數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)：排列

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精教學(xué)設(shè)計(jì)1．2.1排列eq\o(\s\up7(),\s\do5（整體設(shè)計(jì)））教材分析分類加法計(jì)數(shù)原理是對(duì)完成一件事的所有方法的一個(gè)劃分，依分類加法計(jì)數(shù)原理解題,首先明確要做的這件事是什么,其次分類時(shí)要根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)確定分類的標(biāo)準(zhǔn)，最后在確定的標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行分類．分類要注意不重復(fù)、不遺漏，保證每類辦法都能完成這件事．分步乘法計(jì)數(shù)原理是指完成一件事的任何方法要按照一定的標(biāo)準(zhǔn)分成幾個(gè)步驟，必須且只需連續(xù)完成這幾個(gè)步驟后才算完成這件事,每步中的任何一種方法都不能完成這件事．分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理的地位是有區(qū)別的，分類加法計(jì)數(shù)原理更具有一般性，解決復(fù)雜問(wèn)題時(shí)往往需要先分類，每類中再分成幾步．在排列、組合教學(xué)的起始階段,不能嫌啰嗦,教師一定要先做出表率并要求學(xué)生嚴(yán)格按原理去分析問(wèn)題．只有這樣才能使學(xué)生認(rèn)識(shí)深刻、理解到位、思路清晰，才會(huì)做到分類有據(jù)、分步有方，為排列、組合的學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)．分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理既是推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式的基礎(chǔ)，也是解決排列、組合問(wèn)題的主要依據(jù)，并且還常需要直接運(yùn)用它們?nèi)ソ鉀Q問(wèn)題．這兩個(gè)原理貫穿排列、組合學(xué)習(xí)過(guò)程的始終．搞好排列、組合問(wèn)題的教學(xué)從這兩個(gè)原理入手帶有根本性．排列與組合都是研究從一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一組，并求有多少種不同方法的問(wèn)題．排列與組合的區(qū)別在于問(wèn)題是否與順序有關(guān)．與順序有關(guān)的是排列問(wèn)題，與順序無(wú)關(guān)的是組合問(wèn)題，順序?qū)ε帕?、組合問(wèn)題的求解特別重要．排列與組合的區(qū)別，從定義上來(lái)說(shuō)是簡(jiǎn)單的，但在具體求解過(guò)程中學(xué)生往往感到困惑,分不清到底與順序有無(wú)關(guān)系．課時(shí)分配3課時(shí)第一課時(shí)教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能了解排列數(shù)的意義，掌握排列數(shù)公式及推導(dǎo)方法，并能運(yùn)用排列數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算．過(guò)程與方法經(jīng)歷排列數(shù)公式的推導(dǎo)過(guò)程,從中體會(huì)“化歸"的數(shù)學(xué)思想．情感、態(tài)度與價(jià)值觀能運(yùn)用所學(xué)的排列知識(shí)，正確地解決實(shí)際問(wèn)題,體會(huì)“化歸”思想的魅力．重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):排列、排列數(shù)的概念．教學(xué)難點(diǎn)：排列數(shù)公式的推導(dǎo)．eq\o(\s\up7(),\s\do5（教學(xué)過(guò)程))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（引入新課））提出問(wèn)題1：前面我們學(xué)習(xí)了分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理，請(qǐng)同學(xué)們回顧兩個(gè)原理的內(nèi)容，并回顧兩個(gè)原理的區(qū)別與聯(lián)系．活動(dòng)設(shè)計(jì):教師提問(wèn),學(xué)生補(bǔ)充．活動(dòng)成果：1．分類加法計(jì)數(shù)原理：做一件事情，完成它可以有n類辦法,在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，……,在第n類辦法中有mn種不同的方法．那么完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法．2．分步乘法計(jì)數(shù)原理:做一件事情，完成它需要分成n個(gè)步驟,做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法．3．分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理，回答的都是有關(guān)做一件事的不同方法種數(shù)的問(wèn)題,區(qū)別在于：分類加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分類”問(wèn)題,其中各種方法相互獨(dú)立，每一種方法只屬于某一類,用其中任何一種方法都可以做完這件事;分步乘法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分步"問(wèn)題，各個(gè)步驟中的方法相互依存,某一步驟中的每一種方法都只能做完這件事的一個(gè)步驟，只有各個(gè)步驟都完成才算做完這件事．應(yīng)用兩種原理解題：①分清要完成的事情是什么；②是分類完成還是分步完成，“類”間互相獨(dú)立，“步”間互相聯(lián)系；③有無(wú)特殊條件的限制．設(shè)計(jì)意圖:復(fù)習(xí)兩個(gè)原理，為新知識(shí)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)．提出問(wèn)題2:研究下面三個(gè)問(wèn)題有什么共同特點(diǎn)？能否對(duì)下面的計(jì)數(shù)問(wèn)題給出一種簡(jiǎn)便的計(jì)數(shù)方法呢？問(wèn)題一:從5人的數(shù)學(xué)興趣小組中選2人分別擔(dān)任正、副組長(zhǎng)，有多少種不同的選法？問(wèn)題二：用1，2,3,4,5這5個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)，共有多少個(gè)?問(wèn)題三：從a，b，c，d，e這5個(gè)字母中，任取兩個(gè)按順序排成一列，共有多少種不同的排法?活動(dòng)設(shè)計(jì)：先獨(dú)立思考,后小組交流,請(qǐng)同學(xué)發(fā)言、補(bǔ)充．活動(dòng)成果：共同特點(diǎn)：?jiǎn)栴}三中把字母a,b，c，d，e分別代表人，就是問(wèn)題一；分別代表數(shù),就是問(wèn)題二．把上面問(wèn)題中所取的對(duì)象叫做元素，于是問(wèn)題一、二、三都變成問(wèn)題：從五個(gè)不同的元素中任取兩個(gè)，然后按順序排成一列，共有多少種不同的排列方法？我們把這一類問(wèn)題稱為排列問(wèn)題,這就是我們今天要研究的內(nèi)容．設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)三個(gè)具體的實(shí)例引入新課．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(探究新知))提出問(wèn)題1：你能把上述三個(gè)問(wèn)題總結(jié)一下，概括出排列的定義嗎？活動(dòng)設(shè)計(jì):學(xué)生舉手發(fā)言、學(xué)生補(bǔ)充，教師總結(jié)．活動(dòng)成果：從n個(gè)不同元素中，任取m（m≤n）個(gè)元素(這里的被取元素各不相同）按照一定的順序排成一列,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列．說(shuō)明：(1)排列的定義包括兩個(gè)方面：①取出元素，②按一定的順序排列；（2）兩個(gè)排列相同的條件:①元素完全相同,②元素的排列順序也相同．從n個(gè)不同元素中,任取m（m≤n)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)Aeq\o\al(m，n)表示．注意區(qū)別排列和排列數(shù)的不同:“一個(gè)排列”是指：從n個(gè)不同元素中，任取m（m≤n）個(gè)元素按照一定的順序排成一列，不是數(shù)；“排列數(shù)”是指從n個(gè)不同元素中，任取m(m≤n)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，是一個(gè)數(shù)．所以符號(hào)Aeq\o\al（m,n）只表示排列數(shù)，而不表示具體的排列．設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)具體實(shí)例總結(jié)概括出排列和排列數(shù)的概念,培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力．提出問(wèn)題2：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選取2名同學(xué)參加某一天的一項(xiàng)活動(dòng),其中一名同學(xué)參加上午的活動(dòng)，一名同學(xué)參加下午的活動(dòng)，這是不是個(gè)排列問(wèn)題，排列數(shù)怎么求？活動(dòng)設(shè)計(jì):學(xué)生獨(dú)立思考，舉手回答．活動(dòng)成果：這個(gè)問(wèn)題就是從甲、乙、丙3名同學(xué)中每次選取2名同學(xué)，按照參加上午的活動(dòng)在前，參加下午的活動(dòng)在后的順序排列，一共有多少種不同的排法的問(wèn)題,是排列問(wèn)題．解決這一問(wèn)題可分兩個(gè)步驟：第1步，確定參加上午活動(dòng)的同學(xué)，從3人中任選1人,有3種方法；第2步，確定參加下午活動(dòng)的同學(xué)，當(dāng)參加上午活動(dòng)的同學(xué)確定后,參加下午活動(dòng)的同學(xué)只能從余下的2人中去選，于是有2種方法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，在3名同學(xué)中選出2名，按照參加上午活動(dòng)在前，參加下午活動(dòng)在后的順序排列的不同方法共有3×2＝6種，如右圖所示．設(shè)計(jì)意圖：分析具體例子，鞏固排列的定義，探索求排列數(shù)的方法．提出問(wèn)題3：從1,2,3，4這4個(gè)數(shù)字中,每次取出3個(gè)排成一個(gè)三位數(shù)，共可得到多少個(gè)不同的三位數(shù)，是不是排列問(wèn)題，怎樣求排列數(shù)?活動(dòng)設(shè)計(jì):學(xué)生獨(dú)立思考,舉手回答．活動(dòng)成果:這顯然是個(gè)排列問(wèn)題，解決這個(gè)問(wèn)題分三個(gè)步驟：第一步先確定百位上的數(shù),在4個(gè)數(shù)中任取1個(gè)，有4種方法；第二步確定十位上的數(shù)，從余下的3個(gè)數(shù)中取，有3種方法；第三步確定個(gè)位上的數(shù)，從余下的2個(gè)數(shù)中取，有2種方法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理共有：4×3×2＝24種不同的方法，用樹形圖排出，并寫出所有的排列．由此可寫出所有的排法．顯然,從4個(gè)數(shù)字中，每次取出3個(gè)，按“百"“十”“個(gè)”位的順序排成一列，就得到一個(gè)三位數(shù)．因此有多少種不同的排列方法就有多少個(gè)不同的三位數(shù)．可以分三個(gè)步驟來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題:第1步，確定百位上的數(shù)字,在1,2，3，4這4個(gè)數(shù)字中任取1個(gè)，有4種方法；第2步，確定十位上的數(shù)字，當(dāng)百位上的數(shù)字確定后，十位上的數(shù)字只能從余下的3個(gè)數(shù)字中去取，有3種方法；第3步，確定個(gè)位上的數(shù)字，當(dāng)百位、十位上的數(shù)字確定后，個(gè)位的數(shù)字只能從余下的2個(gè)數(shù)字中去取，有2種方法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，從1,2,3，4這4個(gè)不同的數(shù)字中，每次取出3個(gè)數(shù)字，按“百”“十”“個(gè)”位的順序排成一列，共有4×3×2＝24種不同的排法，因而共可得到24個(gè)不同的三位數(shù),如圖所示．由此可寫出所有的三位數(shù)：123,124，132,134，142，143,213,214,231，234，241，243，312,314，321,324，341,342，412，413,421，423,431,432.設(shè)計(jì)意圖：分析具體例子,鞏固排列的定義,探索求排列數(shù)的方法．提出問(wèn)題4：由以上兩個(gè)問(wèn)題我們發(fā)現(xiàn)：Aeq\o\al（2,3）＝3×2＝6，Aeq\o\al（3,4)＝4×3×2＝24，你能否得出Aeq\o\al（2，n）的意義和Aeq\o\al(2,n)的值？活動(dòng)設(shè)計(jì)：學(xué)生舉手發(fā)言、學(xué)生補(bǔ)充，教師總結(jié)．活動(dòng)成果：由Aeq\o\al(2,n)的意義：假定有排好順序的2個(gè)空位,從n個(gè)元素a1,a2，…，an中任取2個(gè)元素去填空，一個(gè)空位填一個(gè)元素，每一種填法就得到一個(gè)排列；反過(guò)來(lái)，任一個(gè)排列總可以由這樣的一種填法得到，因此,所有不同的填法的種數(shù)就是排列數(shù)Aeq\o\al（2,n).由分步乘法計(jì)數(shù)原理知完成上述填空共有n（n－1)種填法，∴Aeq\o\al（2,n)＝n(n－1)．設(shè)計(jì)意圖：由特殊到一般,引導(dǎo)學(xué)生逐步推導(dǎo)出排列數(shù)公式．提出問(wèn)題5：有上述推導(dǎo)方法，你能推導(dǎo)出Aeq\o\al(3，n），Aeq\o\al(m，n）嗎？活動(dòng)設(shè)計(jì):學(xué)生自己推導(dǎo)，學(xué)生板演．活動(dòng)成果:求Aeq\o\al（3，n)可以按依次填3個(gè)空位來(lái)考慮,∴Aeq\o\al(3，n）＝n(n－1)（n－2)，求Aeq\o\al（m，n)可以按依次填m個(gè)空位來(lái)考慮：Aeq\o\al（m，n)＝n(n－1）(n－2)…(n－m＋1），由此可以得到排列數(shù)公式：Aeq\o\al(m,n)＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1)(m，n∈N，m≤n）．說(shuō)明：（1）公式特征：第一個(gè)因數(shù)是n，后面每一個(gè)因數(shù)比它前面一個(gè)少1，最后一個(gè)因數(shù)是n－m＋1，共有m個(gè)因數(shù)；（2)全排列：當(dāng)n＝m時(shí)即n個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列．全排列數(shù)：Aeq\o\al（n，n）＝n(n－1）(n－2)…2·1＝n!（叫做n的階乘)．另外，我們規(guī)定0?。?。所以Aeq\o\al（m，n)＝n（n－1)(n－2)…（n－m＋1)＝eq\f(n！,(n－m）！)＝eq\f(A\o\al(n,n），A\o\al(n－m，n－m））.設(shè)計(jì)意圖:引導(dǎo)學(xué)生逐步利用分步乘法計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)出排列數(shù)公式．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（理解新知））分析下列問(wèn)題，哪些是求排列數(shù)問(wèn)題?（1)有5本不同的書，從中選3本送給3名同學(xué),每人各一本，共有多少種不同的送法？（2）有5種不同的書，要買3本送給3名同學(xué)，每人各一本，共有多少種不同的送法？(3）用0，1，2,3，4這5個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？(4)用1,2,3,4，5這5個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)?(5)從1，2,3,4四個(gè)數(shù)字中，任選兩個(gè)做加法，其不同結(jié)果有多少種?（6）從1，2，3，4四個(gè)數(shù)字中，任選兩個(gè)做除法，其不同結(jié)果有多少種?活動(dòng)設(shè)計(jì):學(xué)生自己完成,沒(méi)有把握的問(wèn)題和同桌討論．教師巡視，找同學(xué)說(shuō)出答案和理由．活動(dòng)成果：（1）是(2)不是（3)是（4)是(5）不是（6)不是（2）不是從5個(gè)不同的元素中選出三個(gè)不同的元素，而是從多個(gè)可以相同的元素中，選出三個(gè)元素排成一列，不符合排列中元素不同的規(guī)定．（3)是排列問(wèn)題,但排列數(shù)中有一部分0在百位的不是三位數(shù)．（5)中選出的兩個(gè)元素的和與順序無(wú)關(guān),不符合排列的定義．設(shè)計(jì)意圖：加深對(duì)排列和排列數(shù)的理解．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（應(yīng)用新知）)例1解方程：3Aeq\o\al（3，x）＝2Aeq\o\al（2，x＋1）＋6Aeq\o\al（2，x).思路分析：利用排列數(shù)公式求解即可．解:由排列數(shù)公式得：3x(x－1）（x－2）＝2（x＋1）x＋6x(x－1)，∵x≥3，∴3（x－1）（x－2）＝2（x＋1)＋6（x－1），即3x2－17x＋10＝0，解得x＝5或x＝eq\f（2，3)，∵x≥3，且x∈N，∴原方程的解為x＝5.點(diǎn)評(píng)：解含排列數(shù)的方程和不等式時(shí)要注意排列數(shù)Aeq\o\al(m，n)中,m，n∈N且m≤n這些限制條件，要注意含排列數(shù)的方程和不等式中未知數(shù)的取值范圍．【鞏固練習(xí)】1．解不等式：Aeq\o\al（x,9）〉6Aeq\o\al（x－2，9）。2．求證：（1)Aeq\o\al(n,n)＝Aeq\o\al(m，n)·Aeq\o\al（n－m,n－m）(2）eq\f（（2n）！，2n·n！)＝1·3·5…（2n－1）．解答或證明：1。解：原不等式即eq\f(9!,（9－x）！)〉6·eq\f（9！,(11－x)!)，也就是eq\f（1,(9－x)!)>eq\f(6，（11－x)·(10－x)·（9－x）！）,化簡(jiǎn)得：x2－21x＋104>0，解得x〈8或x〉13，又∵2<x≤7,且x∈N,所以，原不等式的解集為{3，4，5,6,7}．2．證明：(1)Aeq\o\al(m，n）·Aeq\o\al(n－m，n－m）＝eq\f(n！,（n－m）！)(n－m）?。絥！＝Aeq\o\al（n,n)，∴原式成立．(2）eq\f(2n！，2n·n?。絜q\f(2n·（2n－1)·(2n－2）…4·3·2·1，2n·n!）＝eq\f（2nn·(n－1)…2·1·(2n－1)（2n－3）…3·1，2n·n！）＝eq\f（n！·1·3…（2n－3)(2n－1)，n！)＝1·3·5…(2n－1)＝右邊,∴原式成立．點(diǎn)評(píng)：公式Aeq\o\al(m,n）＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1）常用來(lái)求值，特別是m，n均為已知時(shí)；公式Aeq\o\al(m,n）＝eq\f(n！，（n－m)!）常用來(lái)證明或化簡(jiǎn)．【變練演編】化簡(jiǎn)：(1)eq\f（1，2!）＋eq\f(2，3!）＋eq\f（3，4?。玡q\f（n－1，n!）;(2）1×1?。?×2！＋3×3?。玭×n！.(1)解：原式＝1?。璭q\f(1，2！)＋eq\f（1,2！)－eq\f(1，3?。玡q\f(1，3！)－eq\f（1,4?。玡q\f（1,n－1!)－eq\f(1，n！)＝1－eq\f（1，n！)。(2）提示：由（n＋1)?。剑╪＋1)n!＝n×n?。玭！,得n×n?。?n＋1）！－n！，原式＝（n＋1）?。?.【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】1．計(jì)算:（1）Aeq\o\al（3，10）;（2)eq\f（A\o\al（8，12），A\o\al(7，12)）。2．若Aeq\o\al(m，n)＝17×16×15×…×5×4，則n＝______,m＝______.3．若n∈N＊,且55＜n＜69，則(55－n）(56－n)…（68－n)(69－n）用排列數(shù)符號(hào)表示為_(kāi)_____．答案：1.（1)720(2)52.17143。Aeq\o\al（15,69－n）eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(課堂小結(jié)）)1．知識(shí)收獲：排列概念、排列數(shù)公式．2．方法收獲：化歸．3．思維收獲:分類討論、化歸思想．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（補(bǔ)充練習(xí)））【基礎(chǔ)練習(xí)】1．若x＝eq\f（n!，3!），則x＝(）A．Aeq\o\al(3,n）B．Aeq\o\al(n－3，n）C．Aeq\o\al(n,3）D．Aeq\o\al（3，n－3）2．與Aeq\o\al(3,10）·Aeq\o\al(7，7)不等的是()A．Aeq\o\al（9,10)B．81Aeq\o\al(8,8）C．10Aeq\o\al(9,9）D．Aeq\o\al(10，10)3．若Aeq\o\al(5,m）＝2Aeq\o\al(3，m)，則m的值為（)A．5B．3C．6D．74．計(jì)算：eq\f(2A\o\al（5，9）＋3A\o\al(6,9)，9!－A\o\al（6，10)）＝________；eq\f(（m－1）！，A\o\al（n－1,m－1）·（m－n)！）＝________。【拓展練習(xí)】5．若2〈eq\f（(m＋1)!，A\o\al(m－1,m－1）)≤42，則m的解集是________．6．（1）已知Aeq\o\al(m,10)＝10×9×…×5，那么m＝__________;(2)已知9?。?62880，那么Aeq\o\al(7,9）＝__________；（3)已知Aeq\o\al（2,n）＝56，那么n＝____________；（4)已知Aeq\o\al(2，n)＝7Aeq\o\al（2，n－4），那么n＝____________。答案:1。B2.B3。A4。115.{2，3,4，5，6}6．(1)6（2)181440（3）8（4）7eq\o（\s\up7（），\s\do5(設(shè)計(jì)說(shuō)明）)本節(jié)課是排列組合的第一課時(shí)，本節(jié)課的主要內(nèi)容就是用兩個(gè)原理推導(dǎo)出排列數(shù)公式．本節(jié)課的特點(diǎn)是學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)并總結(jié)定義，自主探究，自主完成排列數(shù)公式的推導(dǎo)．eq\o（\s\up7(),\s\do5(備課資料））可重復(fù)的排列求冪法：重復(fù)排列問(wèn)題要區(qū)分兩類元素：一類可以重復(fù)，另一類不能重復(fù),把不能重復(fù)的元素看作“客"，能重復(fù)的元素看作“店"，則通過(guò)“住店法"可順利解題．在這類問(wèn)題使用住店處理的策略中，關(guān)鍵是正確判斷哪個(gè)是底數(shù)，哪個(gè)是指數(shù)．例1(1）將6個(gè)不同的小球放到3個(gè)不同的盒子中,有多少種不同的方法？(2)6個(gè)人爭(zhēng)奪3個(gè)項(xiàng)目的冠軍，有多少種不同的方法？解析：(1)36；(2)63.例2由1,2,3，4，5,6這6個(gè)數(shù)字共可以組成多少個(gè)不同的7位數(shù)?解析：完成此事共分7步，第一步：從6個(gè)數(shù)字中任取一個(gè)數(shù)字放在首位，有6種不同的辦法，第二步：從6個(gè)數(shù)字中任取一個(gè)數(shù)字放在十萬(wàn)位，有6種不同的辦法,依次類推，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共可以組成67個(gè)不同的7位數(shù)．(設(shè)計(jì)者:殷賀）第二課時(shí)教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能利用排列和排列數(shù)公式解決簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)問(wèn)題．過(guò)程與方法經(jīng)歷把簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)問(wèn)題化為排列問(wèn)題解決的過(guò)程，從中體會(huì)“化歸”的數(shù)學(xué)思想．情感、態(tài)度與價(jià)值觀能運(yùn)用所學(xué)的排列知識(shí),正確地解決實(shí)際問(wèn)題，體會(huì)“化歸”思想的魅力．重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):利用排列和排列數(shù)公式解決簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)問(wèn)題．教學(xué)難點(diǎn):利用排列和排列數(shù)公式解決簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)問(wèn)題．eq\o(\s\up7（），\s\do5(教學(xué)過(guò)程)）eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(復(fù)習(xí)回顧）)提出問(wèn)題1：判斷下列兩個(gè)問(wèn)題是不是排列問(wèn)題，若是求出排列數(shù)，若不是,說(shuō)明理由．（1）有5本不同的書，從中選3本送給3名同學(xué),每人各1本,共有多少種不同的送法?（2)有5種不同的書,要買3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？活動(dòng)設(shè)計(jì)：學(xué)生自己獨(dú)立思考,教師提問(wèn)．活動(dòng)成果：解：（1)從5本不同的書中選出3本分別送給3名同學(xué)，對(duì)應(yīng)于從5個(gè)元素中任取3個(gè)元素的一個(gè)排列，因此不同送法的種數(shù)是：Aeq\o\al（3，5）＝5×4×3＝60，所以,共有60種不同的送法．（2)由于有5種不同的書，送給每個(gè)同學(xué)的1本書都有5種不同的選購(gòu)方法，因此送給3名同學(xué),每人各1本書的不同方法種數(shù)是：5×5×5＝125，所以，共有125種不同的送法．本題中兩個(gè)小題的區(qū)別在于：第(1）小題是從5本不同的書中選出3本分送給3名同學(xué)，各人得到的書不同,屬于求排列數(shù)問(wèn)題；而第（2）小題中,給每人的書均可以從5種不同的書中任選1種,各人得到哪種書相互之間沒(méi)有聯(lián)系，要用分步計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)算．設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)具體實(shí)例回顧排列的概念和排列數(shù)公式．提出問(wèn)題2：請(qǐng)同學(xué)們?cè)倩仡櫼幌屡帕械母拍詈团帕袛?shù)公式．活動(dòng)設(shè)計(jì)：學(xué)生一起回答，教師板書．活動(dòng)成果：從n個(gè)不同元素中，任取m(m≤n)個(gè)元素(這里的被取元素各不相同)按照一定的順序排成一列,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列．說(shuō)明：（1)排列的定義包括兩個(gè)方面：①取出元素,②按一定的順序排列；(2）兩個(gè)排列相同的條件：①元素完全相同,②元素的排列順序也相同．從n個(gè)不同元素中,任取m（m≤n）個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)Aeq\o\al（m,n)表示．注意區(qū)別排列和排列數(shù)的不同：“一個(gè)排列”是指：從n個(gè)不同元素中，任取m個(gè)元素按照一定的順序排成一列，不是數(shù);“排列數(shù)”是指從n個(gè)不同元素中，任取m（m≤n）個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù),是一個(gè)數(shù)．所以符號(hào)Aeq\o\al（m，n)只表示排列數(shù)，而不表示具體的排列．設(shè)計(jì)意圖:復(fù)習(xí)排列概念和排列數(shù)公式，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（典型例題））類型一：直接抽象為排列問(wèn)題的計(jì)數(shù)問(wèn)題例1某年全國(guó)足球甲級(jí)（A組)聯(lián)賽共有14個(gè)隊(duì)參加，每隊(duì)要與其余各隊(duì)在主、客場(chǎng)分別比賽一次，共進(jìn)行多少場(chǎng)比賽？解:任意兩隊(duì)間進(jìn)行1次主場(chǎng)比賽與1次客場(chǎng)比賽，對(duì)應(yīng)于從14個(gè)元素中任取2個(gè)元素的一個(gè)排列．因此，比賽的總場(chǎng)次是Aeq\o\al(2，14)＝14×13＝182。點(diǎn)評(píng)：要學(xué)會(huì)把具體問(wèn)題抽象為從n個(gè)不同的元素中任取m（m≤n）個(gè)不同元素，按一定順序排成一列的問(wèn)題．【鞏固練習(xí)】某信號(hào)兵用紅、黃、藍(lán)3面旗從上到下掛在豎直的旗桿上表示信號(hào)，每次可以任意掛1面、2面或3面,并且不同的順序表示不同的信號(hào)，一共可以表示多少種不同的信號(hào)?解：分3類：第一類用1面旗表示的信號(hào)有Aeq\o\al（1,3)種；第二類用2面旗表示的信號(hào)有Aeq\o\al(2,3)種；第三類用3面旗表示的信號(hào)有Aeq\o\al(3，3）種,由分類加法計(jì)數(shù)原理，所求的信號(hào)種數(shù)是：Aeq\o\al（1,3）＋Aeq\o\al（2，3）＋Aeq\o\al（3,3）＝3＋3×2＋3×2×1＝15,即一共可以表示15種不同的信號(hào)．【變練演編】將4位司機(jī)、4位售票員分配到四輛不同班次的公共汽車上,每一輛汽車分別有一位司機(jī)和一位售票員，共有多少種不同的分配方案？分析：解決這個(gè)問(wèn)題可以分為兩步，第一步：把4位司機(jī)分配到四輛不同班次的公共汽車上,即從4個(gè)不同元素中取出4個(gè)元素排成一列，有Aeq\o\al(4，4）種方法；第二步：把4位售票員分配到四輛不同班次的公共汽車上，也有Aeq\o\al(4,4）種方法．利用分步乘法計(jì)數(shù)原理即得分配方案的種數(shù)．解：由分步乘法計(jì)數(shù)原理，分配方案種數(shù)共有N＝Aeq\o\al(4,4）·Aeq\o\al（4,4）＝576。即共有576種不同的分配方案．類型二:有約束條件的排列問(wèn)題（特殊位置分析法、特殊元素分析法）例2用0到9這10個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)?思路分析：在本問(wèn)題的0到9這10個(gè)數(shù)字中，因?yàn)?不能排在百位上,而其他數(shù)可以排在任意位置上，因此0是一個(gè)特殊的元素．一般的,我們可以從特殊元素的排列位置入手來(lái)考慮問(wèn)題．解法一：由于在沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，百位上的數(shù)字不能是0,因此可以分兩步完成排列．第1步，排百位上的數(shù)字,可以從1到9這九個(gè)數(shù)字中任選1個(gè)，有Aeq\o\al（1，9)種選法；第2步，排十位和個(gè)位上的數(shù)字,可以從余下的9個(gè)數(shù)字中任選2個(gè)，有Aeq\o\al(2,9）種選法（如圖）．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，所求的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為Aeq\o\al（1，9)×Aeq\o\al(2,9）＝9×9×8＝648.解法二：如圖所示，符合條件的三位數(shù)可分成3類．每一位數(shù)字都不是0的三位數(shù)有Aeq\o\al（3,9）個(gè)，個(gè)位數(shù)字是0的三位數(shù)有Aeq\o\al(2,9)個(gè)，十位數(shù)字是0的三位數(shù)有Aeq\o\al（2,9）個(gè)．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，符合條件的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為Aeq\o\al(3,9）＋Aeq\o\al(2，9)＋Aeq\o\al(2，9)＝648。解法三：從0到9這10個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)數(shù)字的排列數(shù)為Aeq\o\al(3,10），其中0在百位上的排列數(shù)是Aeq\o\al(2，9)，它們的差就是用這10個(gè)數(shù)字組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù),即所求的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是Aeq\o\al(3,10）－Aeq\o\al(2,9)＝10×9×8－9×8＝648.點(diǎn)評(píng)：對(duì)于例2這類計(jì)數(shù)問(wèn)題，可用適當(dāng)?shù)姆椒▽?wèn)題分解,而且思考的角度不同,就可以有不同的解題方法．解法一根據(jù)百位數(shù)字不能是0的要求，分步完成選3個(gè)數(shù)組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)這件事，依據(jù)的是分步乘法計(jì)數(shù)原理;解法二以0是否出現(xiàn)以及出現(xiàn)的位置為標(biāo)準(zhǔn)，分類完成這件事情，依據(jù)的是分類加法計(jì)數(shù)原理；解法三是一種逆向思考方法：先求出從10個(gè)不同數(shù)字中選3個(gè)不重復(fù)數(shù)字的排列數(shù)，然后從中減去百位是0的排列數(shù)(即不是三位數(shù)的個(gè)數(shù))，就得到?jīng)]有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)．從上述問(wèn)題的解答過(guò)程可以看到,引進(jìn)排列的概念，以及推導(dǎo)求排列數(shù)的公式,可以更加簡(jiǎn)便、快捷地求解“從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)"這類特殊的計(jì)數(shù)問(wèn)題．【鞏固練習(xí)】從10個(gè)不同的文藝節(jié)目中選6個(gè)編成一個(gè)節(jié)目單,如果某女演員的獨(dú)唱節(jié)目一定不能排在第二個(gè)節(jié)目的位置上，則共有多少種不同的排法？解法一：（從特殊位置考慮）Aeq\o\al（1,9)Aeq\o\al（5,9）＝136080；解法二：（從特殊元素考慮)若選：5·Aeq\o\al（5，9)；若不選：Aeq\o\al（6,9)，則共有5·Aeq\o\al(5,9）＋Aeq\o\al（6,9）＝136080種；解法三：(間接法)Aeq\o\al（6,10）－Aeq\o\al(5,9)＝136080.【變練演編】A、B、C、D、E五個(gè)人排成一排照相，其中A、B不能排在兩端，C不能排在中間，共有多少種不同的排法？解法一:若A、B排在中間，則從A、B中選一個(gè)排在中間有Aeq\o\al(1,2)種排法，另一個(gè)不在兩端的位置上有Aeq\o\al（1，2）種排法，其余三個(gè)人排在剩下的三個(gè)位置上有Aeq\o\al(3,3）種排法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有Aeq\o\al（1，2)Aeq\o\al(1，2)Aeq\o\al（3,3)＝24種不同的排法．若A、B不排在中間,則有Aeq\o\al（2,2)種排法，C不排在中間有Aeq\o\al(1,2)種排法,其余兩個(gè)人排在剩下的兩個(gè)位置上有Aeq\o\al（2，2）種排法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有Aeq\o\al(2，2）Aeq\o\al（1，2）Aeq\o\al(2，2)＝8種不同的排法．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,共有24＋8＝32種不同的排法．解法二：若C排在兩端，有Aeq\o\al（1,2）種排法，另一端從D、E中選一個(gè)人，有Aeq\o\al（1，2)種排法，剩下三個(gè)人排在剩下的三個(gè)位置上有Aeq\o\al(3，3）種排法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有Aeq\o\al（1，2)Aeq\o\al(1,2）Aeq\o\al（3,3）＝24種不同的排法．若C不排在兩端,有Aeq\o\al（1，2）種排法，兩端排列D、E，有Aeq\o\al(1,2）種排法，剩下兩個(gè)人排在剩下的兩個(gè)位置上有Aeq\o\al(2,2)種排法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,共有Aeq\o\al（2，2）Aeq\o\al(1,2）Aeq\o\al(2，2)＝8種不同的排法．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有24＋8＝32種不同的排法．【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】1．一個(gè)火車站有8股岔道，停放4列不同的火車，有多少種不同的停放方法（假定每股岔道只能停放1列火車)？2．一部紀(jì)錄影片在4個(gè)單位輪映，每一單位放映1場(chǎng)，有多少種輪映次序？3．6個(gè)人站成前后兩排照相，要求前排2人，后排4人，那么不同的排法共有…()A．30種B．360種C．720種D．1440種答案：1。Aeq\o\al（4，8)＝8×7×6×5＝16802.Aeq\o\al（4,4)＝4×3×2×1＝243。Ceq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（課堂小結(jié)))1．知識(shí)收獲：對(duì)于較復(fù)雜的問(wèn)題，一般都有兩個(gè)方向的列式途徑，一個(gè)是“正面湊”，一個(gè)是“反過(guò)來(lái)剔"．前者指，按照要求，一點(diǎn)點(diǎn)選出符合要求的方案；后者指，先按全局性的要求，選出方案,再把不符合其他要求的方案剔出去．了解排列數(shù)的意義，掌握排列數(shù)公式及推導(dǎo)方法，從中體會(huì)“化歸”的數(shù)學(xué)思想,并能運(yùn)用排列數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算．2．方法收獲:“化歸"的數(shù)學(xué)思想方法．3．思維收獲：“化歸"的數(shù)學(xué)思想方法．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(補(bǔ)充練習(xí)）)【基礎(chǔ)練習(xí)】1．從4種蔬菜品種中選出3種，分別種植在不同土質(zhì)的3塊土地上進(jìn)行試驗(yàn)，有__________種不同的種植方法．2．從參加乒乓球團(tuán)體比賽的5名運(yùn)動(dòng)員中選出3名進(jìn)行某場(chǎng)比賽,并排定他們的出場(chǎng)順序,有__________種不同的方法．3．信號(hào)兵用3種不同顏色的旗子各一面，每次打出3面,最多能打出不同的信號(hào)有__________種．4．由數(shù)字1、2、3、4、5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中小于50000的偶數(shù)共有多少個(gè)?答案：1。242.603.6解答:4.解法一：（正向思維法）個(gè)位數(shù)上的數(shù)字排列數(shù)有Aeq\o\al（1，2)種（從2、4中選）；萬(wàn)位上的數(shù)字排列數(shù)有Aeq\o\al（1，3）種（5不能選),十位、百位、千位上的排列數(shù)有Aeq\o\al（3，3)種，故符合題意的偶數(shù)有Aeq\o\al(1，2）Aeq\o\al（1，3）Aeq\o\al(3,3)＝36個(gè)．解法二：（逆向思維法)由1、2、3、4、5組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的5位數(shù)有Aeq\o\al(5,5)個(gè)，減去其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)Aeq\o\al(1，3)Aeq\o\al(4，4）個(gè),再減去偶數(shù)中大于50000的數(shù)Aeq\o\al（1，2）Aeq\o\al（3，3)個(gè),符合題意的偶數(shù)共有:Aeq\o\al(5,5）－Aeq\o\al（1，3）Aeq\o\al(4，4)－Aeq\o\al(1，2)Aeq\o\al（3，3)＝36個(gè)．【拓展練習(xí)】5．一天要排語(yǔ)、數(shù)、英、化、體、班會(huì)六節(jié)課，要求上午的四節(jié)課中，第一節(jié)不排體育課，數(shù)學(xué)排在上午；下午兩節(jié)中有一節(jié)排班會(huì)課，問(wèn)共有多少種不同的排法？解答：若數(shù)學(xué)排在第一節(jié)，班會(huì)課的排法為Aeq\o\al(1，2)種，其余4節(jié)課的排法有Aeq\o\al(4，4）種,根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有Aeq\o\al(1，2)Aeq\o\al(4，4）＝48種；若第一節(jié)課不排數(shù)學(xué)，第一節(jié)課的排法有Aeq\o\al(1,3）種，數(shù)學(xué)課的排法有Aeq\o\al(1，3)種，班會(huì)課的排法為Aeq\o\al(1,2)種，其余3節(jié)課的排法有Aeq\o\al(3，3)種,根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有Aeq\o\al(1,3）Aeq\o\al（1,3）Aeq\o\al（1，2）Aeq\o\al(3，3）＝108種．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理得，共有48＋108＝156種．eq\o（\s\up7（),\s\do5（設(shè)計(jì)說(shuō)明))本節(jié)課是排列的第二課時(shí),本節(jié)課的主要目標(biāo)是在老師的帶領(lǐng)下，體會(huì)排列數(shù)公式的應(yīng)用，體會(huì)把具體計(jì)數(shù)問(wèn)題劃歸為排列問(wèn)題的過(guò)程．本節(jié)課的設(shè)計(jì)特點(diǎn)是：教師的問(wèn)題是主線，學(xué)生的探究活動(dòng)是主體，師生合作，共同完成知識(shí)和方法的總結(jié)．eq\o（\s\up7（),\s\do5(備課資料)）多排問(wèn)題單排法：把元素排成幾排的問(wèn)題可歸結(jié)為一排考慮，再分段處理．例1(1）6個(gè)不同的元素排成前后兩排，每排3個(gè)元素,那么不同的排法種數(shù)是(）A．36種B．120種C．720種D．1440種(2)把15人分成前后三排,每排5人，不同的排法種數(shù)為（）A．Aeq\o\al(5,15)Aeq\o\al(5,10)B．Aeq\o\al（5，15)Aeq\o\al(5，10）Aeq\o\al（5，5)Aeq\o\al(3,3）C．Aeq\o\al(15，15)D．Aeq\o\al（5,15)Aeq\o\al（5,10）Aeq\o\al(5，5）÷Aeq\o\al（3，3）(3)8個(gè)不同的元素排成前后兩排，每排4個(gè)元素，其中某2個(gè)元素要排在前排,某1個(gè)元素排在后排,有多少種不同排法？解析：（1)前后兩排可看成一排的兩段，因此本題可看成6個(gè)不同的元素排成一排，共Aeq\o\al（6,6）＝720種排法，選C.(2）答案：C(3）看成一排,某2個(gè)元素在前半段四個(gè)位置中選排2個(gè),有Aeq\o\al(2,4）種，某1個(gè)元素排在后半段的四個(gè)位置中選一個(gè)有Aeq\o\al(1，4）種，其余5個(gè)元素任排在5個(gè)位置上有Aeq\o\al（5,5）種,故共有Aeq\o\al（1，4）Aeq\o\al（2，4）Aeq\o\al(5，5)＝5760種排法．（設(shè)計(jì)者：殷賀）第三課時(shí)教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能利用捆綁法、插空法解決排列問(wèn)題．過(guò)程與方法經(jīng)歷把簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)問(wèn)題化為排列問(wèn)題解決的過(guò)程，從中體會(huì)“化歸"的數(shù)學(xué)思想．情感、態(tài)度與價(jià)值觀能運(yùn)用所學(xué)的排列知識(shí),正確地解決實(shí)際問(wèn)題,體會(huì)“化歸”思想的魅力．重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):利用捆綁法、插空法解決排列問(wèn)題．教學(xué)難點(diǎn)：利用捆綁法、插空法解決排列問(wèn)題．eq\o(\s\up7(），\s\do5（教學(xué)過(guò)程))eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(復(fù)習(xí)回顧)）提出問(wèn)題：7位同學(xué)排隊(duì),根據(jù)上一節(jié)課所學(xué)的方法，解決下列排列問(wèn)題．(1)7位同學(xué)站成一排，共有多少種不同的排法？(2)7位同學(xué)站成兩排(前3后4），共有多少種不同的排法？(3)7位同學(xué)站成一排，其中甲站在中間的位置，共有多少種不同的排法?（4)7位同學(xué)站成一排，甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？(5）7位同學(xué)站成一排,甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？活動(dòng)設(shè)計(jì)：學(xué)生自己做，找學(xué)生到黑板上板演．活動(dòng)成果:解：(1）問(wèn)題可以看作：7個(gè)元素的全排列Aeq\o\al(7，7）＝5040.(2)根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理：7×6×5×4×3×2×1＝7!＝5040.(3）問(wèn)題可以看作：余下的6個(gè)元素的全排列Aeq\o\al(6,6)＝720。(4)根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理：第一步甲、乙站在兩端有Aeq\o\al(2，2）種；第二步余下的5名同學(xué)進(jìn)行全排列有Aeq\o\al（5，5)種，所以，共有Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(5，5)＝240種排列方法．(5）第一步從（除去甲、乙)其余的5位同學(xué)中選2位同學(xué)站在排頭和排尾有Aeq\o\al(2,5）種方法；第二步從余下的5位同學(xué)中選5位進(jìn)行排列（全排列）有Aeq\o\al（5,5）種方法，所以一共有Aeq\o\al(2,5)Aeq\o\al（5,5)＝2400種排列方法．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(典型例題))類型一：捆綁法例17位同學(xué)站成一排，(1）甲、乙兩同學(xué)必須相鄰的排法共有多少種？（2)甲、乙和丙三個(gè)同學(xué)都相鄰的排法共有多少種？(3)甲、乙兩同學(xué)必須相鄰,而且丙不能站在排頭和排尾的排法有多少種？（4)甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)必須站在一起,另外四個(gè)人也必須站在一起的排法有多少種？解：（1)先將甲、乙兩位同學(xué)“捆綁"在一起看成一個(gè)元素，與其余的5個(gè)元素（同學(xué))一起進(jìn)行全排列有Aeq\o\al（6，6）種方法；再將甲、乙兩個(gè)同學(xué)“松綁”進(jìn)行排列有Aeq\o\al（2,2）種方法．所以這樣的排法一共有Aeq\o\al(6,6）Aeq\o\al（2，2)＝1440種．(2）方法同上，一共有Aeq\o\al(5，5）Aeq\o\al(3,3）＝720種．(3)解法一：將甲、乙兩同學(xué)“捆綁”在一起看成一個(gè)元素,此時(shí)一共有6個(gè)元素，因?yàn)楸荒苷驹谂蓬^和排尾，所以可以從其余的5個(gè)元素中選取2個(gè)元素放在排頭和排尾,有Aeq\o\al(2,5）種方法；將剩下的4個(gè)元素進(jìn)行全排列有Aeq\o\al(4，4)種方法；最后將甲、乙兩個(gè)同學(xué)“松綁"進(jìn)行排列有Aeq\o\al（2，2）種方法．所以這樣的排法一共有Aeq\o\al(2,5）Aeq\o\al(4，4）Aeq\o\al(2，2）＝960種．解法二:將甲、乙兩同學(xué)“捆綁”在一起看成一個(gè)元素,此時(shí)一共有6個(gè)元素,若丙站在排頭或排尾有2Aeq\o\al(5，5）種方法，所以，丙不能站在排頭和排尾的排法有（Aeq\o\al(6，6）－2Aeq\o\al（5,5)）·Aeq\o\al(2，2)＝960種．解法三：將甲、乙兩同學(xué)“捆綁"在一起看成一個(gè)元素,此時(shí)一共有6個(gè)元素，因?yàn)楸荒苷驹谂蓬^和排尾，所以可以從其余的四個(gè)位置選擇共有Aeq\o\al（1，4）種方法，再將其余的5個(gè)元素進(jìn)行全排列共有Aeq\o\al（5，5）種方法,最后將甲、乙兩同學(xué)“松綁”，所以，這樣的排法一共有Aeq\o\al（1,4)Aeq\o\al（5，5）Aeq\o\al(2，2)＝960種．(4）將甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)“捆綁”在一起看成一個(gè)元素,另外四個(gè)人“捆綁”在一起看成一個(gè)元素,此時(shí)一共有2個(gè)元素，∴一共有排法種數(shù)：Aeq\o\al（3,3）Aeq\o\al（4,4）Aeq\o\al（2,2)＝288種．點(diǎn)評(píng)：對(duì)于相鄰問(wèn)題,常用“捆綁法”(先捆后松）．【鞏固練習(xí)】某商場(chǎng)中有10個(gè)展架排成一排，展示10臺(tái)不同的電視機(jī)，其中甲廠5臺(tái)，乙廠3臺(tái)，丙廠2臺(tái),若要求同廠的產(chǎn)品分別集中，且甲廠產(chǎn)品不放兩端,則不同的陳列方式有多少種?解：將甲廠5臺(tái)不同的電視機(jī)“捆綁"在一起看成一個(gè)元素,乙廠3臺(tái)不同的電視機(jī)“捆綁”在一起看成一個(gè)元素，丙廠2臺(tái)不同的電視機(jī)“捆綁”在一起看成一個(gè)元素，此時(shí)一共有3個(gè)元素，甲不放兩端，甲有1種排法，乙、丙排在兩端有Aeq\o\al（2，2）種排法,共有Aeq\o\al（5,5）Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2，2）＝2880種不同的排法．【變練演編】7位同學(xué)站成一排，（1)甲、乙兩同學(xué)之間恰好有一個(gè)人的排法共有多少種?（2）甲、乙兩同學(xué)之間恰好有兩個(gè)人的排法共有多少種？解：（1)先在甲、乙兩同學(xué)之間排一個(gè)人，有Aeq\o\al(1，5）種不同的排法，把甲、乙和中間的一人“捆綁"在一起看成一個(gè)元素，此時(shí)一共有5個(gè)元素，共有Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(5，5)Aeq\o\al（2，2）＝1200種不同的排法．（2）先在甲、乙兩同學(xué)之間排兩個(gè)人，有Aeq\o\al（2，5)種不同的排法，把甲、乙和中間的兩人“捆綁”在一起看成一個(gè)元素,此時(shí)一共有4個(gè)元素,共有Aeq\o\al（2,5)Aeq\o\al（4,4）Aeq\o\al(2，2)＝960種不同的排法．類型二:插空法例27位同學(xué)站成一排，(1）甲、乙兩同學(xué)不能相鄰的排法共有多少種?(2)甲、乙和丙三個(gè)同學(xué)都不能相鄰的排法共有多少種？解：（1)方法一:（排除法）Aeq\o\al(7,7）－Aeq\o\al(6,6）·Aeq\o\al（2,2）＝3600;方法二:(插空法）先將其余五個(gè)同學(xué)排好有Aeq\o\al（5，5）種方法，此時(shí)他們留下六個(gè)位置(稱為“空”）,再將甲、乙同學(xué)分別插入這六個(gè)位置（空)有Aeq\o\al(2，6）種方法,所以一共有Aeq\o\al(5，5)Aeq\o\al(2,6）＝3600種方法．(2)先將其余四個(gè)同學(xué)排好有Aeq\o\al（4，4）種方法,此時(shí)他們留下五個(gè)“空”，再將甲、乙和丙三個(gè)同學(xué)分別插入這五個(gè)“空”有Aeq\o\al(3,5)種方法，所以一共有Aeq\o\al（4,4)Aeq\o\al(3,5）＝1440種方法．點(diǎn)評(píng)：對(duì)于不相鄰問(wèn)題，常用“插空法”(特殊元素后考慮)．【鞏固練習(xí)】5男5女排成一排,按下列要求各有多少種排法:(1）男女相間；（2)女生按指定順序排列．解：(1)先將男生排好,有Aeq\o\al(5,5)種排法;再將5名女生插在男生之間的6個(gè)“空"（包括兩端，但不能同時(shí)排在兩端)中，有2Aeq\o\al(5，5)種排法，故本題的排法有N＝2Aeq\o\al(5，5)·Aeq\o\al(5，5)＝28800種．(2)方法1：N＝eq\f(A\o\al(10，10)，A\o\al（5,5))＝Aeq\o\al（5，10)＝30240；方法2：設(shè)想有10個(gè)位置，先將男生排在其中的任意5個(gè)位置上，有Aeq\o\al（5，10）種排法;余下的5個(gè)位置排女生,因?yàn)榕奈恢靡呀?jīng)指定，所以她們只有一種排法．故本題的排法為N＝Aeq\o\al(5,10）×1＝30240種．【變練演編】5男6女排成一列,問(wèn)（1)5男排在一起有多少種不同排法？（2)5男不都排在一起有多少種排法？(3）5男每?jī)蓚€(gè)不排在一起有多少種排法？（4)男女相互間隔有多少種不同的排法？解：(1）先把5男看成一個(gè)整體,得Aeq\o\al（7,7），5男之間排列有順序問(wèn)題,得Aeq\o\al（5,5），共Aeq\o\al(7，7）Aeq\o\al(5，5)種．(2）全排列除去5男排在一起即為所求，得Aeq\o\al（11,11)－Aeq\o\al（7，7）Aeq\o\al（5，5)。(3）因?yàn)槟猩藬?shù)少于女生人數(shù)，利用男生插女生空的方法解決問(wèn)題，得Aeq\o\al(6,6）Aeq\o\al（5，7）.（4）利用男生插女生空的方法，但要保證兩女生不能挨在一起，得Aeq\o\al(6，6）Aeq\o\al(5,5）?！具_(dá)標(biāo)檢測(cè)】1．記者要為5名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相鄰但不排在兩端,不同的排法共有()A．1440種B．960種C．720種D．480種2．把4個(gè)不同的黑球,4個(gè)不同的紅球排成一排,要求黑球、紅球分別在一起,不同的排法種數(shù)是（）A．Aeq\o\al(8，8)B．Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(4,4)C．Aeq\o\al(4，4）Aeq\o\al（4，4)Aeq\o\al（2，2）D．以上都不對(duì)3．某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開(kāi)演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目．如果將這兩個(gè)新節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為（）A．42B．96C．48D．124答案:1.B2.C3。Aeq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(課堂小結(jié)）)1．知識(shí)收獲：進(jìn)一步復(fù)習(xí)排列的概念和排列數(shù)公式．2．方法收獲：捆綁法、插空法．3．思維收獲:化歸思想、分類討論思想．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（補(bǔ)充練習(xí))）【基礎(chǔ)練習(xí)】1．6人站成一排照相，其中甲、乙、丙三人要站在一起，且要求乙、丙分別站在甲的兩邊，則不同的排法種數(shù)為(）A．12B．24C．48D．1442．由數(shù)字0,1,2，3,4，5組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中是25的倍數(shù)的數(shù)共有______個(gè)（)A．9B．12C．24D．213．用數(shù)字0，1,2，3,4能組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的且比20000大的五位奇數(shù)的個(gè)數(shù)為(）A．3B．30C．72D．184．將5名志愿者分配到3個(gè)不同的奧運(yùn)場(chǎng)館參加接待工作,每個(gè)場(chǎng)館至少分配一名志愿者的方案種數(shù)為()A．540B．300C．180D．150答案：1。C2.D3.B4.D【拓展練習(xí)】5．有4名男生、5名女生，全體排成一行，問(wèn)下列情形各有多少種不同的排法？（1）甲不在中間也不在兩端；(2）甲、乙兩人必須排在兩端；(3)男、女生分別排在一起；（4）男女相間;（5）甲、乙、丙三人從左到右順序保持一定．答案：（1）241920(2）10080（3）5760（4）2880（5)60480eq\o（\s\up7()，\s\do5(設(shè)計(jì)說(shuō)明）)本節(jié)課是排列的第三課時(shí)，本節(jié)課的主要目標(biāo)是介紹排列中常用的捆綁法和插空法．本節(jié)課的特點(diǎn)是教師引導(dǎo)給學(xué)生以提示，在從例題中學(xué)會(huì)了方法后，馬上讓學(xué)生練習(xí)鞏固方法，在變練演編中，舉一反三，反復(fù)強(qiáng)化，使學(xué)生更好地掌握方法和技巧．eq\o（\s\up7(），\s\do5(備課資料))一、相鄰問(wèn)題捆綁法：題目中規(guī)定相鄰的幾個(gè)元素捆綁成一個(gè)組,當(dāng)作一個(gè)大元素參與排列．例A，B，C，D,E五人并排站成一排，如果A，B必須相鄰且B在A的右邊,那么不同的排法種數(shù)有________．解析：把A,B視為一人，且B固定在A的右邊，則本題相當(dāng)于4人的全排列,有Aeq\o\al（4,4)＝24種排法．二、相離問(wèn)題插空法:元素相離(即不相鄰)問(wèn)題，可先把無(wú)位置要求的幾個(gè)元素全排列，再把規(guī)定的相離的幾個(gè)元素插入上述幾個(gè)元素的空位和兩端．例1書架上某層有6本書，新買3本插進(jìn)去，要保持原有6本書的順序,有______種不同的插法(具體數(shù)字作答）．解析：Aeq\o\al（1,7）Aeq\o\al(3,3)＋Aeq\o\al（2,7）Aeq\o\al(2，3）＋Aeq\o\al（3，7）＝504種．例2高三（1）班學(xué)生要安排畢業(yè)晚會(huì)的4個(gè)音樂(lè)節(jié)目,2個(gè)舞蹈節(jié)目和1個(gè)曲藝節(jié)目的演出順序，要求兩個(gè)舞蹈節(jié)目不連排，則不同排法的種數(shù)是________．解析:不同排法的種數(shù)為Aeq\o\al（5，5）Aeq\o\al(2,6）＝3600.例3某工程隊(duì)有6項(xiàng)工程需要單獨(dú)完成，其中工程乙必須在工程甲完成后才能進(jìn)行，工程丙必須在工程乙完成后才能進(jìn)行，工程丁必須在工程丙完成后才能進(jìn)行．那么安排這6項(xiàng)工程的不同排法種數(shù)是________．解析：依題意，只需將剩余兩個(gè)工程插在由甲、乙、丙、丁四個(gè)工程形成的5個(gè)“空”中,可得有Aeq\o\al(2,5）＝20種不同排法．例4某市春節(jié)晚會(huì)原定10個(gè)節(jié)目，導(dǎo)演最后決定添加3個(gè)與“抗冰救災(zāi)"有關(guān)的節(jié)目，但是賑災(zāi)節(jié)目不排在第一個(gè)也不排在最后一個(gè)，并且已經(jīng)排好的10個(gè)節(jié)目的相對(duì)順序不變，則該晚會(huì)的節(jié)目單的編排總數(shù)為_(kāi)_______種．解析：Aeq\o\al(1,9)Aeq\o\al（3,3）＋Aeq\o\al（2,9）Aeq\o\al(2,3)＋Aeq\o\al(3,9）＝990種．例53個(gè)人坐在一排8個(gè)椅子上，若每個(gè)人左右兩邊都有空位，則坐法的種數(shù)有多少種?解析：解法1：先將3個(gè)人（各帶一把椅子)進(jìn)行全排列有Aeq\o\al(3,3），○*○*○*○,在四個(gè)“空"中分別放一把椅子,還剩一把椅子再去插空有Aeq\o\al(1，4)種，所以每個(gè)人左右兩邊都有空位的排法有Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al（3，3)＝24種．解法2：先拿出5個(gè)椅子排成一排，在5個(gè)椅子中間出現(xiàn)4個(gè)“空”，＊○*○＊○＊○＊，再讓3個(gè)人每人帶一把椅子去插空,于是有Aeq\o\al(3，4）＝24種．注：題中*表示元素，○表示空．例6停車場(chǎng)劃出一排12個(gè)停車位置，今有8輛車需要停放．要求空位置連在一起，不同的停車方法有多少種?解析：先排好8輛車有Aeq\o\al(8,8）種方法，要求空位置連在一起,則在每2輛之間及其兩端的9個(gè)空檔中任選一個(gè)，將空位置插入有Aeq\o\al(1,9）種方法,所以共有Aeq\o\al（1,9)Aeq\o\al（8,8）種方法．(設(shè)計(jì)者：殷賀）附：1．2。1排列第二課時(shí)eq\o(\s\up7(),\s\do5（整體設(shè)計(jì)））1．教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課主要研究排列數(shù)的概念、公式及其應(yīng)用．從教材體系來(lái)看，排列數(shù)是繼兩個(gè)基本原理之后的又一重要概念，在實(shí)際生活中應(yīng)用十分廣泛．本節(jié)課的主要學(xué)習(xí)任務(wù)是通過(guò)實(shí)例抽象出排列數(shù)的概念及公式，在此基礎(chǔ)上探究排列數(shù)公式的應(yīng)用,使學(xué)生體會(huì)類比歸納、轉(zhuǎn)化化歸的思想方法，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括和推理論證的能力．2．學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析學(xué)生在前一節(jié)課已經(jīng)學(xué)習(xí)了排列的概念、對(duì)是否為排列問(wèn)題也有了初步認(rèn)識(shí)，為排列數(shù)的引入提供很好的背景．從學(xué)生認(rèn)知水平來(lái)看，學(xué)生的探究能力和用數(shù)學(xué)語(yǔ)言交流的能力還有待提高，本節(jié)課還要初步體會(huì)研究排列問(wèn)題的一般方法．因而本節(jié)課教學(xué)的難點(diǎn)是：排列數(shù)公式的準(zhǔn)確掌握和靈活運(yùn)用．3．設(shè)計(jì)思想與方法本節(jié)課依據(jù)新課程改革應(yīng)關(guān)注知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展過(guò)程的理念,結(jié)合本節(jié)課的知識(shí)的特點(diǎn)，要有計(jì)劃有目標(biāo)地預(yù)設(shè)活動(dòng)，充分利用計(jì)算機(jī)課件和實(shí)物投影等輔助教學(xué)手段，制作課件，改變相關(guān)內(nèi)容的呈現(xiàn)方式，增加課堂容量．同時(shí)還要不斷調(diào)整自己的教學(xué)行為,順應(yīng)學(xué)生真實(shí)精彩的動(dòng)態(tài)生成．加深對(duì)主要知識(shí)的記憶，理清知識(shí)間的邏輯關(guān)系，形成知識(shí)體系．建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論指出：知識(shí)的獲得不是教師傳授的結(jié)果，而是學(xué)生自身意義建構(gòu)的過(guò)程,因此，教與學(xué)模式應(yīng)是充分調(diào)動(dòng)學(xué)生積極主動(dòng)地參與整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程，通過(guò)探究合作，資料收集，動(dòng)手操作等學(xué)習(xí)方式達(dá)到個(gè)人的意義建構(gòu)．因此,本節(jié)課采用“自主學(xué)習(xí)與創(chuàng)新能力培養(yǎng)相結(jié)合”的教學(xué)模式．教學(xué)目標(biāo)依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)要求，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知水平和特點(diǎn),確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下：知識(shí)與技能1．掌握排列數(shù)及其公式的推導(dǎo)過(guò)程；2．掌握排列數(shù)公式的計(jì)算；3．掌握如何利用排列數(shù)公式及基本原理解決實(shí)際問(wèn)題．過(guò)程與方法1．正確理解排列數(shù)的概念及排列數(shù)公式，能夠運(yùn)用這一公式進(jìn)行計(jì)算．2．掌握利用排列數(shù)公式解決實(shí)際問(wèn)題的方法．3．通過(guò)排列數(shù)公式的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新和應(yīng)用意識(shí)．情感、態(tài)度與價(jià)值觀1．通過(guò)排列數(shù)概念引入過(guò)程，激發(fā)學(xué)生的求知欲，鼓勵(lì)學(xué)生大膽嘗試、勇于探索，促進(jìn)學(xué)生探究問(wèn)題、分析與解決問(wèn)題的能力的提高．2．通過(guò)排列數(shù)公式的證明及應(yīng)用，體會(huì)類比歸納、轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想和方法，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和抽象概括以及推理論證的能力．重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：(1)排列數(shù)公式的推導(dǎo)．(2）體會(huì)研究排列問(wèn)題的一般方法．突出重點(diǎn)方法：“抓三線、突重點(diǎn)",即（一）知識(shí)技能線:問(wèn)題情境→概念引入→應(yīng)用；(二)過(guò)程與方法線：特殊到一般、探索歸納→概念引入探索等→轉(zhuǎn)化到應(yīng)用；（三）能力線：觀察、探索能力→類比的數(shù)學(xué)思想解決問(wèn)題的能力→靈活運(yùn)用能力及嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度．教學(xué)難點(diǎn)：排列數(shù)公式的準(zhǔn)確掌握和靈活運(yùn)用．突破難點(diǎn)手段：“抓兩點(diǎn),破難點(diǎn)”，即一抓學(xué)生情感和思維的興奮點(diǎn)，激發(fā)他們的興趣，鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想、積極探索，使他們知難而進(jìn);二抓知識(shí)選擇的切入點(diǎn)，從學(xué)生原有的認(rèn)知水平和所需的知識(shí)特點(diǎn)入手，無(wú)論是排列數(shù)的定義還是公式,都要學(xué)生在類比的基礎(chǔ)上通過(guò)主動(dòng)探究來(lái)發(fā)現(xiàn)，從中培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、推理論證能力，教師給予適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥和指導(dǎo)．eq\o（\s\up7（）,\s\do5(教學(xué)過(guò)程))eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(設(shè)計(jì)問(wèn)題創(chuàng)設(shè)情況））回顧排列的概念、特征、判斷是否為排列問(wèn)題的依據(jù)．在現(xiàn)實(shí)生活中我們不僅僅關(guān)注是否為排列問(wèn)題，而且還關(guān)注所有不同排列方法的種數(shù)，及所有排列的個(gè)數(shù)問(wèn)題，這一節(jié)課我們就來(lái)探討和研究這一問(wèn)題．問(wèn)題：①?gòu)腶、b、c三個(gè)不同的元素中任取兩個(gè)，一共有多少不同的排列個(gè)數(shù)?②從四個(gè)不同的元素中任取兩個(gè)呢？③從n個(gè)不同的元素中任取兩個(gè)呢？④從n個(gè)不同的元素中任取m個(gè)呢？為了問(wèn)題表述的方便，引入一個(gè)新概念—-排列數(shù)．設(shè)計(jì)意圖：運(yùn)用學(xué)生熟悉的概念和問(wèn)題為背景，知道數(shù)學(xué)知識(shí)是有其客觀背景和現(xiàn)實(shí)意義的,引導(dǎo)思考，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，產(chǎn)生研究的愿望．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(自主探究合作交流）)排列數(shù)定義:排列數(shù)定義：從n個(gè)不同元素中任取m(m≤n）個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù),記作Aeq\o\al（m，n)。注：m、n應(yīng)滿足的條件（1）m,n∈N*(2)m≤n（3）Aeq\o\al(m，n)表示的是一個(gè)數(shù)設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生的洞察力、辨別力，訓(xùn)練學(xué)生思維的概括性、嚴(yán)謹(jǐn)性、準(zhǔn)確性．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(師生互動(dòng)揭示規(guī)律))（1）排列數(shù)公式回顧剛才的四個(gè)問(wèn)題：?jiǎn)栴}①的排列數(shù)是多少，如何用符號(hào)表示？Aeq\o\al（2，3)＝3×2＝6問(wèn)題②的排列數(shù)是多少,如何用符號(hào)表示？Aeq\o\al(2,4）＝4×3＝12問(wèn)題③的排列數(shù)是多少,如何用符號(hào)表示？Aeq\o\al(2，n）＝n(n－1)問(wèn)題④的排列數(shù)是多少，如何用符號(hào)表示？Aeq\o\al(m,n）＝?請(qǐng)同學(xué)們思考前3個(gè)問(wèn)題的推導(dǎo)過(guò)程，想一想：從n個(gè)不同的元素中任取3個(gè)的排列數(shù)是多少？能否用類似的方法推導(dǎo)出Aeq\o\al（m,n)＝？設(shè)計(jì)意圖:教學(xué)活動(dòng)中教師只是引領(lǐng)者，而學(xué)生才是學(xué)習(xí)活動(dòng)的主體，要讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的研究者，就要?jiǎng)?chuàng)造探究機(jī)會(huì)，讓學(xué)生不斷地體驗(yàn)成功，激發(fā)熱情,教師點(diǎn)撥使之更快獲得新知．（2）排列數(shù)公式的推導(dǎo)用占位法（框圖）分析：第1位第2位第3位……第m位n種（n－1）種(n－2）種……（n－m＋1）種解：分m個(gè)步驟完成：第一步確定第一個(gè)位置上的元素：有n