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專題14幾何綜合題一、單選題1.(2023·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題)如圖,以鈍角三角形的最長(zhǎng)邊為邊向外作矩形,連結(jié),設(shè),,的面積分別為,若要求出的值,只需知道(
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A.的面積 B.的面積 C.的面積 D.矩形的面積【答案】C【分析】過點(diǎn)作,交的延長(zhǎng)線于點(diǎn),的延長(zhǎng)線于點(diǎn),易得:,利用矩形的性質(zhì)和三角形的面積公式,可得,再根據(jù),得到,即可得出結(jié)論.【詳解】解:過點(diǎn)作,交的延長(zhǎng)線于點(diǎn),的延長(zhǎng)線于點(diǎn),
∵矩形,∴,∴,∴四邊形為矩形,∴,∴,∴,又,∴,∴只需要知道的面積即可求出的值;故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì),求三角形的面積.解題的關(guān)鍵是得到2.(2023·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題)如圖,在中,是邊上的點(diǎn)(不與點(diǎn)重合).過點(diǎn)作交于點(diǎn);過點(diǎn)作交于點(diǎn).是線段上的點(diǎn),;是線段上的點(diǎn),.若已知的面積,則一定能求出(
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A.的面積 B.的面積C.的面積 D.的面積【答案】D【分析】連接,證明,得出,由已知得出,則,又,則,進(jìn)而得出,可得,結(jié)合題意得出,即可求解.【詳解】解:連接,∵,,∴,.∴,.∴.∵,,∴,∴.∴.又∵,∴.∴.∵∴.∴.∴.∵,∴.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定,證明是解題的關(guān)鍵.3.(2023·重慶·統(tǒng)考中考真題)如圖,在正方形中,O為對(duì)角線的中點(diǎn),E為正方形內(nèi)一點(diǎn),連接,,連接并延長(zhǎng),與的平分線交于點(diǎn)F,連接,若,則的長(zhǎng)度為(
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A.2 B. C.1 D.【答案】D【分析】連接,根據(jù)正方形得到,,根據(jù)角平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì),求得,再證明,求得,最后根據(jù)直角三角形斜邊上的中點(diǎn)等于斜邊的一半,即可求出的長(zhǎng)度.【詳解】解:如圖,連接,
四邊形是正方形,,,,,,,平分,,,在與,,,,,O為對(duì)角線的中點(diǎn),,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì),三角形內(nèi)角和定理,正方形的性質(zhì),直角三角形特征,作出正確的輔助線,求得是解題的關(guān)鍵.4.(2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題)如圖,和是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,把以為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn),點(diǎn)為射線、的交點(diǎn).若,.以下結(jié)論:①;②;③當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí),;④在旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)線段最短時(shí),的面積為.其中正確結(jié)論有()
A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】D【分析】證明即可判斷①,根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得出②,證明得出,即可判斷③;以為圓心,為半徑畫圓,當(dāng)在的下方與相切時(shí),的值最小,可得四邊形是正方形,在中,然后根據(jù)三角形的面積公式即可判斷④.【詳解】解:∵和是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,∴,∴,∴,∴,,故①正確;設(shè),∴,∴,∴,故②正確;當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí),如圖所示
∵,,∴∴∵,.∴,∴∴,故③正確;④如圖所示,以為圓心,為半徑畫圓,
∵,∴當(dāng)在的下方與相切時(shí),的值最小,∴四邊形是矩形,又,∴四邊形是正方形,∴,∵,∴,在中,∴取得最小值時(shí),∴故④正確,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),相似三角形的性質(zhì),勾股定理,切線的性質(zhì),垂線段最短,全等三角形的性質(zhì)與判定,正方形的性質(zhì),熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.5.(2023·浙江金華·統(tǒng)考中考真題)如圖,在中,,以其三邊為邊在的同側(cè)作三個(gè)正方形,點(diǎn)在上,與交于點(diǎn)與交于點(diǎn).若,則的值是(
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A. B. C. D.【答案】B【分析】設(shè),正方形的邊長(zhǎng)為,證明,先后求得,,,利用三角形面積公式求得,證明,求得,,據(jù)此求解即可.【詳解】解:∵四邊形是正方形,且,設(shè),則,∵四邊形是正方形,∴,∴,∴,即,∴,∴,同理,即,∴,同理,∴,,,∵,∴,∴,∴,∵,∴,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì),三角函數(shù)的定義,解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題.6.(2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題)如圖,在正方形中,點(diǎn)E是上一點(diǎn),延長(zhǎng)至點(diǎn)F,使,連結(jié),交于點(diǎn)K,過點(diǎn)A作,垂足為點(diǎn)H,交于點(diǎn)G,連結(jié).下列四個(gè)結(jié)論:①;②;③;④.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為(
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A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可由定理證,即可判定是等腰直角三角形,進(jìn)而可得,由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得;由此即可判斷①正確;再根據(jù),可判斷③正確,進(jìn)而證明,可得,結(jié)合,即可得出結(jié)論④正確,由隨著長(zhǎng)度變化而變化,不固定,可判斷②不一定成立.【詳解】解:∵正方形,∴,,∴,∵,∴,∴,,∴,∴是等腰直角三角形,,∵,∴,∵,∴,∴,故①正確;
又∵,,∴,∴,∵,即:,∴,∴,故③正確,又∵,∴,∴,又∵,∴,故④正確,∵若,則,又∵,∴,而點(diǎn)E是上一動(dòng)點(diǎn),隨著長(zhǎng)度變化而變化,不固定,而,則故不一定成立,故②錯(cuò)誤;綜上,正確的有①③④共3個(gè),故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查三角形綜合,涉及了正方形的性質(zhì),全等三角形、相似三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形"三線合一"的性質(zhì),直角三角形的性質(zhì),熟練掌握正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.7.(2023·安徽·統(tǒng)考中考真題)如圖,是線段上一點(diǎn),和是位于直線同側(cè)的兩個(gè)等邊三角形,點(diǎn)分別是的中點(diǎn).若,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(
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A.的最小值為 B.的最小值為C.周長(zhǎng)的最小值為6 D.四邊形面積的最小值為【答案】A【分析】延長(zhǎng),則是等邊三角形,觀察選項(xiàng)都是求最小時(shí),進(jìn)而得出當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí),則三點(diǎn)共線,各項(xiàng)都取得最小值,得出B,C,D選項(xiàng)正確,即可求解.【詳解】解:如圖所示,
延長(zhǎng),依題意∴是等邊三角形,∵是的中點(diǎn),∴,∵,∴∴,∴∴,∴四邊形是平行四邊形,則為的中點(diǎn)如圖所示,
設(shè)的中點(diǎn)分別為,則∴當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí),在上運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí),即,則三點(diǎn)共線,取得最小值,此時(shí),則,∴到的距離相等,則,此時(shí)此時(shí)和的邊長(zhǎng)都為2,則最小,∴,∴∴,或者如圖所示,作點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱點(diǎn),則,則當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí),
此時(shí)故A選項(xiàng)錯(cuò)誤,根據(jù)題意可得三點(diǎn)共線時(shí),最小,此時(shí),則,故B選項(xiàng)正確;周長(zhǎng)等于,即當(dāng)最小時(shí),周長(zhǎng)最小,如圖所示,作平行四邊形,連接,
∵,則如圖,延長(zhǎng),,交于點(diǎn),則,∴是等邊三角形,∴,在與中,∴∴∴∴∴,則,∴是直角三角形,
在中,∴當(dāng)時(shí),最短,∵∴周長(zhǎng)的最小值為,故C選項(xiàng)正確;∵∴四邊形面積等于
∴當(dāng)?shù)拿娣e為0時(shí),取得最小值,此時(shí),重合,重合∴四邊形面積的最小值為,故D選項(xiàng)正確,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形,等邊三角形的性質(zhì),勾股定理,熟練掌握等邊三角形的性質(zhì),得出當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)得出最小值是解題的關(guān)鍵.二、填空題8.(2023·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考中考真題)如圖,點(diǎn)在線段上(點(diǎn)C在點(diǎn)之間),分別以為邊向同側(cè)作等邊三角形與等邊三角形,邊長(zhǎng)分別為.與交于點(diǎn)H,延長(zhǎng)交于點(diǎn)G,長(zhǎng)為c.
(1)若四邊形的周長(zhǎng)與的周長(zhǎng)相等,則之間的等量關(guān)系為________.(2)若四邊形的面積與的面積相等,則a,b,c之間的等量關(guān)系為________.【答案】;【分析】由題意可得:為等邊三角形,四邊形為平行四邊形,,(1)分別求得四邊形的周長(zhǎng)與的周長(zhǎng),根據(jù)題意,求解即可;(2)分別求得四邊形的面積與的面積,根據(jù)題意,求解即可.【詳解】解:等邊三角形與等邊三角形中,,∴和為等邊三角形,,∴,四邊形為平行四邊形,又∵等邊三角形與等邊三角形∴,,,∴,(1)平行四邊形的周長(zhǎng)為:,的周長(zhǎng)為:由題意可得:即:;(2)過點(diǎn)作,過點(diǎn)作,如下圖:
在中,,,,∴則平行四邊形的面積為在中,,,,∴則的面積為:由題意可得:化簡(jiǎn)可得:故答案為:;【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),解直角三角形,解題的關(guān)鍵是熟練掌握并靈活利用等邊三角形的性質(zhì)求得對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)度.9.(2023·四川瀘州·統(tǒng)考中考真題)如圖,,是正方形的邊的三等分點(diǎn),是對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)取得最小值時(shí),的值是___________.
【答案】【分析】作點(diǎn)F關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn),連接交于點(diǎn),此時(shí)取得最小值,過點(diǎn)作的垂線段,交于點(diǎn)K,根據(jù)題意可知點(diǎn)落在上,設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為,求得的邊長(zhǎng),證明,可得,即可解答.【詳解】解:作點(diǎn)F關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn),連接交于點(diǎn),過點(diǎn)作的垂線段,交于點(diǎn)K,
由題意得:此時(shí)落在上,且根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì),當(dāng)P點(diǎn)與重合時(shí)取得最小值,設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a,則,四邊形是正方形,,,,,,,,,,,
,當(dāng)取得最小值時(shí),的值是為,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形的最值問題,軸對(duì)稱的性質(zhì),相似三角形的證明與性質(zhì),正方形的性質(zhì),正確畫出輔助線是解題的關(guān)鍵.10.(2023·江西·統(tǒng)考中考真題)如圖,在中,,將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角()得到,連接,.當(dāng)為直角三角形時(shí),旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為_______.
【答案】或或【分析】連接,根據(jù)已知條件可得,進(jìn)而分類討論即可求解.【詳解】解:連接,取的中點(diǎn),連接,如圖所示,
∵在中,,∴,∴是等邊三角形,∴,,∴∴,∴∴,如圖所示,當(dāng)點(diǎn)在上時(shí),此時(shí),則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為,
當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí),如圖所示,則
當(dāng)在的延長(zhǎng)線上時(shí),則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為,如圖所示,∵,,∴四邊形是平行四邊形,∵∴四邊形是矩形,∴即是直角三角形,
綜上所述,旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為或或故答案為:或或.【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定,等邊三角形的性質(zhì)與判定,矩形的性質(zhì)與判定,旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.11.(2023·新疆·統(tǒng)考中考真題)如圖,在中,,,,點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn),將沿折疊得到,當(dāng)點(diǎn)恰好落在上時(shí),的長(zhǎng)為______.
【答案】【分析】過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn),根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及已知條件得出,進(jìn)而求得,根據(jù)折疊的性質(zhì)得出,進(jìn)而在中,勾股定理即可求解.【詳解】解:如圖所示,過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn),
∵在中,,,,∴,∴,在中,∵將沿折疊得到,當(dāng)點(diǎn)恰好落在上時(shí),∴又∴∴∴設(shè),∴在中,∴解得:(負(fù)整數(shù))故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì),解直角三角形,熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.12.(2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題)如圖,已知正方形的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)E、F分別在邊上,將正方形沿著翻折,點(diǎn)B恰好落在邊上的點(diǎn)處,如果四邊形與四邊形的面積比為3∶5,那么線段的長(zhǎng)為________.
【答案】【分析】連接,過點(diǎn)作于點(diǎn),設(shè),則,則,根據(jù)已知條件,分別表示出,證明,得出,在中,,勾股定理建立方程,解方程即可求解.【詳解】解:如圖所示,連接,過點(diǎn)作于點(diǎn),
∵正方形的邊長(zhǎng)為1,四邊形與四邊形的面積比為3∶5,∴,設(shè),則,則∴即∴∴,∴,∵折疊,∴,∴,∵,∴,又,∴,∴在中,即解得:,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì),折疊的性質(zhì),勾股定理,全等三角形的性質(zhì)與判定,熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.13.(2023·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題)圖1是方格繪成的七巧板圖案,每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為,現(xiàn)將它剪拼成一個(gè)“房子”造型(如圖2),過左側(cè)的三個(gè)端點(diǎn)作圓,并在圓內(nèi)右側(cè)部分留出矩形作為題字區(qū)域(點(diǎn),,,在圓上,點(diǎn),在上),形成一幅裝飾畫,則圓的半徑為___________.若點(diǎn),,在同一直線上,,,則題字區(qū)域的面積為___________.【答案】5;【分析】根據(jù)不共線三點(diǎn)確定一個(gè)圓,根據(jù)對(duì)稱性得出圓心的位置,進(jìn)而垂徑定理、勾股定理求得,連接,取的中點(diǎn),連接,在中,根據(jù)勾股定理即可求解.【詳解】解:如圖所示,依題意,,∵過左側(cè)的三個(gè)端點(diǎn)作圓,,又,∴在上,連接,則為半徑,∵,在中,∴解得:;連接,取的中點(diǎn),連接,交于點(diǎn),連接,,∵,∴,∴,∵點(diǎn),,在同一直線上,∴,∴,又,∴∵,∴∴∵∴∴,∵,設(shè),則在中,即整理得即解得:或∴題字區(qū)域的面積為故答案為:;.【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理,平行線分線段成比例,勾股定理,七巧板,熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.14.(2023·浙江·統(tǒng)考中考真題)如圖,分別以為邊長(zhǎng)作正方形,已知且滿足,.
(1)若,則圖1陰影部分的面積是__________;(2)若圖1陰影部分的面積為,圖2四邊形的面積為,則圖2陰影部分的面積是__________.【答案】;【分析】(1)根據(jù)正方形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可求解;(2)根據(jù)題意,解方程組得出,根據(jù)題意得出,進(jìn)而得出,根據(jù)圖2陰影部分的面積為,代入進(jìn)行計(jì)算即可求解.【詳解】解:(1),圖1陰影部分的面積是,故答案為:.(2)∵圖1陰影部分的面積為3,圖2四邊形的面積為,∴,,即∴(負(fù)值舍去)∵,.解得:∵①∴,∴,∴②聯(lián)立①②解得:(為負(fù)數(shù)舍去)或∴,圖2陰影部分的面積是故答案為:或.【點(diǎn)睛】本題考查了整式的乘方與圖形的面積,正方形的性質(zhì),勾股定理,二元一次方程組,解一元二次方程,正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵.15.(2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題)一副三角板和中,.將它們疊合在一起,邊與重合,與相交于點(diǎn)G(如圖1),此時(shí)線段的長(zhǎng)是___________,現(xiàn)將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)(如圖2),邊與相交于點(diǎn)H,連結(jié),在旋轉(zhuǎn)到的過程中,線段掃過的面積是___________.
【答案】;【分析】如圖1,過點(diǎn)G作于H,根據(jù)含直角三角形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)得出,,然后由可求出的長(zhǎng),進(jìn)而可得線段的長(zhǎng);如圖2,將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,與交于,連接,,是旋轉(zhuǎn)到的過程中任意位置,作于N,過點(diǎn)B作交的延長(zhǎng)線于M,首先證明是等邊三角形,點(diǎn)在直線上,然后可得線段掃過的面積是弓形的面積加上的面積,求出和,然后根據(jù)線段掃過的面積列式計(jì)算即可.【詳解】解:如圖1,過點(diǎn)G作于H,
∵,,∴,,∵,∴,∴;如圖2,將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,與交于,連接,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得:,,∴是等邊三角形,∵,∴,∴,∵,∴,即垂直平分,∵是等腰直角三角形,∴點(diǎn)在直線上,連接,是旋轉(zhuǎn)到的過程中任意位置,則線段掃過的面積是弓形的面積加上的面積,∵,∴,∴,作于N,則,∴,過點(diǎn)B作交的延長(zhǎng)線于M,則,∵,,∴,∴,∴線段掃過的面積,,,,故答案為:,.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),含直角三角形的性質(zhì),二次根式的運(yùn)算,解直角三角形,等邊三角形的判定和性質(zhì),勾股定理,扇形的面積計(jì)算等知識(shí),作出圖形,證明點(diǎn)在直線上是本題的突破點(diǎn),靈活運(yùn)用各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.16.(2023·浙江金華·統(tǒng)考中考真題)如圖是一塊矩形菜地,面積為.現(xiàn)將邊增加.
(1)如圖1,若,邊減少,得到的矩形面積不變,則的值是__________.(2)如圖2,若邊增加,有且只有一個(gè)的值,使得到的矩形面積為,則的值是__________.【答案】6;【分析】(1)根據(jù)面積的不變性,列式計(jì)算即可.(2)根據(jù)面積,建立分式方程,轉(zhuǎn)化為a一元二次方程,判別式為零計(jì)算即可.【詳解】(1)根據(jù)題意,得,起始長(zhǎng)方形的面積為,變化后長(zhǎng)方形的面積為,∵,邊減少,得到的矩形面積不變,∴,解得,故答案為:6.(2)根據(jù)題意,得,起始長(zhǎng)方形的面積為,變化后長(zhǎng)方形的面積為,∴,,∴,∴,∴,∵有且只有一個(gè)的值,∴,∴,解得(舍去),故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的面積變化,一元二次方程的應(yīng)用,正確轉(zhuǎn)化為一元二次方程是解題的關(guān)鍵.17.(2023·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題)如圖,以的邊、為腰分別向外作等腰直角、,連結(jié)、、,過點(diǎn)的直線分別交線段、于點(diǎn)、,以下說法:①當(dāng)時(shí),;②;③若,,,則;④當(dāng)直線時(shí),點(diǎn)為線段的中點(diǎn).正確的有_________.(填序號(hào))
【答案】①②④【分析】①當(dāng)時(shí),是等邊三角形,根據(jù)等角對(duì)等邊,以及三角形的內(nèi)角和定理即可得出,進(jìn)而判斷①;證明,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)判斷②;作直線于點(diǎn),過點(diǎn)作于點(diǎn),過點(diǎn)作于點(diǎn),證明,,,即可得是的中點(diǎn),故④正確,證明,可得,在中,,在中,,得出,在中,勾股定理即可求解.【詳解】解:①當(dāng)時(shí),是等邊三角形,∴∴∵等腰直角、,∴∴∴;故①正確;②∵等腰直角、,∴,∴∴∴;故②正確;④如圖所示,作直線于點(diǎn),過點(diǎn)作于點(diǎn),過點(diǎn)作于點(diǎn),
∵,∴,又,∴又∵,∴同理得,,∴,,,∵,,,∴,∴,即是的中點(diǎn),故④正確,∴,設(shè),則在中,在中,∴∴解得:∴,∴,∴∴在中,∴,故③錯(cuò)誤故答案為:①②④.【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì),勾股定理,全等三角形的性質(zhì)與判定,等腰三角形的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)與判定,熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.三、解答題18.(2023·浙江金華·統(tǒng)考中考真題)問題:如何設(shè)計(jì)“倍力橋”的結(jié)構(gòu)?圖1是搭成的“倍力橋”,縱梁夾住橫梁,使得橫梁不能移動(dòng),結(jié)構(gòu)穩(wěn)固.圖是長(zhǎng)為,寬為的橫梁側(cè)面示意圖,三個(gè)凹槽都是半徑為的半圓.圓心分別為,縱梁是底面半徑為的圓柱體.用相同規(guī)格的橫梁、縱梁搭“橋”,間隙忽略不計(jì).
探究:圖是“橋”側(cè)面示意圖,為橫梁與地面的交點(diǎn),為圓心,是橫梁側(cè)面兩邊的交點(diǎn).測(cè)得,點(diǎn)到的距離為.試判斷四邊形的形狀,并求的值.探究2:若搭成的“橋”剛好能繞成環(huán),其側(cè)面示意圖的內(nèi)部形成一個(gè)多邊形.①若有12根橫梁繞成環(huán),圖4是其側(cè)面示意圖,內(nèi)部形成十二邊形,求的值;②若有根橫梁繞成的環(huán)(為偶數(shù),且),試用關(guān)于的代數(shù)式表示內(nèi)部形成的多邊形的周長(zhǎng).
【答案】探究1:四邊形是菱形,;探究2:①;②【分析】探究1:根據(jù)圖形即可判斷出形狀;根據(jù)等腰三角形性質(zhì)可求出長(zhǎng)度,利用勾股定理即可求出長(zhǎng)度,從而求出值.探究2:①根據(jù)十二邊形的特性可知,利用特殊角正切值求出長(zhǎng)度,最后利用菱形的性質(zhì)求出的長(zhǎng)度,從而求得值.②根據(jù)正多邊形的特性可知的度數(shù),利用特殊角正切值求出和長(zhǎng)度,最后利用菱形的性質(zhì)求出的長(zhǎng)度,從而求得值.【詳解】解:探究1:四邊形是菱形,理由如下:由圖1可知,,,為平行四邊形.橋梁的規(guī)格是相同的,∴橋梁的寬度相同,即四邊形每條邊上的高相等,∵的面積等于邊長(zhǎng)乘這條邊上的高,每條邊相等,為菱形.②如圖1,過點(diǎn)作于點(diǎn).
由題意,得,.∴.在中,,∴.∴.故答案為:.探究2:①如圖2,過點(diǎn)作于點(diǎn).
由題意,得,..又四邊形是菱形,∴.∴.故答案為:.②如圖3,過點(diǎn)作于點(diǎn).
由題意,形成的多邊形為正邊形,外角.在中,.又,∴.形成的多邊形的周長(zhǎng)為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題是一道生活實(shí)際應(yīng)用題,考查的是菱形的性質(zhì)和判定、銳角三角函數(shù)、勾股定理,解題的關(guān)鍵在于將生活實(shí)際和有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)有效結(jié)合以及熟練掌握相關(guān)性質(zhì).19.(2023·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題)定義:有兩個(gè)相鄰的內(nèi)角是直角,并且有兩條鄰邊相等的四邊形稱為鄰等四邊形,相等兩鄰邊的夾角稱為鄰等角.
(1)如圖1,在四邊形中,,對(duì)角線平分.求證:四邊形為鄰等四邊形.(2)如圖2,在6×5的方格紙中,A,B,C三點(diǎn)均在格點(diǎn)上,若四邊形是鄰等四邊形,請(qǐng)畫出所有符合條件的格點(diǎn)D.(3)如圖3,四邊形是鄰等四邊形,,為鄰等角,連接,過B作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.若,求四邊形的周長(zhǎng).【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)【分析】(1)先證明,,再證明,即可得到結(jié)論;(2)根據(jù)新定義分兩種情況進(jìn)行討論即可;①,結(jié)合圖形再確定滿足或的格點(diǎn)D;②,結(jié)合圖形再確定滿足的格點(diǎn)D;(3)如圖,過作于,可得四邊形是矩形,,,證明四邊形為平行四邊形,可得,,設(shè),而,,,由新定義可得,由勾股定理可得:,再解方程可得答案.【詳解】(1)解:∵,∴,,∵對(duì)角線平分,∴,∴,∴,∴四邊形為鄰等四邊形.(2)解:,,即為所求;(3)如圖,過作于,
∵,∴四邊形是矩形,∴,,∵,∴四邊形為平行四邊形,∴,,設(shè),而,∴,,由新定義可得,由勾股定理可得:,整理得:,解得:,(不符合題意舍去),∴,∴四邊形的周長(zhǎng)為.【點(diǎn)睛】本題考查的是新定義的含義,平行線的性質(zhì),等腰三角形的判定,平行四邊形的判定與性質(zhì),矩形的判定與性質(zhì),勾股定理的應(yīng)用,一元二次方程的解法,理解題意,作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵.20.(2023·江西·統(tǒng)考中考真題)課本再現(xiàn)思考我們知道,菱形的對(duì)角線互相垂直.反過來,對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形嗎?可以發(fā)現(xiàn)并證明菱形的一個(gè)判定定理;對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.(1)定理證明:為了證明該定理,小明同學(xué)畫出了圖形(如圖1),并寫出了“已知”和“求證”,請(qǐng)你完成證明過程.己知:在中,對(duì)角線,垂足為.求證:是菱形.
(2)知識(shí)應(yīng)用:如圖,在中,對(duì)角線和相交于點(diǎn),.
①求證:是菱形;②延長(zhǎng)至點(diǎn),連接交于點(diǎn),若,求的值.【答案】(1)見解析;(2)①見解析;②【分析】(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明得出,同理可得,則,,進(jìn)而根據(jù)四邊相等的四邊形是菱形,即可得證;(2)①勾股定理的逆定理證明是直角三角形,且,得出,即可得證;②根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合已知條件得出,則,過點(diǎn)作交于點(diǎn),根據(jù)平行線分線段成比例求得,然后根據(jù)平行線分線段成比例即可求解.【詳解】(1)證明:∵四邊形是平行四邊形,∴,,∵∴,在中,∴∴,同理可得,則,又∵∴∴四邊形是菱形;(2)①證明:∵四邊形是平行四邊形,.∴在中,,,∴,∴是直角三角形,且,∴,∴四邊形是菱形;②∵四邊形是菱形;∴∵,∴,∵,∴,∴,如圖所示,過點(diǎn)作交于點(diǎn),
∴,∴,∴.【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)與判定,勾股定理以及勾股定理的逆定理,等腰三角形的性質(zhì)與判定,平行線分線段成比例,熟練掌握菱形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.21.(2023·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題)如圖1,為半圓的直徑,為延長(zhǎng)線上一點(diǎn),切半圓于點(diǎn),,交延長(zhǎng)線于點(diǎn),交半圓于點(diǎn),已知,.如圖,連接,為線段上一點(diǎn),過點(diǎn)作的平行線分別交,于點(diǎn),,過點(diǎn)作于點(diǎn).設(shè),.
(1)求的長(zhǎng)和關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式.(2)當(dāng),且長(zhǎng)度分別等于,,的三條線段組成的三角形與相似時(shí),求的值.(3)延長(zhǎng)交半圓于點(diǎn),當(dāng)時(shí),求的長(zhǎng).【答案】(1),;(2)或或;(3)【分析】(1)如圖1,連接,根據(jù)切線的性質(zhì)得出,證明,得出,即可得出;證明四邊形是平行四邊形,得出,代入數(shù)據(jù)可得;(2)根據(jù)三邊之比為,可分為三種情況.當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),分別列出比例式,進(jìn)而即可求解.(3)連接,,過點(diǎn)作于點(diǎn),根據(jù),得出,由,可得,代入(1)中解析式,即可求解.【詳解】(1)解:如圖1,連接.
∵切半圓于點(diǎn),∴.∵,,∴,∴.∵,∴,∴,即,∴.如圖2,,∴.
∵,∴四邊形是平行四邊形,∴.∵,∴,∴.(2)∵,,三邊之比為(如圖2),∴可分為三種情況.i)當(dāng)時(shí),,,解得,∴.ii)當(dāng)時(shí),,,解得,∴.iii)當(dāng)時(shí),,,解得,∴.(3)如圖3,連接,,過點(diǎn)作于點(diǎn),
則,,∴.∵,,∴.∵,∴,∴,∴,∴,,∴,即的長(zhǎng)為.【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì),解直角三角形,相似三角形的性質(zhì)與判定,函數(shù)解析式,分類討論,作出輔助線是解題的關(guān)鍵.22.(2023·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考中考真題)我們可以通過中心投影的方法建立圓上的點(diǎn)與直線上點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系,用直線上點(diǎn)的位置刻畫圓上點(diǎn)的位置,如圖,是的直徑,直線是的切線,為切點(diǎn).,是圓上兩點(diǎn)(不與點(diǎn)重合,且在直徑的同側(cè)),分別作射線,交直線于點(diǎn),點(diǎn).
(1)如圖1,當(dāng),的長(zhǎng)為時(shí),求的長(zhǎng).(2)如圖2,當(dāng),時(shí),求的值.(3)如圖3,當(dāng),時(shí),連接BP,PQ,直接寫出的值.【答案】(1);(2);(3)【分析】(1)根據(jù)扇形的弧長(zhǎng)公式即可求出度數(shù),利用切線的性質(zhì)和解直角三角形即可求出的長(zhǎng).(2)根據(jù)等弧所對(duì)圓周角相等推出,再根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理推出,利用直角三角形的性質(zhì)即可求出,通過等量轉(zhuǎn)化和余弦值可求出答案.(3)根據(jù)三角形相似的性質(zhì)證明和,從而推出和,利用已知條件將兩個(gè)比例線段相除,根據(jù)正弦值即可求出答案【詳解】(1)解:如圖1,連接,設(shè)的度數(shù)為.
,的長(zhǎng)為,.,即..直線是的切線,.∴.(2)解:如圖2,連接,過點(diǎn)作于點(diǎn),
為直徑,..,.,,.,,..(3)解:,理由如下:如圖3,連接BQ,
,,,,,,.,,.①,,,.②,得,.,.【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題,考查了圓周角定理,相似三角形的判定與性質(zhì),解直角三角形以及三角函數(shù)、切線的性質(zhì)定理、扇形的弧長(zhǎng)公式,角平分線性質(zhì)定理等,解題的關(guān)鍵在于熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理和相關(guān)計(jì)算公式.23.(2023·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題)在平行四邊形中(頂點(diǎn)按逆時(shí)針方向排列),為銳角,且.
(1)如圖1,求邊上的高的長(zhǎng).(2)是邊上的一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)同時(shí)繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得點(diǎn).①如圖2,當(dāng)點(diǎn)落在射線上時(shí),求的長(zhǎng).②當(dāng)是直角三角形時(shí),求的長(zhǎng).【答案】(1)8;(2)①;②或【分析】(1)利用正弦的定義即可求得答案;(2)①先證明,再證明,最后利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列出方程即可;②分三種情況討論完成,第一種:為直角頂點(diǎn);第二種:為直角頂點(diǎn);第三種,為直角頂點(diǎn),但此種情況不成立,故最終有兩個(gè)答案.【詳解】(1)在中,,在中,.(2)①如圖1,作于點(diǎn),由(1)得,,則,作交延長(zhǎng)線于點(diǎn),則,
∴.∵∴.由旋轉(zhuǎn)知,∴.設(shè),則.∵,∴,∴,∴,即,∴,∴.②由旋轉(zhuǎn)得,,又因?yàn)?,所以.情況一:當(dāng)以為直角頂點(diǎn)時(shí),如圖2.
∵,∴落在線段延長(zhǎng)線上.∵,∴,由(1)知,,∴.情況二:當(dāng)以為直角頂點(diǎn)時(shí),如圖3.
設(shè)與射線的交點(diǎn)為,作于點(diǎn).∵,∴,∵,∴,∴.又∵,∴,∴.設(shè),則,∴∵,∴,∴,∴,∴,化簡(jiǎn)得,解得,∴.情況三:當(dāng)以為直角頂點(diǎn)時(shí),點(diǎn)落在的延長(zhǎng)線上,不符合題意.綜上所述,或.【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì),正弦的定義,全等的判定及性質(zhì),相似的判定及性質(zhì),理解記憶相關(guān)定義,判定,性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.24.(2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考中考真題)(1)如圖①,在矩形的邊上取一點(diǎn),將沿翻折,使點(diǎn)落在上處,若,求的值;
(2)如圖②,在矩形的邊上取一點(diǎn),將四邊形沿翻折,使點(diǎn)落在的延長(zhǎng)線上處,若,求的值;(3)如圖③,在中,,垂足為點(diǎn),過點(diǎn)作交于點(diǎn),連接,且滿足,直接寫出的值.【答案】(1);(2)5;(3)【分析】(1)由矩形性質(zhì)和翻折性質(zhì)、結(jié)合勾股定理求得,設(shè)則,中利用勾股定理求得,則,,進(jìn)而求解即可;(2)由矩形的性質(zhì)和翻折性質(zhì)得到,證明,利用相似三角形的性質(zhì)求得,則,在中,利用勾股定理求得,進(jìn)而求得,可求解;(3)證明得到,則;設(shè),,過點(diǎn)D作于H,證明得到,在中,由勾股定理解得,進(jìn)而可求得,在圖③中,過B作于G,證明,則,,再證明,在中利用銳角三角函數(shù)和求得即可求解.【詳解】解:(1)如圖①,∵四邊形是矩形,∴,,,由翻折性質(zhì)得,,在中,,∴,設(shè),則,在中,由勾股定理得,∴,解得,∴,,∴;(2)如圖②,∵四邊形是矩形,∴,,,由翻折性質(zhì)得,,,,∴∴,∴,∴,即,又,∴,∴,在中,,∴,則,∴;(3)∵,,∴,∴,∵,∴,∴,則;設(shè),,過點(diǎn)D作于H,如圖③,則,∴;
∵,∴,∴,又∵,,∴,∴,在中,由勾股定理得,∴,解得,∴,,在中,,在圖③中,過B作于G,則,∴,∴,∴,,∵,,∴,則,在中,,,∵,∴,則,∴.
【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、翻折性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識(shí),綜合性強(qiáng),較難,屬于中考?jí)狠S題,熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用,添加輔助線求解是解答的關(guān)鍵.25.(2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題)探究式學(xué)習(xí)是新課程倡導(dǎo)的重要學(xué)習(xí)方式,某興趣小組擬做以下探究.在中,,D是邊上一點(diǎn),且(n為正整數(shù)),E是邊上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)D作的垂線交直線于點(diǎn)F.
【初步感知】(1)如圖1,當(dāng)時(shí),興趣小組探究得出結(jié)論:,請(qǐng)寫出證明過程.【深入探究】(2)①如圖2,當(dāng),且點(diǎn)F在線段上時(shí),試探究線段之間的數(shù)量關(guān)系,請(qǐng)寫出結(jié)論并證明;②請(qǐng)通過類比、歸納、猜想,探究出線段之間數(shù)量關(guān)系的一般結(jié)論(直接寫出結(jié)論,不必證明)【拓展運(yùn)用】(3)如圖3,連接,設(shè)的中點(diǎn)為M.若,求點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過程中,點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)(用含n的代數(shù)式表示).【答案】(1)見解析;(2)①,證明過程略;②當(dāng)點(diǎn)F在射線上時(shí),,當(dāng)點(diǎn)F在延長(zhǎng)線上時(shí),;(3)【分析】(1)連接,當(dāng)時(shí),,即,證明,從而得到即可解答;(2)①過的中點(diǎn)作的平行線,交于點(diǎn),交于點(diǎn),當(dāng)時(shí),,根據(jù),可得是等腰直角三角形,,根據(jù)(1)中結(jié)論可得,再根據(jù),,即可得到;②分類討論,即當(dāng)點(diǎn)F在射線上時(shí);當(dāng)點(diǎn)F在延長(zhǎng)線上時(shí),畫出圖形,根據(jù)①中的原理即可解答;(3)如圖,當(dāng)與重合時(shí),取的中點(diǎn),當(dāng)與重合時(shí),取的中點(diǎn),可得的軌跡長(zhǎng)度即為的長(zhǎng)度,可利用建系的方法表示出的坐標(biāo),再利用中點(diǎn)公式求出,最后利用勾股定理即可求出的長(zhǎng)度.【詳解】(1)證明:如圖,連接,
當(dāng)時(shí),,即,,,,,,,即,,,在與中,,,,;(2)①證明:如圖,過的中點(diǎn)作的平行線,交于點(diǎn),交于點(diǎn),
當(dāng)時(shí),,即,是的中點(diǎn),,,,,,,是等腰直角三角形,且,,根據(jù)(1)中的結(jié)論可得,;故線段之間的數(shù)量關(guān)系為;②解:當(dāng)點(diǎn)F在射線上時(shí),如圖,在上取一點(diǎn)使得,過作的平行線,交于點(diǎn),交于點(diǎn),
同①,可得,,,,,同①可得,,即線段之間數(shù)量關(guān)系為;當(dāng)點(diǎn)F在延長(zhǎng)線上時(shí),如圖,在上取一點(diǎn)使得,過作的平行線,交于點(diǎn),交于點(diǎn),連接
同(1)中原理,可證明,可得,,,,,同①可得,即線段之間數(shù)量關(guān)系為,綜上所述,當(dāng)點(diǎn)F在射線上時(shí),;當(dāng)點(diǎn)F在延長(zhǎng)線上時(shí),;(3)解:如圖,當(dāng)與重合時(shí),取的中點(diǎn),當(dāng)與重合時(shí),取的中點(diǎn),可得的軌跡長(zhǎng)度即為的長(zhǎng)度,
如圖,以點(diǎn)為原點(diǎn),為軸,為軸建立平面直角坐標(biāo)系,過點(diǎn)作的垂線段,交于點(diǎn),過點(diǎn)作的垂線段,交于點(diǎn),
,,,,,,,是的中點(diǎn),,,,,根據(jù)(2)中的結(jié)論,,,,,,.【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì),全等三角形的判定及性質(zhì),相似三角形的判定及性質(zhì),平行線的性質(zhì),正確地畫出圖形,作出輔助線,找對(duì)邊之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.26.(2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題)如圖,正方形中,點(diǎn)在邊上,點(diǎn)是的中點(diǎn),連接,.
(1)求證:;(2)將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在上,連接.當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)(點(diǎn)不與,重合),判斷的形狀,并說明理由.(3)在(2)的條件下,已知,當(dāng)時(shí),求的長(zhǎng).【答案】(1)見解析;(2)等腰直角三角形,理由見解析;(3)【分析】(1)根據(jù)正方形的基本性質(zhì)以及“斜中半定理”等推出,即可證得結(jié)論;(2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得,從而利用等腰三角形的性質(zhì)推出,再結(jié)合正方形對(duì)角線的性質(zhì)推出,即可證得結(jié)論;(3)結(jié)合已知信息推出,從而利用相似三角形的性質(zhì)以及勾股定理進(jìn)行計(jì)算求解即可.【詳解】(1)證:∵四邊形為正方形,∴,,∵點(diǎn)是的中點(diǎn),∴,∴,∴,即:,在與中,∴,∴;(2)解:為等腰直角三角形,理由如下:由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得:,∴,∴,,∵,∴,即:,∴,∴,∴,∴,∴為等腰直角三角形;(3)解:如圖所示,延長(zhǎng)交于點(diǎn),∵,,∴,,∴,∵,∴,∵,∴,∵,∴,∵,∴,∵,∴,∴,∴,∵,∴,設(shè),則,,∴,解得:,(不合題意,舍去),∴.
【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形和相似三角形的判定與性質(zhì)等,理解并熟練運(yùn)用基本圖形的證明方法和性質(zhì),掌握勾股定理等相關(guān)計(jì)算方式是解題關(guān)鍵.27.(2023·上?!そy(tǒng)考中考真題)如圖(1)所示,已知在中,,在邊上,點(diǎn)邊中點(diǎn),為以為圓心,為半徑的圓分別交,于點(diǎn),,聯(lián)結(jié)交于點(diǎn).(1)如果,求證:四邊形為平行四邊形;(2)如圖(2)所示,聯(lián)結(jié),如果,求邊的長(zhǎng);(3)聯(lián)結(jié),如果是以為腰的等腰三角形,且,求的值.【答案】(1)見解析;(2);(3)【分析】(1)根據(jù)等邊對(duì)等角得出,,等量代換得出,則,根據(jù)是的中點(diǎn),,則是的中位線,則,即可得證;(2)設(shè),,則,由(1)可得則,等量代換得出,進(jìn)而證明,得出,在中,,則,解方程即可求解;(3)是以為腰的等腰三角形,分為①當(dāng)時(shí),②當(dāng)時(shí),證明,得出,設(shè),根據(jù),得出,可得,,連接交于點(diǎn),證明在與中,,,得出,可得,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出,進(jìn)而即可求解.【詳解】(1)證明:∵∴∵∴,∴∴,∵是的中點(diǎn),,∴是的中位線,∴,即,∴四邊形是平行四邊形;(2)解:∵,點(diǎn)邊中點(diǎn),設(shè),,則由(1)可得∴,∴,又∵∴,∴即,∵,在中,,∴,∴解得:或(舍去)∴;(3)解:①當(dāng)時(shí),點(diǎn)與點(diǎn)重合,舍去;②當(dāng)時(shí),如圖所示,延長(zhǎng)交于點(diǎn)P,∵點(diǎn)是的中點(diǎn),,∴,設(shè),∵∴,∴,設(shè),∵∴,
∴,∴,∴,連接交于點(diǎn),∵,∴∴,∴,在與中,,,∴,又,∴,∴,∴,∴,,∴.【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì),三角形中位線的性質(zhì),相似三角形的性質(zhì)與判定,勾股定理,等腰三角形的定義,圓的性質(zhì),熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定,第三問中,證明是解題的關(guān)鍵.28.(2023·浙江·統(tǒng)考中考真題)如圖,在中,是一條不過圓心的弦,點(diǎn)是的三等分點(diǎn),直徑交于點(diǎn),連結(jié)交于點(diǎn),連結(jié),過點(diǎn)的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn).
(1)求證:;(2)若,求的值;(3)連結(jié)交于點(diǎn),若的半徑為5①若,求的長(zhǎng);②若,求的周長(zhǎng);③若,求的面積.【答案】(1)見解析;(2);(3)①;②;③【分析】(1)根據(jù)點(diǎn)是三等分點(diǎn),得出,根據(jù)是的直徑,可得,根據(jù)切線的性質(zhì)可得,即可證明;(2)如圖1,連結(jié),證明,則,設(shè),則,在中由勾股定理得,得出,進(jìn)而根據(jù)正切的定義即可求解;(3)①如圖1,連結(jié),勾股定理確定,根據(jù),可得;②如圖2,連結(jié),設(shè),則,解得.則,證明,,進(jìn)而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解;③如圖3,過點(diǎn)作于點(diǎn),則.設(shè),則,證明,得出則,得出,則,證明,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解.【詳解】(1)解:∵點(diǎn)是三等分點(diǎn),∴.由是的直徑∴,∵是的切線,∴.∴.(2)如圖1,連結(jié),∵,
∴.由,則,又∵,∴,∴.設(shè),則,∵,∴.在中由勾股定理得,∴,∴.∴.(3)①如圖1,連結(jié),∵,
∴.∴,∴,∴.∵,∴.∵,∴,∴.②如圖2,連結(jié),
∵,∴.∵,∴.設(shè),則,由勾股定理得,即,解得.∴∵,∴.∵,∴,∴,∴.∵,∴.∴.③如圖3,過點(diǎn)作于點(diǎn),則.
設(shè),則,由勾股定理得,,∵,∴,∴.∴.∵,∴,∴,∴.∴.可得方程,解得(舍去).∴,∴,∴,∴.∴.∵,∴.∵,∴,∴.∵,∴,∴.【點(diǎn)睛】本題考查了圓的綜合問題,相似三角形的性質(zhì)與判定,解直角三角形,切線的性質(zhì),相似三角形的性質(zhì)與判定熟練掌握是解題的關(guān)鍵.29.(2023·安徽·統(tǒng)考中考真題)在中,是斜邊的中點(diǎn),將線段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至位置,點(diǎn)在直線外,連接.
(1)如圖1,求的大??;(2)已知點(diǎn)和邊上的點(diǎn)滿足.(ⅰ)如圖2,連接,求證:;(ⅱ)如圖3,連接,若,求的值.【答案】(1);(2)(ⅰ)見解析;(ⅱ)【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出,根據(jù)等邊對(duì)接等角得出,在中,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即得出,進(jìn)而即可求解;(2)(ⅰ)延長(zhǎng)交于點(diǎn),證明四邊形是菱形,進(jìn)而根據(jù)平行線分線段成比例得出,,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì),得出是的中點(diǎn),根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,即可得證;(ⅱ)如圖所示,過點(diǎn)作于點(diǎn),由,得出,,進(jìn)而根據(jù)正切的定義即可求解.【詳解】(1)解:∵∴,在中,∴(2)證明:(ⅰ)證法一:如圖,延長(zhǎng),交于點(diǎn),則,
∵,∴.又∵,∴四邊形是平行四邊形.∴.∵是的中點(diǎn),,∴.∴.∴四邊形是平行四邊形.∵,∴是菱形.∴.∵,∴.∴.∵,即,∴,即點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn).∴.證法二:∵,是斜邊的中點(diǎn),∴點(diǎn)在以為圓心,為直徑的上.
∵,∴垂直平分.∴.∴.∵,∴.∴.∴.證法三:∵,∴.又∵,∴四邊形是平行四邊形.∴.∵是的中點(diǎn),,∴.∴.∴四邊形是平行四邊形.∵,∴是菱形.∴.∵,是斜邊的中點(diǎn),∴點(diǎn)在以為圓心,為直徑的上.∴.(ⅱ)如圖所示,過點(diǎn)作于點(diǎn),
∵,∴,則,∵,∴,∴,∴,∴,∴【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理,菱形的性質(zhì)與判定,平行線分線段成比例,相似三角形的性質(zhì)與判定,直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,勾股定理,求正切,熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.30.(2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題)已知,是半徑為1的的弦,的另一條弦滿足,且于點(diǎn)H(其中點(diǎn)H在圓內(nèi),且).
(1)在圖1中用尺規(guī)作出弦與點(diǎn)H(不寫作法,保留作圖痕跡).(2)連結(jié),猜想,當(dāng)弦的長(zhǎng)度發(fā)生變化時(shí),線段的長(zhǎng)度是否變化?若發(fā)生變化,說明理由:若不變,求出的長(zhǎng)度;(3)如圖2,延長(zhǎng)至點(diǎn)F,使得,連結(jié),的平分線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,點(diǎn)M為的中點(diǎn),連結(jié),若.求證:.【答案】(1)見解析;(2)線段是定長(zhǎng),長(zhǎng)度不發(fā)生變化,值為;(3)見解析【分析】(1)以為圓心,大于長(zhǎng)為半徑畫弧,交點(diǎn)為,連接,與交點(diǎn)為,與交點(diǎn)為,則,分別以為圓心,大于長(zhǎng)為半徑畫弧,交點(diǎn)為,連接,則,以為圓心,長(zhǎng)為半徑畫弧與交點(diǎn)為,則,以為圓心,長(zhǎng)為半徑畫弧,交直線于,以為圓心,大于長(zhǎng)為半徑畫弧,交點(diǎn)為,連接,則,與交點(diǎn)為,與交點(diǎn)為,即、點(diǎn)即為所求;(2)如圖2,連結(jié),連接并延長(zhǎng)交于,連結(jié),,過作于,于,證明四邊形是正方形,則可證是等腰直角三角形,則,由,可知,由是的直徑,可得,則是等腰直角三角形,;(3)如圖3,延長(zhǎng)、,交點(diǎn)為,由題意知是的中位線,則,,由,可得,證明,則,即,如圖3,作的外接圓,延長(zhǎng)交外接圓于點(diǎn),連結(jié)、,由是的平分線,可得,則,證明,則,即,由,可得,進(jìn)而結(jié)論得證.【詳解】(1)解:如圖1,、點(diǎn)即為所求;
(2)當(dāng)弦的長(zhǎng)度發(fā)生變化時(shí),線段的長(zhǎng)度不變;如圖2,連結(jié),連接并延長(zhǎng)交于,連結(jié),,過作于,于,則四邊形是矩形,
∵,,∴,∴四邊形是正方形,∴,∴,即,∴是等腰直角三角形,∴,∵,∴,∵是的直徑,∴,∴,∴是等腰直角三角形,∴,∴,∴線段是定長(zhǎng),長(zhǎng)度不發(fā)生變化,值為;(3)證明:如圖3,延長(zhǎng)、,交點(diǎn)為,
∵,∴點(diǎn)H為的中點(diǎn),又∵點(diǎn)M為的中點(diǎn),∴是的中位線,∴,,又∵,,∴,∵,∴,又∵,∴,∴,即,如圖3,作的外接圓,延長(zhǎng)交外接圓于點(diǎn),連結(jié)、,∵是的平分線,∴,∴,∵,,,∴,∴,∴,∵,∴.【點(diǎn)睛】本題考查了作垂線,同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等,正弦,正方形的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì),中位線,直徑所對(duì)的圓周角為直角,全等三角形的判定與性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì),角平分線等知識(shí).解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用.31.(2023·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題)如圖,四邊形內(nèi)接于,為的直徑,,過點(diǎn)的直線l交的延長(zhǎng)線于點(diǎn),交的延長(zhǎng)線于點(diǎn),且.
(1)求證:是的切線;(2)求證:;(3)當(dāng),時(shí),求的長(zhǎng).【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)6【分析】(1)連接,,根據(jù)圓心角,弦,弧的關(guān)系可得,根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是90度可得,半徑相等可得,根據(jù)等腰的判定可得是等腰三角形,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得垂直平分,根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)可得,即可證明;(2)連接,根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等可得,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得,,推得,根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)可得,即可求證;(3)令與交于點(diǎn),根據(jù)正弦的定義可求得,,根據(jù)勾股定理可求得,,根據(jù)矩形的判定和性質(zhì)可得,,根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)可求得,即可求得.【詳解】(1)連接,,如圖:
∵,∴,∵四邊形內(nèi)接于,為的直徑,∴,∴,∴是等腰三角形,又∵,∴垂直平分,∵,∴,∴,即是的切線;(2)連接,如圖:
∵∴,∵,∴,,∴,∴,∵,,,∴,∴,即,又∵,∴;(3)令與交于點(diǎn),如圖:
∵,∴,∵,∴,∴,∵,∴,∴,在中,,∴,在中,,∵,,,∴四邊形為矩形,∴,∴∵,∴,∴即,∴,∴.【點(diǎn)睛】本題考查了圓心角,弦,弧的關(guān)系,直徑所對(duì)的圓周角是90度,圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì),等腰的判定,等腰三角形三線合一的性質(zhì),平行線的判定和性質(zhì),同弧所對(duì)的圓周角相等,相似三角形的判定和性質(zhì),正弦的定義,勾股定理,矩形的判定和性質(zhì),熟練掌握以上性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.32.(2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題)【問題情境】在綜合實(shí)踐活動(dòng)課上,李老師讓同桌兩位同學(xué)用相同的兩塊含的三角板開展數(shù)學(xué)探究活動(dòng),兩塊三角板分別記作和,設(shè).【操作探究】如圖1,先將和的邊、重合,再將繞著點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角為,旋轉(zhuǎn)過程中保持不動(dòng),連接.
(1)當(dāng)時(shí),________;當(dāng)時(shí),________;(2)當(dāng)時(shí),畫出圖形,并求兩塊三角板重疊部分圖形的面積;(3)如圖2,取的中點(diǎn)F,將繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周,點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為________.【答案】(1)2;30或210;(2)畫圖見解析;1;(3)【分析】(1)當(dāng)時(shí),與重合,證明為等邊三角形,得出;當(dāng)時(shí),根據(jù)勾股定理逆定理得出,兩種情況討論:當(dāng)在下方時(shí),當(dāng)在上方時(shí),分別畫出圖形,求出結(jié)果即可;(2)證明四邊形是正方形,得出,求出,得出,求出,根據(jù)求出兩塊三角板重疊部分圖形的面積即可;(3)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì),得出,即,確定將繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周,點(diǎn)F在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng),求出圓的周長(zhǎng)即可.【詳解】(1)解:∵和中,∴,∴當(dāng)時(shí),與重合,如圖所示:連接,
∵,,∴為等邊三角形,∴;當(dāng)時(shí),∵,∴當(dāng)時(shí),為直角三角形,,∴,當(dāng)在下方時(shí),如圖所示:
∵,∴此時(shí);當(dāng)在上方時(shí),如圖所示:
∵,∴此時(shí);綜上分析可知,當(dāng)時(shí),或;故答案為:2;30或210.(2)解:當(dāng)時(shí),如圖所示:
∵,∴,∴,∵,又∵,∴四邊形是矩形,∵,∴四邊形是正方形,∴,∴,∴,∵,∴,∴,即兩塊三角板重疊部分圖形的面積為1.(3)解:∵,為的中點(diǎn),∴,∴,∴將繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周,點(diǎn)F在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng),∵∴點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為.故答案為:.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的判定和性質(zhì),解直角三角形,旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),確定圓的條件,等腰三角形的性質(zhì),等邊三角形的判定和性質(zhì),解題的關(guān)鍵是畫出相應(yīng)的圖形,數(shù)形結(jié)合,并注意分類討論.33.(2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題)【問題情境
建構(gòu)函數(shù)】(1)如圖1,在矩形中,是的中點(diǎn),,垂足為.設(shè),試用含的代數(shù)式表示.【由數(shù)想形
新知初探】(2)在上述表達(dá)式中,與成函數(shù)關(guān)系,其圖像如圖2所示.若取任意實(shí)數(shù),此時(shí)的函數(shù)圖像是否具有對(duì)稱性?若有,請(qǐng)說明理由,并在圖2上補(bǔ)全函數(shù)圖像.【數(shù)形結(jié)合
深度探究】(3)在“取任意實(shí)數(shù)”的條件下,對(duì)上述函數(shù)繼續(xù)探究,得出以下結(jié)論:①函數(shù)值隨的增大而增大;②函數(shù)值的取值范圍是;③存在一條直線與該函數(shù)圖像有四個(gè)交點(diǎn);④在圖像上存在四點(diǎn),使得四邊形是平行四邊形.其中正確的是__________.(寫出所有正確結(jié)論的序號(hào))【抽象回歸
拓展總結(jié)】(4)若將(1)中的“”改成“”,此時(shí)關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式是__________;一般地,當(dāng)取任意實(shí)數(shù)時(shí),類比一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的研究過程,探究此類函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)(直接寫出3條即可).【答案】(1);(2)取任意實(shí)數(shù)時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱,見解析;(3)①④;(4),見解析【分析】(1)證明,得出,進(jìn)而勾股定理求得,即,整理后即可得出函數(shù)關(guān)系式;(2)若為圖像上任意一點(diǎn),則.設(shè)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為,則.當(dāng)時(shí),可求得.則也在的圖像上,即可得證,根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)補(bǔ)全函數(shù)圖象即可求解;(3)根據(jù)函數(shù)圖象,以及中心對(duì)稱的性質(zhì),逐項(xiàng)分析判斷即可求解;(4)將(1)中的4換成,即可求解;根據(jù)(2)的圖象探究此類函數(shù)的相關(guān)性質(zhì),即可求解.【詳解】(1)在矩形中,,∴.∵,∴,∴.∴.∴,∴.∵,點(diǎn)是的中點(diǎn),∴.在中,,∴.∴.∴關(guān)于的表達(dá)式為:.(2)取任意實(shí)數(shù)時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱.理由如下:若為圖像上任意一點(diǎn),則.設(shè)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為,則.當(dāng)時(shí),.∴也在的圖像上.∴當(dāng)取任意實(shí)數(shù)時(shí),的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.函數(shù)圖像如圖所示.(3)根據(jù)函數(shù)圖象可得①函數(shù)值隨的增大而增大,故①正確,②由(1)可得函數(shù)值,故函數(shù)值的范圍為,故②錯(cuò)誤;③根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì),不存在一條直線與該函數(shù)圖像有四個(gè)交點(diǎn),故③錯(cuò)誤;④因?yàn)槠叫兴倪呅问侵行膶?duì)稱圖形,則在圖像上存在四點(diǎn),使得四邊形是平行四邊形,故④正確;故答案為:①④.(4)關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式為;當(dāng)取任意實(shí)數(shù)時(shí),有如下相關(guān)性質(zhì):當(dāng)時(shí),圖像經(jīng)過第一、三象限,函數(shù)值隨的增大而增大,的取值范圍為;當(dāng)時(shí),圖像經(jīng)過第二、四象限,函數(shù)值隨的增大而減小,的取值范圍為;函數(shù)圖像經(jīng)過原點(diǎn);函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì),中心對(duì)稱的性質(zhì),根據(jù)函數(shù)圖象獲取信息,根據(jù)題意求得解析式是解題的關(guān)鍵.34.(2023·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題)如圖1,銳角內(nèi)接于,D為的中點(diǎn),連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)E,連接,過C作的垂線交于點(diǎn)F,點(diǎn)G在上,連接,若平分且.
(1)求的度數(shù).(2)①求證:.②若,求的值,(3)如圖2,當(dāng)點(diǎn)O恰好在上且時(shí),求的長(zhǎng).【答案】(1);(2)①證明見解析;②;(3)【分析】(1)先證明,結(jié)合,,可得,從而可得答案;(2)①證明,再證明,可得;②設(shè),,證明,可得,即,則,可得,從而可得答案;(3)如圖,設(shè)的半徑為,連接交于,過作于,證明,,可得,證明,可得,,證明,,即,再解方程可得答案.【詳解】(1)證明:∵平分,∴,∵,∴,∵,∴,∵,∴,∴;(2)①∵為中點(diǎn),,∴,∴,∵,∴,∴,∵,,∴,∴;②設(shè),,∴,,∵,,∴,∴,即,∴,即,∴,∴,∴(負(fù)根舍去);(3)如圖,設(shè)的半徑為,連接交于,過作于,
∵,∴,∴,∵,,∴,∴,∵,∴,而,,∴,∴,∵,∴,∵,∴,∴,即,解得:,(負(fù)根舍去),由(2)①知,∴.【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì),圓的基本性質(zhì),圓周角定理的應(yīng)用,垂徑定理的應(yīng)用,求解銳角的正切,本題的難度大,作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵.35.(2023·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題)【模型建立】(1)如圖1,和都是等邊三角形,點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)在邊上.①求證:;②用等式寫出線段,,的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.【模型應(yīng)用】(2)如圖2,是直角三角形,,,垂足為,點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)在邊上.用等式寫出線段,,的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.【模型遷移】(3)在(2)的條件下,若,,求的值.
【答案】(1)①見
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