古典概型的應用+練習 高一上學期數(shù)學北師大版（2019）必修第一冊

2.2古典概型的應用一、選擇題(本大題共9小題,每小題5分,共45分)1.某產(chǎn)品分為甲、乙、丙三級,其中乙、丙兩級均屬次品,若生產(chǎn)中出現(xiàn)乙級品的概率為0.03,出現(xiàn)丙級品的概率為0.01,則出現(xiàn)甲級品的概率是 ()A.0.04 B.0.98C.0.97 D.0.962.已知隨機事件A,B,C中,A與B互斥,B與C對立,且P(A)=0.3,P(C)=0.6,則P(A∪B)= ()A.0.3 B.0.6C.0.7 D.0.93.一枚骰子連續(xù)擲兩次得到的點數(shù)分別為m,n,則m>n的概率為 ()A.512 B.C.13 D.4.齊王與田忌賽馬,田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬,劣于齊王的上等馬,田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬,劣于齊王的中等馬,田忌的下等馬劣于齊王的下等馬.某天,齊王與田忌賽馬,雙方約定:比賽三局,每局各出一匹,每匹馬賽一次,贏得兩局者為勝,則田忌獲勝概率為 ()A.112 B.C.14 D.5.在擲一枚質地均勻的骰子的試驗中,用事件A表示“擲出的點數(shù)是小于5的偶數(shù)”,事件B表示“擲出的點數(shù)小于5”.若B表示B的對立事件,則在一次試驗中,事件A+B發(fā)生的概率為 ()A.13 B.C.23 D.6.[2023·安徽阜陽三中高一月考]甲從正方形四個頂點中任意選擇兩個頂點連成直線,乙也從該正方形四個頂點中任意選擇兩個頂點連成直線,則所得的兩條直線相互垂直的概率是 ()A.318 B.C.518 D.7.[2023·四川內江六中高一月考]在某聯(lián)歡會上設有一個抽獎游戲.抽獎箱中共有12張獎券,分為一等獎、二等獎、三等獎、無獎四種.從中任取一張,不中獎的概率為12,中二等獎或三等獎的概率是512.若中一等獎或二等獎的概率是14,則任取一張獎券,中三等獎的概率為 A.14 B.C.13 D.8.(多選題)袋子中有5個大小、質地完全相同的球,其中2個紅球、3個黃球,從中不放回地隨機摸出2個球,下列結論正確的是 ()A.2個球的顏色不同的概率為2B.2個球的顏色不同的概率為3C.2個球都是紅球的概率為1D.2個球都是黃球的概率為19.(多選題)已知甲罐中有4個相同的小球,標號分別為1,2,3,4;乙罐中有5個相同的小球,標號分別為1,2,3,5,6.現(xiàn)從甲、乙兩罐中分別隨機抽取1個小球,記事件A表示“抽取的2個小球標號之和大于5”,事件B表示“抽取的2個小球標號之積大于8”,則 ()A.事件A發(fā)生的概率為1B.事件A∪B發(fā)生的概率為11C.事件A∩B發(fā)生的概率為2D.從甲罐中抽到標號為2的小球的概率為1二、填空題(本大題共3小題,每小題5分,共15分)10.已知隨機事件A和B互斥,且P(A∪B)=0.7,P(B)=0.2,則P(A)=.

11.兩個人射擊,甲射擊一次,中靶的概率是P1,乙射擊一次,中靶的概率是P2.已知1P1,1P2是方程x2-5x+6=0的兩根,且P1滿足方程P12-P1+112.一個盒子里裝有標號為1,2,3,4的四張標簽,隨機地依次選取兩張標簽,若標簽的選取是無放回的,則兩張標簽上的數(shù)字為相鄰整數(shù)的概率是;若標簽的選取是有放回的,則兩張標簽上的數(shù)字為相鄰整數(shù)的概率是.

三、解答題(本大題共2小題,共20分)13.(10分)某醫(yī)院一天內派出醫(yī)生下鄉(xiāng)的人數(shù)及其概率如下:派出醫(yī)生的人數(shù)012345及其以上概率0.180.250.360.10.10.01(1)求至多派出2名醫(yī)生的概率;(2)求至少派出3名醫(yī)生的概率.14.(10分)[2023·四川瀘縣一中高一月考]某班在一次班會課上推出了一項趣味活動:在一個箱子里放有4個完全相同的小球,小球上分別標記了1,2,3,4.參加活動的學生有放回地摸兩次球,每次摸出1個,并分別記錄下球的號碼數(shù)字x,y.獎勵規(guī)則如下:①若xy≤3,則獎勵筆記本1個;②若xy≥8,則獎勵水杯1個;③其余情況獎勵飲料1瓶.(1)求小王獲得筆記本的概率;(2)試分析小王獲得水杯與獲得飲料,哪一個概率大.15.(5分)同時擲兩枚均勻的骰子,得到的點數(shù)為m和n,則關于x的方程x2+(m+n)x+4=0無實數(shù)根的概率是.

16.(15分)[2023·黑龍江雙鴨山一中高一月考]已知關于x的二次函數(shù)f(x)=mx2-nx-1,令集合M={1,2,3,4},N={-1,2,4,6,8},分別從集合M,N中隨機抽取一個數(shù)m和n,構成數(shù)對(m,n).(1)寫出數(shù)對(m,n)的樣本空間,并計算樣本點共有多少個;(2)記事件A表示“二次函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為[1,+∞)”,求事件A的概率;(3)記事件B表示“關于x的方程|f(x)|=2有4個零點”,求事件B的概率.2.2古典概型的應用1.D[解析]設事件A為“出現(xiàn)甲級品”,則P(A)=1-P(A)=1-(0.03+0.01)=0.96.2.C[解析]因為P(C)=0.6,B與C對立,所以P(B)=0.4,又P(A)=0.3,A與B互斥,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.3+0.4=0.7,故選C.3.A[解析]一枚骰子連續(xù)擲兩次,樣本空間中的樣本點總數(shù)N=36,m>n包含的樣本點為(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),共15個,則m>n的概率P=1536=512.故選4.B[解析]設齊王的上等馬、中等馬、下等馬分別為a1,a2,a3,田忌的上等馬、中等馬、下等馬分別為b1,b2,b3,所有比賽的情況如下:(a1,b1),(a2,b2),(a3,b3),齊王獲勝;(a1,b1),(a2,b3),(a3,b2),齊王獲勝;(a1,b2),(a2,b1),(a3,b3),齊王獲勝;(a1,b2),(a2,b3),(a3,b1),齊王獲勝;(a1,b3),(a2,b1),(a3,b2),田忌獲勝;(a1,b3),(a2,b2),(a3,b1),齊王獲勝.共6種情況,其中田忌獲勝只包含1種情況,故所求概率P=16.故選B5.C[解析]由題知A={2,4},B={1,2,3,4},則B={5,6}.在一次試驗中,樣本空間中的樣本點的總數(shù)為6,事件A+B包含的樣本點為2,4,5,6,共4個,∴事件A+B發(fā)生的概率為46=23.故選6.C[解析]正方形四個頂點可以確定6條直線,甲、乙各自任選一條共有36個樣本點.兩條直線相互垂直的情況有5種(4組鄰邊和1組對角線),共包括10個樣本點,所以所求概率P=1036=518.故選7.A[解析]設任取一張獎券,中一等獎、中二等獎、中三等獎、不中獎的事件分別為A,B,C,D,則它們均為互斥事件.由條件可得P(D)=12,則易知P(A)+P(B)+P(C)=12,又P(B+C)=P(B)+P(C)=512,P(A+B)=P(A)+P(B)=14,所以P(A)=112,P(B)=16,P(C)=14,所以任取一張獎券8.BC[解析]設2個紅球為M,N,3個黃球為d,e,f,則不放回地隨機摸出2個球,樣本空間為Ω={MN,Md,Me,Mf,Nd,Ne,Nf,de,df,ef},共10個樣本點.設事件D為“2個球的顏色不同”,則D={Md,Me,Mf,Nd,Ne,Nf},共6個樣本點,P(D)=610=35,A錯誤,B正確.設事件E為“2個球都是紅球”,則E={MN},P(E)=110,C正確.設事件F為“2個球都是黃球”,則F={de,df,ef},P(F)=310,D錯誤9.BC[解析]由題意知,從甲、乙兩罐中分別隨機抽取1個小球,樣本空間中共有20個樣本點.“抽取的2個小球標號之和大于5”包含的樣本點有(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,3),(3,5),(3,6),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),共11個樣本點;“抽取的2個小球標號之積大于8”包含的樣本點有(2,5),(2,6),(3,3),(3,5),(3,6),(4,3),(4,5),(4,6),共8個樣本點.事件A發(fā)生的概率為1120,故A錯誤.事件A∪B包含的樣本點有11個,所以事件A∪B發(fā)生的概率為1120,故B正確.事件A∩B包含的樣本點有8個,所以事件A∩B發(fā)生的概率為820=25,故C正確.從甲罐中抽到標號為2的小球,包含的樣本點為(2,1),(2,2),(2,3),(2,5),(2,6),共5個樣本點,故從甲罐中抽到標號為2的小球的概率為14,故D10.0.5[解析]∵隨機事件A和B互斥,且P(A∪B)=0.7,P(B)=0.2,∴P(A)=P(A∪B)-P(B)=0.7-0.2=0.5,∴P(A)=1-P(A)=1-0.5=0.5.11.1223[解析]由P12-P1+14=0,得P1=12.因為1P1,1P2是方程x2-5x+6=0的兩根,所以1P1·1P2=6,所以P2=13.因此甲射擊一次,不中靶的概率為12.1238[解析]一個盒子里裝有標號為1,2,3,4的四張標簽,隨機地依次選取兩張標簽.若標簽的選取是無放回的,則樣本空間中的樣本點的總數(shù)為12,兩張標簽上的數(shù)字為相鄰整數(shù)包含的樣本點有6個,為(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3),∴兩張標簽上的數(shù)字為相鄰整數(shù)的概率是612=12.若標簽的選取是有放回的,則樣本空間中的樣本點的總數(shù)為16,兩張標簽上的數(shù)字為相鄰整數(shù)包含的樣本點有6個,為(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3),∴兩張標簽上的數(shù)字為相鄰整數(shù)的概率是13.解:記派出醫(yī)生的人數(shù)為0,1,2,3,4,5及其以上分別為事件A0,A1,A2,A3,A4,A5,顯然它們彼此互斥.(1)至多派出2名醫(yī)生的概率為P(A0+A1+A2)=P(A0)+P(A1)+P(A2)=0.18+0.25+0.36=0.79.(2)方法一:至少派出3名醫(yī)生的概率為P(A3+A4+A5)=P(A3)+P(A4)+P(A5)=0.1+0.1+0.01=0.21.方法二:“至少派出3名醫(yī)生”的對立事件是“至多派出2名醫(yī)生”,故至少派出3名醫(yī)生的概率為1-P(A0+A1+A2)=1-0.79=0.21.14.解:(1)小王摸兩次球的樣本空間為Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)},共16個樣本點,其中滿足xy≤3的有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1),共有5個樣本點,所以小王獲得筆記本的概率P1=516(2)由(1)可知,滿足xy≥8的有(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4),共6個樣本點,所以小王獲得水杯的概率P2=616=3則小王獲得飲料的概率P3=1-516-38=因為38>516,15.112[解析]易知樣本空間中的樣本點共有36個.因為方程無實根,所以Δ=(m+n)2-16<0,可得m+n<4,包含的樣本點為(1,1),(1,2),(2,1),共3個.所以所求概率為336=16.解:(1)由題意可得,m∈{1,2,3,4},n∈{-1,2,4,6,8},則數(shù)對(m,n)的樣本空間為Ω={(1,-1),(1,2),(1,4),(1,6),(1,8),(2,-1),(2,2),(2,4),(2,6),(2,8),(3,-1),(3,2),(3,4),(3,6),(3,8),(4,-1),(4,2),(4,4),(4,6),(4,8)},共20個樣本點.(2)因為二次函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為[1,+∞),且m>0,二次函數(shù)f(x)的圖象開口向上,所以二次函數(shù)f(x)圖象的對稱軸為直線x=n2m=1,即n=由(1)可得,樣本空間