2025屆深圳市育才中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末預(yù)測試題含解析

2025屆深圳市育才中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末預(yù)測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在空間四邊形OABC中，，，，點M在線段OA上，且，N為BC中點，則等于（）A. B.C. D.2．在四面體中，，，，且，，則等于（）A. B.C. D.3．彬塔，又稱開元寺塔、彬縣塔，民間稱“雷峰塔”，位于陜西省彬縣城內(nèi)西南紫薇山下.某同學(xué)為測量彬塔高度，選取了與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點與，現(xiàn)測得，，，在點測得塔頂?shù)难鼋菫?0°，則塔高（）A.30m B.C. D.4．已知命題，，則（）A.， B.，C.， D.，5．下列四個命題中為真命題的是（）A.設(shè)p：1＜x＜2，q：2x＞1，則p是q的必要不充分條件B.命題“”的否定是“”C.函數(shù)的最小值是4D.與的圖象關(guān)于直線y＝x對稱6．意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的《算經(jīng)》中記載了一個有趣的數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……，這就是著名的斐波那契數(shù)列，該數(shù)列的前2022項中有（）個奇數(shù)A.1012 B.1346C.1348 D.13507．已知數(shù)列是遞減的等比數(shù)列，的前項和為，若，，則=（）A.54 B.36C.27 D.188．設(shè)雙曲線：的左、右焦點分別為、，P為C上一點，且，，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.9．①“若，則互為相反數(shù)”的逆命題；②“若，則”的逆否命題；③“若，則”的否命題.其中真命題的個數(shù)為（）A.0 B.1C.2 D.310．圓：與圓：的位置關(guān)系是（）A.內(nèi)切 B.外切C.相交 D.相離11．已知圓，過點P的直線l被圓C所截，且截得最長弦的長度與最短弦的長度比值為5∶4，若O為坐標(biāo)原點，則最大值為（）A.3 B.4C.5 D.612．已知雙曲線的一條漸近線方程是，它的一個焦點在拋物線的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為()A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若數(shù)列{an}滿足an＋Sn＝An2＋Bn＋C且A＞0，則＋B－C的最小值為________14．已知雙曲線的兩條漸近線的夾角為，則_______15．以點為圓心，且與直線相切的圓的方程是__________16．等比數(shù)列的前n項和，則的通項公式為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）動點M到點的距離比它到直線的距離小，記M的軌跡為曲線C.（1）求C的方程；（2）已知圓，設(shè)P，A，B是C上不同的三點，若直線PA，PB均與圓D相切，若P的縱坐標(biāo)為，求直線AB的方程.18．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是菱形，，，是的中點（1）求證：；（2）已知二面角的余弦值為，求與平面所成角的正弦值19．（12分）已知橢圓的左頂點、上頂點和右焦點分別為，且的面積為，橢圓上的動點到的最小距離是（1）求橢圓的方程；（2）過橢圓的左頂點作兩條互相垂直的直線交橢圓于不同的兩點（異于點）.①證明：動直線恒過軸上一定點；②設(shè)線段中點為，坐標(biāo)原點為，求的面積的最大值.20．（12分）如圖，菱形的邊長為4，，矩形的面積為8，且平面平面（1）證明：；（2）求C到平面的距離.21．（12分）已知圓C的圓心在直線上，且圓C經(jīng)過，兩點.（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)直線與圓C交于A，B（異于坐標(biāo)原點O）兩點，若以AB為直徑的圓過原點，試問直線l是否過定點？若是，求出定點坐標(biāo)；若否，請說明理由.22．（10分）在下面兩個條件中任選一個條件，補充在后面問題中的橫線上，并完成解答.條件①：展開式前三項的二項式系數(shù)的和等于37；條件②：第3項與第7項的二項式系數(shù)相等；問題：在二項式的展開式中，已知__________.（1）求展開式中二項式系數(shù)最大的項；（2）設(shè)，求的值；（3）求的展開式中的系數(shù).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】由題意結(jié)合圖形，直接利用，求出，然后即可解答.【詳解】解：因為空間四邊形OABC如圖，，，，點M在線段OA上，且，N為BC的中點，所以.所以.故選：B.2、B【解析】根據(jù)空間向量的線性運算即可求解.【詳解】解：由題知，故選：B.3、D【解析】在△中有，再應(yīng)用正弦定理求，再在△中，即可求塔高.【詳解】由題設(shè)知：，又，△中，可得，在△中，，則.故選：D4、C【解析】利用全稱量詞命題的否定可得出結(jié)論.【詳解】命題為全稱量詞命題，該命題的否定為，.故選：C.5、D【解析】根據(jù)推出關(guān)系和集合的包含關(guān)系判斷A，根據(jù)全稱命題的否定形式可判斷B，根據(jù)對鉤函數(shù)性質(zhì)即三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷C，根據(jù)反函數(shù)的圖像性質(zhì)可判斷D.【詳解】解：對于選項A：是的真子集，所以命題p是q的充分不必要條件，故A錯誤；對于選項B：命題“”的否定是“”，故B錯誤；對于選項C：函數(shù)，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時取最小值，故C錯誤；對于選項D：與互為反函數(shù)，故圖象關(guān)于直線y＝x對稱，故D正確.6、C【解析】由斐波那契數(shù)列的前幾項分析該數(shù)列的項的奇偶規(guī)律，由此確定該數(shù)列的前2022項中的奇數(shù)的個數(shù).【詳解】由已知可得為奇數(shù)，為奇數(shù)，為偶數(shù)，因為，所以為奇數(shù)，為奇數(shù)，為偶數(shù)，…………所以為奇數(shù)，為奇數(shù)，為偶數(shù)，又故該數(shù)列的前2022項中共有1348個奇數(shù)，故選：C.7、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)及通項公式計算求解即可.【詳解】由，解得或（舍去），，，故選：C8、B【解析】根據(jù)雙曲線定義結(jié)合，求得，在中，利用余弦定理求得之間的關(guān)系，即可得出答案.【詳解】解：因為在雙曲線中，因為，所以，所以，在中，，，由余弦定理可得，即，所以，所以，所以，所以雙曲線的漸近線方程為.故選：B.9、B【解析】寫出逆命題判斷①；寫出逆否命題判斷②；寫出否命題判斷③.【詳解】①:“若，則互為相反數(shù)”的逆命題為：“若互為相反數(shù)，則”，是真命題；②：“若，則”的逆否命題為：“若，則”.因為當(dāng)時，有，但不成立.故“若，則”是假命題.③：“若，則”的否命題為：“若，則”.因為當(dāng)時，有，但是，即不成立.故“若，則”是假命題..故選：B10、A【解析】先計算兩圓心之間的距離，判斷距離和半徑和、半徑差之間的關(guān)系即可.【詳解】圓圓心，半徑，圓圓心，半徑，兩圓心之間的距離，故兩圓內(nèi)切.故選：A.11、C【解析】由題意，點P在圓C內(nèi)，且最長弦的長度為直徑長10，則最短弦的長度為8，進而可得，所以點P的軌跡為以C為圓心，半徑為3的圓，從而即可求解.【詳解】解：由題意，圓，所以圓C是以為圓心，半徑為5的圓，因為過點P的直線l被圓C所截，且截得最長弦的長度與最短弦的長度比值為5∶4，所以點P在圓C內(nèi)，且最長弦的長度為直徑長10，則最短弦的長度為8，所以由弦長公式有，所以點P的軌跡為以C為圓心，半徑為3的圓，所以，故選：C.12、A【解析】根據(jù)雙曲線漸近線方程得a和b的關(guān)系，根據(jù)焦點在拋物線準(zhǔn)線上得c的值，結(jié)合a、b、c關(guān)系即可求解.【詳解】∵雙曲線的一條漸近線方程是，∴，∵準(zhǔn)線方程是，∴，∵，∴，，∴雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為：.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】因為{an}為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，由an＋Sn＝An2＋Bn＋C，得a1＋(n－1)d＋na1＋n(n－1)d＝an＋Sn＝An2＋Bn＋C，即(d－A)n2＋(a1＋－B)n＋(a1－d－C)＝0對任意正整數(shù)n都成立所以(d－A)＝0，a1＋d－B＝0，a1－d－C＝0，所以A＝d，B＝a1＋d，C＝a1－d，所以3A－B＋C＝0.＋B－C＝＋3A≥2.14、或【解析】首先判斷漸近線的傾斜角，再求的值.【詳解】由條件可知雙曲線的其中一條漸近線方程是，因為兩條漸近線的夾角是，所以直線的傾斜角是或，即或.故答案為：或15、；【解析】根據(jù)相切可得圓心到直線距離即為圓的半徑,利用點到直線距離公式解出半徑,即可得到圓的方程【詳解】由題,設(shè)圓心到直線的距離為,所以,因為圓與直線相切,則,所以圓的方程為,故答案為：【點睛】本題考查利用直線與圓的位置關(guān)系求圓的方程,考查點到直線距離公式的應(yīng)用16、【解析】利用的關(guān)系，結(jié)合是等比數(shù)列，即可求得結(jié)果.【詳解】因為，故當(dāng)時，，則，又當(dāng)時，，因為是等比數(shù)列，故也滿足，即，故，此時滿足，則.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）由拋物線的定義可得結(jié)論；（2）設(shè)，得PA的兩點式方程為，由在拋物線上，化簡直線方程為，然后由圓心到切線的距離等于半徑得出的關(guān)系式，并利用得出點滿足的等式，同理設(shè)得方程，最后由直線方程的定義可得直線方程【小問1詳解】由題意得動點M到點的距離等于到直線的距離，所以曲線C是以為焦點，為準(zhǔn)線的拋物線.設(shè)，則，于是C的方程為.【小問2詳解】由（1）可知，設(shè)，PA的兩點式方程為.由，，可得.因為PA與D相切，所以，整理得.因為，可得.設(shè)，同理可得于是直線AB的方程為.18、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）由菱形及線面垂直的性質(zhì)可得、，再根據(jù)線面垂直的判定、性質(zhì)即可證結(jié)論.（2）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，結(jié)合已知確定相關(guān)點坐標(biāo)，進而求面、面的法向量，結(jié)合已知二面角的余弦值求出參數(shù)t，再根據(jù)空間向量夾角的坐標(biāo)表示求與平面所成角的正弦值【小問1詳解】由平面，平面，則，又是菱形，則，又，所以平面，平面所以E.【小問2詳解】分別以，，為，，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，由（1）知：平面的法向量為，令面的法向量為，則，令，可得，因為二面角的余弦值為，則，可得，則，設(shè)與平面所成的角為，又，，所以.19、（1）（2）①證明見解析；②【解析】（1）根據(jù)題意得，，解方程即可；（2）①設(shè)直線：，直線：，聯(lián)立曲線分別求出點和的坐標(biāo)，求直線方程判斷定點即可；②根據(jù)題意得，代入求最值即可.【小問1詳解】根據(jù)題意得，，，又，三個式子聯(lián)立解得，，，所以橢圓的方程為：【小問2詳解】①證明：設(shè)兩條直線分別為和，根據(jù)題意和得斜率存在且不等于；因為，所以設(shè)直線：，直線：；由，解得，所以，同理，.當(dāng)時，，所以直線的方程為：，整理得，此時直線過定點；當(dāng)時，直線的方程為：，此時直線過定點，故直線恒過定點.②根據(jù)題意得，，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故的面積的最大值為：.【點睛】解決直線與橢圓綜合問題時，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題20、（1）證明見解析.（2）【解析】（1）利用線面垂直的性質(zhì)證明出；（2）利用等體積轉(zhuǎn)換法，先求出O到平面AEF的距離，再求C到平面的距離.【小問1詳解】在矩形中，.因為平面平面，平面平面,所以平面，所以.【小問2詳解】設(shè)AC與BD的交點為O,則C到平面AEF的距離為O到平面AEF的距離的2倍.因為菱形ABCD的邊長為4且，所以.因為矩形BDFE的面積為8，所以BE=2.,,則三棱錐的體積.在△AEF中,,所以.記O到平面AEF的距離為d.由得：,解得：，所以C到平面AEF的距離為.21、（1）（2）過定點，定點為【解析】（1）設(shè)出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，由題意列出方程從而可得答案.（2）設(shè)，，將直線的方程與圓C的方程聯(lián)立，得出韋達定理，由條件可得，從而得出答案.【小問1詳解】設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為由題意可得解得，，.故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】設(shè)，.聯(lián)