2024年高考數(shù)學(xué)學(xué)霸糾錯(cuò)筆記平面向量含解析

忽視了零向量的特殊性給出下列命題：①向量的長(zhǎng)度與向量的長(zhǎng)度相等.②向量a與b平行，則a與b的方向相同或相反.③兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同.④零向量與隨意數(shù)的乘積都為零.其中不正確命題的序號(hào)是.【錯(cuò)解】④【錯(cuò)因分析】解決向量的概念問(wèn)題要留意兩點(diǎn)：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是要考慮向量的方向；二是考慮零向量是否也滿意條件．要特殊留意零向量的特殊性．【試題解析】①與是相反向量、模相等，正確；②由零向量的方向是隨意的且與隨意向量平行，不正確；③相等向量大小相等、方向相同，又起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)相同，正確；④零向量與隨意數(shù)的乘積都為零向量，不正確，故不正確命題的序號(hào)是②④.【參考答案】②④解決向量的概念問(wèn)題應(yīng)關(guān)注六點(diǎn)：（1）正確理解向量的相關(guān)概念及其含義是解題的關(guān)鍵.（2）相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.（3）共線向量即平行向量，它們均與起點(diǎn)無(wú)關(guān).相等向量不僅模相等，而且方向要相同，所以相等向量肯定是平行向量，而平行向量則未必是相等向量.（4）向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量.解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象移動(dòng)混為一談.（5）非零向量a與的關(guān)系：是a方向上的單位向量.（6）向量與數(shù)量不同，數(shù)量可以比較大小，向量則不能，但向量的模是非負(fù)實(shí)數(shù)，故可以比較大小.1．下列說(shuō)法正確的是A．若與都是單位向量，則=B．若=，則||=||且與的方向相同C．若+=0，則||=||D．若=0，則與是相反向量【答案】C【解析】因?yàn)橄蛄肯嗟缺匦铦M意模相等且方向相同，所以A不正確;因?yàn)?的方向是隨意的，當(dāng)時(shí)，B不正確;因?yàn)椋?，所以，故C正確;因?yàn)椋?，與不是相反向量，故D不正確.所以選C.【名師點(diǎn)睛】本小題主要考查兩個(gè)向量相等的充要條件，即大小和方向均相同.還考查了零向量的概念，零向量長(zhǎng)度為零，方向隨意.屬于基礎(chǔ)題.忽視平行四邊形的多樣性失誤已知平行四邊形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（－1，0），（3，0），（1，－5），求第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo).【錯(cuò)解】設(shè)A（－1，0），B（3，0），C（1，－5），D（x，y），∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴=，又∵=（4，0），=（1－x，－5－y），∴，解得x=－3，y=－5，∴第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（－3，－5）.【錯(cuò)因分析】此題的錯(cuò)解緣由為思維定勢(shì)，錯(cuò)誤的認(rèn)為平行四邊形只有一種情形，在解題思路中出現(xiàn)了漏解.事實(shí)上，題目的條件中只給出了平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)，并沒(méi)有給出相應(yīng)的依次，故可能有三種不同的情形.【試題解析】如圖所示，設(shè)A（－1，0），B（3，0），C（1，－5），D（x，y）.若四邊形ABCD1為平行四邊形，則=，而=（x＋1，y），=（－2，－5）.由=，得，∴，∴D1（－3，－5）.若四邊形ACD2B為平行四邊形，則=.而=（4，0），=（x－1，y＋5）.∴，∴，∴D2（5，－5）.③若四邊形ACBD3為平行四邊形，則=.而=（x＋1，y），=（2，5），∴，∴，∴D3（1，5）.綜上所述，平行四邊形第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（－3，－5）或（5，－5）或（1，5）.1．要留意點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)之間的關(guān)系，向量的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)就是向量坐標(biāo)，當(dāng)向量的起點(diǎn)是原點(diǎn)時(shí)，其終點(diǎn)坐標(biāo)就是向量坐標(biāo)．2．向量的坐標(biāo)與表示向量的有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的相對(duì)位置有關(guān)系．兩個(gè)相等的向量，無(wú)論起點(diǎn)在什么位置，它們的坐標(biāo)都是相同的．3．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件不能表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)，因?yàn)閤2，y2有可能等于0，所以應(yīng)表示為x1y2－x2y1＝0.2．已知為四邊形所在的平面內(nèi)的一點(diǎn)，且向量，，，滿意等式，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，則A． B． C． D．【答案】B【解析】∵向量，，，滿意等式，∴，即，則四邊形為平行四邊形，∵為的中點(diǎn)，∴為對(duì)角線與的交點(diǎn)，則，則，故選：B．忽視兩向量夾角的范圍已知向量（1）若為銳角，求的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，求的值.【錯(cuò)解】（1）若為銳角，則且不同向.，∴.（2）由題意，可得，又，，即，解得或.【錯(cuò)因分析】（1）利用向量夾角公式即可得出，留意去掉同方向狀況；（2）利用向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系即可得出．.【試題解析】（1）若為銳角，則且不同向.，∴.當(dāng)時(shí)，同向,.即若為銳角，的取值范圍是{x|且}.（2）由題意，可得，又，，即，解得或.【參考答案】（1）{x|且}；（2）或.1.兩向量的夾角是指當(dāng)兩向量的起點(diǎn)相同時(shí)，表示兩向量的有向線段所形成的角，若起點(diǎn)不同，應(yīng)通過(guò)移動(dòng)，使其起點(diǎn)相同，再視察夾角．2.兩向量夾角的范圍為[0，π]，特殊地當(dāng)兩向量共線且同向時(shí)，其夾角為0，共線且反向時(shí)，其夾角為π.3.在利用向量的數(shù)量積求兩向量的夾角時(shí)，肯定要留意兩向量夾角的范圍．3．已知向量，，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A． B．C． D．【答案】B【解析】若，則，解得.因?yàn)榕c的夾角為銳角，∴.又，由與的夾角為銳角，∴，即，解得.又∵，所以.故選B.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查由向量夾角為銳角求參數(shù)的問(wèn)題，熟記向量數(shù)量積的運(yùn)算，以及向量共線的坐標(biāo)表示即可，屬于?？碱}型.三角形的“四心”的概念混淆不清已知O是平面上的肯定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)P滿意，λ∈（0，＋∞），則點(diǎn)P的軌跡肯定通過(guò)的A．內(nèi)心 B．外心C．重心 D．垂心【錯(cuò)解】A【錯(cuò)因分析】對(duì)三角形“四心”的意義不明，向量關(guān)系式的變換出錯(cuò)，向量關(guān)系式表達(dá)的向量之間的相互位置關(guān)系推斷錯(cuò)誤等.【試題解析】由原等式，得=，即=，依據(jù)平行四邊形法則，知是的中線AD（D為BC的中點(diǎn)）所對(duì)應(yīng)向量的2倍，所以點(diǎn)P的軌跡必過(guò)的重心，故選C.【參考答案】C三角形的“四心”與平面對(duì)量1.重心.若點(diǎn)G是的重心，則0或（其中P為平面內(nèi)隨意一點(diǎn)）.反之，若0，則點(diǎn)G是的重心.2.垂心.若H是的垂心，則或.反之，若，則點(diǎn)H是的垂心.3.內(nèi)心.若點(diǎn)I是的內(nèi)心，則有=0.反之，若=0，則點(diǎn)I是的內(nèi)心.4.外心.若點(diǎn)O是的外心，則=0或.反之，若，則點(diǎn)O是的外心.4．G是的重心，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，若，則角A．90° B．60°C．45° D．30°【答案】D【解析】因?yàn)镚是的重心，所以有.又，所以a∶b∶eq\f(\r(3),3)c＝1∶1∶1，設(shè)c＝eq\r(3)，則有a＝b＝1，由余弦定理可得，cosA＝eq\f(1＋3－1,2\r(3))＝eq\f(\r(3),2)，所以A＝30°，故選D.向量與三角形的交匯是高考常見題型，解題思路是用向量運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化，化歸為三角函數(shù)問(wèn)題或三角恒等變形問(wèn)題或解三角形問(wèn)題．一、平面對(duì)量的概念及線性運(yùn)算1．向量的有關(guān)概念2．向量的線性運(yùn)算3．共線向量定理及其應(yīng)用向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b=λa.[提示]限定a≠0的目的是保證明數(shù)λ的存在性和唯一性．二、平面對(duì)量基本定理及坐標(biāo)表示1.平面對(duì)量的基本定理假如e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的隨意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a=λ1e1＋λ2e2.其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)全部向量的一組基底；把一個(gè)向量分解為兩個(gè)相互垂直的向量，叫做把向量正交分解.2.平面對(duì)量的坐標(biāo)表示在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i、j作為基底，對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量a，由平面對(duì)量基本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x、y，使得a=xi＋yj，這樣，平面內(nèi)的任一向量a都可由x、y唯一確定，我們把（x，y）叫做向量a的坐標(biāo)，記作a=（x，y），其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo).3.平面對(duì)量的坐標(biāo)運(yùn)算（1）向量坐標(biāo)的求法①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).②設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則=（x2－x1，y2－y1）.（2）向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設(shè)a=（x1，y1），b=（x2，y2），則a＋b=（x2+x1，y2+y1），a－b=（x1－x2，y1－y2），λa=（λx1，λy1），|a|=，|a＋b|=.（3）平面對(duì)量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a=（x1，y1），b=（x2，y2），則a∥b?x1y2－x2y1=0.（4）向量的夾角已知兩個(gè)非零向量a和b，作=a，=b，則∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a與b的夾角.假如向量a與b的夾角是90°，我們說(shuō)a與b垂直，記作a⊥b.三、平面對(duì)量的數(shù)量積1.平面對(duì)量的數(shù)量積（1）定義：已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|cosθ叫作a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作a·b，即a·b=|a||b|cosθ，規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即0·a=0.（2）幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積.2.平面對(duì)量數(shù)量積的運(yùn)算律（1）a·b=b·a（交換律）.（2）λa·b=λ（a·b）=a·（λb）（結(jié)合律）.（3）（a＋b）·c=a·c＋b·c（安排律）.3.平面對(duì)量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示設(shè)向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），θ為向量a，b的夾角.（1）數(shù)量積：a·b=|a||b|cosθ=x1x2＋y1y2.（2）模：|a|==.（3）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則A，B兩點(diǎn)間的距離|AB|==.（4）夾角：cosθ==.（5）已知兩非零向量a與b，a⊥b?a·b=0?x1x2＋y1y2=0，a∥b?a·b=±|a||b|.（6）|a·b|≤|a||b|（當(dāng)且僅當(dāng)a∥b時(shí)等號(hào)成立）?|x1x2＋y1y2|≤.|a|=，|a＋b|=四、平面對(duì)量的應(yīng)用1.向量在平面幾何中的應(yīng)用若a=（x1，y1），b=（x2，y2），（1）a∥b?a=λb（b≠0）?x1y2－x2y1=0.（2）a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2=0.（3）cosθ==.2.向量在三角函數(shù)中的應(yīng)用向量與三角的交匯是高考常見題型，解題思路是用向量運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化，化歸為三角函數(shù)問(wèn)題或三角恒等變形問(wèn)題或解三角形問(wèn)題.3.向量在解析幾何中的應(yīng)用向量在解析幾何中的應(yīng)用，主要是以解析幾何中的坐標(biāo)為背景的一種向量描述.進(jìn)而利用直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的相關(guān)學(xué)問(wèn)來(lái)解答.4.向量在物理中的應(yīng)用物理學(xué)中的力、速度、位移都是矢量，它們的分解、合成與向量的加減法相像，因此可以用向量的學(xué)問(wèn)來(lái)解決某些物理問(wèn)題.1．設(shè)是非零向量，則是成立的A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分又不必要條件【答案】B【解析】由可知：方向相同，表示方向上的單位向量，所以成立；反之不成立.故選B.【名師點(diǎn)睛】本題考查了向量相等、單位向量以及充分、必要條件的推斷.推斷p是q的什么條件，須要從兩方面分析：一是由條件p能否推得條件q；二是由條件q能否推得條件p．對(duì)于帶有否定性的命題或比較難推斷的命題，除借助集合思想求解外，還可利用原命題和逆否命題、逆命題和否命題的等價(jià)性，轉(zhuǎn)化為推斷它的等價(jià)命題來(lái)解決．2．已知向量，且，則等于A．1 B．3C．4 D．5【答案】D【解析】由向量，且，則，解得，所以，所以，所以.故答案為D.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的模的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)的駕馭水平和分析推理實(shí)力.先依據(jù)已知求出x,y的值，再求出的坐標(biāo)和的值.3．【2024年高考全國(guó)I卷文數(shù)】已知非零向量a，b滿意，且b，則a與b的夾角為A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)閎，所以=0，所以，所以=，所以a與b的夾角為，故選B．【名師點(diǎn)睛】對(duì)向量夾角的計(jì)算，先計(jì)算出向量的數(shù)量積及各個(gè)向量的摸，在利用向量夾角公式求出夾角的余弦值，再求出夾角，留意向量夾角范圍為．4．已知向量a=(2，3)，b=(3，2)，則|a-b|=A． B．2C．5 D．50【答案】A【解析】由已知，，所以，故選A.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查平面對(duì)量模長(zhǎng)的計(jì)算，簡(jiǎn)單題，留意了基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)、基本計(jì)算實(shí)力的考查．由于對(duì)平面對(duì)量的坐標(biāo)運(yùn)算存在理解錯(cuò)誤，從而導(dǎo)致計(jì)算有誤；也有可能在計(jì)算模的過(guò)程中出錯(cuò)．5．設(shè)點(diǎn)A，B，C不共線，則“與的夾角為銳角”是“”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】與的夾角為銳角，所以，即，因?yàn)?，所以|+|>||；當(dāng)|+|>||成立時(shí)，|+|2>|-|2?>0，又因?yàn)辄c(diǎn)A，B，C不共線，所以與的夾角為銳角.故“與的夾角為銳角”是“|+|>||”的充分必要條件,故選C．【名師點(diǎn)睛】本題考查充要條件的概念與推斷?平面對(duì)量的模?夾角與數(shù)量積,同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化與化歸數(shù)學(xué)思想.6．在矩形中，,．若點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，則A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解析】由題意作出圖形，如圖所示：由圖及題意，可得：，.∴.故選：C．【名師點(diǎn)睛】本題主要考查基底向量的設(shè)立，以及向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．7．如圖所示，點(diǎn)是圓上的三點(diǎn)，線段與線段交于圓內(nèi)一點(diǎn)，若，則的值為A． B．C． D．【答案】C【解析】∵，和共線，∴存在實(shí)數(shù)m，使，∴=.∴，解得．故選C．【名師點(diǎn)睛】本題考查向量的減法運(yùn)算，共線向量基本定理，共面對(duì)量基本定理．依據(jù)向量的減法運(yùn)算及共線向量基本定理，可以用向量表示向量=，并依據(jù)已知條件，這樣即可建立關(guān)于λ的方程，解方程即可得到λ．向量的主要應(yīng)用體現(xiàn)在以下幾方面：(1)向量的運(yùn)算將向量與代數(shù)有機(jī)結(jié)合起來(lái)，這就為向量和函數(shù)的結(jié)合供應(yīng)了前提，運(yùn)用向量的有關(guān)學(xué)問(wèn)可以解決某些函數(shù)問(wèn)題；(2)以向量為載體求相關(guān)變量的取值范圍，是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)等相結(jié)合的一類綜合問(wèn)題.通過(guò)向量的運(yùn)算，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解不等式或求函數(shù)值域，是解決這類問(wèn)題的一般方法；(3)向量的兩個(gè)作用：①載體作用：關(guān)鍵是利用向量的意義、作用脫去“向量外衣”，轉(zhuǎn)化為我們熟識(shí)的數(shù)學(xué)問(wèn)題；②工具作用：利用向量可解決一些垂直、平行、夾角與距離問(wèn)題.8．已知向量滿意，若與的夾角為，則m的值為A．2 B．C．1 D．【答案】A【解析】，又，，，，，即，得或（舍去），故的值為2.故選A.【名師點(diǎn)睛】（1）本題主要考查向量的模及平面對(duì)量數(shù)量積公式，屬于中檔題，由求得，，結(jié)合與的夾角為，可得，從而可得結(jié)果.（2）平面對(duì)量數(shù)量積的公式有兩種形式：一是；二是.（3）平面對(duì)量數(shù)量積的公式的主要應(yīng)用有以下幾個(gè)方面:①求向量的夾角，（此時(shí)往往用坐標(biāo)形式求解）；②求投影，在上的投影是；③若向量垂直，則;④求向量的模（平方后需求）.9．已知P是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，現(xiàn)將一粒黃豆隨機(jī)撒在內(nèi)，則黃豆落在內(nèi)的概率是A． B．C． D．【答案】B【解析】以PB、PC為鄰邊作平行四邊形PBDC，則∴，得：，由此可得，P是△ABC邊BC上的中線AO的中點(diǎn)，所以點(diǎn)P到BC的距離等于A到BC的距離的，∴．將一粒黃豆隨機(jī)撒在△ABC內(nèi)，黃豆落在△PBC內(nèi)的概率為.故選B.【名師點(diǎn)睛】本題給出點(diǎn)P滿意的條件，求P點(diǎn)落在△PBC內(nèi)的概率，著重考查了平面對(duì)量加法法則、向量共線的充要條件和幾何概型等學(xué)問(wèn)，屬于基礎(chǔ)題．依據(jù)向量加法的平行四邊形法則，結(jié)合共線向量充要條件，得點(diǎn)P是△ABC邊BC上的中線AO的中點(diǎn)．再依據(jù)幾何概型公式，將△PBC的面積與△ABC的面積相除可得本題的答案．10．在中，∠ABC=120°，BA=2，BC=3，A．659 B．11C．419 D．【答案】B【解析】因?yàn)镈，E是線段AC的三等分點(diǎn)，所以BD=23BA+13BC,BE=1故選B.11．如圖，在中，點(diǎn)D在BC邊上，且CD=2DB，點(diǎn)E在AD邊上，且AD=3AE，則用向量ABA．CE=29AB+89ACC．CE=29AB+79AC【答案】B【解析】由題意可得，CE=12．如圖，已知平面四邊形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC與BD交于點(diǎn)O，記，，，則A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，，，所以，故選C．【名師點(diǎn)睛】平面對(duì)量的計(jì)算問(wèn)題，往往有兩種形式，一是利用數(shù)量積的定義式，二是利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，涉及幾何圖形的問(wèn)題，先建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，可起到化繁為簡(jiǎn)的妙用．利用向量夾角公式、模公式及向量垂直的充要條件，可將有關(guān)角度問(wèn)題、線段長(zhǎng)問(wèn)題及垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積來(lái)解決．列出方程組求解未知數(shù)．本題通過(guò)所給條件結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算，易得，由AB=BC=AD=2，CD=3，可求得，，進(jìn)而得到．13．已知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，為平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，以為軸，的垂直平分線為軸，為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，所以，，，所以，，當(dāng)時(shí)，所求的最小值為，故選B．【名師點(diǎn)睛】平面對(duì)量中有關(guān)最值問(wèn)題的求解通常有兩種思路：①“形化”，即利用平面對(duì)量的幾何意義將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問(wèn)題，然后依據(jù)平面圖形的特征干脆進(jìn)行推斷；②“數(shù)化”，即利用平面對(duì)量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集、方程有解等問(wèn)題，然后利用函數(shù)、不等式、方程的有關(guān)學(xué)問(wèn)來(lái)解決．14．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上.若，則的最大值為A．3 B．2 C． D．2【答案】A【解析】如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè),易得圓的半徑，即圓C的方程是，，若滿意，則，，所以，設(shè)，即，點(diǎn)在圓上，所以圓心到直線的距離，即，解得，所以的最大值是3，即的最大值是3，故選A.【名師點(diǎn)睛】（1）應(yīng)用平面對(duì)量基本定理表示向量是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算.（2）用向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路是：先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決.15．已知向量，則___________.【答案】【解析】．【名師點(diǎn)睛】本題考查了向量夾角的運(yùn)算，牢記平面對(duì)量的夾角公式是破解問(wèn)題的關(guān)鍵．16．在四邊形中，，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且，則___________．【答案】【解析】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，∠DAB=30°，則，.因?yàn)椤危?，所以，因?yàn)?，所以，所以直線的斜率為，其方程為，直線的斜率為，其方程為.由得，，所以.所以.【名師點(diǎn)睛】平面對(duì)量問(wèn)題有兩大類解法：基向量法和坐標(biāo)法，在便于建立坐標(biāo)系的問(wèn)題中運(yùn)用坐標(biāo)方法更為便利.17．已知向量a=(cos(π3+α),1)，【答案】7【解析】由，得4cos(π3+α)-1=0，cos(18．已知向量a，b的夾角為60°，|a|=2，|b|=1，則|a+2b|=___________．【答案】【解析】方法一：，所以.方法二：利用如下圖形，可以推斷出的模長(zhǎng)是以2為邊長(zhǎng)，一夾角為60°的菱形的對(duì)角線的長(zhǎng)度，則為.【名師點(diǎn)睛】