人教版九年級數(shù)學(xué) 第二十四章 圓知識歸納與題型突破（21題型清單）

試卷第=page22頁，共=sectionpages7979頁第二十四章圓知識歸納與題型突破（21題型清單）01思維導(dǎo)圖01思維導(dǎo)圖0202知識速記一、圓的基本性質(zhì)1.圓如圖，在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓，固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑.以點O為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．圓心為O，半徑為r的圓是平面內(nèi)到定點O的距離等于定長r的點的集合.2.圓的有關(guān)概念（1）弦：連結(jié)圓上任意兩點的線段叫做弦.（2）直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑.（3）弧的有關(guān)概念：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧.以A、B為端點的弧記作，讀作“圓弧AB”或“弧AB”.半圓：圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓；優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧叫做優(yōu)?。涣踊。盒∮诎雸A的弧叫做劣弧.（4）同心圓與等圓圓心相同，半徑不等的兩個圓叫做同心圓.圓心不同，半徑相等的兩個圓叫做等圓.同圓或等圓的半徑相等.（5）等弧在同圓或等圓中，能夠完全重合的弧叫做等弧.3.垂直于弦的直徑垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。箯蕉ɡ淼耐普撈椒窒?不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.4.弧、弦、圓心角的關(guān)系（1）圓心角定義如圖所示，∠AOB的頂點在圓心，像這樣頂點在圓心的角叫做圓心角．（2）圓心角定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．（3）圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦、兩個弦心距中有一對量相等，那么它們所對的其余各對量也相等．5.圓周角圓周角的定義：頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．6.圓內(nèi)接多邊形一個四邊形的4個頂點都在同一個圓上，這個四邊形叫做圓的內(nèi)接四邊形，這個圓叫做四邊形的外接圓。1.圓內(nèi)接四邊形的對角互補．2.圓內(nèi)接四邊形的任意一個外角等于它的內(nèi)對角（就是和它相鄰的內(nèi)角的對角）二、點與圓、直線與圓的位置關(guān)系1.點和圓的位置關(guān)系（重點）（1）點與圓的位置關(guān)系有3種．設(shè)⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有：①點P在圓外?d＞r②點P在圓上?d＝r①點P在圓內(nèi)?d＜r（2）點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點與圓的位置關(guān)系．（3）符號“?”讀作“等價于”，它表示從符號“?”的左端可以得到右端，從右端也可以得到左端．2.圓的確定條件不在同一直線上的三點確定一個圓．3.三角形的外接圓（1）外接圓：經(jīng)過三角形的三個頂點的圓，叫做三角形的外接圓．（2）外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心．（3）概念說明：①“接”是說明三角形的頂點在圓上，或者經(jīng)過三角形的三個頂點．②銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點；鈍角三角形的外心在三角形的外部．③找一個三角形的外心，就是找一個三角形的三條邊的垂直平分線的交點，三角形的外接圓只有一個，而一個圓的內(nèi)接三角形卻有無數(shù)個．4.反證法（1）反證法假設(shè)命題的結(jié)論不成立,由此經(jīng)過推理得出矛盾,由矛盾斷定所作假設(shè)不正確,從而得到原命題成立.這種方法叫做反證法.反證法是一種間接證明命題的方法.（2）用反證法證明命題的一般步驟①假設(shè)命題的結(jié)論不成立;②從這個假設(shè)出發(fā),經(jīng)過推理論證,得出矛盾③由矛盾判定假設(shè)不正確,從而肯定原命題的結(jié)論正確5.直線和圓的位置關(guān)系(1)相交：直線與圓有兩個公共點時，叫做直線和圓相交．這時直線叫做圓的割線．(2)相切：直線和圓有唯一公共點時，叫做直線和圓相切．這時直線叫做圓的切線，唯一的公共點叫做切點．(3)相離：直線和圓沒有公共點時，叫做直線和圓相離．由于圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小，因此研究直線和圓的位置關(guān)系，就可以轉(zhuǎn)化為直線和點(圓心)的位置關(guān)系．下面圖(1)中直線與圓心的距離小于半徑；圖(2)中直線與圓心的距離等于半徑；圖(3)中直線與圓心的距離大于半徑．如果⊙O的半徑為r，圓心O到直線的距離為d，那么直線l和⊙O相交?d<r；直線l和⊙O相切?d=r；直線l和⊙O相離?d>r.6.切線的判定定理和性質(zhì)定理（1）切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．（2）在應(yīng)用判定定理時注意：①切線必須滿足兩個條件：a、經(jīng)過半徑的外端；b、垂直于這條半徑，否則就不是圓的切線．②切線的判定定理實際上是從”圓心到直線的距離等于半徑時，直線和圓相切“這個結(jié)論直接得出來的．③在判定一條直線為圓的切線時，當(dāng)已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點時，常過圓心作該直線的垂線段，證明該線段的長等于半徑，可簡單的說成“無交點，作垂線段，證半徑”；當(dāng)已知條件中明確指出直線與圓有公共點時，常連接過該公共點的半徑，證明該半徑垂直于這條直線，可簡單地說成“有交點，作半徑，證垂直”．（3）切線的性質(zhì)①圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．②經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點．③經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心．（4）切線的性質(zhì)可總結(jié)如下：如果一條直線符合下列三個條件中的任意兩個，那么它一定滿足第三個條件，這三個條件是：①直線過圓心；②直線過切點；③直線與圓的切線垂直．（5）切線性質(zhì)的運用由定理可知，若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．簡記作：見切點，連半徑，見垂直．7.切線長及切線長定理（1）圓的切線長定義：經(jīng)過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長．（2）切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線，平分兩條切線的夾角．（3）注意：切線和切線長是兩個不同的概念，切線是直線，不能度量；切線長是線段的長，這條線段的兩個端點分別是圓外一點和切點，可以度量．（4）切線長定理包含著一些隱含結(jié)論：①垂直關(guān)系三處；②全等關(guān)系三對；③弧相等關(guān)系兩對，在一些證明求解問題中經(jīng)常用到．8.三角形的內(nèi)切圓（1）三角形的內(nèi)切圓：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓.（2）三角形的內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點，叫做三角形的內(nèi)心.三角形的內(nèi)心到三邊的距離都相等.(1)任何一個三角形都有且只有一個內(nèi)切圓，但任意一個圓都有無數(shù)個外切三角形；(2)解決三角形內(nèi)心的有關(guān)問題時，面積法是常用的，即三角形的面積等于周長與內(nèi)切圓半徑乘積的一半，即(S為三角形的面積，P為三角形的周長，r為內(nèi)切圓的半徑).(3)三角形的外心與內(nèi)心的區(qū)別：名稱確定方法圖形性質(zhì)外心(三角形外接圓的圓心)三角形三邊中垂線的交點(1)到三角形三個頂點的距離相等，即OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形內(nèi)部內(nèi)心(三角形內(nèi)切圓的圓心)三角形三條角平分線的交點(1)到三角形三邊距離相等；(2)OA、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；(3)內(nèi)心在三角形內(nèi)部.三、正多邊形和圓1.正多邊形及有關(guān)概念各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形．2.正多邊形的外接圓和圓的內(nèi)接正多邊形正多邊形和圓的關(guān)系十分密切，只要把一個圓分成相等的一些弧，就可以作出這個圓的內(nèi)接正多邊形，這個圓就是這個正多邊形的外接圓．

3.正多邊形的有關(guān)概念

(1)一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心．

(2)正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．

(3)正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角．

(4)正多邊形的中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．4.正多邊形的性質(zhì)（1）正多邊形都只有一個外接圓，圓有無數(shù)個內(nèi)接正多邊形.

（2）正ｎ邊形的半徑和邊心距把正ｎ邊形分成2ｎ個全等的直角三角形.

（3）正多邊形都是軸對稱圖形，對稱軸的條數(shù)與它的邊數(shù)相同，每條對稱軸都通過正n邊形的中心；當(dāng)邊數(shù)是偶數(shù)時，它也是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心.

（4）邊數(shù)相同的正多邊形相似。它們周長的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方．（5）任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓

要點歸納：（1）各邊相等的圓的內(nèi)接多邊形是圓的內(nèi)接正多邊形；（2）各角相等的圓的外切多邊形是圓的外切正多邊形.知識點2.正多邊形的有關(guān)計算（重點）1.正ｎ邊形每一個內(nèi)角的度數(shù)是；

2.正ｎ邊形每個中心角的度數(shù)是；

3.正ｎ邊形每個外角的度數(shù)是.知識點3.正多邊形的畫法1.用量角器等分圓由于在同圓中相等的圓心角所對的弧也相等，因此作相等的圓心角(即等分頂點在圓心的周角)可以等分圓；根據(jù)同圓中相等弧所對的弦相等，依次連接各分點就可畫出相應(yīng)的正n邊形.

2.用尺規(guī)等分圓對于一些特殊的正ｎ邊形，可以用圓規(guī)和直尺作圖.①正四、八邊形。

在⊙O中，用尺規(guī)作兩條互相垂直的直徑就可把圓分成4等份，從而作出正四邊形。再逐次平分各邊所對的弧(即作∠AOB的平分線交于E)就可作出正八邊形、正十六邊形等，邊數(shù)逐次倍增的正多邊形。

②正六、三、十二邊形的作法。

通過簡單計算可知，正六邊形的邊長與其半徑相等，所以，在⊙O中，任畫一條直徑AB，分別以A、B為圓心，以⊙O的半徑為半徑畫弧與⊙O相交于C、D和E、F，則A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分點。

顯然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分點。

同樣，在圖(3)中平分每條邊所對的弧，就可把⊙O12等分……。

要點歸納：畫正n邊形的方法：（1）將一個圓n等份，（2）順次連結(jié)各等分點.四、弧長和扇形面積1.弧長公式（重點）（1）圓周長公式：C＝2πR（2）弧長公式：l=nπR180（弧長為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為①在弧長的計算公式中，n是表示1°的圓心角的倍數(shù)，n和180都不要帶單位．②若圓心角的單位不全是度，則需要先化為度后再計算弧長．③題設(shè)未標(biāo)明精確度的，可以將弧長用π表示．④正確區(qū)分弧、弧的度數(shù)、弧長三個概念，度數(shù)相等的弧，弧長不一定相等，弧長相等的弧不一定是等弧，只有在同圓或等圓中，才有等弧的概念，才是三者的統(tǒng)一．2.扇形的面積公式（1）圓面積公式：S＝πr2（2）扇形：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧所圍成的圖形叫做扇形．（3）扇形面積計算公式：設(shè)圓心角是n°，圓的半徑為R的扇形面積為S，則S扇形=n360πR2或S扇形=12（4）求陰影面積常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割補法．（5）求陰影面積的主要思路是將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積．3.圓錐的側(cè)面積和全面積圓錐的側(cè)面積：S側(cè)=12?2πr?l＝π圓錐的全面積：S全＝S底+S側(cè)＝πr2+πrl0303題型歸納題型一圓的基本概念辨析例：（24-25九年級上·全國·假期作業(yè)）有下列五個說法：①半徑確定了，圓就確定了；②直徑是弦；③弦是直徑；④半圓是弧，但弧不一定是半圓；⑤任意一條直徑都是圓的對稱軸．其中錯誤的說法個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（23-24七年級下·山東濰坊·期末）下列說法正確的有（）A．經(jīng)過圓心的線段是直徑 B．直徑是同一個圓中最長的弦C．長度相等的兩條弧是等弧 D．弧分為優(yōu)弧和劣弧3．（23-24七年級上·重慶銅梁·開學(xué)考試）下面說法錯誤的是（

）A．圓有無數(shù)條半徑和直徑 B．直徑是半徑的2倍C．圓有無數(shù)條對稱軸 D．圓的大小與半徑有關(guān)4．（24-25九年級上·全國·假期作業(yè)）下列說法正確的是（

）A．圓有無數(shù)條直徑B．連接圓上任意兩點之間的線段叫弦C．過圓心的線段是直徑D．能夠重合的圓叫做等圓題型二圓的最值模型例：（2024·遼寧·模擬預(yù)測）如圖，在中，，E是直角邊的中點，F(xiàn)是直角邊上的一個動點，將沿所在直線折疊，得到，D是斜邊的中點，若，，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．56．（2024·江蘇蘇州·二模）如圖，中，，，，點D為斜邊上一任意點，連接AD，將點B關(guān)于直線AD作軸對稱變換得到點E，連接，，則面積的最大值為（

）A．18 B．30 C．15 D．247．（2024·遼寧大連·三模）已知在平面直角坐標(biāo)系中，的圓心為0,1，半徑為1，直線經(jīng)過定點，交于一點，則當(dāng)取得最大值時，的值為（

）

A． B． C． D．8．（23-24九年級上·江蘇南京·階段練習(xí)）如圖，已知和射線，動點在上，動點在射線上，．若的最小值為，最大值為，則的半徑為．題型三利用垂徑定理進行求解例：（2023·廣西玉林·三模）如圖，是的直徑，是的弦，，垂足為點，，，則．10．（24-25九年級上·全國·課后作業(yè)）下列說法正確的是（

）A．過弦的中點的直線平分弦所對的兩條弧B．弦的垂直平分線平分它所對的兩條弧，但不一定過圓心C．過弦中點的直徑平分弦所對的兩條弧D．平分弦所對的兩條弧的直線平分弦11．（22-23九年級上·浙江寧波·開學(xué)考試）如圖，將半徑為的圓折疊后，圓弧恰好經(jīng)過圓心，則折痕的長為（

）A． B．4 C．6 D．12．（23-24九年級上·浙江臺州·期中）如圖，在正方形網(wǎng)格中，一條圓弧經(jīng)過A，B，C三點，已知點A的坐標(biāo)是，點C的坐標(biāo)是，則那么這條圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)是

（

）A． B． C． D．13．（23-24九年級上·內(nèi)蒙古通遼·期中）⊙O的半徑是10，弦，，則弦與的距離是（

）A．2 B．14 C．2或14 D．7或114．（22-23九年級上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）如圖，是的直徑，為的一條弦，于點E，已知，，則的半徑為．題型四垂徑定理的實際應(yīng)用例：（22-23九年級上·浙江臺州·期末）“圓材埋壁”是《九章算術(shù)》中的一個問題“今有圓材埋在壁中，不知大?。凿忎徶?，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”根據(jù)原文題意，畫出圓材截面圖如圖所示，已知：鋸口深為1寸，鋸道尺（1尺10寸），則該圓材的直徑為（

）A．26寸 B．25寸 C．13寸 D．50.5寸16．（2024·廣西·模擬預(yù)測）如圖1，筒車盛水桶的運行軌道是以軸心O為圓心的圓，如圖2，已知圓心O在水面上方，且被水面截得弦長為4米，半徑長為3米．若點C為運行軌道的最低點，則點C到弦所在直線的距離是（

）

A．1米 B．2米 C．米 D．米17．（2024·陜西榆林·一模）如圖，這是一扇拱形門的示意圖，為門框底，，，門框頂部是一段圓心角為的圓弧，是的中點，則點到門框底的距離是（

）A． B． C． D．18．（2024·浙江紹興·二模）某項目化研究小組只用一張矩形紙條和刻度尺，來測量一次性紙杯杯底的直徑．小敏同學(xué)想到了如下方法：如圖，將紙條拉直并緊貼杯底，紙條的上下邊沿分別與杯底相交于、、、四點，然后利用刻度尺量得該紙條的寬為，，．請你幫忙計算紙杯杯底的直徑為（

）

A． B． C． D．19．（23-24九年級下·寧夏銀川·期中）.筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，彰顯了我國古代勞動人民的智慧，如圖1，點P表示筒車的一個盛水桶．如圖2，當(dāng)筒車工作時，盛水桶的運行路徑是以軸心O為圓心，為半徑的圓，且圓心在水面上方．若圓被水面截得的弦長為，則筒車工作時，盛水桶在水面以下的最大深度為．題型五弦、弧、弦心距之間的關(guān)系例：（2024·江蘇南京·二模）如圖，AB、CD是的兩條弦，與BD相交于點E，．(1)求證：；(2)連接作直線求證：．21．（2024·廣東揭陽·三模）如圖，在中，，那么（

）A． B．C． D．與的大小關(guān)系無法比較22．（2024·黑龍江大慶·二模）如圖，是的直徑，，，則的大小為．23．（23-24九年級上·江蘇連云港·階段練習(xí)）如圖，是的直徑，點C、D在上，，，垂足分別為E，F(xiàn)，且，與相等嗎？為什么？題型六圓周角定理及其推論的應(yīng)用例：（22-23九年級上·四川綿陽·開學(xué)考試）如圖，為的直徑，，交于點E，交于點E，，連接．(1)求的度數(shù)；(2)求證：．25．（23-24七年級上·河北保定·期末）如圖，為的直徑，點C，D在圓上，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．26．（22-23九年級上·云南曲靖·階段練習(xí)）如圖，點、、在上，，半徑的長為3，則的長為．27．（2024·江蘇常州·中考真題）如圖，是的直徑，是的弦，連接．若，則．28．（23-24九年級上·江西宜春·期末）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，小正方形的頂點叫做格點；圓經(jīng)過，，三個格點，請只用無刻度的直尺按下列要求分別作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）．(1)在圖1中，作出圓心；(2)在圖2中，在劣弧上找一點，使．題型七圓內(nèi)接四邊形例：（22-23九年級上·云南紅河·期末）如圖，的半徑為4，弦長為，C是上一點（不同于A，B），則的度數(shù)是．30．（22-23九年級上·浙江衢州·期末）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，，，則．31．（23-24九年級上·全國·單元測試）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，四邊形為平行四邊形，則的度數(shù)為．32．（2022九年級·福建·競賽）如圖，ABCD為圓O的內(nèi)接四邊形，且AC⊥BD，若AB=10，CD=8，則圓O的面積為．題型八點與圓的位置關(guān)系例：（22-23九年級上·廣東湛江·期末）如圖，在中，，點D在邊上，且，以為直徑作，設(shè)線段的中點為P，則點P與的位置關(guān)系是（

）A．點P在內(nèi) B．點P在上 C．點P在外 D．無法確定34．（22-23九年級上·浙江·階段練習(xí)）已知的半徑為6，點P在內(nèi)，則線段長（

）A．小于6 B．大于6 C．等于6 D．等于1235．（2024·江蘇宿遷·模擬預(yù)測）已知的半徑為，點到圓心的距離為，若關(guān)于的方程不存在實數(shù)根，則點與的位置關(guān)系是（

）A．點在外 B．點在上C．點在內(nèi) D．無法確定36．（23-24九年級上·安徽阜陽·期末）在平面內(nèi)，的半徑為，點到圓心的距離為，則點與的位置關(guān)系是點在．（填“圓內(nèi)”“圓外”或“圓上”）．37．（23-24九年級上·上?！るA段練習(xí)）如果從內(nèi)一點P到上所有點的距離中，最大距離是6，最小距離是2，那么的半徑長是．題型九三角形內(nèi)接圓有關(guān)應(yīng)用例：（23-24九年級上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，，則的外心坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．39．（15-16九年級上·江蘇淮安·階段練習(xí)）下列語句中，正確的是（

）A．同一平面上的三點確定一個圓B．三角形的外心到三角形三邊的距離相等C．三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點D．菱形的四個頂點在同一圓上40．（2024·河北保定·二模）如圖，在中，，嘉嘉和淇淇通過尺規(guī)作圖的方法找到的外心，作法如下：嘉嘉：作的垂直平分線，交于點O，點O即為的外心淇淇：作和的平分線，兩條角平分線交于點O，點O即為的外心對于兩人的作圖方法，下列說法正確的是（

）A．嘉嘉正確，淇淇錯誤 B．嘉嘉錯誤，淇淇正確C．兩人都正確 D．兩人都錯誤41．（23-24九年級上·河南許昌·期末）如圖所示的網(wǎng)格由邊長相同的小正方形組成，點、、、、、、都在小正方形的頂點上，則的外心是（

）A．點 B．點 C．點 D．點42．（22-23八年級下·江蘇鹽城·階段練習(xí)）直角三角形的兩直角邊長分別為6和8，那么這個三角形的外接圓半徑等于．43．（22-23九年級上·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖是由3個邊長為2的正方形組成的物件，將它鑲嵌在一個圓形的金屬框上，使A，B，C三點恰好在金屬框上，則該金屬框的半徑是（

）A． B． C． D．4題型十確定圓的條件例：（23-24九年級上·廣東茂名·期末）如圖，點A、B、C三個點不在一條直線上．

(1)那么經(jīng)過A、B、C三個點可以畫個圓嗎？如果能，請在圖中畫出來（要求尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）；如果不能，說明理由．(2)分別連接AB、、，若是等邊三角形，邊長為6，求外接圓的半徑．45．（23-24九年級上·江蘇淮安·階段練習(xí)）平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的三個點，，，確定一個圓，（填“能”或“不能”）．46．（23-24九年級上·福建泉州·期末）若直線l上有四點A，B，C，D，直線l外有一點P，則經(jīng)過圖中的三個點作圓，最多可以作個．47．（2024·四川攀枝花·一模）作圖題如圖，在中，已知．(1)尺規(guī)作圖：畫的外接圓（保留作圖痕跡，不寫畫法）(2)連接，；若，，求的長．題型十一反證法例：（23-24八年級下·山東棗莊·期中）已知中，，求證：，下面寫出運用反證法證明這個命題的四個步驟：①因此假設(shè)不成立．②，這與三角形內(nèi)角和為矛盾③假設(shè)在中，④由，得，即．這四個步驟正確的順序應(yīng)是（

）A．④③①② B．①②③④ C．③④②① D．③④①②49．（23-24七年級下·江蘇常州·期末）對假命題“若，則”舉一個反例，符合要求的反例可以是（

）A．， B．，C．， D．，50．（2024·山西臨汾·二模）反證法是從反方向證明命題的論證方法．如圖、想要證明“如果直線被直線所截，，那么．”先假設(shè)，過點作直線，使，由“同位角相等，兩直線平行”，可得．這樣過點就有兩條直線，都平行于直線，這與數(shù)學(xué)中的一條基本事實相矛盾，說明的假設(shè)是不正確的，于是有，上述材料中的“基本事實”是指（

）A．兩點確定一條直線B．兩直線平行，內(nèi)錯角相等C．經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行D．在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與這條直線垂直51．（23-24八年級下·遼寧丹東·期末）反證法是初中數(shù)學(xué)中的一種證明方法，在中國古代的數(shù)學(xué)發(fā)展過程中也起到了促進作用，比如墨子談到“學(xué)之益也，說在誹者”，其是通過證明“學(xué)習(xí)無益”的命題為假，以此才說明“學(xué)習(xí)有益”的命題為真，這就是反證法的一個例子，我們用反證法證明命題“對角線不互相平分的四邊形不是平行四邊形”，應(yīng)先假設(shè)（

）A．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形 B．對角線互相平分的四邊形不是平行四邊形C．對角線不互相平分的四邊形是平行四邊形 D．對角線不互相平分的四邊形不是平行四邊形52．（23-24八年級下·甘肅張掖·階段練習(xí)）求證：一個三角形中，至少有一個內(nèi)角小于或等于，用反證法證明時的假設(shè)為“三角形．”題型十二直線與圓例：（2023九年級下·全國·專題練習(xí)）在中，，若與相離，則半徑為r滿足（）A． B． C． D．54．（22-23九年級上·廣西河池·期中）已知的半徑為，圓心到直線AB的距離為，則直線AB與的位置關(guān)系是（）A．相切 B．相離 C．相交 D．不能確定55．（22-23九年級上·四川綿陽·期末）在中，，為中點，以點為圓心，長為半徑作，則與直線的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定56．（23-24九年級上·黑龍江齊齊哈爾·期末）已知的半徑為1，直線l上有一點P滿足，則直線l與的位置關(guān)系是（

）A．相切 B．相離C．相切或相離 D．相切或相交57．（23-24九年級下·上海崇明·期中）已知在中，，若以C為圓心，r長為半徑的圓C與邊有交點，那么r的取值范圍是（

）A．或 B．C． D．58．（22-23九年級·江蘇·假期作業(yè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑為2的的圓心P的坐標(biāo)為，將沿x軸正方向以個單位/秒的速度平移，使與y軸相切，則平移的時間為秒．

題型十三切線的證明例：（24-25九年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，是的直徑，點為外一點，連接交于點，連接并延長交線段于點，．求證：與相切．60．（2024·河北石家莊·模擬預(yù)測）下面是“經(jīng)過圓外一點作圓的切線”的尺規(guī)作圖的過程．已知：如圖1，P為圓外一點．求作：經(jīng)過P點的切線．作法：如圖2．（1）連接；（2）以為直徑作圓，與交于C、D兩點；（3）作直線、，則直線、就是所求作經(jīng)過P點的切線．下列可作為以上作圖依據(jù)的是．甲：直徑所對的圓周角為直角；乙：經(jīng)過半徑外端且并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；丙：同弧所對圓周角相等．61．（2024·四川眉山·一模）如圖，線段經(jīng)過圓心O，交于點為的弦，連結(jié)(1)求證：是的切線；(2)若，求的長度．62．（23-24九年級下·湖北孝感·期中）如圖，在中，，以為直徑作交于點，交于點，平分，且，連接．(1)求證：是的切線；(2)若，求的長．題型十四切線的性質(zhì)例：（2024·重慶·模擬預(yù)測）如圖，在中，，是上的一點，以為直徑的與相切于點，連接、，若，，則的長度是（

）A． B． C． D．64．（22-23九年級上·寧夏銀川·期中）如圖，是的直徑，是的切線，為切點，與交于點，連接．若，則的度數(shù)為．65．（23-24九年級下·江蘇鹽城·階段練習(xí)）如圖，已知是的直徑，是的切線，連接交于點D，連接．若，則的度數(shù)是°．66．（2024·四川樂山·模擬預(yù)測）如圖，的內(nèi)切圓與分別相切于點，若，則的大小為．題型十五切線的性質(zhì)與判定的綜合例：（2020·新疆烏魯木齊·一模）如圖，在中，，以為直徑的交于，點在線段上，且．

(1)求證：是的切線；(2)若，，求的半徑．68．（23-24九年級上·云南昆明·階段練習(xí)）我們學(xué)習(xí)過利用尺規(guī)作圖平分一個任意角，而“利用尺規(guī)作圖三等分一個任意角”曾是數(shù)學(xué)史上一大難題，之后被數(shù)學(xué)家證明是不可能完成的，人們根據(jù)實際需要，發(fā)明了一種簡易操作工具——三分角器，圖1是它的示意圖，其中與半圓的直徑在同一直線上，且的長度與半圓的半徑相等；與垂直于點，夠長．使用方法如圖2所示，若要把三等分，只需適當(dāng)放置三分角器，使經(jīng)過的頂點，點在邊上，半圓與另一邊恰好相切，切點為，則，就把三等分了．為了說明這一方法的正確性，需要對其進行證明．請你根據(jù)已知和求證，寫出證明過程．已知：如圖2，點，，，在同一直線上，，垂足為點，，與半圓相切于點．求證：．69．（2023·山東棗莊·二模）已知：如圖，過正方形的頂點，且與邊相切于點．點是與的交點，連接，，，點是延長線上一點，連接，且．(1)求證：是的切線；(2)如果正方形邊長為，求的半徑．70．（23-24九年級上·安徽六安·階段練習(xí)）如圖，已知是上一點，是直徑，的平分線交于點，的切線交的延長線于點，連接，．(1)求證：為的切線．(2)若，①若，則________．②作關(guān)于直線對稱的，連接，，當(dāng)四邊形是菱形時，求的長．題型十六切線長定理例：（23-24九年級上·廣東廣州·期中）如圖，分別與相切于兩點，與相切于點，與相交于兩點，若，，則的周長和的度數(shù)分別為（

）A．， B．， C．， D．，72．（2023·山東青島·二模）如圖，是的直徑，點是外一點，過點的兩條直線分別與圓相切于點、，點是圓周上任意一點，連接、，若，則（）

A． B． C． D．73．（23-24九年級下·江蘇南京·期中）如圖，在中，，的內(nèi)切圓與，分別相切于點D，E，連接，的延長線交于點F，則．74．（23-24九年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，已知：四邊形是的外切四邊形，，，，分別是切點，求證：．

題型十七三角形的內(nèi)切圓例：（2023·河北邢臺·二模）如圖，將折疊，使邊落在AB邊上，展開后得到折痕AD，再將折疊，使邊落在AB邊上，展開后得到折痕，若AD與的交點為，則點是（

）A．的外心 B．的內(nèi)心C．的重心 D．的中心

76．（2024·湖北恩施·模擬預(yù)測）如圖，點是的內(nèi)心，若，則等于（

）A． B． C． D．77．（23-24九年級上·山東德州·期末）如圖，在中，I是的內(nèi)心，O是的外心，則（）A．125° B．140° C．130° D．150°78．（23-24九年級上·福建福州·期中）如圖，，，，若、分別是的內(nèi)心和外心，則的長為．79．（23-24九年級上·江蘇鹽城·期中）已知的三邊長為，，，則三角形內(nèi)切圓半徑為．題型十八正多邊形和圓例：（2023·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·二模）如圖，P，Q分別是的內(nèi)接正五邊形的邊，上的點，，則（

）A． B． C． D．81．（22-23九年級上·內(nèi)蒙古烏?！るA段練習(xí)）正六邊形的邊長、邊心距、半徑之比為（

）A． B． C． D．82．（23-24九年級上·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，已知的半徑為4，則該圓內(nèi)接正六邊形的邊心距的值是（

）

A． B． C． D．383．（21-22九年級下·全國·課后作業(yè)）如圖，已知，求作：內(nèi)接正六邊形，以下是甲、乙兩同學(xué)的作業(yè)：甲：①先作直徑；②作的垂直平分線交于點、；③作的垂直平分線交于點、；④依次連接，六邊形即為所求（如圖①）．乙：①上任取點，以點為圓心，為半徑畫弧，交于點；②以點為圓心，為半徑畫弧交于點；③同上述作圖方法逆時針作出點、、；④依次連接，多邊形即為正六邊形（如圖②）．對于兩人的作業(yè)，下列說法正確的是（

）A．兩人都不對 B．甲對，乙不對 C．兩人都對 D．甲不對，乙對題型十九弧長計算例：（24-25九年級上·全國·假期作業(yè)）(1)已知扇形的圓心角為，弧長等于，則該扇形的半徑是；(2)如果一個扇形的半徑是1，弧長是，那么此扇形的圓心角的大小為．85．（22-23九年級上·浙江寧波·階段練習(xí)）弧長為，所在圓的半徑是6，則弦所對的圓周角為．86．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）傳統(tǒng)服飾日益受到關(guān)注，如圖1為明清時期女子主要裙式之一的馬面裙，如圖2，馬面裙可以近似的看作扇環(huán)，其中的長為，裙長為，圓心角，則的長為m．87．（23-24九年級上·四川瀘州·階段練習(xí)）已知的三個頂點的坐標(biāo)分別為、、．(1)在圖中畫出將繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)后得到的；(2)點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為；(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，點B所經(jīng)過的路徑長為．題型二十扇形與不規(guī)則圖行的面積計算例：（23-24九年級上·浙江紹興·期末）如圖，為半圓的直徑，為半圓上一點，為弧的中點，交弦于點，若，求：

(1)的長．(2)陰影部分的面積．89．（2024·山東東營·中考真題）習(xí)近平總書記強調(diào)，中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化是中華民族的根和魂．東營市某學(xué)校組織開展中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化成果展示活動，小慧同學(xué)制作了一把扇形紙扇．如圖，，，紙扇完全打開后，外側(cè)兩竹條（竹條寬度忽略不計）的夾角．現(xiàn)需在扇面一側(cè)繪制山水畫，則山水畫所在紙面的面積為（

）．

A． B． C． D．90．（24-25九年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，正方形的邊長為2，為對角線的交點，點，分別為，的中點．以為圓心，為半徑作圓弧，再分別以，為圓心，為半徑作圓弧，，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．91．（23-24九年級下·北京西城·開學(xué)考試）如圖，點是圓形舞臺上的一點，舞臺的圓心為，在點安裝的一臺某種型號的燈光裝置，其照亮的區(qū)域如圖中陰影所示，該裝置可以繞著點轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動過程中，邊界的兩條光線分別與圓交于，兩點，并且夾角保持不變，該裝置轉(zhuǎn)動的過程中，以下結(jié)論正確的是（

）A．點到弦所在直線的距離存在最大值 B．弦的大小改變C．弦與的長度之和不變 D．圖中陰影部分的面積不變此題主要考查圓的基本性質(zhì)，圓周角定理，點到直線的距離，掌握基礎(chǔ)知識的綜合運用是解此題的關(guān)鍵．根據(jù)圓周角定理，點到直線的距離的定義、極限思想和三角形三邊關(guān)系、三角形面積公式等進行逐一判斷即可．92．（23-24九年級上·河南商丘·階段練習(xí)）如圖，中，是直角，，，將以點為中心順時針旋轉(zhuǎn)，使點旋轉(zhuǎn)到邊延長線上的處，則邊掃過的圖形中陰影部分的面積是．題型二十一圓錐側(cè)面展開圖例：（23-24九年級上·全國·單元測試）如圖是一個圓錐與其側(cè)面展開圖，已知圓錐的底面半徑是2，母線長是6．(1)求這個圓錐的側(cè)面展開圖中的度數(shù)；(2)如果A是底面圓周上的一點，從點A拉一根繩子繞圓錐側(cè)面一圈再回到點A，求這根繩子的最短長度．94．（2024·江蘇無錫·中考真題）已知圓錐的底面圓半徑為3，母線長為4，則圓錐的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．95．（23-24九年級上·全國·單元測試）如圖，從一塊邊長為2的等邊三角形卡紙上剪下一個面積最大的扇形，并將其圍成一個圓錐，則圓錐的底面圓的半徑是．96．（2023·寧夏吳忠·一模）如圖，用一個半徑為，弧長為的扇形鐵皮制作一個無底的圓錐，則圓錐的高．97．（21-22九年級上·全國·課后作業(yè)）蒙古包可以近似地看作由圓錐和圓柱組成．如果想用毛氈搭建20個底面積為，高為，外圍高的蒙古包，至少需要多少平方米的毛氈（取3.142，結(jié)果取整數(shù)）？

第二十三章圓知識歸納與題型突破（21題型清單）01思維導(dǎo)圖01思維導(dǎo)圖0202知識速記一、圓的基本性質(zhì)1.圓如圖，在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓，固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑.以點O為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．圓心為O，半徑為r的圓是平面內(nèi)到定點O的距離等于定長r的點的集合.2.圓的有關(guān)概念（1）弦：連結(jié)圓上任意兩點的線段叫做弦.（2）直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑.（3）弧的有關(guān)概念：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧.以A、B為端點的弧記作，讀作“圓弧AB”或“弧AB”.半圓：圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓；優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧叫做優(yōu)弧；劣?。盒∮诎雸A的弧叫做劣弧.（4）同心圓與等圓圓心相同，半徑不等的兩個圓叫做同心圓.圓心不同，半徑相等的兩個圓叫做等圓.同圓或等圓的半徑相等.（5）等弧在同圓或等圓中，能夠完全重合的弧叫做等弧.3.垂直于弦的直徑垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。箯蕉ɡ淼耐普撈椒窒?不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.4.弧、弦、圓心角的關(guān)系（1）圓心角定義如圖所示，∠AOB的頂點在圓心，像這樣頂點在圓心的角叫做圓心角．（2）圓心角定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．（3）圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦、兩個弦心距中有一對量相等，那么它們所對的其余各對量也相等．5.圓周角圓周角的定義：頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．6.圓內(nèi)接多邊形一個四邊形的4個頂點都在同一個圓上，這個四邊形叫做圓的內(nèi)接四邊形，這個圓叫做四邊形的外接圓。1.圓內(nèi)接四邊形的對角互補．2.圓內(nèi)接四邊形的任意一個外角等于它的內(nèi)對角（就是和它相鄰的內(nèi)角的對角）二、點與圓、直線與圓的位置關(guān)系1.點和圓的位置關(guān)系（重點）（1）點與圓的位置關(guān)系有3種．設(shè)⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有：①點P在圓外?d＞r②點P在圓上?d＝r①點P在圓內(nèi)?d＜r（2）點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點與圓的位置關(guān)系．（3）符號“?”讀作“等價于”，它表示從符號“?”的左端可以得到右端，從右端也可以得到左端．2.圓的確定條件不在同一直線上的三點確定一個圓．3.三角形的外接圓（1）外接圓：經(jīng)過三角形的三個頂點的圓，叫做三角形的外接圓．（2）外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心．（3）概念說明：①“接”是說明三角形的頂點在圓上，或者經(jīng)過三角形的三個頂點．②銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點；鈍角三角形的外心在三角形的外部．③找一個三角形的外心，就是找一個三角形的三條邊的垂直平分線的交點，三角形的外接圓只有一個，而一個圓的內(nèi)接三角形卻有無數(shù)個．4.反證法（1）反證法假設(shè)命題的結(jié)論不成立,由此經(jīng)過推理得出矛盾,由矛盾斷定所作假設(shè)不正確,從而得到原命題成立.這種方法叫做反證法.反證法是一種間接證明命題的方法.（2）用反證法證明命題的一般步驟①假設(shè)命題的結(jié)論不成立;②從這個假設(shè)出發(fā),經(jīng)過推理論證,得出矛盾③由矛盾判定假設(shè)不正確,從而肯定原命題的結(jié)論正確5.直線和圓的位置關(guān)系(1)相交：直線與圓有兩個公共點時，叫做直線和圓相交．這時直線叫做圓的割線．(2)相切：直線和圓有唯一公共點時，叫做直線和圓相切．這時直線叫做圓的切線，唯一的公共點叫做切點．(3)相離：直線和圓沒有公共點時，叫做直線和圓相離．由于圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小，因此研究直線和圓的位置關(guān)系，就可以轉(zhuǎn)化為直線和點(圓心)的位置關(guān)系．下面圖(1)中直線與圓心的距離小于半徑；圖(2)中直線與圓心的距離等于半徑；圖(3)中直線與圓心的距離大于半徑．如果⊙O的半徑為r，圓心O到直線的距離為d，那么直線l和⊙O相交?d<r；直線l和⊙O相切?d=r；直線l和⊙O相離?d>r.6.切線的判定定理和性質(zhì)定理（1）切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．（2）在應(yīng)用判定定理時注意：①切線必須滿足兩個條件：a、經(jīng)過半徑的外端；b、垂直于這條半徑，否則就不是圓的切線．②切線的判定定理實際上是從”圓心到直線的距離等于半徑時，直線和圓相切“這個結(jié)論直接得出來的．③在判定一條直線為圓的切線時，當(dāng)已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點時，常過圓心作該直線的垂線段，證明該線段的長等于半徑，可簡單的說成“無交點，作垂線段，證半徑”；當(dāng)已知條件中明確指出直線與圓有公共點時，常連接過該公共點的半徑，證明該半徑垂直于這條直線，可簡單地說成“有交點，作半徑，證垂直”．（3）切線的性質(zhì)①圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．②經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點．③經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心．（4）切線的性質(zhì)可總結(jié)如下：如果一條直線符合下列三個條件中的任意兩個，那么它一定滿足第三個條件，這三個條件是：①直線過圓心；②直線過切點；③直線與圓的切線垂直．（5）切線性質(zhì)的運用由定理可知，若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．簡記作：見切點，連半徑，見垂直．7.切線長及切線長定理（1）圓的切線長定義：經(jīng)過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長．（2）切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線，平分兩條切線的夾角．（3）注意：切線和切線長是兩個不同的概念，切線是直線，不能度量；切線長是線段的長，這條線段的兩個端點分別是圓外一點和切點，可以度量．（4）切線長定理包含著一些隱含結(jié)論：①垂直關(guān)系三處；②全等關(guān)系三對；③弧相等關(guān)系兩對，在一些證明求解問題中經(jīng)常用到．8.三角形的內(nèi)切圓（1）三角形的內(nèi)切圓：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓.（2）三角形的內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點，叫做三角形的內(nèi)心.三角形的內(nèi)心到三邊的距離都相等.(1)任何一個三角形都有且只有一個內(nèi)切圓，但任意一個圓都有無數(shù)個外切三角形；(2)解決三角形內(nèi)心的有關(guān)問題時，面積法是常用的，即三角形的面積等于周長與內(nèi)切圓半徑乘積的一半，即(S為三角形的面積，P為三角形的周長，r為內(nèi)切圓的半徑).(3)三角形的外心與內(nèi)心的區(qū)別：名稱確定方法圖形性質(zhì)外心(三角形外接圓的圓心)三角形三邊中垂線的交點(1)到三角形三個頂點的距離相等，即OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形內(nèi)部內(nèi)心(三角形內(nèi)切圓的圓心)三角形三條角平分線的交點(1)到三角形三邊距離相等；(2)OA、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；(3)內(nèi)心在三角形內(nèi)部.三、正多邊形和圓1.正多邊形及有關(guān)概念各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形．2.正多邊形的外接圓和圓的內(nèi)接正多邊形正多邊形和圓的關(guān)系十分密切，只要把一個圓分成相等的一些弧，就可以作出這個圓的內(nèi)接正多邊形，這個圓就是這個正多邊形的外接圓．

3.正多邊形的有關(guān)概念

(1)一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心．

(2)正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．

(3)正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角．

(4)正多邊形的中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．4.正多邊形的性質(zhì)（1）正多邊形都只有一個外接圓，圓有無數(shù)個內(nèi)接正多邊形.

（2）正ｎ邊形的半徑和邊心距把正ｎ邊形分成2ｎ個全等的直角三角形.

（3）正多邊形都是軸對稱圖形，對稱軸的條數(shù)與它的邊數(shù)相同，每條對稱軸都通過正n邊形的中心；當(dāng)邊數(shù)是偶數(shù)時，它也是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心.

（4）邊數(shù)相同的正多邊形相似。它們周長的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方．（5）任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓

要點歸納：（1）各邊相等的圓的內(nèi)接多邊形是圓的內(nèi)接正多邊形；（2）各角相等的圓的外切多邊形是圓的外切正多邊形.知識點2.正多邊形的有關(guān)計算（重點）1.正ｎ邊形每一個內(nèi)角的度數(shù)是；

2.正ｎ邊形每個中心角的度數(shù)是；

3.正ｎ邊形每個外角的度數(shù)是.知識點3.正多邊形的畫法1.用量角器等分圓由于在同圓中相等的圓心角所對的弧也相等，因此作相等的圓心角(即等分頂點在圓心的周角)可以等分圓；根據(jù)同圓中相等弧所對的弦相等，依次連接各分點就可畫出相應(yīng)的正n邊形.

2.用尺規(guī)等分圓對于一些特殊的正ｎ邊形，可以用圓規(guī)和直尺作圖.①正四、八邊形。

在⊙O中，用尺規(guī)作兩條互相垂直的直徑就可把圓分成4等份，從而作出正四邊形。再逐次平分各邊所對的弧(即作∠AOB的平分線交于E)就可作出正八邊形、正十六邊形等，邊數(shù)逐次倍增的正多邊形。

②正六、三、十二邊形的作法。

通過簡單計算可知，正六邊形的邊長與其半徑相等，所以，在⊙O中，任畫一條直徑AB，分別以A、B為圓心，以⊙O的半徑為半徑畫弧與⊙O相交于C、D和E、F，則A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分點。

顯然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分點。

同樣，在圖(3)中平分每條邊所對的弧，就可把⊙O12等分……。

要點歸納：畫正n邊形的方法：（1）將一個圓n等份，（2）順次連結(jié)各等分點.四、弧長和扇形面積1.弧長公式（重點）（1）圓周長公式：C＝2πR（2）弧長公式：l=nπR180（弧長為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為①在弧長的計算公式中，n是表示1°的圓心角的倍數(shù)，n和180都不要帶單位．②若圓心角的單位不全是度，則需要先化為度后再計算弧長．③題設(shè)未標(biāo)明精確度的，可以將弧長用π表示．④正確區(qū)分弧、弧的度數(shù)、弧長三個概念，度數(shù)相等的弧，弧長不一定相等，弧長相等的弧不一定是等弧，只有在同圓或等圓中，才有等弧的概念，才是三者的統(tǒng)一．2.扇形的面積公式（1）圓面積公式：S＝πr2（2）扇形：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧所圍成的圖形叫做扇形．（3）扇形面積計算公式：設(shè)圓心角是n°，圓的半徑為R的扇形面積為S，則S扇形=n360πR2或S扇形=12（4）求陰影面積常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割補法．（5）求陰影面積的主要思路是將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積．3.圓錐的側(cè)面積和全面積圓錐的側(cè)面積：S側(cè)=12?2πr?l＝π圓錐的全面積：S全＝S底+S側(cè)＝πr2+πrl0303題型歸納題型一圓的基本概念辨析例：（24-25九年級上·全國·假期作業(yè)）有下列五個說法：①半徑確定了，圓就確定了；②直徑是弦；③弦是直徑；④半圓是弧，但弧不一定是半圓；⑤任意一條直徑都是圓的對稱軸．其中錯誤的說法個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本題考查圓、直徑、弦、半圓等概念，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵．根據(jù)圓、直徑、弦、半圓等概念逐一判斷即可得答案．【詳解】解：半徑確定了，只能說明圓的大小確定了，但是位置沒有確定，還要確定圓心位置，故①錯誤，直徑是弦，故②正確，弦不一定是直徑，故③錯誤，半圓是弧，但弧不一定是半圓，故④正確，圓的對稱軸是一條直線，每一條直徑所在的直線是圓的對稱軸，故⑤錯誤，綜上所述：①③⑤的說法是錯誤的．共3個，故選：C．2．（23-24七年級下·山東濰坊·期末）下列說法正確的有（）A．經(jīng)過圓心的線段是直徑 B．直徑是同一個圓中最長的弦C．長度相等的兩條弧是等弧 D．弧分為優(yōu)弧和劣弧【答案】B【分析】本題考查了圓的相關(guān)概念，解題的關(guān)鍵是掌握直徑的定義，弧的定義，弧的分類，根據(jù)相關(guān)概念，逐個判斷即可．【詳解】解：A、經(jīng)過圓心，且兩端點在圓上的線段是直徑，故A不正確，不符合題意；B、直徑是同一個圓中最長的弦，故B正確，符合題意；C、在同圓或等圓中，長度相等的兩條弧是等弧，故C不正確，不符合題意；D、弧分為優(yōu)弧、劣弧和半圓，故D不正確，不符合題意；故選：B．3．（23-24七年級上·重慶銅梁·開學(xué)考試）下面說法錯誤的是（

）A．圓有無數(shù)條半徑和直徑 B．直徑是半徑的2倍C．圓有無數(shù)條對稱軸 D．圓的大小與半徑有關(guān)【答案】B【分析】本題主要考查了圓的相關(guān)概念，明確在同一個圓和等圓內(nèi)、所有的半徑都相等、所有的直徑都相等、所有直徑是半徑的2倍成為解題的關(guān)鍵．根據(jù)圓的特征逐項分析即可解答．【詳解】解：A．圓有無數(shù)條半徑和直徑，說法正確；B．由直徑的定義可知，同一個圓的直徑是半徑的2倍，選項缺少在同一個圓中，故說法錯誤；C．因為圓是軸對稱圖形，且它的直徑所在的直線就是其對稱軸，而圓有無數(shù)條直徑，所以圓就有無數(shù)條對稱軸；D．圓的大小和圓的半徑有關(guān)，說法正確．故選：B．4．（24-25九年級上·全國·假期作業(yè)）下列說法正確的是（

）A．圓有無數(shù)條直徑B．連接圓上任意兩點之間的線段叫弦C．過圓心的線段是直徑D．能夠重合的圓叫做等圓【答案】ABD【分析】此題考查了圓的認(rèn)識，屬于基礎(chǔ)概念的考查，根據(jù)：連接圓上任意兩點的線段叫弦，經(jīng)過圓心的弦叫直徑，直徑是最長的弦，逐一判斷即可．【詳解】解：、圓有無數(shù)條直徑，故本選項說法正確，符合題意；B、連接圓上任意兩點的線段叫弦，故本選項說法正確，符合題意；C、過圓心的弦是直徑，故本選項說法錯誤，不符合題意；D、能夠重合的圓全等，則它們是等圓，故本選項說法正確，符合題意；故選：ABD．題型二圓的最值模型例：（2024·遼寧·模擬預(yù)測）如圖，在中，，E是直角邊的中點，F(xiàn)是直角邊上的一個動點，將沿所在直線折疊，得到，D是斜邊的中點，若，，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、兩點之間線段最短、三角形的中位線定理、圓的定義，確定動點的運動軌跡是解題的關(guān)鍵．根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，結(jié)合E是直角邊的中點，得到，由此可判斷點在以為圓心，為半徑的圓上運動，當(dāng)、、共線時，此時的值最小，根據(jù)三角形中位線定理求出，即可求出此時的最小值．【詳解】解：將沿所在直線折疊，得到，，，E是直角邊的中點，，點在以為圓心，為半徑的圓上運動，如圖所示，，當(dāng)、、共線時，即與重合時，取得最小值，又，此時的值最小，D是斜邊的中點，是的中位線，，此時，，的最小值為4．故選：C．6．（2024·江蘇蘇州·二模）如圖，中，，，，點D為斜邊上一任意點，連接AD，將點B關(guān)于直線AD作軸對稱變換得到點E，連接，，則面積的最大值為（

）\A．18 B．30 C．15 D．24【答案】A【分析】本題考查軸對稱，根據(jù)題意得到，則點E在以A為圓心，6為半徑的圓上，然后確定點E到AB得最大距離最大值計算即可．【詳解】解：∵點B關(guān)于直線AD作軸對稱變換得到點E，∴，∴點E在以A為圓心，6為半徑的圓上，即當(dāng)時，點E到AB得最大距離最大，最大為6，∴面積的最大值為，故選A．7．（2024·遼寧大連·三模）已知在平面直角坐標(biāo)系中，的圓心為0,1，半徑為1，直線經(jīng)過定點，交于一點，則當(dāng)取得最大值時，的值為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了直線上點的坐標(biāo)特征，圓外一點到圓上點距離的最大值；由題意知，當(dāng)圓心I在線段上，取得最大值，把點I的坐標(biāo)代入中，即可求得k的值．【詳解】解：由題意知，當(dāng)圓心I在線段上，取得最大值，此時直線過點I，把點I坐標(biāo)代入中，得：，解得：；故選：D．8．（23-24九年級上·江蘇南京·階段練習(xí)）如圖，已知和射線，動點在上，動點在射線上，．若的最小值為，最大值為，則的半徑為．【答案】7【分析】本題考查圓外一點到圓上一點的距離，勾股定理，根據(jù)，得到當(dāng)時，最長，當(dāng)時，最短，利用的長為定值，結(jié)合勾股定理進行求解即可．【詳解】解：∵，∴當(dāng)，最長，此時最長，當(dāng)，最短，此時最短，如圖：設(shè)半徑為，當(dāng)，即：，由勾股定理，得：，當(dāng)，即：，由勾股定理，得：，∴，解得：；故答案為：7．題型三利用垂徑定理進行求解例：（2023·廣西玉林·三模）如圖，是的直徑，是的弦，，垂足為點，，，則．【答案】【分析】本題考查了垂徑定理及勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂徑定理．結(jié)合題意，由垂徑定理可得垂直平分，然后在中運用勾股定理求得即可求解．【詳解】解：由題意可知，垂直平分，，，在中，，．故答案為：．10．（24-25九年級上·全國·課后作業(yè)）下列說法正確的是（

）A．過弦的中點的直線平分弦所對的兩條弧B．弦的垂直平分線平分它所對的兩條弧，但不一定過圓心C．過弦中點的直徑平分弦所對的兩條弧D．平分弦所對的兩條弧的直線平分弦【答案】D【分析】本題考查對垂徑定理的理解，解題的關(guān)鍵在于正確理解垂徑定理及其推論的“知二推三”．根據(jù)相關(guān)定理逐項判斷，即可解題．【詳解】解：A、過弦（弦不是直徑）的中點的直徑平分弦所對的兩條弧，故選項錯誤，不符合題意；B、弦的垂直平分線平分它所對的兩條弧，一定過圓心，故選項錯誤，不符合題意；C、過弦（弦不是直徑）中點的直徑平分弦所對的兩條弧，故選項錯誤，不符合題意；D、平分弦所對的兩條弧的直線平分弦，選項正確，符合題意；故選：D．11．（22-23九年級上·浙江寧波·開學(xué)考試）如圖，將半徑為的圓折疊后，圓弧恰好經(jīng)過圓心，則折痕的長為（

）A． B．4 C．6 D．【答案】D【分析】作的半徑于，連接、，如圖，利用折疊的性質(zhì)得垂直平分，則，于是可判斷為等邊三角形，所以，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系求出，然后利用垂徑定理得到，從而得到的長．本題考查了相交兩圓的性質(zhì)：相交兩圓的連心線（經(jīng)過兩個圓心的直線），垂直平分兩圓的公共弦．也考查了折疊的性質(zhì)．【詳解】解：作的半徑于，連接、，如圖，圓折疊后，圓弧恰好經(jīng)過圓心，垂直平分，，而，，為等邊三角形，，，，，，，．故選：C．12．（23-24九年級上·浙江臺州·期中）如圖，在正方形網(wǎng)格中，一條圓弧經(jīng)過A，B，C三點，已知點A的坐標(biāo)是，點C的坐標(biāo)是，則那么這條圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)是

（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題考查了垂徑定理的應(yīng)用，找到線段的垂直平分線和線段的垂直平分線的交點即可得到圓心坐標(biāo)．【詳解】解：如圖線段的垂直平分線和線段的垂直平分線的交點M，即為弧的圓心，∴圓心的坐標(biāo)是，故選：B．13．（23-24九年級上·內(nèi)蒙古通遼·期中）⊙O的半徑是10，弦，，則弦與的距離是（

）A．2 B．14 C．2或14 D．7或1【答案】C【分析】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用．作于E，于F，由垂徑定理得，由于，易得E、O、F三點共線，在和中，利用勾股定理分別計算出與，然后討論：當(dāng)圓心O在弦與之間時，與的距離；當(dāng)圓心O在弦與的外部時，與的距離．【詳解】解：如圖，作于E，于F，連，則，∵，∴E、O、F三點共線，在中，，在中，，當(dāng)圓心O在弦與之間時，與的距離；當(dāng)圓心O在弦與的外部時，與的距離．所以與的距離是14或2．故選：C．14．（22-23九年級上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）如圖，是的直徑，為的一條弦，于點E，已知，，則的半徑為．【答案】5【分析】本題考查了垂徑定理和勾股定理，熟練掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．連結(jié)，根據(jù)垂徑定理求得，再根據(jù)勾股定理即可求得答案．【詳解】解：如圖，連結(jié)，是的直徑，，，，即的半徑為5．故答案為：5．題型四垂徑定理的實際應(yīng)用例：（22-23九年級上·浙江臺州·期末）“圓材埋壁”是《九章算術(shù)》中的一個問題“今有圓材埋在壁中，不知大?。凿忎徶?，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”根據(jù)原文題意，畫出圓材截面圖如圖所示，已知：鋸口深為1寸，鋸道尺（1尺10寸），則該圓材的直徑為（

）A．26寸 B．25寸 C．13寸 D．50.5寸【答案】A【分析】過點O作，交于點D，交于點E，設(shè)的半徑為r．在中，，由勾股定理得出方程，解方程即可．本題考查了垂徑定理，勾股定理，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：過點O作，交于點D，交于點E，設(shè)的半徑為r．在中，，由勾股定理得出方程，解得：，∴的直徑為26寸，故答案為：26．16．（2024·廣西·模擬預(yù)測）如圖1，筒車盛水桶的運行軌道是以軸心O為圓心的圓，如圖2，已知圓心O在水面上方，且被水面截得弦長為4米，半徑長為3米．若點C為運行軌道的最低點，則點C到弦所在直線的距離是（

）

A．1米 B．2米 C．米 D．米【答案】C【分析】本題考查了垂徑定理和勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關(guān)鍵．連接，交于D，由垂徑定理得（米），再由勾股定理得（米），然后求出的長即可．【詳解】連接，交于D，

由題意得：米，，米，，在中米，米，即點C到弦所在直線的距離是米，故選：C．17．（2024·陜西榆林·一模）如圖，這是一扇拱形門的示意圖，為門框底，，，門框頂部是一段圓心角為的圓弧，是的中點，則點到門框底的距離是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了垂徑定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)．根據(jù)題意作出圖形，利用垂徑定理結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)求得圓弧的半徑，利用直角三角形的性質(zhì)求得，再求得圓弧的高，據(jù)此求解即可．【詳解】解：如圖，圓心角為的圓弧的圓心為，∴，且，∴是等腰直角三角形，且，∵是的中點，∴，∴，∴，，∴，∴點到門框底的距離是，故選：B．18．（2024·浙江紹興·二模）某項目化研究小組只用一張矩形紙條和刻度尺，來測量一次性紙杯杯底的直徑．小敏同學(xué)想到了如下方法：如圖，將紙條拉直并緊貼杯底，紙條的上下邊沿分別與杯底相交于、、、四點，然后利用刻度尺量得該紙條的寬為，，．請你幫忙計算紙杯杯底的直徑為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理．由垂徑定理求出，的長，設(shè)，由勾股定理得到，求出的值，得到的長，由勾股定理求出長，即可求出紙杯的直徑長．【詳解】解：如圖，，過圓心，連接，，

，∵，，，，設(shè)，，，，，，，，，紙杯的直徑為．故選：B．19．（23-24九年級下·寧夏銀川·期中）.筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，彰顯了我國古代勞動人民的智慧，如圖1，點P表示筒車的一個盛水桶．如圖2，當(dāng)筒車工作時，盛水桶的運行路徑是以軸心O為圓心，為半徑的圓，且圓心在水面上方．若圓被水面截得的弦長為，則筒車工作時，盛水桶在水面以下的最大深度為．【答案】【分析】此題考查垂徑定理，解題關(guān)鍵在于作輔助線利用勾股定理進行計算．根據(jù)題意作于，交于點，再利用勾股定理得出，即可解答．【詳解】解：作于，交于點，在中，，，，筒車工作時，盛水桶在水面以下的最大深度為，故答案為：3．題型五弦、弧、弦心距之間的關(guān)系例：（2024·江蘇南京·二模）如圖，AB、CD是的兩條弦，與BD相交于點E，．(1)求證：；(2)連接作直線求證：．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析．【分析】本題考查了垂直平分線的判定與性質(zhì)，利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求證，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)利用弧、弦、圓心角的關(guān)系得出，則；（2）因為所以，即結(jié)合，得出E、O都在的垂直平分線上，即可作答．【詳解】（1）證明：∵，∴∴，即．∴．（2）證明：連接

∵∴∴∴∵∴E、O都在的垂直平分線上．∴21．（2024·廣東揭陽·三模）如圖，在中，，那么（

）A． B．C． D．與的大小關(guān)系無法比較【答案】A【分析】本題考查了垂徑定理．可過作半徑于，由垂徑定理可知，因此只需比較和的大小即可；易知，在中，是斜邊，是直角邊，很顯然，即，由此可判斷出和的大小關(guān)系，即可得解．【詳解】解：如圖，過作半徑于，連接；由垂徑定理知：，；；在中，，則；，即；故選：A．22．（2024·黑龍江大慶·二模）如圖，是的直徑，，，則的大小為．【答案】/度【分析】本題主要考查了弧與圓心角之間的關(guān)系，根據(jù)同圓中等弧所對的圓心角相等得到，再由平角的定義即可得到答案．【詳解】解：∵是的直徑，，，∴，∴，故答案為：．23．（23-24九年級上·江蘇連云港·階段練習(xí)）如圖，是的直徑，點C、D在上，，，垂足分別為E，F(xiàn)，且，與相等嗎？為什么？【答案】，理由見解析【分析】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)及圓心角、弧、弦的關(guān)系．在同圓等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對弦的弦心距也相等．連接，欲證與相等，先證、關(guān)系，證明即可．【詳解】，連接∵∴又∵∴∴，∵，∴．題型六圓周角定理及其推論的應(yīng)用例：（22-23九年級上·四川綿陽·開學(xué)考試）如圖，為的直徑，，交于點E，交于點E，，連接．(1)求的度數(shù)；(2)求證：．【答案】(1)(2)見解析【分析】本題考查圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)：（1）等邊對等角，求出的度數(shù)，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角，得到，進而得到，再根據(jù)角的和差關(guān)系即可得出結(jié)果；（2）連接，圓周角定理，得到，三線合一，得到即可．【詳解】（1）解：∵，，∴，∵為的直徑，∴，∴，∴；（2）連接，∵為的直徑，∴，又∵，∴．25．（23-24七年級上·河北保定·期末）如圖，為的直徑，點C，D在圓上，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了圓的基本性質(zhì)，直角三角形的特征，連接，由同弧所對的圓周角相等得，由直徑所對的圓周角是直角得，由直角三角形的特征即可求解；掌握圓的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：連接，，，為的直徑，，，故選：C．26．（22-23九年級上·云南曲靖·階段練習(xí)）如圖，點、、在上，，半徑的長為3，則的長為．【答案】【分析】本題考查圓周角定理以及勾股定理，熟練掌握同弧所對圓周角是圓心角的一半是解題的關(guān)鍵．首先根據(jù)圓周角定理求出的度數(shù)，然后利用勾股定理求出的長．【詳解】，，∵，．故答案為∶：．27．（2024·江蘇常州·中考真題）如圖，是的直徑，是的弦，連接．若，則．【答案】【分析】本題考查圓周角定理，根據(jù)同弧所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角為直角，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理，進行求解即可．【詳解】解：∵是的直徑，，，∴，∴；故答案為：．28．（23-24九年級上·江西宜春·期末）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，小正方形的頂點叫做格點；圓經(jīng)過，，三個格點，請只用無刻度的直尺按下列要求分別作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）．(1)在圖1中，作出圓心；(2)在圖2中，在劣弧上找一點，使．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題屬于圓的綜合題，主要考查了尺規(guī)作圖—作角平分線，格點作圖，圓周角定理，掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．（1）由表格可知，，故圓心在上，利用網(wǎng)格找到的中點即可．（2）使，根據(jù)等弧所對的圓周角相等，利用網(wǎng)格找到劣弧的中點即可．【詳解】（1）解：如圖，點即為所求（2）解：如圖，點即為所求題型七圓內(nèi)接四邊形例：（22-23九年級上·云南紅河·期末）如圖，的半徑為4，弦長為，C是上一點（不同于A，B），則的度數(shù)是．【答案】或【分析】本題考查圓周角定理，分點在優(yōu)弧和劣弧上兩種情況進行討論求解即可．【詳解】解：連接，則：，∵，∴，∴，當(dāng)點在優(yōu)弧上時，，當(dāng)點在劣弧上時，；故答案為：或．30．（22-23九年級上·浙江衢州·期末）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，，，則．【答案】/144度【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等知識點，能綜合運用知識點進行推理和計算是解此題的關(guān)鍵，注意：圓內(nèi)接四邊形的對角互補．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出答案即可．【詳解】解：∵，，∴，∴，∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴，∴，故答案為：．31．（23-24九年級上·全國·單元測試）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，四邊形為平行四邊形，則的度數(shù)為．【答案】60°/60度【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)結(jié)合圓周角定理得出，即可得出答案，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，，∴，∴；故答案為：．32．（2022九年級·福建·競賽）如圖，ABCD為圓O的內(nèi)接四邊形，且AC⊥BD，若AB=10，CD=8，則圓O的面積為．【答案】【分析】連接，并延長交圓于點，連接，，可得，從而可得BD//CE，得到，所以BE=CD，由勾股定理可得AE的長，從而可求出圓O的面積．【詳解】解：如圖，連接，并延長交圓于點，連接，．則，．∵，∴//，∴∴BE=CD，∵∴．在Rt△中，AB=10，所以，由勾股定理得，∴．所以圓的面積為．【點睛】本題主要考查了直徑所對的圓周角是直角以及在同圓或等圓中平行弦所夾弧相等等知識，正確作出輔助線構(gòu)造直角是解答本題的關(guān)鍵．題型八點與圓的位置關(guān)系例：（22-23九年級上·廣東湛江·期末）如圖，在中，，點D在邊上，且，以為直徑作，設(shè)線段的中點為P，則點P與的位置關(guān)系是（

）A．點P在內(nèi) B．點P在上 C．點P在外 D．無法確定【答案】C【分析】本題考查了對點與圓的位置關(guān)系的判斷，三角形中位線定理等知識．關(guān)鍵要記住若半徑為r，點到圓心的距離為d，則有：當(dāng)時，點在圓外；當(dāng)時，點在圓上，當(dāng)時，點在圓內(nèi)．首先根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得出，進而利用點與圓的位置關(guān)系得出即可．【詳解】解：連接，∵以為直徑作，線段的中點為P，∴是的中位線，∴，∵，∴，∴點P與的位置關(guān)系是點P在外．故選：C．34．（22-23九年級上·浙江·階段練習(xí)）已知的半徑為6，點P在內(nèi)，則線段長（

）A．小于6 B．大于6 C．等于6 D．等于12【答案】A【分析】根據(jù)點與圓的位置關(guān)系解決問題即可．本題考查了對點與圓的位置關(guān)系的判斷．關(guān)鍵要記住若半徑為，點到圓心的距離為，則有：當(dāng)時，點在圓外；當(dāng)時，點在圓上，當(dāng)時，點在圓內(nèi)．【詳解】解：點在內(nèi)，，故選：A．35．（2024·江蘇宿遷·模擬預(yù)測）已知的半徑為，點到圓心的距離為，若關(guān)于的方程不存在實數(shù)根，則點與的位置關(guān)系是（

）A．點在外 B．點在上C．點在內(nèi) D．無法確定【答案】A【分析】本題考查了一元二次方程根的判別方法和點與圓的位置關(guān)系，根據(jù)一元二次方程根的情況，判斷的取值范圍，再根據(jù)點與圓心的距離，判斷點與圓的位置關(guān)系，熟練掌握根的判別方法和判斷點與圓的位置關(guān)系的方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意，得，解得，∴，則點在外，故選：．36．（23-24九年級上·安徽阜陽·期末）在平面內(nèi)，的半徑為，點到圓心的距離為，則點與的位置關(guān)系是點在．（填“圓內(nèi)”“圓外”或“圓上”）．【答案】圓外【分析】本題考查了點與圓的位置關(guān)系，設(shè)的半徑為，點到圓心的距離，則有：點在圓外；點在圓上；點在圓內(nèi)；據(jù)此即可判斷求解，掌握點與圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵的半徑為，點到圓心的距離為，∴，∴點在圓外，故答案為：圓外．37．（23-24九年級上·上海·階段練習(xí)）如果從內(nèi)一點P到上所有點的距離中，最大距離是6，最小距離是2，那么的半徑長是．【答案】4【分析】本題考查的是點與圓的位置關(guān)系，根據(jù)點P在圓內(nèi)，則最大距離與最小距離的和等于圓的直徑，進而得出答案．【詳解】解：根據(jù)點P在內(nèi)時，圓的直徑是，所以半徑是4．故答案為：4．題型九三角形內(nèi)接圓有關(guān)應(yīng)用例：（23-24九年級上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，，則的外心坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本