廣東省東莞市長安實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷

2024-2025學(xué)年廣東省東莞市長安實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.下列方程是關(guān)于x的一元二次方程的是（）A. B. C. D.2.將一元二次方程化為一般形式為（）A. B. C. D.3.若關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根是，則的值是（）A. B. C. D.4.關(guān)于的一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的值可以為（）A.0 B.1 C.2 D.35.對(duì)于二次函數(shù)的圖象，下列說法不正確的是（）A.開口向上 B.對(duì)稱軸是直線C.頂點(diǎn)坐標(biāo)為 D.當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小6.若將拋物線向左平移4個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，則所得拋物線的解析式為（）A. B. C. D.7.某校七年級(jí)組織一次籃球賽，各班均組隊(duì)參賽，賽制為每兩班之間賽兩場(chǎng)，共需安排42場(chǎng)比賽.設(shè)七年級(jí)共有x個(gè)班，則下列方程正確的是（）A. B. C. D.8.若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.9.已知m，n是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式的值等于（）A.2020 B.2021 C.2022 D.202310.在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)和二次函數(shù)的大致圖象是（）A. B. C. D.二、填空題：本題共6小題，共21分。11.一元二次方程的解是______.12.已知二次函數(shù)，當(dāng)x______時(shí)，y隨x的增大而減小.13.有一個(gè)人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有81人患了流感，設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染的人數(shù)為x，則可列方程______.14.若關(guān)于x的一元二次方程的解為，，則關(guān)于y的一元二次方程的解為______.15.如圖，在矩形ABCD中，，，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC以的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)Q也停止運(yùn)動(dòng)；當(dāng)?shù)拿娣e等于時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為______s.16.方程的解是______.三、計(jì)算題：本大題共1小題，共6分。17.已知2是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，而這個(gè)方程的兩個(gè)根恰好是等腰的兩條邊長．（1）求m的值；（2）求的周長．四、解答題：本題共7小題，共63分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。18.（本小題6分）已知，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過，，三點(diǎn).求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式.19.（本小題6分）已知關(guān)于x的一元二次方程.（1）求證：無論k取何值，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根、，且，求k的值.20.（本小題9分）公安交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴(yán)格遵守“一盔一帶”的規(guī)定．某頭盔經(jīng)銷商統(tǒng)計(jì)了某品牌頭盔4月份到6月份的銷量，該品牌頭盔4月份銷售150個(gè)，6月份銷售216個(gè)，且從4月份到6月份銷售量的月增長率相同．（1）求該品牌頭盔銷售量的月增長率；（2）若此種頭盔的進(jìn)價(jià)為30元/個(gè)，測(cè)算在市場(chǎng)中，當(dāng)售價(jià)為40元/個(gè)時(shí)，月銷售量為600個(gè)，若在此基礎(chǔ)上售價(jià)每上漲1元/個(gè)，則月銷售量將減少10個(gè)，為使月銷售利潤達(dá)到10000元，而且盡可能讓顧客得到實(shí)惠，則該品牌頭盔的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為多少元/個(gè)？21.（本小題9分）如圖，拋物線過點(diǎn)，點(diǎn)B是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)B作矩形BCDE，使邊CD在x軸上（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)），點(diǎn)E在拋物線上，設(shè)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是m，當(dāng)時(shí)，.（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形BCDE是正方形？22（本小題9分）已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.（1）求m的取值范圍；（2）設(shè)p是方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根，且滿足，求m的值.23.（本小題12分）綜合與實(shí)踐：主題：將一張長為80cm，寬為40cm的長方形硬紙板制作成一個(gè)有蓋長方體收納盒.方案設(shè)計(jì)：如圖①，把硬紙板的四角剪去四個(gè)相同的小長方形，折成一個(gè)如圖②所示的有蓋長方體收納盒，EF和HG兩邊恰好重合且無重疊部分.任務(wù)一：若收納盒的高為5cm，求該收納盒的底面ABCD的邊BC，AB的長；任務(wù)二：若收納盒的底面積為，求該收納盒的高.24.（本小題12分）已知拋物線（，，是常數(shù)，），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)M為拋物線頂點(diǎn)．（1）若，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，求h的值；（2）若，當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)函數(shù)值y的最小值是，求此時(shí)拋物線的解析式；（3）直線經(jīng)過點(diǎn)M，且與拋物線交于另一點(diǎn)D.當(dāng)軸時(shí)，求拋物線的解析式．

答案和解析1.【答案】A【解析】解：根據(jù)一元二次方程的定義可知，只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)為2，故A選項(xiàng)符合題意．含有兩個(gè)未知數(shù)，故B選項(xiàng)不符合題意．只含有一個(gè)未知數(shù)，但未知數(shù)的最高次數(shù)為1，故C選項(xiàng)不符合題意．只含有一個(gè)未知數(shù)，但不是整式方程，故D選項(xiàng)不符合題意．故選：A.根據(jù)一元二次方程的定義即可解決問題．本題主要考查了一元二次方程的定義，熟知一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵．2.【答案】B【解析】解：，，，，故選：B.首先移項(xiàng)，把等號(hào)右邊化為0即可．此題主要考查了一元二次方程的一般形式，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程經(jīng)過整理，都能化成如下形式這種形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)；bx叫做一次項(xiàng)；c叫做常數(shù)項(xiàng)．3.【答案】D【解析】解：由題意得：把代入方程中得：，，解得：，故選：D.根據(jù)題意可得：把代入方程中得：，然后進(jìn)行計(jì)算即可解答．本題考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定義，熟練掌握一元二次方程的解是解題的關(guān)鍵．4.【答案】D【解析】解：根據(jù)題意，得：，解得：，∴的值可以是3，故選：D.根據(jù)方程沒有實(shí)數(shù)根得出，解之求出n的范圍，結(jié)合各選項(xiàng)可得答案．本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．5.【答案】C【解析】解：∵二次函數(shù)，∴該函數(shù)圖象開口向上，故選項(xiàng)A正確，不符合題意；對(duì)稱軸是直線，故選項(xiàng)B正確，不符合題意；頂點(diǎn)坐標(biāo)為，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，符合題意；當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，故選項(xiàng)D正確，不符合題意；故選：C.根據(jù)題目中的函數(shù)解析式和二次函數(shù)的性質(zhì)，可以判斷各個(gè)選項(xiàng)中的說法是否正確，從而可以解答本題．本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．6.【答案】A【解析】解：原拋物線的頂點(diǎn)為，向左平移4個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，那么新拋物線的頂點(diǎn)為可設(shè)新拋物線的解析式為：，代入得：故選：A.按照“左加右減，上加下減”的規(guī)律解答．此題主要考查了拋物線的平移以及拋物線解析式的變化規(guī)律：左加右減，上加下減．7.【答案】A【解析】解：依題意得：.故選：A.利用比賽的總場(chǎng)數(shù)=七年級(jí)班級(jí)數(shù)×（七年級(jí)班級(jí)數(shù)-1），即可得出關(guān)于x的一元二次方程．本題考查了由實(shí)際問題抽象一元二次方程，解決本題的關(guān)鍵是讀懂題意，得到總場(chǎng)數(shù)與球隊(duì)之間的關(guān)系．8.【答案】D【解析】解：∵二次函數(shù)，∴開口向上，對(duì)稱軸為直線，∴是頂點(diǎn)，最小，∵到對(duì)稱軸的距離小于到對(duì)稱軸的距離，∴，∴，故選：D.根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性，利用對(duì)稱性，找出點(diǎn)A，B，C到對(duì)稱軸的距離，即可解答．本題主要考查對(duì)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能求出對(duì)稱軸和根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出正確答案是解此題的關(guān)鍵．9.【答案】C【解析】解：∵m，n是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，，∴，∴故選：C.先根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出，，代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可．本題考查的是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟知，，是一元二次方程的兩根時(shí)，，是解題的關(guān)鍵．10.【答案】A【解析】解：由A選項(xiàng)中一次函數(shù)的圖象可知，，再由二次函數(shù)的圖象可知，，，故A選項(xiàng)符合題意．由B選項(xiàng)中一次函數(shù)的圖象可知，，，再由二次函數(shù)的圖象可知，，.故B選項(xiàng)不符合題意．由C選項(xiàng)中一次函數(shù)的圖象可知，，，再由二次函數(shù)的圖象可知，，.故C選項(xiàng)不符合題意．由D選項(xiàng)中一次函數(shù)的圖象可知，，，再由二次函數(shù)的圖象可知，，，故D選項(xiàng)不符合題意．故選：A.根據(jù)一次函數(shù)及二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，對(duì)所給選項(xiàng)依次進(jìn)行判斷即可．本題主要考查了一次函數(shù)圖象及二次函數(shù)圖象，熟知一次函數(shù)及二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．11.【答案】，【解析】解：，，開方得：，即，，故答案為：，.先移項(xiàng)，再開方，即可得出答案．本題考查了解一元二次方程，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠淌墙獯祟}的關(guān)鍵．12.【答案】【解析】解：由題意得，二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，拋物線開口向上，∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，故答案是：.根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，可知二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，且圖象開口向上，由此即可求解．本題考查二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵．13.【答案】【解析】解：設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染x個(gè)人，根據(jù)題意得：故答案為：設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染x個(gè)人，根據(jù)經(jīng)過兩輪傳染后共有81人患了流感，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．14.【答案】，【解析】解：設(shè)，則原方程可化為，∵關(guān)于x的一元二次方程的解為，，∴，，∴或解得，.故答案為：，.設(shè)，則原方程可化為，根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程的解為，，得到，，于是得到結(jié)論.此題主要考查了換元法解一元二次方程，關(guān)鍵是正確找出兩個(gè)方程解的關(guān)系．15.【答案】2【解析】解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則，，依題意，得：，整理，得：，解得：，（不合題意，舍去）.故答案為：2.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則，，利用三角形面積的計(jì)算公式結(jié)合的面積等于，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結(jié)論．本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．16.【答案】，【解析】解：∵，∴，∴或，∴，.把方程左邊進(jìn)行因式分解得到，然后解兩個(gè)一元一次方程即可．本題考查了解一元二次方程-因式分解法．因式分解法就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩個(gè)因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）.17.【答案】解：（1）把代入方程得，解得；（2）當(dāng)時(shí)，原方程變?yōu)?，解得，，∵該方程的兩個(gè)根恰好是等腰的兩條邊長，且不存在三邊為2，2，6的等腰三角形∴的腰為6，底邊為2，∴的周長為【解析】（1）直接把代入方程可求出m的值；（2）先解方程，解得，，再利用三角形三邊的關(guān)系確定等腰三角形的腰與底，然后計(jì)算它的周長．本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．也考查了三角形三邊的關(guān)系．18.【答案】解：由題意得：，解得：，則拋物線的表達(dá)式為：.【解析】由待定系數(shù)法即可求解．本題考查的是待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，確定函數(shù)表達(dá)式是解題的關(guān)鍵．19.【答案】（1）證明：∵，∴無論k取何值，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）解：由根與系數(shù)的關(guān)系得出：，，由得：，解得：.【解析】（1）根據(jù)根的判別式得出，據(jù)此可得答案；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出，，代入得出關(guān)于k的方程，解之可得答案．本題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式，解題的關(guān)鍵是掌握，是方程的兩根時(shí)，，，20.【答案】解：（1）設(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長率為x，依題意，得：，解得：，（不合題意，舍去）.答：該品牌頭盔銷售量的月增長率為（2）設(shè)該品牌頭盔的實(shí)際售價(jià)為y元，依題意，得：，整理，得：，解得：（不合題意，舍去），，答：該品牌頭盔的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為50元．【解析】（1）設(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長率為x，根據(jù)該品牌頭盔4月份及6月份的月銷售量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)月銷售利潤=每個(gè)頭盔的利潤×月銷售量，即可得出關(guān)于y的一元二次方程，解之取其正值即可求出結(jié)論．本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．21.【答案】解：（1）∵拋物線過點(diǎn)，∴，∴，∴拋物線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，即，把點(diǎn)B坐標(biāo)代入得，，解得，∴拋物線解析式為；（2）當(dāng)四邊形BCDE是正方形時(shí)，，∵，，，∴，∴，把點(diǎn)坐標(biāo)代入得，，整理得：，解得或（舍去），∴當(dāng)時(shí)，四邊形是正方形.【解析】（1）把A，B坐標(biāo)代入解析式，用待定系數(shù)法求解析式即可；（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)和拋物線的對(duì)稱性可求出，然后得出點(diǎn)，把點(diǎn)B坐標(biāo)代入（1）中拋物線求出m即可．本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及矩形和正方形的性質(zhì)，關(guān)鍵是求出拋物線解析式．22.【答案】解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，即，解得；（2）∵是方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，∴，∵，∴，即，解得或，又由（1）可知，∴.【解析】（1）由方程根的情況，根據(jù)判別式可得到關(guān)于m的不等式，則可求得m的取值范圍；（2）由方程根的定義，可用m表示出p，代入已知等式可得到關(guān)于m的方程，則可求得m的取值范圍．本題主要考查根的判別式，掌握方程根的情況與根的判別式的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．23.【答案】解：任務(wù)一：∵長方形硬紙板的長為80cm，寬為40cm，制作的收納盒的高為5cm，∴，.答：該收納盒的底面ABCD的邊BC的長為，AB的長為35cm；任務(wù)二：設(shè)該收納盒的高為，則，，根據(jù)題意得：，整理得：，解得：，（不符合題意，舍去）.答：該收納盒的高為10cm.【解析】任務(wù)一：利用BC的長=長方形硬紙板的寬-收納盒的