高二數(shù)學(xué)文科寒假班講義

學(xué)科教師輔導(dǎo)講義

學(xué)員編號:年級：高二課時(shí)數(shù)：3

學(xué)員姓名:輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué)學(xué)科教師:

授課主題第01講一-解三角形的綜合

授課類型T同步課堂P實(shí)戰(zhàn)演練S歸納總結(jié)

①掌握正弦定理和余弦定理的基本內(nèi)容；

教學(xué)目標(biāo)②能靈活使用正余弦定理結(jié)合三角函數(shù)基本公式進(jìn)行變形;

③運(yùn)用正弦定理和余弦定理解決實(shí)際問題。

授課日期及時(shí)段

T(Textbook-Based)同步課堂

體系搭建

一、知識框架

任正---r*距離問題

bc

意

定sin.4sin5sinC

解

角理*高度距離

形

角

的

余a2=bz+c2-2bccosA形

邊A角度問題

弦222

角b=c+a-2cacosB

定

c2=a1+tr-2abeosC

理

幾何計(jì)算問題

系1b

A三角形面積公式:

,b2^-c2-cC

cosA=-------------

2bcSA=-sinC

7

?c2+a2-

cos3=-------------=L比sin4

2ca7

_a2+b2-c2

cosC=-------------

2ab-casinB

)2J

二、知識概念

(-)正弦定理

在一個(gè)三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即，

sinAsinBsinC

利用正弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題.

(1)已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；

(2)已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角.(從而進(jìn)一步求出其他的邊和角)

變形：①a:b:c,=sinA:sinB:sinC

②角化邊a=2/?sinAb=2RsmBc=27?sinC

b.-c

③邊化角sinA=—sinBsine=——

2R2R2R

(二)余弦定理

三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即

a2=/?2+c2—2bccosA；①

從=/+“2—2cacosB；②

c^-cP+b2—2abcosC.③

在余弦定理中，令C=90。，這時(shí)cosC=0,所以/二4+液

由此可知余弦定理是勾股定理的推廣.由①②③可得

b2c2-a2c2a2-b20a2b2-c2

cos4A=---+--------；cosBD=----+--------；cosC=----+--------.

2bc2ca2ab

利用余弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題：

(1)已知三邊，求三個(gè)角；

(2)已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角.

(3)在AA8C中，

若儲+6=,2,則角C是直角；

若Y+'vl,則角C是鈍角;

若/+層＞02,則角C是銳角.

(三)三角形中的公式變換

三角形中的三角變換，除了應(yīng)用上述公式和上述變換方法外，還要注意三角形自身的特點(diǎn)。

(1)角的變換

因?yàn)樵凇鰽BC中，A+B+C=n，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=—cosC；tan(A+B)=—tanC。

,A+BCA+BC

sin-----=cos一,cos=sin一；

2222

（2）三角形邊、角關(guān)系定理及面積公式，正弦定理，余弦定理。

面積公式：S=ga%=gabsinC=r.p其中r為三角形內(nèi)切圓半徑，p為周長之半。

典例分析

考點(diǎn)一：利用正余弦定理解三角形

例1、在A48C中，A=60°,a=4小，6=4啦，則8等于（）

A.45°或135°B.135°

C.45°D.以上答案都不對

例2、在△ABC中，已知a=2G,c=屈+匹,8=45°,求b及A。

72

例3、在AABC中，sin71+cosA=——,AC=2,AB=3,求tanA的值和AA3C的面積。

2

考點(diǎn)二：求值問題

例1、在AABC中，若/7=2,8=30°,。=135°,則.=。

例2、在AA8C中，已知4=30。，且34=小6=12,則c的值為（）

A.4B.8

C.4或8D.無解

例3、在AABC中，若人=2asin3,則A等于（）

A.30°或60°B.45°或60°C.120°或60°D.30°或150°

例4、在AABC中，若a?=/+Oc+c)貝ijA=

例5、在△ABC中，已知“=5,6=3,角C的余弦值是方程5*+7》-6=0的根，則第三邊c,的長為

考點(diǎn)三：與三角形邊角相關(guān)的問題

7T

例1、AABC中，A=—,BC=3,則AABC的周長為（）

3

+

A.4^3sin(B+y)B.4V3sin(B+^)+3

7TIT

C.6sin(J34-—)+3D.6sin(S+—)+3

例2、在AABC中，角A、B、C的對邊分別為人b、c,若（序+，一〃）tan8=小如，則角8的值為（)

B.：琮或普或?qū)?/p>

2/s

例3、在A48C中，NB=45°,AC=JI5,cosC=-^二，求:

（1）求BC的長；

（2）若點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，求中線CD的長度。

例4、已知A、B、C是AA8C三內(nèi)角，向量加=（-1,、回）〃=（cosA,sin4）,且加.〃=1,

l+sin2B

（I）求角A；（II）若=-3,^<tanCa

cos2B-sin2B

考點(diǎn)四：邊角互化問題

例1、在AABC中，如果sinA:sin6:sinC=2:3:4,那么cosC等于

例2、在AA8c中，若sinA>sin3,則4與B的大小關(guān)系為（）.

A.A>BB.A<B

C.A>BD.A、B的大小關(guān)系不能確定

例3、在銳角AABC中，角A,B所對的邊長分別為a,b.若2asinB=gb,則角A等于（）

K717171

A.—B.—C.—D.—

34612

例4、［2011?全國卷II】AABC內(nèi)角A、B、C對邊分別為a、b、c,已知asinA+csinC—也asinC=6sinA

⑴求8：

（2）若2=75°,b=2,求a,c.

考點(diǎn)五：解三角形的實(shí)際應(yīng)用

例1、如圖，測量河對岸的塔高A6時(shí)，可以選與塔底8在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測點(diǎn)C與。.現(xiàn)測得

NBCD=a,/BDC=0,CD=s,并在點(diǎn)C測得塔頂A的仰角為氏求塔高AB。

例2、如圖所示，在山頂鐵塔上B處測得地面上一點(diǎn)A的俯角為a,在塔底C處測得A處的俯角為&已知鐵

塔8c部分的高為/?,求出山高CD.

P(Practice-Oriented)一——實(shí)戰(zhàn)演練

實(shí)戰(zhàn)演練

＞課堂狙擊

1、等腰三角形一腰上的高是6,這條高與底邊的夾角為60°,則底邊長=()

A.2B.――C.3D.2-\/3

2

2、在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=7：8：13,則C=。

3、AABC的三內(nèi)角A、B、C所對邊的長分別為。、b、c,設(shè)向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),若「〃

q,則角C的大小為()

.兀e兀一兀r2兀

A-6BgC，2D.—

4、如果等腰三角形的周長是底邊長的5倍，則它的頂角的余弦值為()

B.qC.—yD.y

A.—

o

5、在A48C,內(nèi)角A,B,C所對的邊長分別為asinBcosC+csin8cosA=，且a>￡?,則NB=()

2

6、在AABC中，a、b、c分別為NA、NB、NC的對邊，^a2=b2+c2-2bcsmA,則A=

7、已知a,h,c為△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對邊，若m=n=(cosAsinA),mln,

且acosB+bcosA=csinC,則角A、B的大小分別為()

7T712萬71717t7171

A.—B.-9----c.—,—D.——,——

63363633

22

8、在△ABC中，〃、b、c分別是NA、NB、NC的對邊長，已知〃、b、c成等比數(shù)列，Ha—c=ac—bcf

求/A的大小及她史的值。

C

>課后反擊

1、已知a=G,c=2,8=150。，則邊b的長為（）.

A.甄B.V13C.叵D.V22

22

2、已知銳角三角形的邊長分別為2、3、x,則x的取值范圍是（）.

A.亞〈X（屈B.V13<x<5

C.2cxe石D.x/5<x<5

3、AABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c,若8=24,。=1/=6,則。=（）

A.26B.2C.V2D.1

4、已知△ABC中，NA=60。，a=6，則----c,+h+c-----=___________.

sin4+sinB+sinC

5、在AA8C中，已知三邊a、b、c滿足后+/一乙2="，則/c等于.

6、在△ABC中，AB=5,BC=7,AC=8,求A與B。的值.

7、如圖所示，測量河對岸的塔高A3時(shí)，可以選與塔底3在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測點(diǎn)C與。，現(xiàn)測得

/BCD=?,ZBDC=/3,CD=s,并在點(diǎn)C測得塔頂A的仰角為8,求塔高A8.

8、在△ABC中，a,b,c分別是角A,B,C的對邊，且匕=6,a=2小，A=30。，試求ac的值.

戰(zhàn)術(shù)指導(dǎo)

應(yīng)用解三角形知識解決實(shí)際問題的步驟

(1)根據(jù)題意畫出示意圖;

(2)確定實(shí)際問題所涉及的三角形，并搞清該三角形的已知條件和未知條件;

(3)選用正、余弦定理進(jìn)行求解，并注意運(yùn)算的正確性;

(4)給出答案.

直擊高考

1.12016高考新課標(biāo)3理數(shù)】在"BC中，B=~,3C邊上的高等于則cosA二()

43

⑴嚶⑹嚕(D)一題

1010

45

212016高考新課標(biāo)2理數(shù)】AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為c,若cosA=—，cosC=—,a=1,

513

則6=

3.12016高考上海理數(shù)】已知AABC的三邊長分別為3,5,7,則該三角形的外接圓半徑等于,

4.【2016年高考北京理數(shù)】在AABC中，a2+c2^b2+yjlac

(1)求的大?。?/p>

(2)求友cosA+cosC的最大值.

5.12016高考新課標(biāo)1卷】AA6C的內(nèi)角A,8,C的對邊分別為a,b,c,已知2cosc(acosB+6cosA)=c.

(I)求C；(II)若。=嶼,乙48。的面積為之叵，求的周長.

2

6.12015高考上海，理14】在銳角三角形ABC中，tanA=‘，D為邊BC上的點(diǎn)，AABD與AACD的

2

面積分別為2和4.過D作DELAB于E,DF_LAC于F,則D￡-DP=

7.12015高考湖北，理13】如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時(shí)測得公路北側(cè)一山

頂。在西偏北30的方向上，行駛600m后到達(dá)B處，測得此山頂在西偏北75的方向上，仰角為30,則此

山的高度8=

2

8.12015高考山東，理16】(X)=sinxcosX-cosXH---.

4j

(1)求/(X)的單調(diào)區(qū)間;

(II)在銳角AABC中，角的對邊分別為a,dc,若/(m)=0,a=l,求A/WC面積的最大值.

S(Summary-Embedded)歸納總結(jié)

重點(diǎn)回顧..

1、利用正余弦定理解三角形

2、在解三角形過程中知道何時(shí)用余弦定理，何時(shí)用正弦定理;

3、應(yīng)用正余弦定理解決實(shí)際生活中遇到的問題。

名師點(diǎn)撥

1.內(nèi)角和定理:

在A43C中,n；sin(A+B)=sinC；cos(A+B)--cosC；

.A+BCA+B.CA+BC

sin------cos—；cos-----=sin—；tancot—.

222222

2.面積公式:--absxnC--/?csinA=—easinB

222

3.正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它的所對角的正弦的比相等.

形式一：/_=_2—=」一=2R或變形：a:O:c=sinA:sinB:sinC(解三角形的重要工具)

sinAsinBsinC

a=2/?sinA

形式二：\b=2RsinB(邊角轉(zhuǎn)化的重要工具)

c=2RsinC

4.余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍..

形式一：a2=b2+c2-2bccosAb2=c2+a2-2cacosBc2=a1+b2-2abcosC

…一4b2+c2-a2?c2+a2-b2a2+b2-c2

形1r式一：cosA=----------；cosB=----------；cosC=----------

2hclealab

5.(])兩類正弦定理解三角形的問題：1、已知兩角和任意一邊，求其他的兩邊及一角.

2、已知兩角和其中一邊的對角，求其他邊角.

(2)兩類余弦定理解三角形的問題：1、已知三邊求三角.

2、已知兩邊和他們的夾角，求第三邊和其他兩角.

6.判定三角形形狀時(shí)，可利用正余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，統(tǒng)一成邊的形式或角的形式.

7.正余弦定理的使用條件歸納

已知條件定理應(yīng)用一般解法

一邊和兩角正弦定理由A+B+C=18（y,求角A,由正弦定理求出b與c,在有解時(shí)

（如a、B、C）有一解。

兩邊和夾角余弦定理由余弦定理求第三邊C,由正弦定理求出小邊所對的角，再

（如a、b、c）由A+B+C=180,求出另一角，在有解時(shí)有一解。

三邊余弦定理由余弦定理求出角A、B,再利用A+B+C=180,,求出角C

（如a、b、c）在有解時(shí)只有一解。

學(xué)霸經(jīng)驗(yàn)

＞本節(jié)課我學(xué)到了

＞我需要努力的地方是

學(xué)科教師輔導(dǎo)講義

學(xué)員編號：年級：高二課時(shí)數(shù)：3

學(xué)員姓名：輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué)學(xué)科教師：

授課主題第02講-一等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念與性質(zhì)

授課類型T同步課堂P實(shí)戰(zhàn)演練S歸納總結(jié)

④了解數(shù)列的基本概念；

教學(xué)目標(biāo)⑤理解掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式；

?靈活運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算。

授課日期及時(shí)段

T(Textbook-Based)同步課堂

體系搭建

一、知識框架

（一）等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本概念與性質(zhì)

等差數(shù)列等比數(shù)列

an

定義an-??_]=d（媯常數(shù)）（"N2）；-=Q

通項(xiàng)公式an—a]+（〃-1）=am+（〃一m）dq=%q'i=a,"qf

1）屋=尸

Cl-Q,a,'

1）d=」~~n

n-m

2）若m+n=s+t（m,n,s,tcN*）,則

2）當(dāng)加+〃=p+4時(shí)，則有am+%=ap+a（1,

an-am=as-at.特別的，當(dāng)n+m=2k時(shí)，

特別地,當(dāng)m+〃=2〃時(shí)，貝ij有。,“+?！?2%,；

性質(zhì)得a/。,”=aj；

3）S,S—S,S—S,....,k￡N+,成等差

k2kk3k2k3）若｛““｝為等比數(shù)列,則數(shù)列S”，

數(shù)列；

SyS“,SLS2“,…，成等比數(shù)列;

4）前奇數(shù)項(xiàng)的和與最中間項(xiàng)的關(guān)系：

S2n-I=（2〃-1）%。4）如果｛%｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)

列,則數(shù)列｛log4a,J是等差數(shù)列;

①當(dāng)q=1時(shí)，S=na

nx?

②當(dāng)時(shí)，

〃⑷+a“）n（n-l）

求和公式=--------=na,+-------a

n1

22$:_4—a,q

1—<7T—q

典例分析

考點(diǎn)一：等差數(shù)列及其性質(zhì)

例1、若無窮等差數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)小>0,公差d<0,｛an｝的前n項(xiàng)和為S”，則（）

A.Sn單調(diào)遞減B.Sn單調(diào)遞增C.Sn有最大值D.S”有最小值

1

例2、在等差數(shù)列｛an｝中，若a4+a6+a8+aio+ai2=12O,則ag—"口的值為（）

A.14B.15C.16D.17

例3、設(shè)S“、T”分別是等差數(shù)列｛2｝、｛bj的前〃項(xiàng)和，2=4±2,則幺=______

Tn拉+3h5

例4、已知等差數(shù)列｛如｝的前"項(xiàng)和為Sn，且S10=10,520=30,則S30=.

12

例5、已知數(shù)列｛q｝滿足4=1,。e=1——，其中〃eN+設(shè)d=------

也2a?-l

（1）求證：數(shù)列｛〃｝是等差數(shù)列

（2）求數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式

考點(diǎn)二：等比數(shù)列及其性質(zhì)

例1、已知等比數(shù)列｛%｝的前三項(xiàng)依次為a+1,a+4,則（）

例2、在等比數(shù)列｛4｝中，的和牝是二次方程/+依+5=0的兩個(gè)根，則的值為（）

A.25B.5\[5C.—5-\/5D.+5-^5

例3、設(shè)等比數(shù)列｛如｝的前"項(xiàng)和為S〃，若S6:53=1:2,則％:S3等于（）

A.1：2B.2：3C.3：4D.1：3

例4、對任意等比數(shù)列｛q｝,下列說法一定正確的是()

A.數(shù)列｛q+1｝不可能是等比數(shù)列

B.數(shù)列｛%“｝(%為常數(shù))一定是等比數(shù)列

C.若%>0,則｛In4｝一定是等差數(shù)列

D.數(shù)列｛a/｝是等比數(shù)列，其公比與數(shù)列｛%｝的公比相等

考點(diǎn)三：等差等比數(shù)列綜合

例1、等差數(shù)列｛aj共有2n項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)和為90,偶數(shù)項(xiàng)和為72,且/“-4=-33,則該數(shù)列的公差

為()

A.3B—3C.—2D.—1

例2、已知等比數(shù)列｛4｝滿足”“>0,〃=1,2,…，且%?4,T=22"(〃N3),則當(dāng)“N1時(shí)，

log2%+log2?3+---+log2a2n_1=()

A.B.(n+1)2C.n2D.(〃-1-

例3、已知數(shù)列｛小｝為等比數(shù)列，S“是它的前n項(xiàng)和.若3a3=2.,且久與2的的等差中項(xiàng)為右則55=()

A.35B.33C.31D.29

例4、已知數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，數(shù)列也｝是等差數(shù)列，若=一36,4+4,+%=7%,‘則

tan惚也一的值是()

1—%?外

-^2-5/2r~

A.1B.-----C.-------D.—\/3

22

例5、等差數(shù)列｛?。那啊?xiàng)和為S〃，已知S3=星，且N，S2,S4成等比數(shù)列，求｛斯｝的通項(xiàng)公式.

P（Practice-Oriented）一——實(shí)戰(zhàn)演練

實(shí)戰(zhàn)演練力

>課堂狙擊

1、等差數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和為S“，且S3=6,a,=4,則公差d等于（）

5

A.1B.-C.-2D.3

3

2、設(shè)S,,是等差數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和，已知4=3,4=11，則S,等于（）

A.13B.35C.49D.63

3、設(shè)等差數(shù)列｛5｝的前n項(xiàng)和為若囚=一11,%+%=—6,則當(dāng)S〃取最小值時(shí)，n等于（）

A.6B.7C.8D.9

4、設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，若Sg=72,則％+%+為=

5、已知等比數(shù)列｛〃“｝中，a?>0,ai，倒9為方程*-10x+16=0的兩根，則布?頌3的值為（）

A.32B.64C.256D.±64

6、已知｛〃“｝是等比數(shù)列，a2=2,。5=；，則+。2。3+…+。/〃+產(chǎn)（）

3232

A.16（1一4一”）B.6（1一2一"）C.—）D.—（1一2一〃）

33

7、已知各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列｛〃〃｝,滿足2s一屆+2〃“=0,數(shù)列｛乩｝是等比數(shù)列，且岳=s，則慶慶等于

（）

A.2B.4C.8D.16

8^已知函數(shù)./0）=：有，數(shù)列｛/｝的通項(xiàng)公式由x”=/（x,Li）（佗2,且〃￡N*）確定。

（1）求證：｛J｝是等差數(shù)列；

（2）當(dāng)即=￡時(shí),求即oo的值.

=

9、已知數(shù)列｛斯｝滿足a”+i—2an0,且內(nèi)+2是政，出的等差中項(xiàng).

(1)求數(shù)列｛an]的通項(xiàng)公式??；

(2)若d=13+21og]&,S“=<+歷+…++,求S,的最大值.

>課后反擊

1、等差數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和為S“，己知a,,i+a,,M—a；=O,52,1=38,則“=()

A.38B.20C.10D.9

，若2=3,，則邑=()

2、設(shè)等比數(shù)列｛凡｝的前n項(xiàng)和為S“

§3S

6

78

A.2B.一C.—D.3

33

3、設(shè)等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，若a6=S3=12,則｛aj的通項(xiàng)a.=.

4、設(shè)等差數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)和為S,,若%=5%則邑=___________

§5

5、等比數(shù)歹|J｛4“｝的公比4>0,已知“2=1，%+2+。"+1=6。"，則｛4｝的前4項(xiàng)和54=

6、等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，已知S1,S3，S2成等差數(shù)列.

(1)求｛%｝的公比4；

(2)若4]—。3=3，求S”.

戰(zhàn)術(shù)指導(dǎo)3

注意：解決等差數(shù)列問題時(shí)，通?？紤]兩類方法：

①基本量法：即運(yùn)用條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于q和4的方程；

②巧妙運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)，一般地運(yùn)用性質(zhì)可以化繁為簡，減少運(yùn)算量.

直擊高考.

1、【2016.?高考新課標(biāo)1卷】已知等差數(shù)列｛為｝前9項(xiàng)的和為27,40=8,則。|00=()

(A)100(B)99(C)98(D)97

2、【2016.?年高考北京理數(shù)】已知｛%｝為等差數(shù)列，S“為其前〃項(xiàng)和，若q=6,%+%=0,則

S6=?.

3、【2016.?高考新課標(biāo)1卷】設(shè)等比數(shù)列｛%｝滿足。1+<73=10,。2+。4=5,則0102-an的最大值為.

4、【2016?高考江蘇卷】已知｛4｝是等差數(shù)列，｛S,,｝是其前〃項(xiàng)和.若4+W=-3,Ss=10,則％的值是.

5、【2015?全國I文】已知｛aj是公差為1的等差數(shù)列；Sn為｛aQ的前n項(xiàng)和，若S8=4S4，則aio=()

A.11B.日C.10D.12

22

6、【2015?全國I理］已知等比數(shù)列｛an｝滿足ai=3,ai+33+35=21,貝lj33+35+37=()

A.21B.42C.63D.84

7、【2014?全國II文】等差數(shù)列｛a。｝的公差為2,若a2，g,as成等比數(shù)列，則｛aj的前n項(xiàng)和S「=()

11

A.n(n+1)B.n(n-1)C.(n+1).D.n-

22

S(Summary-Embedded)歸納總結(jié)

名師點(diǎn)撥

(-)求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值

法一：因等差數(shù)列前〃項(xiàng)和是關(guān)于〃的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，

但要注意數(shù)列的特殊性〃€N*。

法二：(1)“首正”的遞減等差數(shù)列中，前”項(xiàng)和的最大值是所有非負(fù)項(xiàng)之和

a>0

即當(dāng)q>0,J<0,由〈”n可得S〃達(dá)到最大值時(shí)的〃值.

1??+140

(2)“首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中，前〃項(xiàng)和的最小值是所有非正項(xiàng)之和。

即當(dāng)qvO,d>0,由4”可得S“達(dá)到最小值時(shí)的〃值.

q+i20

或求｛4｝中正負(fù)分界項(xiàng)

法三：直接利用二次函數(shù)的對稱性：由于等差數(shù)列前〃項(xiàng)和的圖像是過原點(diǎn)的二次函數(shù)，故〃取離二次

函數(shù)對稱軸最近的整數(shù)時(shí)，S.取最大值(或最小值)。若S0=S.則其對稱軸為〃=生2

學(xué)霸經(jīng)驗(yàn)

>本節(jié)課我學(xué)到了

>我需要努力的地方是

學(xué)科教師輔導(dǎo)講義

學(xué)員編號：年級：高二課時(shí)數(shù)：3

學(xué)員姓名：輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué)學(xué)科教師：

授課主題第03講一-數(shù)列通項(xiàng)公式的求法與數(shù)列求和

授課類型T同步課堂P實(shí)戰(zhàn)演練S歸納總結(jié)

⑦熟練掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式；

教學(xué)目標(biāo)⑧掌握數(shù)列通項(xiàng)公式的基本求法：常規(guī)法、累加法、累乘法、待定系數(shù)法和取倒數(shù)法；

⑨掌握數(shù)列求和的基本方法，重點(diǎn)掌握裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法。

授課日期及時(shí)段

T(Textbook-Based)后1.1果早

體系搭建

一、知識概念

(一)數(shù)列通項(xiàng)公式求法

(1)常規(guī)公式法：已知數(shù)列的前〃項(xiàng)和S“與。”的關(guān)系，可用公式a“=41求解；

注意：單獨(dú)討論n=l的情況，只要n-1作為下標(biāo)存在，n必須大于等于2。

(2)累加法：適用于已知=%+/(〃)(/(〃)可求和)的情況；

a2~a}=/(1)

則⑵

%+i一%=/(〃)

兩邊分別相加得an+]-a]=￡/(〃)

k=\

(3)累乘法：適用于已知a,m=4/(〃)(/(〃)要可求積)的情況；

即&±=/(〃)，則”=/⑴，&=/(2),……,4±L=/(〃)；兩邊分別相乘得，%L=a/j]/G)

(4)待定系數(shù)法：

①%+i=pa?+q,通過配湊可轉(zhuǎn)化為：cz?+1+4/(〃)=+4/5)],那么數(shù)列｛an+4/(〃))

即為以4為公比的等比數(shù)列。

②見用=P4+q",通過配湊可轉(zhuǎn)化為：??+1+ea=4(4+?"),那么數(shù)列｛/+//｝即為

%為公比的等比數(shù)列。

(5)取倒數(shù)法：關(guān)于通項(xiàng)的遞推關(guān)系式變形后含有區(qū)",用項(xiàng)，直接求相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系很困難，但兩

邊同除以的后，相鄰兩項(xiàng)的倒數(shù)的關(guān)系容易求得，從而間接求出與

(二)數(shù)列求和的方法

(1)直接用等差、等比數(shù)列的求和公式求和。

((q=i)

〃吐％)+：(”l)d5“=|6(1一/),八【必須注意分母不為零】

"212"―,~~—(^*1)

1一4

(2)錯(cuò)位相減法求和：如：｛a“將差，也，蹲比，求4々+電/+…+。他,的和.(等式兩邊同乘等比

數(shù)列的公比，然后錯(cuò)位相減)【引導(dǎo)學(xué)生回顧等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程，總結(jié)方法】

(3)分組求和：把數(shù)列的每一項(xiàng)分成若干項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，再求和。

(4)裂項(xiàng)相消法求和：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差、正負(fù)相消剩下首尾若干項(xiàng)。

111

常見拆項(xiàng)：-------=-------------------------焉內(nèi)-血)

n[n+1)n〃+1(2〃-1)(2〃+1)+3(

典例分析

考點(diǎn)一：數(shù)列通項(xiàng)公式求法

例1、已知各項(xiàng)全不為0的數(shù)列｛&｝的前k項(xiàng)和為Sk,且Sk=344+](keN*)其中?,=1,求數(shù)列｛4｝的通

項(xiàng)公式。

例2、已知數(shù)列｛2｝滿足q=，，。向=凡+——,求知

2n+n

例3、設(shè)｛%｝是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且("+W]_〃寸+%+/“=0例=1,2,3,...),則它的通項(xiàng)

公式是%=.

例4、已知數(shù)列｛〃“｝滿足4=1,4用=24+1(〃wN*),求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式。

例5、已知數(shù)列｛4｝滿足a"+I=2a“+4-3"T,%=1,求數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式。

例6、已知數(shù)列｛%｝滿足。用=一jq=l,求數(shù)列｛a,J的通項(xiàng)公式。

氏+2

考點(diǎn)二：數(shù)列求和

352

例1、求和：Sn=Inx+Inx+InxH---FInx"~'.

例2、數(shù)列｛a“｝的前〃項(xiàng)和為S“，已知q=g,S“=iran-n(n-l),n=1,2，鬃

（I）寫出S“與S”（”N2）的遞推關(guān)系式,并求S“關(guān)于〃的表達(dá)式；

>7+1

n

（n）設(shè)勿=——Snx（xeR）,求數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和Tn。

n

例3、求和［XH—）+f----------—（XW0）.

例4、設(shè)等差數(shù)列｛6,｝的前N項(xiàng)和為S“，%+。6=24,4=143,數(shù)列也｝的

前〃項(xiàng)和為Tn,滿足=7；-q（〃eN）.

（I）求數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式及數(shù)列J」一）的前〃項(xiàng)和；

1?A+i.

（H）判斷數(shù)列物,｝是否為等比.數(shù)列？并說明理由.

P(Practice-0riented)戰(zhàn)/奧紡^

實(shí)戰(zhàn)演練*

A課堂狙擊

1、數(shù)列｛如｝的前〃項(xiàng)和為S”若。“一（〃+］）（〃+2），則X等于（）

2、數(shù)列｛%｝中，q=6,%—2a,T=—%3+〃+l(〃N2),則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為=.

n

3、在數(shù)列｛〃“｝中，。1=1,a“>0,且滿足(