新教材同步系列2024春高中數(shù)學(xué)第六章平面向量及其應(yīng)用6.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示6.3.1平面向量基本定理課件新人教A版必修第二冊(cè)

第六章平面向量及其應(yīng)用6.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示6.3.1平面向量基本定理學(xué)習(xí)目標(biāo)素養(yǎng)要求1．理解平面向量基本定理及其意義，了解向量基底的含義數(shù)學(xué)抽象2．會(huì)用基底表示平面向量數(shù)學(xué)運(yùn)算|自學(xué)導(dǎo)引|平面向量基本定理1．定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)____________，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝___________.2．基底：不共線的向量{e1，e2}叫做這一平面內(nèi)__________的一個(gè)________．不共線向量λ1e1＋λ2e2

所有向量基底(1)平面向量基本定理中基底的特征是什么？(2)在平面向量基本定理中為何要求向量e1，e2不共線？【提示】(1)不共線性和不唯一性．(2)若向量e1，e2共線，則λ1e1＋λ2e2與向量e1，e2共線，即向量λ1e1＋λ2e2只能表示與向量e1，e2共線的向量，無法表示平面內(nèi)其他的向量．平面向量基本定理的唯一性設(shè)a，b是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，則__________．【預(yù)習(xí)自測(cè)】設(shè)向量e1與e2不共線，若3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，求實(shí)數(shù)x，y的值．|課堂互動(dòng)|題型1對(duì)平面向量基本定理的理解

(1)(多選)設(shè)O是平行四邊形ABCD兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，下列向量組中可作為這個(gè)平行四邊形所在的平面的基底的有 (

)(2)如果e1，e2是平面α內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么下列說法中不正確的是__________(填序號(hào))．①λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α內(nèi)的所有向量；②對(duì)于平面α內(nèi)任一向量a，使a＝λe1＋μe2的實(shí)數(shù)對(duì)(λ，μ)有無窮多個(gè)；③若向量λ1e1＋μ1e2與λ2e1＋μ2e2共線，則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；④若存在實(shí)數(shù)λ，μ使得λe1＋μe2＝0，則λ＝μ＝0．【答案】(1)AC

(2)②③【解析】(1)如圖所示，A，C中的向量不共線，可以作為基底，B，D中的向量共線，不能作基底．(2)由平面向量基本定理可知，①④是正確的；對(duì)于②，由平面向量基本定理可知，一旦一個(gè)平面的基底確定，那么任意一個(gè)向量在此基底下的實(shí)數(shù)對(duì)是唯一的；對(duì)于③，當(dāng)兩向量的系數(shù)均為零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0時(shí)，這樣的λ有無數(shù)個(gè)．對(duì)基底的理解(1)兩個(gè)向量能否作為一組基底，關(guān)鍵是看這兩個(gè)向量是否共線，若共線，則不能作基底，反之，則可作基底．(2)一個(gè)平面的基底一旦確定，那么平面上任意一個(gè)向量都可以由這組基底唯一線性表示出來．設(shè)向量a與b是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，提醒：一個(gè)平面的基底不是唯一的，同一個(gè)向量用不同的基底表示，表達(dá)式不一樣．1．(1)如圖，點(diǎn)O為正六邊形ABCDEF的中心，則可作為基底的一對(duì)向量是

(

)(2)若a，b不共線，且la＋mb＝0(l，m∈R)，則l＝__________，m＝__________．【答案】(1)B

(2)0

0【答案】(1)ABC用基底表示向量的三個(gè)依據(jù)和兩個(gè)“模型”(1)依據(jù)：①向量加法的三角形法則和平行四邊形法則；②向量減法的幾何意義；③數(shù)乘向量的幾何意義．(2)模型：題型3平面向量基本定理的應(yīng)用如圖，在△ABC中，M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在AC上，且AN＝2NC，AM與BN相交于點(diǎn)P，求AP∶PM與BP∶PN的值．(2)重要結(jié)論：設(shè)e1，e2是平面內(nèi)一組基底，當(dāng)λ1e1＋λ2e2＝0時(shí)恒有λ1＝λ2＝0若a＝λ1e1＋λ2e2當(dāng)λ2＝0時(shí)，a與e1共線當(dāng)λ1＝0時(shí)，a與e2共線λ1＝λ2＝0時(shí)，a＝0易錯(cuò)警示對(duì)基底的定義理解不準(zhǔn)確致誤已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，則a與b共線的條件是 (

)A．λ＝0 B．e2＝0C．e1∥e2 D．λ＝0或e1∥e2錯(cuò)解：A，B，C易錯(cuò)防范：一定要注意“不共線”這個(gè)條件，做題時(shí)容易忽略此條件而致錯(cuò)，同時(shí)還要注意零向量不能作為基底．正解：若e1，e2共線，即e1∥e2時(shí)，易得a與b共線；若e1，e2不共線，要使a與b共線，則存在m，使a＝mb，即e1＋λe2＝2me1，得λ＝0．當(dāng)λ＝0或e1∥e2時(shí)，a與b共線．故選D．|素養(yǎng)達(dá)成|1．任意一向量基底表示的唯一性的理解2．任意一向量基底表示的唯一性的應(yīng)用平面向量基本定理指出了平面內(nèi)任一向量都可以表示為同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量e1，e2的線性組合λ1e1＋λ2e2．在具體求λ1，λ2時(shí)有兩種方法：(1)直接利用三角形法則、平行四邊形法則及向量共線定理．(2)利用待定系數(shù)法，即利用定理中λ1，λ2的唯一性列方程組求解．(體現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng))3．平面向量基本定理體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，用向量解決幾何問題時(shí)，我們可以選擇適當(dāng)?shù)幕?，將問題中涉及的向量向基底化歸，使問題得以解決．(體現(xiàn)直觀想象和邏輯推理核心素養(yǎng))1．(題型1)(多選)下列關(guān)于基底的說法正確的有 (

)A．平面內(nèi)不共線的任意兩個(gè)向量都可作為一組基底B．基底中的向量可以是零向量C．平面內(nèi)的基底一旦確定，該平面內(nèi)的向量關(guān)于基底的線性分解形式也是唯一確定的D．對(duì)于確定的向量，表示該向量的基底是唯一的【答案】AC【解析】零向量與任意向量共線，故零向量不能作為基底中的向量，故B錯(cuò)；平面內(nèi)兩不共線的向量都可以作為一組基底，故D錯(cuò)．A，C正確．【答