高中數(shù)學(xué)不動點與蛛網(wǎng)圖

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁不動點與蛛網(wǎng)圖不動點與蛛網(wǎng)圖第一講實數(shù)數(shù)列的“不動點”一、相關(guān)的概念1、數(shù)列的“生成函數(shù)”：也叫數(shù)列的“特征函數(shù)”.得到的函數(shù)如：，把當(dāng)作y，把當(dāng)做；2、數(shù)列的迭代：根據(jù)初始值及遞推關(guān)系逐一計算數(shù)列各項的過程.前一次計算時的y，是后一次計算的x.3、數(shù)列的不動點：滿足的的數(shù)值.例1.己知.若是常數(shù)數(shù)列，求的值.解：∵，∴或，∴或1（1）數(shù)列的“不動點”其實不是點，而是數(shù)值；（2）若不動點，則數(shù)列是常數(shù)數(shù)列，不動點.二、進(jìn)一步分析：滿足，的的數(shù)值，叫數(shù)列的“不動點”；任何實數(shù)數(shù)列都有不動點嗎？無實數(shù)解例2.已知數(shù)列滿足.若數(shù)列有不動點，則實數(shù)b的取值范圍是___________.（1）數(shù)列角度（2）函數(shù)角度：有解（3）函數(shù)圖象的角度：①數(shù)列有不動點生成函數(shù)的圖象與直線有交點；②生成函數(shù)圖象與直線的交點的橫（縱）坐標(biāo)=不動點.例3、已知數(shù)列滿足，則（）A.當(dāng)時，恒成立B.當(dāng)時，恒成立C.當(dāng)時，恒成立D.當(dāng)時，恒成立解：（1）當(dāng)時，數(shù)列有不動點，即有實數(shù)解；（2）圖象角度：當(dāng)時，拋物線與直線有交點；（3）不動點的數(shù)值：①B中，由得：②C中，由得：或2③D中，由得：選項B中，取，則不成立；C，D同理可排除.實際不用算，看圖判斷出：不動點即可.問題：當(dāng)，即時，無論取何值，為什么恒成立？1、觀察拋物線和直線的位置關(guān)系：（1）函數(shù)角度：恒成立；（2）數(shù)列角度：恒成立；嚴(yán)格單調(diào)遞增2、如何保證呢？∵∴∴∴∴∴，∴∴三、不動點的分類例4.已知.討論的單調(diào)性.解：（1）當(dāng)時，為常數(shù)數(shù)列；（2）當(dāng)時，用歸納法或同號法，可證明：∴∴遞增如時，…與不動點的差，隨n增大而增大.（3）當(dāng)時，同理可證，且遞減如時，與不動點的差，也隨n增大而增大.總之，當(dāng)時，隨著n增大，逐漸“遠(yuǎn)離”不動點.這種不動點，叫“排斥不動點例5.己知.討論的單調(diào)性.解：（1）當(dāng)時，為常數(shù)數(shù)列；（2）當(dāng)時，如時，數(shù)列遞減，隨n增大，向不動點逐漸“靠攏”；（3）當(dāng)時，如時，數(shù)列遞增，隨n增大，向不動點逐漸“靠攏”；這種不動點，叫“吸引不動點”，總之，不動點可分為“排斥不動點”、“吸引不動點”等，具體的判定方法和應(yīng)用，我們下節(jié)課會結(jié)合“蛛網(wǎng)圖”討論.本講小結(jié)1、數(shù)列的迭代運算：逐個代入，計算各項的過程.如：前一次計算時的y，是后一次計算的x.蛛網(wǎng)圖的原理！2、數(shù)列的“生成函數(shù)”：得到的函數(shù)的生成函數(shù)是：3、數(shù)列的不動點：滿足的的數(shù)值，叫數(shù)列的“不動點”；（1）數(shù)列本身的角度：①當(dāng)不動點時，為常數(shù)數(shù)列.②不動點分成：吸引不動點，排斥不等點等.（2）生成函數(shù)圖象的角度：①數(shù)列有不動點生成函數(shù)的圖象與直線有交點；②不動點=生成函數(shù)圖象與直線的交點的橫（縱）坐標(biāo).第二講“蛛網(wǎng)圖”的來歷和本質(zhì)一、“蛛網(wǎng)圖”的來歷和本質(zhì)上節(jié)課例4.已知.討論的單調(diào)性.當(dāng)時，前一步的y，是后一步的x迭代計算是一個代數(shù)運算的過程；“蛛網(wǎng)圖”是把迭代過程→幾何（圖象）化處理.已知.討論的單調(diào)性.時，…時，，…剛才是在x軸、y軸上轉(zhuǎn)換的.我們也可以通過輔助線進(jìn)行轉(zhuǎn)換.蛛網(wǎng)圖：利用數(shù)列的生成函數(shù)圖象，以及輔助線，對迭代過程進(jìn)行圖象化處理.（1）畫出生成函數(shù)圖象和直線；（2）當(dāng)x，當(dāng)y，在生成函數(shù)圖象上畫出點；（3）向直線作水平線，得交點；（4）向生成函數(shù)圖象作鉛垂線線，得交點，…二、不動點的類型和性質(zhì)上一課中，我們提到有“排斥不動點”和“吸引不動點”等.現(xiàn)在用“蛛網(wǎng)圖”來驗證不動點的以下性質(zhì)：對于型的數(shù)列，若該數(shù)列有不動點，記某個不動點為，（1）若，則該不動點為“吸引不動點”；（其中不恒等于0）（2）若，則該不動點為“排斥不動點”；（3）若，則該不動點對一側(cè)吸引，對另一側(cè)排斥.1、，吸引不動點定理：當(dāng)時，若，則數(shù)列遞增；若，則數(shù)列遞減.定理：當(dāng)時，與單調(diào)性相反.每次都“吸引過頭”.2、，排斥不動點定理：當(dāng)時，若，則數(shù)列遞增；若，則數(shù)列遞減.3、時數(shù)列單調(diào)遞增：；數(shù)列嚴(yán)格單調(diào)遞增：.數(shù)列是否嚴(yán)格單調(diào)遞增或嚴(yán)格單調(diào)遞減，與生成函數(shù)單調(diào)性以及初始值有關(guān)！本講小結(jié)1.不動點的分類相交型不動點：2.蛛網(wǎng)圖的原理借助于直線，把遞推數(shù)列的迭代過程，用圖象表示出來.優(yōu)點：代數(shù)問題幾何化，形象、直觀；缺點：不能替代大題目的代數(shù)證明.第三講“不動點”和“蛛網(wǎng)圖”的應(yīng)用（一）應(yīng)用1、判定數(shù)列的單調(diào)性和極限例1.已知數(shù)列滿足.分別判斷和時數(shù)列的單調(diào)性；均單調(diào)遞減單調(diào)遞增例2已知.（1）判定數(shù)列單調(diào)性；（2）判斷是否恒成立.選項（1）：數(shù)列遞增；選項（2）：極限為1（4）不恒成立，存在，使得時，.應(yīng)用2、已知數(shù)列的生成函數(shù)和單調(diào)性，求的取值范圍由例1，例2可知：生成函數(shù)確定的情況下，數(shù)列的單調(diào)性有時還與迭代初始值有關(guān).例4首項為正數(shù)的數(shù)列滿足.若對一切，都有，求的取值范圍.解：∴或例5已知數(shù)列滿足，且對任意，有，則的取值范圍是____________.解：由得：，不動點畫出函數(shù)及直線的圖象（1）時，是吸引不動點，數(shù)列遞增；（2）時，吸引、1排斥數(shù)列遞減；（3）時，1排斥遞增到“高臺跳水”；（4）時，∴例6已知常數(shù)，數(shù)列滿足，首項為，前n項和為.若對任意成立，則的取值范圍為_________.解：（1）生成函數(shù)為在上方，數(shù)列遞增（2）恒成立是什么意思？；∴（3），∵∴∴法2：∵，∴，∴遞增法3：設(shè)，則，∴作圖或者作差數(shù)列遞增，記數(shù)列的前n項和為，則，∴且后面同理本講小結(jié)1、不動點和蛛網(wǎng)圖的應(yīng)用應(yīng)用1、判定數(shù)列的單調(diào)性和極限；應(yīng)用2、已知數(shù)列的生成函數(shù)及單調(diào)性，求的取值范圍2、注意事項（1）靈活選用不動點的性質(zhì)、蛛網(wǎng)圖法或代數(shù)方法；（2）生成函數(shù)不連續(xù)時，要注意間斷點兩側(cè)的不同情況.（3）碰到復(fù)雜而陌生的問題，要注意“退”的思想和“換元法”的應(yīng)用.第四講“不動點”和“蛛網(wǎng)圖”的應(yīng)用應(yīng)用3、已知數(shù)列單調(diào)性，求生成函數(shù)中的參數(shù)范圍例1.數(shù)列滿足.若單調(diào)遞增，則實數(shù)c的取值范圍是______________.分析：生成函數(shù)，拋物線隨著c的變化而上下平移.（1）當(dāng)時，從不動點角度：令相切從數(shù)列角度：時，（2）當(dāng)時，拋物線在直線的下方遞減（3）當(dāng)時，假如，蛛網(wǎng)圖判斷：（4）怎樣才能避免后面遞減？迭代過程落在遞增區(qū)域內(nèi)！前一個y，是后一個x.對稱軸，即：頂點不得高于直線例2若數(shù)列滿足，若對任意正整數(shù)n都有，則實數(shù)m的最大值為（）A.0.5B.1C.2D.4解：生成函數(shù)，圖象是拋物線，開口向上（1）若，則數(shù)列遞增，∴的必要條件是：方程有解有解，∴（2）當(dāng)時，拋物線與直線相切∵，∴在直線上方迭代，數(shù)列遞增，不動點為2，∴答案：C例3數(shù)列滿足，若對一切，則m的取值范圍是（）A.B.C.D.解：生成函數(shù)為左加右減：，向右平移m個單位（1）當(dāng)時，圖象在直線上方，沒有不動點，無限遞增，不合題意；（2）當(dāng)時，相切型不動點2生成函數(shù)遞增，，符合題意；（3）當(dāng)時，吸引不動點∵，，符合題意.答案：A例4.已知數(shù)列滿足.若，則的最小值是_______；若，且存在常數(shù)，使得任意，則實數(shù)k的取值范圍是__________.解：（1）∵，可知：，∴∴例4-2.己知數(shù)列滿足.若，且存在常數(shù)，使得任意，則實數(shù)k的取值范圍是___________.分析：生成函數(shù)含參考慮參數(shù)對圖象的影響坐標(biāo)變換通過怎樣的坐標(biāo)變換，才會得到？x不變，y變k倍（1）時，，符合題意；（2）時，k的取值對圖象的影響：動圖解：（1）時，，∴時，左側(cè)的排斥不動點法一、法二、算臨界狀態(tài)點在直線上，此時法三、不低于點∴，∴∴時，拋物線開口向上在直線的上方時，數(shù)列發(fā)散；∴，∴綜合以上分析可知：（1）時，2，0，0，0…，成立；（2）時，左側(cè)的排斥不動點即不低于點∴，∴（3）時，右側(cè)的排斥不動點即不高于點∴，∴綜上所述，第五講“不動點”和“蛛網(wǎng)圖”的應(yīng)用應(yīng)用4、判定與的大小關(guān)系判定單調(diào)性是比較與的大小，實際上可以推廣到與或其它形式.例1已知，.（2）判斷是否恒成立；解：初始值開始迭代，直線迭代區(qū)域在直線上方∴恒成立例2已知.（4）判斷是否恒成立.解：（1）當(dāng)時，是否成立？（2）當(dāng)時，是否恒成立？∴∴成立例3已知數(shù)列滿足.下列說法錯誤的是（）A.B.C.D.解：與直線對照：切線不等式A.正確：B.，正確；C正確；D.，錯誤.與比大小與比高低（迭代范圍內(nèi)）【強(qiáng)化訓(xùn)練】1．?dāng)?shù)列滿足：.若數(shù)列單調(diào)遞減，則c的取值范圍是________；若數(shù)列單調(diào)遞增，則c的取值范圍是__________.2．已知數(shù)列滿足：，.則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．3．?dāng)?shù)列滿足：，則（

）A． B． C． D．4．已知數(shù)列滿足：，，若對任意的正整數(shù)均有，則實數(shù)的最大值是_____.5．已知數(shù)列，滿足.若則的最小值是___________，若，且存在常數(shù)，使得任意，則的取值范圍是______________.6．設(shè)數(shù)列滿足.若存在常數(shù)，對于任意，恒有，則的取值范圍是_________.7．設(shè)數(shù)列滿足，若存在常數(shù)，使得對于任意的，恒有，則的取值范圍是________.8．已知數(shù)列若（且），若對任意恒成立，則實數(shù)t的取值范圍是_________.9．設(shè)，數(shù)列中，，,則A．當(dāng) B．當(dāng)C．當(dāng) D．當(dāng)10．?dāng)?shù)列滿足：，則（

）A． B．C． D．11．已知數(shù)列滿足0，且，則A． B．C． D．12．已知數(shù)列滿足，則下列結(jié)論成立的是（

）A． B．C． D．13．已知數(shù)列滿足：，，，是數(shù)列的前100項和，且滿足，則不可能是A． B．C． D．14．已知數(shù)列滿足，若存在實數(shù)，使單調(diào)遞增，則的取值范圍是A． B． C． D．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁共=sectionpages22頁參考答案：1．

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##【分析】若數(shù)列單調(diào)遞減，則恒成立，可得恒成立，由此可得c的范圍.若數(shù)列單調(diào)遞增，則，即，且母函數(shù).數(shù)列有極限，其值為其不動點.又在上單調(diào)增加，故，所.于是只需要證明時滿足條件，時不滿足條件即可.【詳解】①若數(shù)列單調(diào)遞減，∵，∴，∴，∴恒成立，即恒成立，即恒成立，即恒成立，∴c＜0.②數(shù)列單調(diào)遞增，則當(dāng)時，.當(dāng)時，，而在上單調(diào)遞增，∴，即，假設(shè)當(dāng)n＝k，k∈時，，則，即，故由數(shù)學(xué)歸納法可得，即數(shù)列單調(diào)遞增；當(dāng)時，∵，∴，即，∴，，∵，∴，∴，∴.∴，令，故當(dāng)時，，此時，而在上單調(diào)遞減，∴，即，與題意矛盾.綜上，的取值范圍是.2．B【解析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性，判斷數(shù)列的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性判斷的取值范圍.【詳解】設(shè)，因為，當(dāng)時，得；則在和單調(diào)遞增，當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，可得，所以，即數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，又，，根據(jù)數(shù)列單調(diào)性可得：，所以.故選：B.【點睛】本題考查數(shù)列的單調(diào)性及判斷，考查數(shù)列的函數(shù)特性，難度一般，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)判斷數(shù)列的單調(diào)性是關(guān)鍵.3．A【分析】由，變形為開方求解判斷.【詳解】因為，所以，因為，所以，則，故，因為，所以，。故選：A4．2【分析】根據(jù)遞推公式可考慮分析,再累加求出關(guān)于關(guān)于參數(shù)的關(guān)系,根據(jù)表達(dá)式的取值分析出,再用數(shù)學(xué)歸納法證明滿足條件即可.【詳解】因為,累加可得.若,注意到當(dāng)時,,不滿足對任意的正整數(shù)均有.所以.當(dāng)時,證明：對任意的正整數(shù)都有.當(dāng)時,成立.假設(shè)當(dāng)時結(jié)論成立,即,則,即結(jié)論對也成立.由數(shù)學(xué)歸納法可知,對任意的正整數(shù)都有.綜上可知,所求實數(shù)的最大值是2.故答案為：2【點睛】本題主要考查了根據(jù)數(shù)列的遞推公式求解參數(shù)最值的問題,需要根據(jù)遞推公式累加求解,同時注意結(jié)合參數(shù)的范圍問題進(jìn)行分析.屬于難題.5．

【分析】第一空：令,將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題,則表示點與原點連線的斜率，觀察圖象即可求解.第二空：將問題轉(zhuǎn)化為當(dāng),則，結(jié)合二次函數(shù)的最值以及翻折后圖象列式即可求解.【詳解】（1）令，，表示點與原點連線的斜率，因為，所以，由于為最高點，所以最小，等于.（2）當(dāng)時，顯然存在；當(dāng)時，由，則，由圖象可知，使得任意成立，則需即

又,所以,故的取值范圍是.【點睛】本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用.數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，所以在求解數(shù)列最值問題可以借助函數(shù)的思想解決.6．【分析】首先根據(jù)題意得到，當(dāng)時，設(shè)，進(jìn)而求出，然后判斷是否滿足題意，當(dāng)時，得出數(shù)列和函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而判斷是否滿足題意.【詳解】由題意，，所以.若，令，則，，此時，存在M=2，使得；若，，即數(shù)列是遞增數(shù)列，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，且值域為，故此時數(shù)列不滿足題意.綜上：的取值范圍是.故答案為：.7．【分析】由已知條件可得，得，結(jié)合已知可得，從而可求出的取值范圍【詳解】因為，所以，即，即，等價于，故只需，解得，所以，故，即，所以的取值范圍為故答案為：8．【分析】方法一，根據(jù)必要條件求出的取值范圍，再證明范圍內(nèi)的滿足，即可確定的取值范圍；方法二，利用蛛網(wǎng)法，分和兩種情況，結(jié)合圖象列式即可求出的取值范圍.【詳解】法1：必要先行；.，得證.法2：蛛網(wǎng)法記函數(shù)，過定點.當(dāng)時，迭代收斂于點A，只需位于直線下方，即；當(dāng)時，迭代收斂于點A，由蛛網(wǎng)圖：單調(diào)遞減，故只需即綜上.9．A【解析】若數(shù)列為常數(shù)列，，則只需使，選項的結(jié)論就會不成立.將每個選項的的取值代入方程，看其是否有小于等于10的解.選項B、C、D均有小于10的解，故選項B、C、D錯誤.而選項A對應(yīng)的方程沒有解，又根據(jù)不等式性質(zhì)，以及基本不等式，可證得A選項正確.【詳解】若數(shù)列為常數(shù)列，則，由，可設(shè)方程選項A：時，，，，故此時不為常數(shù)列，，且，，則，故選項A正確；選項B：時，，，則該方程的解為，即當(dāng)時，數(shù)列為常數(shù)列，，則，故選項B錯誤；選項C：時，，該方程的解為或，即當(dāng)或時，數(shù)列為常數(shù)列，或，同樣不滿足，則選項C也錯誤；選項D：時，，該方程的解為，同理可知，此時的常數(shù)列也不能使，則選項D錯誤.故選：A.【點睛】遇到此類問題，不少考生會一籌莫展.利用函數(shù)方程思想，通過研究函數(shù)的不動點，進(jìn)一步討論的可能取值，利用“排除法”求解.10．D【分析】根據(jù)題意設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得出在上恒成立，作出圖象，結(jié)合圖象即可得出結(jié)果.【詳解】由題意知，設(shè)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以在上恒成立，即在上恒成立，畫出函數(shù)和的圖象，如圖，由圖象可得，，故選：D.11．A【分析】先取特殊值進(jìn)行排除，再利用遞推關(guān)系計算前6項，進(jìn)行猜測結(jié)論并證明.【詳解】由,取特殊值：，，得：=，=，排除C、D；==，=>；且，，均小于，猜測，下面由圖說明：當(dāng)時，由迭代蛛網(wǎng)圖：可得，單調(diào)遞增，此時不動點為，當(dāng)n時，，則有，.當(dāng)時，由迭代蛛網(wǎng)圖：可得，當(dāng)n分別為奇數(shù)、偶數(shù)