2023-2024學年江蘇省蘇州大學高三下學期期中考試（數(shù)學試題文）試題

2022-2023學年江蘇省蘇州大學高三下學期期中考試（數(shù)學試題文）試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，若則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．2．若執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的值是（）A． B． C． D．43．我國古代數(shù)學家秦九韶在《數(shù)書九章》中記述了“三斜求積術”，用現(xiàn)代式子表示即為：在中，角所對的邊分別為，則的面積.根據(jù)此公式，若，且，則的面積為（）A． B． C． D．4．向量，，且，則（）A． B． C． D．5．下列說法正確的是（）A．“若，則”的否命題是“若，則”B．“若，則”的逆命題為真命題C．，使成立D．“若，則”是真命題6．若函數(shù)在時取得最小值，則（）A． B． C． D．7．在中，角的對邊分別為，若．則角的大小為()A． B． C． D．8．已知直線過雙曲線C：的左焦點F，且與雙曲線C在第二象限交于點A，若（O為坐標原點），則雙曲線C的離心率為A． B． C． D．9．設集合，，則集合A． B． C． D．10．i是虛數(shù)單位，若，則乘積的值是()A．－15 B．－3 C．3 D．1511．如果直線與圓相交，則點與圓C的位置關系是（）A．點M在圓C上 B．點M在圓C外C．點M在圓C內 D．上述三種情況都有可能12．設a=log73，，c=30.7，則a，b，c的大小關系是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若復數(shù)滿足，其中是虛數(shù)單位，是的共軛復數(shù)，則________.14．已知中，點是邊的中點，的面積為，則線段的取值范圍是__________.15．己知函數(shù)，若關于的不等式對任意的恒成立，則實數(shù)的取值范圍是______.16．已知不等式的解集不是空集,則實數(shù)的取值范圍是；若不等式對任意實數(shù)恒成立，則實數(shù)的取值范圍是___三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知公比為正數(shù)的等比數(shù)列的前項和為，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和.18．（12分）已知（）過點，且當時，函數(shù)取得最大值1.（1）將函數(shù)的圖象向右平移個單位得到函數(shù)，求函數(shù)的表達式；（2）在（1）的條件下，函數(shù)，求在上的值域.19．（12分）已知直線：（為參數(shù)），曲線（為參數(shù)）．（1）設與相交于，兩點，求；（2）若把曲線上各點的橫坐標壓縮為原來的倍，縱坐標壓縮為原來的倍，得到曲線，設點是曲線上的一個動點，求它到直線距離的最小值．20．（12分）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)單調性；（2）當時，求證：.21．（12分）已知函數(shù)，，設．（1）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）設方程（其中為常數(shù)）的兩根分別為，，證明：．（注：是的導函數(shù)）22．（10分）如圖，在三棱柱中，、、分別是、、的中點.（1）證明：平面；（2）若底面是正三角形，，在底面的投影為，求到平面的距離.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】

根據(jù)，得到有解，則，得，，得到，再根據(jù)，有，即，可化為，根據(jù)，則的解集包含求解，【詳解】因為，所以有解，即有解，所以，得，，所以，又因為，所以，即，可化為，因為，所以的解集包含，所以或，解得，故選：C【點睛】本題主要考查一元二次不等式的解法及集合的關系的應用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題，2．D【解析】

模擬程序運行，觀察變量值的變化，得出的變化以4為周期出現(xiàn)，由此可得結論．【詳解】；如此循環(huán)下去，當時，，此時不滿足，循環(huán)結束，輸出的值是4.故選：D．【點睛】本題考查程序框圖，考查循環(huán)結構．解題時模擬程序運行，觀察變量值的變化，確定程序功能，可得結論．3．A【解析】

根據(jù)，利用正弦定理邊化為角得，整理為，根據(jù)，得，再由余弦定理得，又，代入公式求解.【詳解】由得，即，即，因為，所以，由余弦定理，所以，由的面積公式得故選：A【點睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理以及類比推理，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.4．D【解析】

根據(jù)向量平行的坐標運算以及誘導公式，即可得出答案.【詳解】故選：D【點睛】本題主要考查了由向量平行求參數(shù)以及誘導公式的應用，屬于中檔題.5．D【解析】選項A，否命題為“若，則”，故A不正確．選項B，逆命題為“若，則”，為假命題，故B不正確．選項C，由題意知對，都有，故C不正確．選項D，命題的逆否命題“若，則”為真命題，故“若，則”是真命題，所以D正確．選D．6．D【解析】

利用輔助角公式化簡的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的最值，求得在函數(shù)取得最小值時的值．【詳解】解：，其中，，，故當，即時，函數(shù)取最小值，所以，故選：D【點睛】本題主要考查輔助角公式，正弦函數(shù)的最值的應用，屬于基礎題．7．A【解析】

由正弦定理化簡已知等式可得，結合，可得，結合范圍，可得，可得，即可得解的值．【詳解】解：∵，∴由正弦定理可得：，∵，∴，∵，，∴，∴．故選A．【點睛】本題主要考查了正弦定理在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題．8．B【解析】

直線的傾斜角為，易得．設雙曲線C的右焦點為E，可得中，，則，所以雙曲線C的離心率為.故選B．9．B【解析】

先求出集合和它的補集，然后求得集合的解集，最后取它們的交集得出結果.【詳解】對于集合A，，解得或，故.對于集合B，，解得.故.故選B.【點睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查對數(shù)不等式的解法，考查集合的補集和交集的運算.對于有兩個根的一元二次不等式的解法是：先將二次項系數(shù)化為正數(shù)，且不等號的另一邊化為，然后通過因式分解，求得對應的一元二次方程的兩個根，再利用“大于在兩邊，小于在中間”來求得一元二次不等式的解集.10．B【解析】，∴，選B．11．B【解析】

根據(jù)圓心到直線的距離小于半徑可得滿足的條件，利用與圓心的距離判斷即可.【詳解】直線與圓相交，圓心到直線的距離，即．也就是點到圓的圓心的距離大于半徑．即點與圓的位置關系是點在圓外．故選：【點睛】本題主要考查直線與圓相交的性質，考查點到直線距離公式的應用，屬于中檔題．12．D【解析】

，，得解．【詳解】，，，所以，故選D【點睛】比較不同數(shù)的大小，找中間量作比較是一種常見的方法．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

設，代入已知條件進行化簡，根據(jù)復數(shù)相等的條件，求得的值.【詳解】設，由，得，所以，所以.故答案為：【點睛】本小題主要考查共軛復數(shù)，考查復數(shù)相等的條件，屬于基礎題.14．【解析】

設，利用正弦定理，根據(jù)，得到①，再利用余弦定理得②，①②平方相加得：，轉化為有解問題求解.【詳解】設，所以，即①由余弦定理得，即②，①②平方相加得：，即，令，設，在上有解，所以，解得，即，故答案為：【點睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理在平面幾何中的應用，還考查了運算求解的能力，屬于難題.15．【解析】

首先判斷出函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，且在定義域上單調遞增，由此不等式對任意的恒成立，可轉化為在上恒成立，進而建立不等式組，解出即可得到答案．【詳解】解：函數(shù)的定義域為，且，函數(shù)為奇函數(shù)，當時，函數(shù)，顯然此時函數(shù)為增函數(shù)，函數(shù)為定義在上的增函數(shù)，不等式即為，在上恒成立，，解得．故答案為．【點睛】本題考查函數(shù)單調性及奇偶性的綜合運用，考查不等式的恒成立問題，屬于常規(guī)題目．16．【解析】

利用絕對值的幾何意義，確定出的最小值，然后根據(jù)題意即可得到的取值范圍化簡不等式，求出的最大值，然后求出結果【詳解】的最小值為，則要使不等式的解集不是空集，則有化簡不等式有，即而當時滿足題意，解得或所以答案為【點睛】本題主要考查的是函數(shù)恒成立的問題和絕對值不等式，要注意到絕對值的幾何意義，數(shù)形結合來解答本題，注意去絕對值時的分類討論化簡三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）（2）【解析】

（1）判斷公比不為1，運用等比數(shù)列的求和公式，解方程可得公比，進而得到所求通項公式；（2）求得，運用數(shù)列的錯位相減法求和，以及等比數(shù)列的求和公式，計算可得所求和.【詳解】解：（1）設公比為正數(shù)的等比數(shù)列的前項和為，且，，可得時，，不成立；當時，，即，解得（舍去），則；（2），前項和，，兩式相減可得，化簡可得.【點睛】本題考查等比數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，考查數(shù)列的錯位相減法求和，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題．18．(1)；(2).【解析】

試題分析：(1)由題意可得函數(shù)f(x)的解析式為，則.(2)整理函數(shù)h(x)的解析式可得：，結合函數(shù)的定義域可得函數(shù)的值域為.試題解析：(1)由函數(shù)取得最大值1，可得,函數(shù)過得，，∵，∴，.(2)，，，值域為.19．（1）；（2）．【解析】

(1)將直線和曲線化為普通方程，聯(lián)立直線和曲線，可得交點坐標，可得的值；（2）可得曲線的參數(shù)方程，利用點到直線的距離公式結合三角形的最值可得答案.【詳解】解：（1）直線的普通方程為，的普通方程．聯(lián)立方程組，解得與的交點為，，則．（2）曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），故點的坐標為，從而點到直線的距離是，由此當時，取得最小值，且最小值為．【點睛】本題主要考查參數(shù)方程與普通方程的轉化及參數(shù)方程的基本性質、點到直線的距離公式等，屬于中檔題.20．（1）見解析（2）見解析【解析】

（1）根據(jù)的導函數(shù)進行分類討論單調性（2）欲證，只需證，構造函數(shù)，證明，這時需研究的單調性，求其最大值即可【詳解】解：（1）的定義域為，，①當時，由得，由，得，所以在上單調遞增，在單調遞減；②當時，由得，由，得，或，所以在上單調遞增，在單調遞減，在單調遞增；③當時，，所以在上單調遞增；④當時，由，得，由，得，或，所以在上單調遞增，在單調遞減，在單調遞增.（2）當時，欲證，只需證，令，，則，因存在，使得成立，即有，使得成立.當變化時，，的變化如下：0單調遞增單調遞減所以.因為，所以，所以.即，所以當時，成立.【點睛】考查求函數(shù)單調性的方法和用函數(shù)的最值證明不等式的方法，難題.21．（1）在上單調遞增，在上單調遞減．（2）見解析【解析】

（1）求出導函數(shù)，由確定增區(qū)間，由確定減區(qū)間；（2）求出含有參數(shù)的，再求出，由的兩根是，得，計算，代入后可得結論．【詳解】解：，函數(shù)的定義域為，．（1）當時，，由得，由得，故函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減．（2）證明：由條件可得，，，方程的兩根分別為，，，且，可得．．【點睛】本題考查用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，考查導數(shù)的運算、方程根的知識．在可導函數(shù)中一般由確定增區(qū)間，由確定減區(qū)間．22．（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）連接，連接、交于點，并連接