)?考向十二三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心?考向十三正多邊形和圓?考向十四弧長(zhǎng)的計(jì)算?考向十五扇形面積的計(jì)算?考向十六圓錐的計(jì)算?考向十七圓的綜合題最新真題薈萃（精選最新典型真題，強(qiáng)化知識(shí)運(yùn)用，優(yōu)化解題技巧）1.理解矩形、菱形、正方形的概念，以及它們之間的關(guān)系；探索并證明矩形、菱形、正方形的性質(zhì)定理和判定定理.2.探索圓周角與圓心角及其所對(duì)弧的關(guān)系，了解并證明圓周角定理及其推論；理解圓、弧、弦、圓心角、圓周角的概念，了解等圓、等弧的概念；知道三角形的外心；3.圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)．了解直線和圓的位置關(guān)系，掌握切線的概念，探索切線與過(guò)切點(diǎn)的半徑關(guān)系，會(huì)用三角尺過(guò)圓上一點(diǎn)畫(huà)圓的切線；知道三角形的內(nèi)心．4.會(huì)計(jì)算圓的弧長(zhǎng)、扇形的面積；了解正多邊形的概念及正多邊形與圓的關(guān)系．特殊四邊形考點(diǎn)內(nèi)容是考查重點(diǎn)，年年都會(huì)考查，分值為15分左右，預(yù)計(jì)2024年各地中考還將出現(xiàn)，并且在選擇、填空題中考查利用特殊四邊形性質(zhì)和判定求角度、長(zhǎng)度問(wèn)題的可能性比較大。解答題中考查特殊四邊形的性質(zhì)和判定，一般和三角形全等、解直角三角形、二次函數(shù)、動(dòng)態(tài)問(wèn)題綜合應(yīng)用的可能性比較大。對(duì)于本考點(diǎn)內(nèi)容，要注重基礎(chǔ)，反復(fù)練習(xí)，靈活運(yùn)用。圓的性質(zhì)及其證明與計(jì)算板塊內(nèi)容以考查綜合題為主，也是考查重點(diǎn)，除了填空題和選擇題外，年年都會(huì)考查綜合題，對(duì)多數(shù)考生來(lái)說(shuō)也是難點(diǎn)，分值為5分左右。預(yù)計(jì)2024年各地中考肯定還是考查的重點(diǎn)在選擇、填空題中考查，考查形式多樣，多以動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)圖的形式給出，難度較大。關(guān)鍵是掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法，力爭(zhēng)拿到全分。與切線有關(guān)的證明與計(jì)算板塊內(nèi)容以考查綜合題為主，也是考查重點(diǎn)，除了填空題和選擇題外，年年都會(huì)考查綜合題，對(duì)多數(shù)考生來(lái)說(shuō)也是難點(diǎn)，分值為8分左右。預(yù)計(jì)2024年各地中考肯定還是考查的重點(diǎn)在選擇、填空題中考查，在解答題中想必還會(huì)考查切線的性質(zhì)和判定，和直角三角形結(jié)合的求線段長(zhǎng)的問(wèn)題和三角函數(shù)結(jié)合的求角度的問(wèn)題等知識(shí)點(diǎn)綜合，考查形式多樣，多以動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)圖的形式給出，難度較大。關(guān)鍵是掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法，力爭(zhēng)拿到全分。弧長(zhǎng)、扇形面積相關(guān)計(jì)算板塊內(nèi)容以考查綜合題為主，也是考查重點(diǎn)，除了填空題和選擇題外，年年都會(huì)考查綜合題，對(duì)多數(shù)考生來(lái)說(shuō)也是難點(diǎn)，分值為5分左右。預(yù)計(jì)2024年各地中考肯定還是考查的重點(diǎn)在選擇、填空題中考查弧長(zhǎng)、扇形面積，考查形式多樣，難度較大。關(guān)鍵是掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法，力爭(zhēng)拿到全分。?考向一直角三角形斜邊上的中線1．（2023?株洲）一技術(shù)人員用刻度尺（單位：cm）測(cè)量某三角形部件的尺寸．如圖所示，已知∠ACB＝90°，點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的刻度為1、7，則CD＝（）A．3.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm【思路點(diǎn)撥】根據(jù)圖形和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可以計(jì)算出CD的長(zhǎng)．【完整解答】解：由圖可得，∠ACB＝90°，AB＝7﹣1＝6（cm），點(diǎn)D為線段AB的中點(diǎn)，∴CD＝AB＝3cm，故選：B．【考點(diǎn)剖析】本題考查直角三角形斜邊上的中線，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．2．（2023?荊州）如圖，CD為Rt△ABC斜邊AB上的中線，E為AC的中點(diǎn)．若AC＝8，CD＝5，則DE＝3．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)得到AB＝2CD＝10，根據(jù)勾股定理得到BC＝＝6，根據(jù)三角形中位線定理即可得到結(jié)論．【完整解答】解：∵CD為Rt△ABC斜邊AB上的中線，CD＝5，∴AB＝2CD＝10，∵∠ACB＝90°，AC＝8，∴BC＝＝6，∵E為AC的中點(diǎn)，∴AE＝CE，∴DE是△ABC的中位線，∴DE＝BC＝3，故答案為：3．【考點(diǎn)剖析】本題考查了直角三角形斜邊上的中線，勾股定理，三角形中位線定理，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．?考向二平行四邊形的判定與性質(zhì)3．（2023?貴州）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，延長(zhǎng)CB至D，使得BD＝CB，過(guò)點(diǎn)A，D分別作AE∥BD，DE∥BA，AE與DE相交于點(diǎn)E．下面是兩位同學(xué)的對(duì)話：小星：由題目的已知條件，若連接BE，則可證明BE⊥CD．小紅：由題目的已知條件，若連接CE，則可證明CE＝DE．（1）請(qǐng)你選擇一位同學(xué)的說(shuō)法，并進(jìn)行證明；（2）連接AD，若，求AC的長(zhǎng)．【思路點(diǎn)撥】（1）小星：連接BE，根據(jù)平行四邊的判定定理得到四邊形ABDE是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AE＝BD，推出四邊形AEBC是平行四邊形，根據(jù)矩形性質(zhì)得到BE⊥CD；小紅：連接BE，CE，根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)以及矩形的判定和性質(zhì)定理即可得到論；（2）連接AD，設(shè)CB＝2k，AC＝3k，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【完整解答】（1）證明：小星：連接BE，∵AE∥BD，DE∥BA，∴四邊形ABDE是平行四邊形，∴AE＝BD，∵BD＝BC，∴AE＝BC，∵AE∥BC，∴四邊形AEBC是平行四邊形，∵∠C＝90°，∴四邊形AEBC是矩形，∴∠EBC＝90°，∴BE⊥CD；小紅：連接CE，BE，∵AE∥BD，DE∥BA，∴四邊形ABDE是平行四邊形，∴AE＝BD，AB＝DE，∵BD＝BC，∴AE＝BC，∵AE∥BC，∴四邊形AEBC是平行四邊形，∵∠C＝90°，∴四邊形AEBC是矩形，∴AB＝CE，∴DE＝CE；（2）∵，∴設(shè)CB＝2k，AC＝3k，∴CD＝4k，∵AC2+DC2＝AD2，∴（3k）2+（4k）2＝（5）2，∴k＝，∴AC＝3．【考點(diǎn)剖析】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2023?揚(yáng)州）如圖，點(diǎn)E、F、G、H分別是平行四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)，連接AF、CE相交于點(diǎn)M，連接AG、CH相交于點(diǎn)N．（1）求證：四邊形AMCN是平行四邊形；（2）若?AMCN的面積為4，求?ABCD的面積．【思路點(diǎn)撥】（1）依據(jù)四邊形AFCH是平行四邊形，可得AM∥CN，依據(jù)四邊形AECG是平行四邊形，可得AN∥CM，進(jìn)而得出四邊形AMCN是平行四邊形；（2）連接AC，依據(jù)三角形重心的性質(zhì)，即可得到S△ACN＝S△ACH，再根據(jù)CH是△ACD的中線，即可得出S△ACN＝S△ACD，進(jìn)而得到S平行四邊形AMCN＝S平行四邊形ABCD，依據(jù)?AMCN的面積為4，即可得出結(jié)論．【完整解答】解：（1）∵點(diǎn)E、F、G、H分別是平行四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)，∴AH∥CF，AH＝CF，∴四邊形AFCH是平行四邊形，∴AM∥CN，同理可得，四邊形AECG是平行四邊形，∴AN∥CM，∴四邊形AMCN是平行四邊形；（2）如圖所示，連接AC，∵H，G分別是AD，CD的中點(diǎn)，∴點(diǎn)N是△ACD的重心，∴CN＝2HN，∴S△ACN＝S△ACH，又∵CH是△ACD的中線，∴S△ACN＝S△ACD，又∵AC是平行四邊形AMCN和平行四邊形ABCD的對(duì)角線，∴S平行四邊形AMCN＝S平行四邊形ABCD，又∵?AMCN的面積為4，∴?ABCD的面積為12．【考點(diǎn)剖析】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)以及三角形重心性質(zhì)的運(yùn)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的判定方法以及三角形重心性質(zhì)．?考向三矩形的判定與性質(zhì)5．（2023?雅安）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，P為邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，作PD⊥BC于點(diǎn)D，PE⊥AC于點(diǎn)E，則DE的最小值為3．【思路點(diǎn)撥】連接CP，由勾股定理求出AB的長(zhǎng)，再證四邊形CDPE是矩形，得DE＝CP，然后由等腰直角三角形的性質(zhì)求出CP的長(zhǎng)，即可得出結(jié)論．【完整解答】解：如圖，連接CP，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，AB＝＝＝6，∵PD⊥BC，PE⊥AC，∴∠PDC＝∠PEC＝90°，∴四邊形CDPE是矩形，∴DE＝CP，由垂線段最短可得，當(dāng)CP⊥AB時(shí)，線段DE的值最小，此時(shí)，AP＝BP，∴CP＝AB＝3，∴DE的最小值為3，故答案為：3．【考點(diǎn)剖析】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理、垂線段最短以及等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2023?大慶）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為線段CD的中點(diǎn)，連接AC，AE，延長(zhǎng)AE，BC交于點(diǎn)F，連接DF，∠ACF＝90°．（1）求證：四邊形ACFD是矩形；（2）若CD＝13，CF＝5，求四邊形ABCE的面積．【思路點(diǎn)撥】（1）證明△ADE≌△FCE（AAS），得AE＝FE，所以四邊形ACFD是平行四邊形，再根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形即可解決問(wèn)題；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理求出DF的值，由△ADE≌△FCE，可得四邊形ABCE的面積＝平行四邊形ABCD﹣△CEF的面積，進(jìn)而可以解決問(wèn)題．【完整解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠ADE＝∠FCE，∠DAE＝∠CFE，∵E為線段CD的中點(diǎn)，∴DE＝CE，∴△ADE≌△FCE（AAS），∴AE＝FE，∴四邊形ACFD是平行四邊形，∵∠ACF＝90°，∴四邊形ACFD是矩形；（2）解：∵四邊形ACFD是矩形，∴∠CFD＝90°，AC＝DF，∵CD＝13，CF＝5，∴DF＝＝＝12，∵△ADE≌△FCE，∵△CEF的面積＝△ACF的面積＝5×12＝15，平行四邊形ABCD的面積＝BC?AC＝5×12＝60，∴四邊形ABCE的面積＝平行四邊形ABCD的面積﹣△CEF的面積＝60﹣15＝45．【考點(diǎn)剖析】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握矩形的性質(zhì)．?考向四菱形的判定與性質(zhì)7．（2023?德陽(yáng)）如圖，?ABCD的面積為12，AC＝BD＝6，AC與BD交于點(diǎn)O，分別過(guò)點(diǎn)C，D作BD，AC的平行線相交于點(diǎn)F，點(diǎn)G是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是四邊形OCFD邊上的動(dòng)點(diǎn)，則PG的最小值是（）A．1 B． C． D．3【思路點(diǎn)撥】先判定四邊形OCFD為菱形，找出當(dāng)GP垂直于菱形OCFD的一邊時(shí)，PG有最小值．過(guò)D點(diǎn)作DM⊥AC于M，過(guò)G點(diǎn)作GP⊥AC與P，則GP∥OD，利用平行四邊形的面積求解DM的長(zhǎng)，再利用三角形的中位線定理可求解PG的長(zhǎng)，進(jìn)而可求解．【完整解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，AC＝BD，∴OD＝OC，∵DF∥AC，OD∥CF，∴四邊形OCFD為菱形，∵點(diǎn)G是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是四邊形OCFD邊上的動(dòng)點(diǎn)，∴當(dāng)GP垂直于菱形OCFD的一邊時(shí)，PG有最小值．過(guò)D點(diǎn)作DM⊥AC于M，過(guò)G點(diǎn)作GP⊥AC與P，則GP∥MD，∵矩形ABCD的面積為12，AC＝6，∴2×AC?DM＝12，即2××6?DM＝12，解得DM＝2，∵G為CD的中點(diǎn)，∴GP為△DMC的中位線，∴GP＝DM＝1，故PG的最小值為1．故選：A．【考點(diǎn)剖析】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線等知識(shí)的綜合運(yùn)用，找準(zhǔn)PG有最小值時(shí)的P點(diǎn)位置是解題的關(guān)鍵．8．（2022?遼寧）如圖，CD是△ABC的角平分線，過(guò)點(diǎn)D分別作AC，BC的平行線，交BC于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F．若∠ACB＝60°，CD＝4，則四邊形CEDF的周長(zhǎng)是16．【思路點(diǎn)撥】連接EF交CD于O，證明四邊形CEDF是菱形，可得CD⊥EF，∠ECD＝∠ACB＝30°，OC＝CD＝2，在Rt△COE中，可得CE＝＝＝4，故四邊形CEDF的周長(zhǎng)是4CE＝16．【完整解答】解：連接EF交CD于O，如圖：∵DE∥AC，DF∥BC，∴四邊形CEDF是平行四邊形，∵CD是△ABC的角平分線，∴∠FCD＝∠ECD，∵DE∥AC，∴∠FCD＝∠CDE，∴∠ECD＝∠CDE，∴CE＝DE，∴四邊形CEDF是菱形，∴CD⊥EF，∠ECD＝∠ACB＝30°，OC＝CD＝2，在Rt△COE中，CE＝＝＝4，∴四邊形CEDF的周長(zhǎng)是4CE＝4×4＝16，故答案為：16．【考點(diǎn)剖析】本題考查是三角形角平分線及菱形性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是掌握平行線性質(zhì)，證明四邊形CEDF是菱形．?考向五正方形的判定與性質(zhì)9．（2020?臺(tái)州）下列是關(guān)于某個(gè)四邊形的三個(gè)結(jié)論：①它的對(duì)角線相等；②它是一個(gè)正方形；③它是一個(gè)矩形．下列推理過(guò)程正確的是（）A．由②推出③，由③推出① B．由①推出②，由②推出③ C．由③推出①，由①推出② D．由①推出③，由③推出②【思路點(diǎn)撥】根據(jù)對(duì)角線相等的四邊形推不出是正方形或矩形即可判斷．【完整解答】解：對(duì)角線相等的四邊形推不出是正方形或矩形，故①→②，①→③錯(cuò)誤，故選項(xiàng)B，C，D錯(cuò)誤，故選：A．【考點(diǎn)剖析】本題考查正方形的判定和性質(zhì)，矩形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．10．（2017?玉林）如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是AC，BC上的點(diǎn)（點(diǎn)E不與端點(diǎn)A，C重合），且AE＝CF，連接EF并取EF的中點(diǎn)O，連接DO并延長(zhǎng)至點(diǎn)G，使GO＝OD，連接DE，DF，GE，GF．（1）求證：四邊形EDFG是正方形；（2）當(dāng)點(diǎn)E在什么位置時(shí)，四邊形EDFG的面積最??？并求四邊形EDFG面積的最小值．【思路點(diǎn)撥】（1）連接CD，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得出∠A＝∠DCF＝45°、AD＝CD，結(jié)合AE＝CF可證出△ADE≌△CDF（SAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出DE＝DF、ADE＝∠CDF，通過(guò)角的計(jì)算可得出∠EDF＝90°，再根據(jù)O為EF的中點(diǎn)、GO＝OD，即可得出GD⊥EF，且GD＝2OD＝EF，由此即可證出四邊形EDFG是正方形；（2）過(guò)點(diǎn)D作DE′⊥AC于E′，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得出DE′的長(zhǎng)度，從而得出2≤DE＜2，再根據(jù)正方形的面積公式即可得出四邊形EDFG的面積的最小值．【完整解答】（1）證明：連接CD，如圖1所示．∵△ABC為等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D是AB的中點(diǎn)，∴∠A＝∠DCF＝45°，AD＝CD．在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF．∵∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠EDC+∠CDF＝∠EDF＝90°，∴△EDF為等腰直角三角形．∵O為EF的中點(diǎn)，GO＝OD，∴GD⊥EF，且GD＝2OD＝EF，∴四邊形EDFG是正方形；（2）解：過(guò)點(diǎn)D作DE′⊥AC于E′，如圖2所示．∵△ABC為等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，∴DE′＝BC＝2，AB＝4，點(diǎn)E′為AC的中點(diǎn)，∴2≤DE＜2（點(diǎn)E與點(diǎn)E′重合時(shí)取等號(hào)）．∴4≤S四邊形EDFG＝DE2＜8．∴當(dāng)點(diǎn)E為線段AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形EDFG的面積最小，該最小值為4．【考點(diǎn)剖析】本題考查了正方形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形以及全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）找出GD⊥EF且GD＝EF；（2）根據(jù)正方形的面積公式找出4≤S四邊形EDFG＜8．?考向六垂徑定理的應(yīng)用11．（2023?廣西）趙州橋是當(dāng)今世界上建造最早，保存最完整的中國(guó)古代單孔敞肩石拱橋．如圖，主橋拱呈圓弧形，跨度約為37m，拱高約為7m，則趙州橋主橋拱半徑R約為（）A．20m B．28m C．35m D．40m【思路點(diǎn)撥】設(shè)主橋拱半徑R，根據(jù)垂徑定理得到AD＝，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．【完整解答】解：由題意可知，AB＝37m，CD＝7m，設(shè)主橋拱半徑為Rm，∴OD＝OC﹣CD＝（R﹣7）m，∵OC是半徑，OC⊥AB，∴AD＝BD＝AB＝（m），在RtADO中，AD2+OD2＝OA2，∴（）2+（R﹣7）2＝R2，解得R＝≈28．故選：B．【考點(diǎn)剖析】本題主要考查垂徑定理的應(yīng)用，涉及勾股定理，解題的關(guān)鍵是用勾股定理列出關(guān)于R的方程解決問(wèn)題．12．（2023?東營(yíng)）“圓材埋壁”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的一個(gè)問(wèn)題：“今有圓材，埋在壁中，不知大?。凿忎徶钜淮?，鋸道長(zhǎng)一尺．問(wèn)：徑幾何？”轉(zhuǎn)化為現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)就是：如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD，垂足為E，CE＝1寸，AB＝10寸，則直徑CD的長(zhǎng)度為26寸．【思路點(diǎn)撥】連接OA，設(shè)⊙O的半徑是r寸，由垂徑定理得到AE＝AB＝5寸，由勾股定理得到r2＝（r﹣1）2+52，求出r，即可得到圓的直徑長(zhǎng)．【完整解答】解：連接OA，設(shè)⊙O的半徑是r寸，∵直徑CD⊥AB，∴AE＝AB＝×10＝5寸，∵CE＝1寸，∴OE＝（r﹣1）寸，∵OA2＝OE2+AE2，∴r2＝（r﹣1）2+52，∴r＝13，∴直徑CD的長(zhǎng)度為2r＝26寸．故答案為：26．【考點(diǎn)剖析】本題考查垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是連接OA構(gòu)造直角三角形，應(yīng)用垂徑定理，勾股定理列出關(guān)于圓半徑的方程．?考向七圓周角定理13．（2023?云南）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)．若∠BOC＝66°，則∠A＝（）A．66° B．33° C．24° D．30°【思路點(diǎn)撥】根據(jù)圓周角定理解答即可，在同圓或等圓中，同弧所對(duì)的圓周角等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．【完整解答】解：∵∠A＝∠BOC，∠BOC＝66°，∴∠A＝33°．故選：B．【考點(diǎn)剖析】本題考查了圓周角定理，圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．定理成立的條件是“同一條弧所對(duì)的”兩種角，在運(yùn)用定理時(shí)不要忽略了這個(gè)條件，把不同弧所對(duì)的圓周角與圓心角錯(cuò)當(dāng)成同一條弧所對(duì)的圓周角和圓心角．14．（2023?深圳）如圖，在⊙O中，AB為直徑，C為圓上一點(diǎn)，∠BAC的角平分線與⊙O交于點(diǎn)D，若∠ADC＝20°，則∠BAD＝35°．【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得∠ACB＝90°，再利用圓周角定理可得∠ADC＝∠ABC＝20°，然后利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得∠BAC＝70°，從而利用角平分線的定義進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【完整解答】解：∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠ADC＝20°，∴∠ADC＝∠ABC＝20°，∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝70°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC＝35°，故答案為：35．【考點(diǎn)剖析】本題考查了圓周角定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵．?考向八圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)15．（2023?西藏）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)．若∠DCE＝65°，則∠BOD的度數(shù)是（）A．65° B．115° C．130° D．140°【思路點(diǎn)撥】根據(jù)鄰補(bǔ)角互補(bǔ)求出∠DCB的度數(shù)，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)求出∠BAD的度數(shù)，最后根據(jù)圓周角定理即可求出∠BOD的度數(shù)．【完整解答】解：∵∠DCE＝65°，∴∠DCB＝180°﹣∠DCE＝180°﹣65°＝115°，∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠BAD+∠DCB＝180°，∴∠BAD＝65°，∴∠BOD＝2∠BAD＝2×65°＝130°，故選：C．【考點(diǎn)剖析】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，熟練掌握這些定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．（2023?淮安）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，BC是⊙O的直徑，BC＝2CD，則∠BAD的度數(shù)是120°．【思路點(diǎn)撥】連接OD，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠C＝60°，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)計(jì)算，得到答案．【完整解答】解：如圖，連接OD，∵BC是⊙O的直徑，BC＝2CD，∴OC＝OD＝CD，∴△COD為等邊三角形，∴∠C＝60°，∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠BAD+∠C＝180°，∴∠BAD＝120°，故答案為：120．【考點(diǎn)剖析】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)，掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．?考向九三角形的外接圓與外心17．（2023?自貢）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，CD是⊙O的直徑，連接BD，∠DCA＝41°，則∠ABC的度數(shù)是（）A．41° B．45° C．49° D．59°【思路點(diǎn)撥】由直徑所對(duì)的圓周角是直角可得∠DBC＝90°，由同弧所對(duì)的圓周角相等可得∠DBA＝∠DCA，進(jìn)而可計(jì)算∠ABC．【完整解答】解：∵CD是⊙O的直徑，∴∠DBC＝90°，∵∠DBA＝∠DCA＝41°，∴∠ABC＝90°﹣∠DBA＝49°，故選：C．【考點(diǎn)剖析】本題主要考查了直徑所對(duì)的圓周角是直角、同弧所對(duì)的圓周角相等，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，難度不大．18．（2023?湖北）如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中，小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上的圖形稱為格點(diǎn)圖形，圖中的圓弧為格點(diǎn)△ABC外接圓的一部分，小正方形邊長(zhǎng)為1，圖中陰影部分的面積為（）A．π﹣ B．π﹣ C．π﹣ D．π﹣【思路點(diǎn)撥】作AB的垂直平分線MN，作BC的垂直平分線PQ，設(shè)MN與PQ相交于點(diǎn)O，連接OA，OB，OC，則點(diǎn)O是△ABC外接圓的圓心，先根據(jù)勾股定理的逆定理證明△AOC是直角三角形，從而可得∠AOC＝90°，然后根據(jù)圖中陰影部分的面積＝扇形AOC的面積﹣△AOC的面積﹣△ABC的面積，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【完整解答】解：如圖：作AB的垂直平分線MN，作BC的垂直平分線PQ，設(shè)MN與PQ相交于點(diǎn)O，連接OA，OB，OC，則點(diǎn)O是△ABC外接圓的圓心，由題意得：OA2＝12+22＝5，OC2＝12+22＝5，AC2＝12+32＝10，∴OA2+OC2＝AC2，∴△AOC是直角三角形，∴∠AOC＝90°，∵AO＝OC＝，∴圖中陰影部分的面積＝扇形AOC的面積﹣△AOC的面積﹣△ABC的面積＝﹣OA?OC﹣AB?1＝﹣××﹣×2×1＝﹣﹣1＝﹣，故選：D．【考點(diǎn)剖析】本題考查了三角形的外接圓與外心，扇形面積的計(jì)算，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．?考向十直線與圓的位置關(guān)系19．（2023?宿遷）在同一平面內(nèi)，已知⊙O的半徑為2，圓心O到直線l的距離為3，點(diǎn)P為圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l的最大距離是（）A．2 B．5 C．6 D．8【思路點(diǎn)撥】根據(jù)圓心到直線l的距離為3，而圓的半徑為2，此時(shí)直線與圓相離，當(dāng)點(diǎn)P在⊙O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在BO的延長(zhǎng)線與⊙O的交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P到直線l的距離最大，根據(jù)題意畫(huà)出圖形進(jìn)行解答即可．【完整解答】解：如圖，由題意得，OA＝2，OB＝3，當(dāng)點(diǎn)P在BO的延長(zhǎng)線與⊙O的交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P到直線l的距離最大，此時(shí)，點(diǎn)P到直線l的最大距離是3+2＝5，故選：B．【考點(diǎn)剖析】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，掌握直線與圓的位置與圓心到直線的距離之間的關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．20．（2023?鎮(zhèn)江）已知一次函數(shù)y＝kx+2的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，r為半徑作⊙O．若對(duì)于符合條件的任意實(shí)數(shù)k，一次函數(shù)y＝kx+2的圖象與⊙O總有兩個(gè)公共點(diǎn)，則r的最小值為2．【思路點(diǎn)撥】在y＝kx+2中，令x＝0，則y＝2，于是得到一次函數(shù)y＝kx+2的圖象與y軸交于（0，2），求得一次函數(shù)過(guò)定點(diǎn)（0，2），當(dāng)⊙O過(guò)（0，2）時(shí)，兩者至少有一個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)一次函數(shù)經(jīng)過(guò)一、二、四象限，得到直線與圓必有兩個(gè)交點(diǎn)，而當(dāng)⊙O半徑小于2時(shí)，圓與直線存在相離可能，于是得到結(jié)論．【完整解答】解：在y＝kx+2中，令x＝0，則y＝2，∴一次函數(shù)y＝kx+2的圖象與y軸交于（0，2），∴一次函數(shù)過(guò)定點(diǎn)（0，2），當(dāng)⊙O過(guò)（0，2）時(shí)，兩者至少有一個(gè)交點(diǎn)，∵一次函數(shù)經(jīng)過(guò)一、二、四象限，∴直線與圓必有兩個(gè)交點(diǎn)，而當(dāng)⊙O半徑小于2時(shí)，圓與直線存在相離可能，∴半徑至少為2，故r的最小值為2，故答案為：2．【考點(diǎn)剖析】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握直線與圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵．?考向十一切線的判定與性質(zhì)21．（2023?郴州）如圖，在⊙O中，AB是直徑，點(diǎn)C是圓上一點(diǎn)．在AB的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)D，連接CD，使∠BCD＝∠A．（1）求證：直線CD是⊙O的切線；（2）若∠ACD＝120°，CD＝2，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果用含π的式子表示）．【思路點(diǎn)撥】（1）連接OC，由AB是直徑，可得∠ACB＝∠OCA+∠OCB＝90°，再證∠OCA＝∠A＝∠BCD，從而有∠BCD+∠OCB＝∠OCD＝90°，即可證明．（2）由圓周角定理求得∠AOC＝2∠A＝60°，在Rt△OCD中，解直角三角形得OC＝2，然后利用三角形的面積公式和扇形的面積公式即可解答．【完整解答】（1）證明：連接OC，∵AB是直徑，∴∠ACB＝∠OCA+∠OCB＝90°，∵OA＝OC，∠BCD＝∠A，∴∠OCA＝∠A＝∠BCD，∴∠BCD+∠OCB＝∠OCD＝90°，∴OC⊥CD，∵OC是⊙O的半徑，∴直線CD是⊙O的切線．（2）解：∵∠ACD＝120°，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠BCD＝∠120°﹣90°＝30°，∴∠BOC＝2∠A＝60°，在Rt△OCD中，tan∠BOC＝＝tan60°，CD＝2，∴，解得OC＝2，∴陰影部分的面積＝S△OCD﹣S扇形BOC＝﹣＝2﹣．【考點(diǎn)剖析】本題主要考查圓周角定理，切線的判定，扇形的面積公式及解直角三角形，熟練掌握性質(zhì)是解題關(guān)鍵．22．（2023?巴中）如圖，已知等腰△ABC，AB＝AC，以AB為直徑作⊙O交BC于點(diǎn)D，過(guò)D作DF⊥AC于點(diǎn)E，交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．（1）求證：DF是⊙O的切線．（2）若CE＝，CD＝2，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果用π表示）．【思路點(diǎn)撥】（1）連接OD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證明AC∥OD，進(jìn)而可以得到結(jié)論；（2）連接AD，根據(jù)勾股定理求出ED＝1，根據(jù)銳角三角函數(shù)可得∠AOD＝60°，然后證明OD是△ABC的中位線，求出r＝，根據(jù)陰影部分的面積＝四邊形AODE的面積﹣扇形AOD的面積，代入值即可．【完整解答】（1）證明：如圖，連接OD，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∴∠ODB＝∠C，∴AC∥OD，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∵OD是⊙O的半徑，∴DF是⊙O的切線；（2）解：如圖，連接AD，設(shè)⊙O的半徑為r，在Rt△CED中，CE＝，CD＝2，∴ED2＝CD2﹣CE2＝4﹣3＝1，∴ED＝1，∵cos∠C＝＝，∴∠C＝30°，∴∠B＝30°，∴∠AOD＝60°，∵AC∥OD，O為AB的中點(diǎn)，∴OD是△ABC的中位線，∴D是BC中點(diǎn)，∴CD＝BD＝2，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴AD＝AB＝r，∴BD＝AD＝r＝2，∴r＝，∴AB＝2r＝，∴AE＝AC﹣CE＝AB﹣＝﹣＝，∴陰影部分的面積＝四邊形AODE的面積﹣扇形AOD的面積＝（+）×1﹣π×（）2＝﹣．【考點(diǎn)剖析】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形中位線定理，圓周角定理，扇形面積計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)，能綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．?考向十二三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心23．（2023?廣州）如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙I與BC，CA，AB分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，若⊙I的半徑為r，∠A＝α，則（BF+CE﹣BC）的值和∠FDE的大小分別為（）A．2r，90°﹣α B．0，90°﹣α C．2r， D．0，【思路點(diǎn)撥】如圖，連接IF，IE．利用切線長(zhǎng)定理，圓周角定理，切線的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．【完整解答】解：如圖，連接IF，IE．∵△ABC的內(nèi)切圓⊙I與BC，CA，AB分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，∴BF＝BD，CD＝CE，IF⊥AB，IE⊥AC，∴BF+CE﹣BC＝BD+CD﹣BC＝BC﹣BC＝0，∠AFI＝∠AEI＝90°，∴∠EIF＝180°﹣α，∴∠EDF＝∠EIF＝90°﹣α．故選：D．【考點(diǎn)剖析】本題考查三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，圓周角定理，切線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握切線的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．24．（2023?攀枝花）已知△ABC的周長(zhǎng)為l，其內(nèi)切圓的面積為πr2，則△ABC的面積為（）A．rl B．πrl C．rl D．πrl【思路點(diǎn)撥】由題意可得S△AOB＝AB×OE＝AB×r，S△BOC＝BC×r，S△AOC＝AC×r，由面積關(guān)系可求解．【完整解答】解：如圖，設(shè)內(nèi)切圓O與△ABC相切于點(diǎn)D，點(diǎn)E，點(diǎn)F，連接OA，OB，OC，OE，OF，OD，∵AB切⊙O于E，∴OE⊥AB，OE＝r，∴S△AOB＝AB×OE＝AB×r，同理：S△BOC＝BC×r，S△AOC＝AC×r，∴S＝S△AOB+S△BOC+S△AOC＝AB×r+BC×r+AC×r＝（AB+BC+AC）×r，∵l＝AB+BC+AC，∴S＝lr，故選：A．【考點(diǎn)剖析】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，掌握內(nèi)切圓的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．?考向十三正多邊形和圓25．（2023?福建）我國(guó)魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提到了著名的“割圓術(shù)”，即利用圓的內(nèi)接正多邊形逼近圓的方法來(lái)近似估算，指出“割之彌細(xì)，所失彌少．割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無(wú)所失矣”．“割圓術(shù)”孕育了微積分思想，他用這種思想得到了圓周率π的近似值為3.1416．如圖，⊙O的半徑為1，運(yùn)用“割圓術(shù)”，以圓內(nèi)接正六邊形面積近似估計(jì)⊙O的面積，可得π的估計(jì)值為，若用圓內(nèi)接正十二邊形作近似估計(jì)，可得π的估計(jì)值為（）A． B．2 C．3 D．2【思路點(diǎn)撥】過(guò)A作AM⊥OB于M，求得∠AOB＝360°÷12＝30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AM＝OA＝，根據(jù)三角形的面積公式得到S△AOB＝，于是得到正十二邊形的面積為12×＝3，根據(jù)圓的面積公式即可得到結(jié)論．【完整解答】解：如圖，AB是正十二邊形的一條邊，點(diǎn)O是正十二邊形的中心，過(guò)A作AM⊥OB于M，在正十二邊形中，∠AOB＝360°÷12＝30°，∴AM＝OA＝，∴S△AOB＝OB?AM＝＝，∴正十二邊形的面積為12×＝3，∴3＝12×π，∴π＝3，∴π的近似值為3，故選：C．【考點(diǎn)剖析】本題考查了正多邊形與圓，三角形的面積的計(jì)算，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．26．（2023?衡陽(yáng)）如圖，用若干個(gè)全等的正五邊形排成圓環(huán)狀，圖中所示的是其中3個(gè)正五邊形的位置．要完成這一圓環(huán)排列，共需要正五邊形的個(gè)數(shù)是10．【思路點(diǎn)撥】先求出多邊形的每一個(gè)內(nèi)角為108°，可得到∠O＝36°，即可求解．【完整解答】解：∵多邊形是正五邊形，∴正五邊形的每一個(gè)內(nèi)角為：×180°×（5﹣2）＝108°，∴∠O＝180°﹣（180°﹣108°）×2＝36°，∴正五邊形的個(gè)數(shù)是360°÷36°＝10．故答案為：10．【考點(diǎn)剖析】本題主要考查正多邊形與圓，多邊形內(nèi)角和問(wèn)題，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．?考向十四弧長(zhǎng)的計(jì)算27．（2023?青島）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠B＝58°，∠ACD＝40°．若⊙O的半徑為5，則的長(zhǎng)為（）A． B． C．π D．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)圓周角的性質(zhì)，計(jì)算出弧DC所對(duì)的圓心角度數(shù)，按照公式求出弧長(zhǎng)即可．【完整解答】解：連接OA、OD、OC，∴∠AOC＝2∠B＝116°，∠AOD＝2∠ACD＝80°，∴∠DOC＝36°，∴＝＝π．故選：C．【考點(diǎn)剖析】本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算和圓周角定理，同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半．28．（2023?阜新）如圖，四邊形OABC1是正方形，曲線C1C2C3C4C5…叫作“正方形的漸開(kāi)線”，其中，，，，…的圓心依次按O，A，B，C1循環(huán)，當(dāng)OA＝1時(shí)，點(diǎn)C2023的坐標(biāo)是（）A．（﹣1，﹣2022） B．（﹣2023，1） C．（﹣1，﹣2023） D．（2022，0）【思路點(diǎn)撥】由題得點(diǎn)的位置每4個(gè)一循環(huán)，經(jīng)計(jì)算得出C2023在第三象限，與C3，C7，C11，…符合同一規(guī)律，探究出C3，C7，C11，...的規(guī)律即可．【完整解答】解：由圖得C1（0，1），C2（1，0），C3（﹣1，﹣2），C4（﹣4，1），C5（0，5），C6（5，0），C7（﹣1，﹣6），…點(diǎn)C的位置每4個(gè)一循環(huán)，2023＝505×4+3，∴C2023在第三象限，與C3，C7，C11，…符合規(guī)律（﹣1，﹣n+1），∴C2023坐標(biāo)為（﹣1，﹣2022）．故選：A．【考點(diǎn)剖析】本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)的規(guī)律的探究，理解題意求出坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．?考向十五扇形面積的計(jì)算29．（2023?連云港）如圖，矩形ABCD內(nèi)接于⊙O，分別以AB、BC、CD、AD為直徑向外作半圓．若AB＝4，BC＝5，則陰影部分的面積是（）A．π﹣20 B．π﹣20 C．20π D．20【思路點(diǎn)撥】根據(jù)矩形的性質(zhì)可求出BD，再根據(jù)圖形中各個(gè)部分面積之間的關(guān)系，即S陰影部分＝S以AD為直徑的圓+S以AB為直徑的圓+S矩形ABCD﹣S以BD為直徑的圓進(jìn)行計(jì)算即可．【完整解答】解：如圖，連接BD，則BD過(guò)點(diǎn)O，在Rt△ABD中，AB＝4，BC＝5，∴BD2＝AB2+AD2＝41，S陰影部分＝S以AD為直徑的圓+S以AB為直徑的圓+S矩形ABCD﹣S以BD為直徑的圓＝π×（）2+π×（）2+4×5﹣π×（）2＝+20﹣＝20，故選：D．【考點(diǎn)剖析】本題考查勾股定理，矩形的性質(zhì)以及扇形面積的計(jì)算，掌握矩形的性質(zhì)、勾股定理以及扇形面積的計(jì)算方法是正確解答的前提．30．（2023?婁底）如圖，正六邊形ABCDEF的外接圓⊙O的半徑為2，過(guò)圓心O的兩條直線l1、l2的夾角為60°，則圖中的陰影部分的面積為（）A．π﹣ B．π﹣ C．π﹣ D．π﹣【思路點(diǎn)撥】連接AD，OC，由⊙O是正六邊形的外接圓可求得∠COD＝60°，△COD是等邊三角形，根據(jù)扇形面積公式可求S扇形COD，根據(jù)三角形面積公式可求S△COD，利用三角形全等將兩塊陰影部分拼接，轉(zhuǎn)化為弓形，根據(jù)S陰影＝S扇形COD﹣S△COD即可求解．【完整解答】解：如圖，連接AD，OC，∵⊙O是正六邊形的外接圓，∴AD必過(guò)點(diǎn)O，∠COD＝＝60°，又∵OC＝OD，∴△COD是等邊三角形，OC＝OD＝CD＝2，∵直線l1、l2的夾角為60°，∴∠COD﹣∠KOD＝∠KOH﹣∠KOD，即∠COK＝∠DOH，又∵∠DOH＝∠AOG，∴∠COK＝∠AOG，∵∠OCK＝∠OAG＝60°，OC＝OA，∴△OCK≌△OAG（ASA），S扇形COM＝S扇形AON，∴S扇形COM﹣S△OCK＝S扇形AON﹣S△OAG，∴S陰影＝S扇形COD﹣S△COD，∵S扇形COD＝＝π，S△COD＝＝，∴S陰影＝π﹣．故選：C．【考點(diǎn)剖析】本題主要考查了正多邊形和圓，三角形面積和扇形面積計(jì)算，明確S陰影＝S扇形COD﹣S△COD是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．?考向十六圓錐的計(jì)算31．（2023?赤峰）某班學(xué)生表演課本劇，要制作一頂圓錐形的小丑帽．如圖，這個(gè)圓錐的底面圓周長(zhǎng)為20πcm，母線AB長(zhǎng)為30cm．為了使帽子更美觀，要粘貼彩帶進(jìn)行裝飾，其中需要粘貼一條從點(diǎn)A處開(kāi)始，繞側(cè)面一周又回到點(diǎn)A的彩帶（彩帶寬度忽略不計(jì)），這條彩帶的最短長(zhǎng)度是（）A．30cm B．30cm C．60cm D．20πcm【思路點(diǎn)撥】利用圓錐的底面周長(zhǎng)等于側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)可得圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角，求出側(cè)面展開(kāi)圖中兩點(diǎn)間的距離即為最短距離．【完整解答】解：∵圓錐的底面圓周長(zhǎng)為20πcm，∴圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的扇形的弧長(zhǎng)為20πcm，設(shè)扇形的圓心角為n度，∴＝20π，解得n＝120，∴∠ABA′＝120°，作BC⊥AA′于點(diǎn)C，∴∠BAA′＝30°，∴AC＝AB×cos30°＝30×＝15（cm），∴AA′＝2AC＝30（cm），∴這條彩帶的最短長(zhǎng)度是30cm．故選：B．【考點(diǎn)剖析】本題考查平面展開(kāi)﹣?zhàn)疃搪窂絾?wèn)題，圓錐的計(jì)算，把把立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形求解是解決本題的突破點(diǎn)．32．（2023?蘇州）如圖，在?ABCD中，AB＝+1，BC＝2，AH⊥CD，垂足為H，AH＝．以點(diǎn)A為圓心，AH長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與AB，AC，AD分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G．若用扇形AEF圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，記這個(gè)圓錐底面圓的半徑為r1；用扇形AHG圍成另一個(gè)圓錐的側(cè)面，記這個(gè)圓錐底面圓的半徑為r2，則r1﹣r2＝．（結(jié)果保留根號(hào)）【思路點(diǎn)撥】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及正弦函數(shù)的定義求出∠D＝60°，∠BAC＝45°，利用弧長(zhǎng)公式以及圓的周長(zhǎng)公式求出r1，r2即可．【完整解答】解：在?ABCD中，AB＝+1，BC＝2，∴AD＝BC＝2，CD＝AB＝+1，AB∥CD．∵AH⊥CD，垂足為H，AH＝，∴sinD＝＝，∴∠D＝60°，∴∠DAH＝90°﹣∠D＝30°，∴DH＝AD＝1，∴CH＝CD﹣DH＝+1﹣1＝，∴CH＝AH，∵AH⊥CD，∴△ACH是等腰直角三角形，∴∠ACH＝∠CAH＝45°，∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACH＝45°，∴＝2πr1，解得r1＝，＝2πr2，解得r2＝，∴r1﹣r2＝﹣＝．故答案為：．【考點(diǎn)剖析】本題考查了圓錐的計(jì)算，平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形，弧長(zhǎng)公式，求出∠D＝60°，∠BAC＝45°是解決本題的關(guān)鍵．?考向十七圓的綜合題33．（2023?杭州）如圖，在⊙O中，直徑AB垂直弦CD于點(diǎn)E，連接AC，AD，BC，作CF⊥AD于點(diǎn)F，交線段OB于點(diǎn)G（不與點(diǎn)O，B重合），連接OF．（1）若BE＝1，求GE的長(zhǎng)．（2）求證：BC2＝BG?BO．（3）若FO＝FG，猜想∠CAD的度數(shù)，并證明你的結(jié)論．【思路點(diǎn)撥】（1）由垂徑定理可得∠AED＝90°，結(jié)合CF⊥AD可得∠DAE＝∠FCD，根據(jù)圓周角定理可得∠DAE＝∠BCD，進(jìn)而可得∠BCD＝∠FCD，通過(guò)證明△BCE≌△GCE，可得GE＝BE＝1；（2）證明△ACB∽△CEB，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例可得BC2＝BA?BE，再根據(jù)AB＝2BO，BE＝BG，可證BC2＝BG?BO；（3）方法一：設(shè)∠DAE＝∠CAE＝α，∠FOG＝∠FGO＝β，可證a＝90°﹣β，∠OCF＝90﹣3α，通過(guò)SAS證明△COF≌△AOF，進(jìn)而可得∠OCF＝∠OAF，即90°﹣3a＝a，則∠CAD＝2a＝45°．方法二：延長(zhǎng)FO交AC于點(diǎn)H，連接OC，證明△AFC是等腰直角三角形，即可解決問(wèn)題．【完整解答】（1）解：直徑AB垂直弦CD，∴∠AED＝90°，∴∠DAE+∠D＝90°，∵CF⊥AD，∴∠FCD+∠D＝90°，∴∠DAE＝∠FCD，由圓周角定理得∠DAE＝∠BCD，∴∠BCD＝∠FCD，在△BCE和△GCE中，，∴△BCE≌△GCE（ASA），∴GE＝BE＝1；（2）證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CEB＝90°，∵∠ABC＝∠CBE，∴△ACB∽△CEB，∴＝，∴BC2＝BA?BE，由（1）知GE＝BE，∴BE＝BG，∵AB＝2BO，∴BC2＝BA?BE＝2BO?BG＝BG?BO；（3）解：∠CAD＝45°，證明如下：解法一：如圖，連接OC，∵FO＝FG，∴∠FOG＝∠FGO，∵直徑AB垂直弦CD，∴CE＝DE，∠AED＝∠AEC＝90°，∵AE＝AE，∴△ACE≌△ADE（SAS），∴∠DAE＝∠CAE，設(shè)∠DAE＝∠CAE＝α，∠FOG＝∠FGO＝β，則∠FCD＝∠BCD＝∠DAE＝α，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝α，∵∠ACB＝90°，∴∠OCF＝∠ACB﹣∠OCA﹣∠FCD﹣∠BCD＝90°﹣3α，∵∠CGE＝∠OGF＝β，∠GCE＝α，∠CGE+∠GCE＝90°，∴β+α＝90°，∴α＝90°﹣β，∵∠COG＝∠OAC+∠OCA＝α+α＝2α，∴∠COF＝∠COG+∠GOF＝2α+β＝2（90°﹣β）+β＝180°﹣β，∴∠COF＝∠AOF，在△COF和△AOF中，，∴△COF≌△AOF（SAS），∴∠OCF＝∠OAF，即90°﹣3α＝α，∴α＝22.5°，∴∠CAD＝2a＝45°．解法二：如圖，延長(zhǎng)FO交AC于點(diǎn)H，連接OC，∵FO＝FG，∴∠FOG＝∠FGO，∴∠FOG＝∠FGO＝∠CGB＝∠B，∴BC∥FH，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠AHO＝90°，∵OA＝OC，∴AH＝CH，∴AF＝CF，∵CF⊥AD，∴△AFC是等腰直角三角形，∴∠CAD＝45°．【考點(diǎn)剖析】本題是圓的綜合題，考查垂徑定理，圓周角定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等，難度較大，解題的關(guān)鍵是綜合應(yīng)用上述知識(shí)點(diǎn)，特別是第3問(wèn)，需要大膽猜想，再逐步論證．34．（2023?棗莊）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作射線BD的垂線，垂足為E．（1）求證：CE是⊙O的切線；（2）若BE＝3，AB＝4，求BC的長(zhǎng)；（3）在（2）的條件下，求陰影部分的面積（用含有π的式子表示）．【思路點(diǎn)撥】（1）連接OC，證明OC∥BE，即可得到結(jié)論．（2）連接AC，證明△ACB∽△CEB，從而可得，再代入求值即可．（3）連接OD，CD，證明CD∥AB，從而可得S△COD＝S△CBD，求出扇形COD的面積即可得到陰影部分的面積．【完整解答】（1）證明：如圖，連接OC，∵點(diǎn)C是的中點(diǎn)，∴，∴∠ABC＝∠EBC，∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB，∴∠EBC＝∠OCB，∴OC∥BE，∵BE⊥CE，∴半徑OC⊥CE，∴CE是⊙O的切線．（2）解：如圖，連接AC，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CEB＝90°，∵∠ABC＝∠EBC，∴△ACB∽△CEB，∴，∴，∴．答：BC的長(zhǎng)為2．（3）解：如圖，連接OD、CD，∵AB＝4，∴OC＝OB＝2，在Rt△BCE中，，∴，∴∠CBE＝30°，∴∠COD＝60°，∴∠AOC＝60°，∵OC＝OD，∴△COD是等邊三角形，∴∠CDO＝60°，∴∠CDO＝∠AOC，∴CD∥AB，∴S△COD＝S△CBD，∴．答：陰影部分的面積為．【考點(diǎn)剖析】本題考查了圓的綜合應(yīng)用，熟練掌握切線的判斷定理以及扇形面積的求法是解題的關(guān)鍵．1．（2023?赤峰）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6．點(diǎn)F是AB中點(diǎn)，連接CF，把線段CF沿射線BC方向平移到DE，點(diǎn)D在AC上．則線段CF在平移過(guò)程中掃過(guò)區(qū)域形成的四邊形CFDE的周長(zhǎng)和面積分別是（）A．16，6 B．18，18 C．16，12 D．12，16【思路點(diǎn)撥】先論證四邊形CFDE是平行四邊形，再分別求出CF，CD，DF，繼而用平行四邊形的周長(zhǎng)公式和面積公式求出即可．【完整解答】解：由平移的性質(zhì)可知DF∥CE，DF＝CE，∴四邊形CFDE是平行四邊形，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，∴AC＝＝＝8，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，∴CF＝AB＝5，∵DF∥CE，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，∴＝＝，∠CDF＝180°﹣∠ABC＝90°，∴點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，∴CD＝AC＝4，∵點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，∴DF是Rt△ABC的中位線，∴DF＝BC＝3，∴四邊形CFDE的周長(zhǎng)為2（DF+CF）＝2×（5+3）＝16，四邊形CFDE的面積為DF?CD＝3×4＝12．故選：C．【考點(diǎn)剖析】本題主要考查了平移的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，平行線分線段成比例定理，三角形中位線定理等知識(shí)，推到四邊形FDE是平行四邊形和DF是Rt△ABC的中位線是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．2．（2022?杭州）如圖，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AM上，EF⊥AC于點(diǎn)F，連接CM，CE．已知∠A＝50°，∠ACE＝30°．（1）求證：CE＝CM．（2）若AB＝4，求線段FC的長(zhǎng)．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得MC＝MA＝MB，根據(jù)外角的性質(zhì)可得∠MEC＝∠A+∠ACE，∠EMC＝∠B+∠MCB，根據(jù)等角對(duì)等邊即可得證；（2）根據(jù)CE＝CM先求出CE的長(zhǎng)，再解直角三角形即可求出FC的長(zhǎng)．【完整解答】（1）證明：∵∠ACB＝90°，點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)，∴MC＝MA＝MB，∴∠MCA＝∠A，∠MCB＝∠B，∵∠A＝50°，∴∠MCA＝50°，∠MCB＝∠B＝40°，∴∠EMC＝∠MCB+∠B＝80°，∵∠ACE＝30°，∴∠MEC＝∠A+∠ACE＝80°，∴∠MEC＝∠EMC，∴CE＝CM；（2）解：∵AB＝4，∴CE＝CM＝AB＝2，∵EF⊥AC，∠ACE＝30°，∴FC＝CE?cos30°＝．【考點(diǎn)剖析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，涉及三角形外角的性質(zhì)，解直角三角形等，熟練掌握并靈活運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2022?德陽(yáng)）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2cm，過(guò)點(diǎn)D作BC的垂線，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)沿BD方向以2cm/s向點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)E從點(diǎn)H出發(fā)沿HD方向以1cm/s向點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)E，F(xiàn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（單位：s），且0＜t＜3，過(guò)F作FG⊥BC于點(diǎn)G，連結(jié)EF．（1）求證：四邊形EFGH是矩形；（2）連結(jié)FC，EC，點(diǎn)F，E在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△BFC與△DCE是否能夠全等？若能，求出此時(shí)t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)平行線的判定定理得到EH∥FG，由題意知BF＝2tcm，EH＝tcm，推出四邊形EFGH是平行四邊形，根據(jù)矩形的判定定理即可得到四邊形EFGH是矩形；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到∠ABC＝60°，AB＝2cm，求得∠ADC＝∠ABC＝60°，CD＝AB＝2cm，解直角三角形即可得到結(jié)論．【完整解答】（1）證明：∵EH⊥BC，F(xiàn)G⊥BC，∴EH∥FG，由題意知BF＝2tcm，EH＝tcm，∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴∠CBD＝30°，∴FG＝BF＝tcm，∴EH＝FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形，∵∠FGH＝90°，∴四邊形EFGH是矩形；（2）△BFC與△DCE能夠全等，理由：∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2cm，∴∠ADC＝∠ABC＝60°，CD＝AB＝2cm，AB∥CD，∴∠CBD＝∠CDB＝30°，∠DCH＝∠ABC＝60°，∵DH⊥BC，∴∠CHD＝90°，∴∠CDH＝90°﹣60°＝30°＝∠CBF，在Rt△CDH中，sin∠CDH＝，∴DH＝2×＝3，∵BF＝2tcm，∴EH＝tcm，∴DE＝（3﹣t）cm，∴當(dāng)BF＝DE時(shí)，△BFC≌△DEC，∴2t＝3﹣t，∴t＝1．【考點(diǎn)剖析】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握矩形的判定定理是解題的關(guān)鍵．4．（2022?涼山州）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AF∥BC交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．（1）求證：四邊形ADBF是菱形；（2）若AB＝8，菱形ADBF的面積為40．求AC的長(zhǎng)．【思路點(diǎn)撥】（1）利用平行線的性質(zhì)可得∠AFC＝∠FCD，∠FAE＝∠CDE，利用中點(diǎn)的定義可得AE＝DE，從而證明△FAE≌△CDE，然后利用全等三角形的性質(zhì)可得AF＝CD，再根據(jù)D是BC的中點(diǎn)，可得AF＝BD，從而可證四邊形AFBD是平行四邊形，最后利用直角三角形斜邊上的中線可得BD＝AD，從而利用菱形的判定定理即可解答；（2）利用（1）的結(jié)論可得菱形ADBF的面積＝2△ABD的面積，再根據(jù)點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，可得△ABC的面積＝2△ABD的面積，進(jìn)而可得菱形ADBF的面積＝△ABC的面積，然后利用三角形的面積進(jìn)行計(jì)算即可解答．【完整解答】（1）證明：∵AF∥BC，∴∠AFC＝∠FCD，∠FAE＝∠CDE，∵點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，∴AE＝DE，∴△FAE≌△CDE（AAS），∴AF＝CD，∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD，∴AF＝BD，∴四邊形AFBD是平行四邊形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中點(diǎn)，∴AD＝BD＝BC，∴四邊形ADBF是菱形；（2）解：∵四邊形ADBF是菱形，∴菱形ADBF的面積＝2△ABD的面積，∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴△ABC的面積＝2△ABD的面積，∴菱形ADBF的面積＝△ABC的面積＝40，∴AB?AC＝40，∴×8?AC＝40，∴AC＝10，∴AC的長(zhǎng)為10．【考點(diǎn)剖析】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，以及菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2009?威海）如圖1，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA上的點(diǎn)，HA＝EB＝FC＝GD，連接EG，F(xiàn)H，交點(diǎn)為O．（1）如圖2，連接EF，F(xiàn)G，GH，HE，試判斷四邊形EFGH的形狀，并證明你的結(jié)論；（2）將正方形ABCD沿線段EG，HF剪開(kāi)，再把得到的四個(gè)四邊形按圖3的方式拼接成一個(gè)四邊形．若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3cm，HA＝EB＝FC＝GD＝1cm，則圖3中陰影部分的面積為1cm2．【思路點(diǎn)撥】（1）先證明△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，可得出四邊形GHEF是菱形，再根據(jù)全等三角形角之間的關(guān)系，又可得出菱形的一個(gè)角是直角，那么就可得出四邊形GHEF是正方形．（2）根據(jù)已知條件，可以知道重新拼成的四邊形是正方形（因?yàn)檎叫蜧HEF的對(duì)角線翻到了外邊，做了新拼成的正方形的邊長(zhǎng)），利用勾股定理求出GF和GO、FO的長(zhǎng)，所的面積是10減去4個(gè)四邊形GOFC的面積就是陰影部分的面積．【完整解答】解：（1）四邊形EFGH是正方形．證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA，∵HA＝EB＝FC＝GD，∴AE＝BF＝CG＝DH，∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，∴EF＝FG＝GH＝HE，∴四邊形EFGH是菱形，∵△DHG≌△AEH，∴∠DHG＝∠AEH，∵∠AEH+∠AHE＝90°，∴∠DHG+∠AHE＝90°，∴∠GHE＝90°，∴四邊形EFGH是正方形．（2）∵HA＝EB＝FC＝GD＝1，AB＝BC＝CD＝AD＝3，∴GF＝EF＝EH＝GH＝（cm），∵由（1）知，四邊形EFGH是正方形，∴GO＝OF，∠GOF＝90°，由勾股定理得：GO＝OF＝（cm），∵S四邊形FCGO＝×1×2+××＝（cm2，∴S陰影＝﹣S四邊形FCGO×4＝10﹣9＝1（cm2），故答案為：1．【考點(diǎn)剖析】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，以及菱形的判定的綜合運(yùn)用．6．（2023?蘇州）如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)C，D在半圓上，，連接OC，CA，OD，過(guò)點(diǎn)B作EB⊥AB，交OD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．設(shè)△OAC的面積為S1，△OBE的面積為S2，若，則tan∠ACO的值為（）A． B． C． D．【思路點(diǎn)撥】如圖，過(guò)C作CH⊥AO于H，證明∠COD＝∠BOE＝∠CAO，由，即，可得＝，證明tan∠A＝tan∠BOE，可得，設(shè)AH＝2m，則BO＝3m＝AO＝CO，可得OH＝3m﹣2m＝m，CH＝m，再利用正切的定義可得答案．【完整解答】解：如圖，過(guò)C作CH⊥AO于H，∵，∴∠COD＝∠BOE＝∠CAO，∵，即，∴，∵∠A＝∠BOE，∴tan∠A＝tan∠BOE，∴，即，設(shè)AH＝2m，則BO＝3m＝AO＝CO，∴OH＝3m﹣2m＝m，∴CH＝，∴tan∠A＝＝，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∴tan∠ACO＝；故選A．【考點(diǎn)剖析】本題考查的是圓周角定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，作出合適的輔助線構(gòu)建直角三角形是解本題的關(guān)鍵．7．（2023?金昌）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D是⊙O上一點(diǎn)，∠CDB＝55°，則∠ABC＝35°．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)圓周角定理和三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論．【完整解答】解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠A＝∠D＝55°，∴∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝35°，故答案為：35．【考點(diǎn)剖析】本題考查了三角形的外接圓與外心：熟練掌握三角形的外心的定義與性質(zhì)．也考查了圓周角定理．8．（2023?遼寧）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，CE平分∠ACB交⊙O于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．（1）求證：EF與⊙O相切；（2）若∠CAB＝30°，AB＝8，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AC于點(diǎn)M，交⊙O于點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)N，求的長(zhǎng)．【思路點(diǎn)撥】（1）連接OE，利用直徑所對(duì)的圓周角為直角，角平分線的定義，圓周角定理，垂直的定義，平行線的性質(zhì)和圓的切線的判定定理解答即可；（2）連接OG，OC，利用同圓的半徑相等，等邊三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理求得∠AOG的度數(shù)，再利用圓的弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【完整解答】（1）證明：連接OE，如圖，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵CE平分∠ACB交⊙O于點(diǎn)E，∴∠ACE＝∠ACB＝45°，∴∠AOE＝2∠ACE＝90°，∴OE⊥AB，∵EF∥AB，∴OE⊥FE．∵OE為⊙O的半徑，∴EF與⊙O相切；（2）解：連接OG，OC，∵∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，∴∠B＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC為等邊三角形，∴∠COB＝60°，∴∠AOC＝120°．∵∠ACE＝45°，EG⊥AC，∴∠MEC＝45°，∴∠GOC＝2∠MEC＝90°，∴∠AOG＝∠AOC﹣∠GOC＝30°，∵AB＝8，AB是⊙O的直徑，∴OA＝OG＝4，∴的長(zhǎng)＝＝．【考點(diǎn)剖析】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理，角平分線的定義，垂直的定義，平行線的性質(zhì)，圓的切線的判定定理，圓的弧長(zhǎng)公式，熟練掌握?qǐng)A的有關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，連接經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑是解決此類(lèi)問(wèn)題常添加的輔助線．9．（2023?鎮(zhèn)江）《九章算術(shù)》中記載：“今有勾八步，股一十五步．問(wèn)勾中容圓徑幾何？”譯文：今有一個(gè)直角三角形，勾（短直角邊）長(zhǎng)為8步，股（長(zhǎng)直角邊）長(zhǎng)為15步，問(wèn)該直角三角形內(nèi)切圓的直徑是多少？書(shū)中給出的算法譯文如下：如圖，根據(jù)勾、股，求得弦長(zhǎng)．用勾、股、弦相加作為除數(shù)，用勾乘以股，再乘以2作為被除數(shù)，商即為該直角三角形內(nèi)切圓的直徑，求得該直徑等于6步（注：“步”為長(zhǎng)度單位）．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)勾股定理求出直角三角形的斜邊，根據(jù)直角三角形的內(nèi)切圓的半徑的求法確定出內(nèi)切圓半徑，得到直徑．【完整解答】解：根據(jù)勾股定理得：斜邊為＝17，則該直角三角形能容納的圓形（內(nèi)切圓）半徑r＝＝3（步），即直徑為6步，故答案為：6．【考點(diǎn)剖析】此題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，掌握Rt△ABC中，兩直角邊分別為a、b，斜邊為c，其內(nèi)切圓半徑r＝是解題的關(guān)鍵．10．（2023?菏澤）如圖，正八邊形ABCDEFGH的邊長(zhǎng)為4，以頂點(diǎn)A為圓心，AB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，則陰影部分的面積為6π（結(jié)果保留π）．【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)正八邊形的性質(zhì)求出圓心角的度數(shù)，再根據(jù)扇形面積的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算即可．【完整解答】解：由題意得，∠HAB＝＝135°，AH＝AB＝4，∴S陰影部分＝＝6π，故答案為：6π．【考點(diǎn)剖析】本題考查正多邊形和圓，掌握正多邊形內(nèi)角和的計(jì)算方法以及扇形面積的計(jì)算方法是正確解答的前提．∵∠B＝58°，∠ACD＝40°．11．（2023?張家界）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABOC是正方形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，1），是以點(diǎn)B為圓心，BA為半徑的圓??；是以點(diǎn)O為圓心，OA1為半徑的圓?。皇且渣c(diǎn)C為圓心，CA2為半徑的圓弧；是以點(diǎn)A為圓心，AA3為半徑的圓弧，繼續(xù)以點(diǎn)B、O、C、A為圓心，按上述作法得到的曲線AA1A2A3A4A5…稱為正方形的“漸開(kāi)線”，則點(diǎn)A2023的坐標(biāo)是（﹣2023，1）．【思路點(diǎn)撥】將四分之一圓弧對(duì)應(yīng)的A點(diǎn)坐標(biāo)看作順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，再根據(jù)A