5.3.4-頻率與概率教學(xué)設(shè)計(jì)

5.3.4頻率與概率頻率與概率是兩個(gè)不同的概念，但是二者又有密切的聯(lián)系．如何從二者的異同點(diǎn)中抽象出概率的定義是本課時(shí)的主要內(nèi)容．本節(jié)課蘊(yùn)涵了具體與抽象之間的辯證關(guān)系．講授過(guò)程中對(duì)教材處理稍有不當(dāng)，可能直接影響學(xué)生對(duì)本節(jié)重點(diǎn)（即概念的理解）的掌握程度．因此，如何設(shè)計(jì)合適的實(shí)例，怎樣引導(dǎo)學(xué)生理解和總結(jié)是通過(guò)本節(jié)課教學(xué)，使學(xué)生能理清頻率和概率的關(guān)系，并能正確理解概率的意義，增強(qiáng)學(xué)生的對(duì)立與統(tǒng)一的辯證思想意識(shí)．處理好本節(jié)的關(guān)鍵，也是處理好本節(jié)教材的難點(diǎn)．由于頻率在大量重復(fù)試驗(yàn)的前提下可以近似地叫作這個(gè)事件的概率，因此本節(jié)課應(yīng)從具有大量重復(fù)試驗(yàn)的實(shí)例入手．為加深學(xué)生的理解程度，可采用學(xué)生親自參與到試驗(yàn)中去，從操作中去體會(huì)，去總結(jié)．概率可看作頻率理論上的期望值，從數(shù)量上反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大?。虼?，為鞏固學(xué)生總結(jié)出的知識(shí)，最后還要回歸到實(shí)例中去，讓學(xué)生去運(yùn)用，以符合認(rèn)知過(guò)程．考點(diǎn)教學(xué)目標(biāo)核心素養(yǎng)頻率與概率在具體情境中，了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算概率的意義解釋實(shí)例會(huì)用概率的意義解釋生活中的實(shí)例直觀想象、數(shù)學(xué)建?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別，會(huì)用概率的意義解釋生活中的實(shí)例【教學(xué)難點(diǎn)】用概率的意義解釋生活中的實(shí)例我們知道，利用古典概型能夠方便地確定出有關(guān)隨機(jī)事件地概率，但是，因?yàn)椴皇撬械碾S機(jī)試驗(yàn)都能歸結(jié)為古典概型，因此還要尋求其他的確定隨機(jī)事件概率的方法.解答：情境與問(wèn)題中的兩個(gè)問(wèn)題，如果用古典概型來(lái)確定概率，顯然是不太合適的，但是我們可以用有關(guān)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)得出事件發(fā)生的概率的估計(jì)值.例如，可以重復(fù)做拋瓶蓋試驗(yàn)若干次（設(shè)為n次），然后觀察蓋口朝下的次數(shù)（設(shè)為m次），最后用蓋口朝下的頻率作為蓋口朝下的概率的估計(jì)值.嘗試與發(fā)現(xiàn)：你覺(jué)得利用頻率估計(jì)概率的辦法可靠嗎？怎樣檢驗(yàn)這種方法的可靠性？為了驗(yàn)證這種確定事件發(fā)生的概率的方法的可靠性，歷史上很多學(xué)者做過(guò)成千上萬(wàn)次拋均勻硬幣的試驗(yàn)，得到的結(jié)果如下表所示：注：拋均勻硬幣觀察朝上的面時(shí)，利用古典概型可算的正面朝上的概率為，不難看出，以上學(xué)者們得到的頻率值，都可以較好地作為正面朝上的概率的近似值.知識(shí)點(diǎn)：頻率估計(jì)概率事實(shí)上，在大量重復(fù)的試驗(yàn)過(guò)程中，一個(gè)事件發(fā)生的頻率會(huì)很接近于這個(gè)事件發(fā)生的概率，而且，試驗(yàn)的次數(shù)越多，頻率與概率之間差距很小的可能性越大.（1）一般地,，如果在n次重復(fù)進(jìn)行的試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的頻率為，則當(dāng)n很大時(shí)，可以認(rèn)為事件A發(fā)生的概率的估計(jì)值為（2）不難看出，此時(shí)也有：（3）可以驗(yàn)證，此時(shí)兩對(duì)立事件的概率和為1以及互斥事件的概率加法公式等概率的性質(zhì)也成立.這種確定概率估計(jì)值的方法稱(chēng)為頻率估計(jì)概率.頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系名稱(chēng)區(qū)別聯(lián)系頻率本身是隨機(jī)的，在試驗(yàn)之前無(wú)法確定，大多會(huì)隨著試驗(yàn)次數(shù)的改變而改變．做同樣次數(shù)的重復(fù)試驗(yàn)，得到的頻率值也可能會(huì)不同(1)頻率是概率的近似值，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率會(huì)越來(lái)越接近概率(2)在實(shí)際問(wèn)題中，事件的概率通常情況下是未知的，常用頻率估計(jì)概率概率是一個(gè)[0，1]中的確定值，不隨試驗(yàn)結(jié)果的改變而改變例1.為了確定某類(lèi)種子的發(fā)芽率，從一大批這類(lèi)種子種隨機(jī)抽取了2000粒試種，后來(lái)觀察到有1806粒發(fā)了芽，試估計(jì)這類(lèi)種子的發(fā)芽率解：因?yàn)樗怨烙?jì)這類(lèi)種子的發(fā)芽率為0.903注：（1）在用頻率估計(jì)概率時(shí)，不同的試驗(yàn)結(jié)果可能會(huì)得到不同的估計(jì)值。（2）需要注意的是，即使我們估計(jì)出發(fā)芽率為0.903，我們也不能指望下一次種10000粒種子時(shí)，得到發(fā)芽的種子正好為9030粒，而只能說(shuō)發(fā)芽的種子接近9030.例2.2013年，北京地區(qū)擁有科普人員48800人，其中科普專(zhuān)職人員7727人，其余均為科普兼職人員。2013年9月的科普日活動(dòng)種，到清華大學(xué)附屬中學(xué)宣講科普知識(shí)的是科普人員張明，估計(jì)張明是科普專(zhuān)職人員的概率（精確到0.01）解：可以算得，2013年北京地區(qū)科普專(zhuān)職人員占所有科普人員的比例為：因此張明是科普專(zhuān)職人員的概率可估計(jì)為：0.16例3.某女籃運(yùn)動(dòng)員統(tǒng)計(jì)了她最近幾次參加比賽投籃的得分情況，得到的數(shù)據(jù)如下表所示：注：每次投籃，要么得兩分，要么得三分，要么沒(méi)投中記該女籃運(yùn)動(dòng)員在一次投籃中，投中兩分為事件A，投中三個(gè)為事件B，沒(méi)投中為事件C，試估計(jì)P（A），P（B），P（C）解：因?yàn)樗钥晒烙?jì)：注意到，而且A與B互斥，因此估計(jì)：例4.為了了解某次數(shù)學(xué)考試全校學(xué)生得得分情況，數(shù)學(xué)老師隨機(jī)讀取了若干名學(xué)生的成績(jī)，并以為分組，作出了如圖所示的頻率分步直方圖，從該學(xué)校中隨機(jī)選取了一名學(xué)生，估計(jì)這名學(xué)生數(shù)學(xué)考試成績(jī)?cè)趦?nèi)的概率.解：由頻率分布直方圖可以看出，所抽取的學(xué)生成績(jī)中，在內(nèi)的頻率為：因?yàn)橛蓸颖镜姆植伎梢怨烙?jì)總體的分布，所以全校學(xué)生的數(shù)學(xué)得分在內(nèi)的概率可以估計(jì)為0.1.根據(jù)用頻率估計(jì)概率的方法可知，隨機(jī)抽取一名學(xué)生，這名學(xué)生該次數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)趦?nèi)的概率可以估計(jì)為0.1【解題方法】用頻率估計(jì)概率(1)概率可看作頻率理論上的期望值，它從數(shù)量上反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大?。?dāng)試驗(yàn)的次數(shù)越來(lái)越多時(shí)，頻率越來(lái)越趨近于概率．當(dāng)次數(shù)足夠多時(shí)，所得頻率就近似地看作隨機(jī)事件的概率．(2)通過(guò)公式fn(A)＝eq\f(nA,n)＝eq\f(m,n)計(jì)算出頻率，再由頻率估算概率．從概率的統(tǒng)計(jì)定義出發(fā)，我們先來(lái)考慮此題的簡(jiǎn)化情形：在投擲一枚均勻硬幣的隨機(jī)試驗(yàn)中，正面出現(xiàn)的概率是，這是否意味著投擲2次硬幣就會(huì)出現(xiàn)1次正面呢？根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，我們投擲2次硬幣有可能1次正面也不出現(xiàn)，即出現(xiàn)2次反面的情形，但是在大量重復(fù)擲硬幣的試驗(yàn)中，如擲10000次硬幣，則出現(xiàn)正的次數(shù)約為5000次．買(mǎi)1000張彩票相當(dāng)于做1000次試驗(yàn)，結(jié)果可能是一次獎(jiǎng)也沒(méi)中，或者中一次獎(jiǎng)，或者多次中獎(jiǎng)．所以“彩票中獎(jiǎng)概率為”并不意味著買(mǎi)1000張彩票就一定能中獎(jiǎng)．只有當(dāng)所買(mǎi)彩票的數(shù)量n非常大時(shí)，才可以將大量重復(fù)買(mǎi)彩票這個(gè)試驗(yàn)看成中獎(jiǎng)的次數(shù)約為（比如說(shuō)買(mǎi)1000000張彩票，則中獎(jiǎng)的次數(shù)約為1000），并且n越大，中獎(jiǎng)次數(shù)越接近于.例5.某醫(yī)院治療一種疾病的治愈率為10%，那么，前9個(gè)病人都沒(méi)有治愈，第10個(gè)病人就一定能治愈嗎？解.如果把治療一個(gè)病人作為一次試驗(yàn)，治愈率是10%指隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，有10%的病人能夠治愈．對(duì)于一次試驗(yàn)來(lái)說(shuō)，其結(jié)果是隨機(jī)的，但治愈的可能性是10%，前9個(gè)病人是這樣，第10個(gè)病人仍是這樣，可能治愈，也可能不能治愈，被治愈的可能性仍是10%.【變式練習(xí)】有以下說(shuō)法：①昨天沒(méi)有下雨，則說(shuō)明“昨天氣象局的天氣預(yù)報(bào)降水概率為95%”是錯(cuò)誤的；②“彩票中獎(jiǎng)的概率是1%”表示買(mǎi)100張彩票一定有1張會(huì)中獎(jiǎng)；③做10次拋硬幣的試驗(yàn)，結(jié)果3次正面朝上，因此正面朝上的概率為eq\f(3,10)；④某廠產(chǎn)品的次品率為2%，但該廠的50件產(chǎn)品中可能有2件次品．其中錯(cuò)誤說(shuō)法的序號(hào)是________．解析：①中降水概率為95%，仍有不降水的可能，故①錯(cuò)誤；②中“彩票中獎(jiǎng)的概率是1%”表示在設(shè)計(jì)彩票時(shí)，有1%的機(jī)會(huì)中獎(jiǎng)，但不一定買(mǎi)100張彩票一定有1張會(huì)中獎(jiǎng)，故②錯(cuò)誤；③中正面朝上的頻率為eq\f(3,10)，概率仍為eq\f(1,2)，故③錯(cuò)誤；④中次品率為2%，但50件產(chǎn)品中可能沒(méi)有次品，也可能有1件或2或3件…次品，故④正確．答案：①②③【解題方法】對(duì)概率的正確理解(1)概率是事件的本質(zhì)屬性，不隨試驗(yàn)次數(shù)的變化而變化，概率反映了事件發(fā)生的可能性的大小，但概率只提供了一種“可能性”，而不是試驗(yàn)總次數(shù)中某一事件一定發(fā)生的比例．(2)任何事件的概率都是區(qū)間[0，1]上的一個(gè)確定數(shù)，它度量該事件發(fā)生的可能性，概率越接近于1，表明事件發(fā)生的可能性就越大；反過(guò)來(lái)，概率越接近于0，表明事件發(fā)生的可能性就越?。?3)小概率(概率接近于0)事件很少發(fā)生，但不代表一定不發(fā)生；大概率(概率接近于1)事件經(jīng)常發(fā)生，但不代表一定發(fā)生．(4)必然事件M的概率為1，即P(M)＝1；不可能事件N的概率為0，即P(N)＝0.1．下列關(guān)于概率的說(shuō)法正確的是（）A．頻率就是概率B．任何事件的概率都是在(0，1)之間C．概率是客觀存在的，與試驗(yàn)次數(shù)無(wú)關(guān)D．概率是隨機(jī)的，與試驗(yàn)次數(shù)有關(guān)【答案】C【解析】事件A的頻率是指事件A發(fā)生的頻數(shù)與n次事件中事件A出現(xiàn)的次數(shù)比，一般來(lái)說(shuō)，隨機(jī)事件A在每次實(shí)驗(yàn)中是否發(fā)生時(shí)不能預(yù)料的，但在大量重復(fù)的實(shí)驗(yàn)后，隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率會(huì)逐漸穩(wěn)定在區(qū)間的某個(gè)常數(shù)上，這個(gè)常數(shù)就是事件A的概率，故可得：概率是客觀存在的，與試驗(yàn)次數(shù)無(wú)關(guān)，故選：C.2．某人將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲了10次，正面朝上的情形出現(xiàn)了7次，則下列說(shuō)法正確的是（）A．正面朝上的概率為0.7 B．正面朝上的頻率為0.7C．正面朝上的概率為7 D．正面朝上的概率接近于0.7【答案】B【解析】正面朝上的頻率是，正面朝上的概率是0.5.故選：B3．對(duì)以下命題：①隨機(jī)事件的概率與頻率一樣，與試驗(yàn)重復(fù)的次數(shù)有關(guān)；②拋擲兩枚均勻硬幣一次，出現(xiàn)一正一反的概率是；③若一種彩票買(mǎi)一張中獎(jiǎng)的概率是，則買(mǎi)這種彩票一千張就會(huì)中獎(jiǎng)；④“姚明投籃一次，求投中的概率”屬于古典概型概率問(wèn)題．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】隨機(jī)事件的概率與頻率不一樣，與試驗(yàn)重復(fù)的次數(shù)無(wú)關(guān)，所以①錯(cuò)誤；拋擲兩枚均勻硬幣一次，可能的結(jié)果：正正，正反，反正，反反，所以出現(xiàn)一正一反的概率是，所以②錯(cuò)誤；若一種彩票買(mǎi)一張中獎(jiǎng)的概率是，這是隨機(jī)事件，則買(mǎi)這種彩票一千張不一定會(huì)中獎(jiǎng)，所以③錯(cuò)誤；“姚明投籃一次，求投中的概率”，姚明投籃的結(jié)果中與不中概率不相等，不屬于古典概型概率問(wèn)題，所以④錯(cuò)誤．故選：A4．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有“米谷粒分”題：糧倉(cāng)開(kāi)倉(cāng)收糧，有人送來(lái)米1534石，驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為（）A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石【答案】B【解析】【詳解】設(shè)夾谷石，則，所以，所以這批米內(nèi)夾谷約為石，故選B.5．在一個(gè)不透明的布袋中，紅色，黑色，白色的玻璃球共有40個(gè)，除顏色外其他完全相同，小明通過(guò)多次摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)其中摸到紅色球，黑色球的頻率穩(wěn)定在15%和45%，則口袋中白色球的個(gè)數(shù)可能是_________個(gè).【答案】16【解析】【詳解】根據(jù)概率是頻率的穩(wěn)定值的意義，紅色球的個(gè)數(shù)為個(gè)；黑色球的個(gè)數(shù)為個(gè)；故白色球的個(gè)數(shù)為4個(gè).故答案為：16.6．天氣預(yù)報(bào)說(shuō)，在今后的三天中，每一天下雨的慨率均為.現(xiàn)采用隨機(jī)模擬試驗(yàn)的方法估計(jì)這三天中恰有兩天下雨的概率:先利用計(jì)算器產(chǎn)生到之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù),用表示下雨，用表示不下雨，再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)作為一組,代表這三天的下雨情況，經(jīng)隨機(jī)模擬試驗(yàn)產(chǎn)生了如下組隨機(jī)數(shù):據(jù)此估計(jì),這三天中恰有兩天下雨的概率近似為_(kāi)_________.【答案】【解析】試題分析：根據(jù)題意知模擬三天中恰有兩天下雨的結(jié)果,經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下組隨機(jī)數(shù),在組隨機(jī)數(shù)中表示三天中恰有兩天下雨的有:,共組隨機(jī)數(shù),所求概率為.因此，本題正確答案是:7．容量為200的樣本的頻率分布直方圖如圖所示，則樣本數(shù)據(jù)落在內(nèi)的頻數(shù)為_(kāi)_____，數(shù)據(jù)落在內(nèi)的概率約為_(kāi)_____.【答案】64.0.