人教版九年級數(shù)學(xué) 第二十一章 一元二次方程綜合題拓展訓(xùn)練（6考點）

試卷第=page22頁，共=sectionpages7474頁第二十一章一元二次方程綜合題拓展訓(xùn)練目錄鏈接考點一一元二次方程的解法拓展考點二解一元二次方程的綜合應(yīng)用考點三一元二次方程的根的判別式的應(yīng)用考點四與圖形有關(guān)的一元二次方程應(yīng)用考點五營銷背景下的一元二次方程應(yīng)用考點六動態(tài)幾何背景下的一元二次方程應(yīng)用考點一一元二次方程的解法拓展1．定義[x]為不大于實數(shù)x的最大整數(shù)，如．函數(shù)的圖象如圖所示，則方程的根為（）A．B．C．，D．，，2．已知，則的值是（

）A．或1 B．或 C．或 D．或23．定義：我們把形如的數(shù)成為“無限連分?jǐn)?shù)”．如果a是一個無理數(shù)，那么a就可以展成無限連分?jǐn)?shù)，例如：，如果，則．4．閱讀理解【學(xué)習(xí)新知】我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元二次方程的多種解法，其基本思路是將二次方程通過“降次”轉(zhuǎn)化為一次方程求解．按照同樣的思路，我們可以將更高次的方程“降次”，轉(zhuǎn)化為二次方程或一次方程進行求解．①因式分解法求解特殊的三次方程：將變形為，．．．．或．原方程有三個根：，，．②換元法求解特殊的四次方程：設(shè)，那么，于是原方程可變?yōu)?，解得，，?dāng)，時，；當(dāng)，時，；原方程有四個根：，，，．【應(yīng)用新知】（1）仿照以上方法，按照要求解方程：①（因式分解法）；②（換元法）；【拓展延伸】（2）已知：，且，請綜合運用以上方法，通過“降次”求的值．5．如果關(guān)于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，且其中一個根比另一個根大2，那么稱這樣的方程為“鄰2根方程”．例如，一元二次方程的兩個根是，，則方程是“鄰2根方程”．(1)通過計算，判斷方程是否是“鄰2根方程”；(2)已知關(guān)于x的一元二次方程（m是常數(shù)）是“鄰2根方程”，求m的值．考點二解一元二次方程的綜合應(yīng)用6．如圖，正方形和正方形的邊長分別為6和4，連接，H為的中點，連接．將正方形繞點A旋轉(zhuǎn)一周，則的取值范圍是；當(dāng)C、F、G三點共線時，的長是．7．如圖，已知，C為線段上的一個動點，分別以，為邊在的同側(cè)作菱形和菱形，點C，E，F(xiàn)在一條直線上，．P、Q分別是對角線，的中點，當(dāng)點C在線段上移動時，點P，Q之間的距離最短為（結(jié)果保留根號）．

8．（1）當(dāng)__________時，多項式的最小值為__________．（2）當(dāng)__________時，多項式的最大值為__________．（3）當(dāng)、為何值時，多項式取最小值？并求出這個最小值．9．求最值問題有多種方法，既有代數(shù)法也有幾何法．例如：若代數(shù)式，利用配方法求M的最小值：，，當(dāng)時，代數(shù)式M有最小值為2．再比如：正數(shù)a，b滿足，用幾何法求的最小值．如圖，為線段DC的長度，為線段CE的長度，當(dāng)?shù)闹底钚r，D、C、E三點共線，所以最小值為．請根據(jù)上述材料解決下列問題：(1)若代數(shù)式，求M的最小值；(2)已知正數(shù)x，y滿足，求的最小值．10．在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸，軸分別交于點兩點，直線與軸交于點，與直線交于點，且．(1)如圖1，求點的坐標(biāo)及的值；(2)如圖2，點是直線上的一個動點，當(dāng)?shù)闹底畲髸r，求點的坐標(biāo)；(3)如圖3，過點作軸的垂線，點是垂線上的一點，當(dāng)以點為頂點的三角形是等腰三角形時直接寫出點的坐標(biāo)．11．閱讀材料：為實數(shù)，且，，因為，所以，從而，當(dāng)時取等號．閱讀材料：若（，，為常數(shù)），由閱讀材料的結(jié)論可知，所以當(dāng)，即時，取最小值．閱讀上述內(nèi)容，解答下列問題：(1)已知，則當(dāng)________時，取得最小值，且最小值為________；(2)已知，，求的最小值．(3)某大學(xué)學(xué)生會在月日舉辦了一個活動，活動支出總費用包含以下三個部分：一是前期投入元；二是參加活動的同學(xué)午餐費每人元；三是其他費用，等于參加活動的同學(xué)人數(shù)的平方的倍．求當(dāng)參加活動的同學(xué)人數(shù)為多少時，該次活動人均投入費用最低．最低費用是多少元？（人均投入支出總費用/參加活動的同學(xué)人數(shù)）12．綜合與實踐【項目學(xué)習(xí)】配方法是數(shù)學(xué)中重要的一種思想方法，利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)等．所謂配方法是指將一個式子的某部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個完全平方式的和的方法．其實這種方法還經(jīng)常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負(fù)數(shù)的意義解決某些問題．例1：把代數(shù)式進行配方．解：原式．例2：求代數(shù)式的最大值．解：原式．，，，的最大值為．【問題解決】(1)若滿足，求的值．(2)若等腰的三邊長均為整數(shù)，且滿足，求的周長．(3)如圖，這是美國總統(tǒng)加菲爾德證明勾股定理的一個圖形，其中是和的三邊長，根據(jù)勾股定理可得，我們把關(guān)于的一元二次方程稱為“勾系一元二次方程”．已知實數(shù)滿足等式，且的最小值是“勾系一元二次方程”的一個根．四邊形的周長為，試求的面積．

13．閱讀理解（一）閱讀與思考：通過解方程（組）使問題得到解決的思維方式就是方程思想，剛學(xué)過的《勾股定理》及《一次函數(shù)》都與它有著密切的聯(lián)系，方程家族也將迎來《一元二次方程》這一新成員，它的求解方法之一“配方法”，例如，解一元二次方程．解???或．∴或．（二）解決問題：如圖1，矩形中，，，點G在上，且，點P以1單位每秒的速度在邊上從點B到點C方向運動，設(shè)點P運動時間為x秒．

(1)記△APG的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求時x的值；(2)在點P從B向C運動的過程中，是否存在使的時刻？若存在，求出x的值，請說明理由；(3)如圖2，M，N分別是，的中點，線段所掃過的圖形是什么形狀，并直接寫出它的面積．考點三一元二次方程的根的判別式的應(yīng)用14．若關(guān)于x的不等式組有且僅有4個整數(shù)解，且使關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根，則符合條件的整數(shù)m的和為．15．若關(guān)于的一元二次方程至少有一個整數(shù)根，且為正整數(shù)，則滿足條件的共有個．16．對于函數(shù)，若，則稱為的“不動點”；若，則稱為的“穩(wěn)定點”．(1)求證：若為的“不動點”，則為的“穩(wěn)定點”；(2)若．若函數(shù)存在“不動點”和“穩(wěn)定點”，且函數(shù)的“不動點”和“穩(wěn)定點”集合分別記為和，即，，且，求實數(shù)的取值范圍．17．已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：無論m取何值，方程都有兩個不相等的實數(shù)根；(2)如果方程的兩個實數(shù)根為，且為整數(shù)，求整數(shù)m所有可能的值．18．在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，與y軸交于點D．(1)若關(guān)于x的一元二次方程有兩個相等實數(shù)根，求點B的坐標(biāo)；(2)已知點，若直線與x軸交于點，，原點O到直線CD的距離為，求的面積．19．如圖1，四邊形是證明勾股定理時用到的一個圖形，a，b，c是和邊長，易知，這時我們把關(guān)于x的形如的一元二次方程稱為“勾系一元二次方程”．請解決下列問題：

(1)寫出一個“勾系一元二次方程”；(2)求證：關(guān)于x的“勾系一元二次方程”必有實數(shù)根；(3)如圖1，若是“勾系一元二次方程”的一個根，且四邊形的周長是，求面積；(4)如圖2，的三邊分別為a，b，c，，且．求證：關(guān)于x的一元二次方程必有實數(shù)根．20．若關(guān)于的一元二次方程的根均為整數(shù)，則稱方程為“快樂方程”．通過計算發(fā)現(xiàn)，任何一個“快樂方程”的判別式一定為完全平方數(shù)．現(xiàn)規(guī)定為該“快樂方程”的“快樂數(shù)”．例如“快樂方程”，的兩根均為整數(shù)，其“快樂數(shù)”，若有另一個“快樂方程”的“快樂數(shù)”，且滿足，則稱與互為“開心數(shù)”．(1)“快樂方程”的“快樂數(shù)”為________；(2)若關(guān)于的一元二次方程（為整數(shù)，且）是“快樂方程”，求的值，并求該方程的“快樂數(shù)”；(3)若關(guān)于的一元二次方程與（、均為整數(shù)）都是“快樂方程”，且其“快樂數(shù)”互為“開心數(shù)”，求的值．考點四與圖形有關(guān)的一元二次方程應(yīng)用21．利用圖形的分、和、移、補探索圖形關(guān)系是我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一種重要方法．如圖1，是矩形的對角線，將分割成兩對全等的直角三角形和一個正方形，然后按圖2重新擺放，觀察兩圖，若，則矩形的面積是（）A．42 B． C． D．2122．【觀察思考】【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】第1個圖案中有“★”的個數(shù)為：（個）；第2個圖案中有“★”的個數(shù)為：（個）；第3個圖案中有“★”的個數(shù)為：（個）；第4個圖案中有“★”的個數(shù)為：（個）；第5個圖案中有“★”的個數(shù)為個；（填最簡結(jié)果）第個圖案中有“★”的個數(shù)為個．（用含的式子填空）【規(guī)律應(yīng)用】第個圖案中有“★”有227個，求的值．23．綜合實踐：如何用最少的材料設(shè)計花園？【情境】如圖，小王打算用籬笆圍一個矩形花園，其中一邊靠墻，墻長為10米，現(xiàn)可用的籬笆總長為20米，設(shè)的長為x米．【項目解決】目標(biāo)1：確定面積與邊長關(guān)系．當(dāng)籬笆全部用完，且圍成矩形花園的面積為32平方米時，求的長．目標(biāo)2：探究最少的材料方案．

現(xiàn)要圍面積為平方米的矩形花園，設(shè)所用的籬笆為m米．

（1）若米，能成功圍成嗎？若能，求出的長；若不能，請說明理由．（2）若要成功圍成，則m的最小值為______米，此時，______米．24．項目化學(xué)習(xí)：主題“校慶主題”草坪設(shè)計情境為了迎接第60周年校慶，同學(xué)們參與一塊長為40米，寬為30米的矩形“校慶主題”草坪設(shè)計．以下為小組對草坪設(shè)計的研究過程．活動任務(wù)一請設(shè)計兩條相同寬度的小路連接矩形草坪兩組對邊．小組內(nèi)同學(xué)們設(shè)計的方案主要有甲、乙、丙、丁四種典型的方案．驅(qū)動問題一（1）請直接寫出小組設(shè)計出來的四種方案小路面積，，，的大小關(guān)系．活動任務(wù)二為施工方便，學(xué)校選擇甲方案設(shè)計，并要求除小路后草坪面積約為1064平方米．驅(qū)動問題二（2）請計算兩條小路的寬度是多少？活動任務(wù)三為了展示校慶元素，打算在草坪上的校慶宣傳主題墻前，靠墻用籬笆圍（三邊）建成一個矩形，且，如圖．驅(qū)動問題三（3）數(shù)學(xué)之星小聰查閱資料發(fā)現(xiàn)：短邊為長邊的倍的矩形稱為黃金矩形．黃金矩形能夠給畫面帶來美感，令人愉悅．為了使長40米的籬笆恰好用完同時圍住矩形的三面，且矩形的形狀更接近黃金矩形．應(yīng)設(shè)計成多少米？（參考數(shù)據(jù)，，結(jié)果取整數(shù)）25．綜合與實踐：用硬紙板制作無蓋紙盒背景在一次勞動課中，老師準(zhǔn)備了一些長為，寬為的長方形硬紙板，準(zhǔn)備利用每張紙板制作兩個大小完全相等的無蓋長方體紙盒（接頭處忽略不計）．素材配方法是求解二次多項式最值的常用方法，比如：求的最大值，過程如下：∴當(dāng)時，有最大值5．方案1甲活動小組將紙板均分為左右兩塊，每一塊都在四個直角處裁掉四個邊長為的正方形，再沿虛線折起來，其中一個紙盒的底面是正方形．方案2乙活動小組將紙板在四個直角處裁掉四個邊長為的正方形，再在中間裁掉一塊正方形，分別沿著虛線折起來，其中一個紙盒的底面是矩形．任務(wù)1在方案1中，制作的每個無蓋紙盒的底面積為（用含x的代數(shù)式表示），并判斷底面積能否達到．任務(wù)2在方案2中，求制作無蓋紙盒的底面邊的長．任務(wù)3若利用兩個方案制作的兩種無蓋紙盒高度相等，請比較兩種紙盒體積的大?。蝿?wù)4求方案2中制作的單個無蓋紙盒體積的最大值．26．三國時期的數(shù)學(xué)家趙爽在其所著的《勾股圓方圖注》中記載了用幾何法對一元二次方程進行求解的方法，以為例，大致過程如下：第一步：將原方程變形為．即．第二步：構(gòu)造一個長為x，寬為的長方形，長比寬大2，且面積為3，如圖①所示．第三步：用四個這樣的長方形圍成一個大正方形，中間是一個小正方形，如圖②所示．第四步：將大正方形邊長用含x的代數(shù)式表示為______．小正方形邊長為常數(shù)______，長方形面積之和為常數(shù)______．由觀察可得，大正方形面積等于四個長方形與小正方形面積之和，得方程__________，兩邊開方可求得，．

(1)單選題：這一過程體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（

）A．統(tǒng)計思想

B．化歸思想

C．分類討論思想

D．?dāng)?shù)形結(jié)合思想(2)第四步中橫線上應(yīng)依次填入______，______，______，______；(3)請參考古人的思考過程，畫出示意圖，寫出步驟，解方程．27．有兩塊長為100cm，寬為40cm的長方形硬紙板．(1)如圖1，把一塊長方形硬紙板的四角剪去四個相同的小正方形，然后沿虛線折成一個無蓋的長方體收納盒．若該收納盒的底面積為，求剪去的小正方形的邊長．(2)如圖2，把另一塊長方形硬紙板的四角剪去四個相同的小長方形，然后折成一個有蓋的長方體收納盒．若和兩邊恰好重合且無重疊部分，該收納盒的底面積為．有一個玩具機械狗，其尺寸大小如圖3所示，請通過計算判斷是否能把玩具機械狗完全放入該收納盒．28．教育部頒布的《義務(wù)教育勞動課程標(biāo)準(zhǔn)》中，要求以豐富開放的勞動項目為載體，培養(yǎng)學(xué)生的勞動價值觀和良好的勞動品質(zhì)．東北育才學(xué)校生態(tài)園新一年也有了新的規(guī)劃，請你根據(jù)素材完成任務(wù)．東北育才學(xué)校生態(tài)園年春季規(guī)劃素材一市場調(diào)研，兩種型號的勞動工具價格．（1）型勞動工具的單價比型勞動工具少3元．（2）用元購買型勞動工具的數(shù)量與用元購買型勞動工具的數(shù)量相等．素材二計劃購買，兩種型號的勞動工具（1），兩種型號的勞動工具共個．（2）型勞動工具的數(shù)量不少于型勞動工具數(shù)量的一半．素材三新規(guī)劃一塊矩形苗圃（1）苗圃的一面靠墻（墻的最大可用長度為），另三邊用木欄圍成，中間也用垂直于墻的木欄隔開分成兩個區(qū)域，（2）如圖所示，在兩處各留寬的門（門不用木欄），修建所用木欄的總長為，

問題解決任務(wù)一求，兩種型號勞動工具的單價各是多少元．任務(wù)二求購買這批勞動工具的最少費用．任務(wù)三設(shè)苗圃的一邊長為．（1）用含的代數(shù)式表示苗圃靠墻一邊的長是________；（2）若苗圃的面積為，求的值；（3）苗圃的面積能否為．________（直接回答“能或不能”．）考點五營銷背景下的一元二次方程應(yīng)用29．一玩偶店銷售“抱竹熊貓”、“打坐熊貓”兩款玩偶，其中“抱竹熊貓”成本每件元，“打坐熊貓”成本每件元，“打坐熊貓”的售價是“抱竹熊貓”的倍，大運會開幕第一天“抱竹熊貓”比“打坐熊貓”多賣件，且兩款玩偶當(dāng)天銷售額都剛好到達元．為更好地宣傳國寶，第二天店家決定降價出售，但規(guī)定降價后的售價不低于成本價的，“抱竹熊貓”的售價降低了，當(dāng)天“抱竹熊貓”的銷量在第一天基礎(chǔ)上增加了；“打坐熊貓”的售價打折，結(jié)果“打坐熊貓”的銷量在第一天基礎(chǔ)上增加了，最終第二天兩款熊貓玩偶的總利潤為元，求的值為（

）A． B． C． D．30．某運動品牌銷售一款運動鞋，已知每雙運動鞋的成本價為60元，當(dāng)售價為100元時，平均每天能售出200雙；經(jīng)過一段時間銷售發(fā)現(xiàn)，平均每天售出的運動鞋數(shù)量y（雙）與降低價格x（元）之間存在如圖所示的函數(shù)關(guān)系．(1)求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)公司希望平均每天獲得的利潤達到8910元，且優(yōu)惠力度最大，則每雙運動鞋的售價應(yīng)該定為多少？(3)為了保證每雙運動鞋的利潤不低于成本價的50%，公司每天能否獲得9000元的利潤？若能，求出定價；若不能，請說明理由．31．正月十五是中華民族傳統(tǒng)的節(jié)日——元宵節(jié)，家家掛彩燈、戶戶吃湯圓已成為世代相沿的習(xí)俗．位于北關(guān)古城內(nèi)的盼盼手工湯圓店，計劃在元宵節(jié)前用21天的時間生產(chǎn)袋裝手工湯圓，已知每袋湯圓需要0.3斤湯圓餡和0.5斤湯圓粉，而湯圓店每天能生產(chǎn)450斤湯圓餡或300斤湯圓粉（每天只能生產(chǎn)其中一種）．(1)若這21天生產(chǎn)的湯圓餡和湯圓粉恰好配套，且全部及時加工成湯圓，則總共生產(chǎn)了多少袋手工湯圓？(2)為保證手工湯圓的最佳風(fēng)味，湯圓店計劃把達21天生產(chǎn)的湯圓在10天內(nèi)銷售完畢．據(jù)統(tǒng)計，每袋手工湯圓的成本為13元，售價為25元時每天可售出225袋，售價每降低2元，每天可多售出75袋．湯圓店按售價25元銷售2天后，余下8天進行降價促銷，第10天結(jié)束后將還未售出的手工湯圓以15元/袋的價格全部賣給古城小吃店，若最終獲利40500元，則促銷時每袋應(yīng)降價多少元？32．2022年某地桑葚節(jié)于4月5日到4月20舉行，熱情的當(dāng)?shù)鼐用駷橛慰蜏?zhǔn)備了桑葚茶、桑葚酒、桑葚醬、桑葚膏等等，在當(dāng)?shù)嘏e行的“桑葚會”上，游客不僅可以品嘗純正的桑葚茶、桑葚酒、桑葚醬、桑葚音，而且還能體驗制作它們的過程．各類桑葚產(chǎn)品均對外銷售，游客們可以買一些送給親朋好友．已知桑葚酒是桑葚醬單價的，預(yù)計桑葚節(jié)期間全鎮(zhèn)銷售桑葚酒和桑葚醬共7500千克，桑葚酒銷售額為200000元，桑葚醬銷售額為125000元．(1)求本次桑葚節(jié)預(yù)計銷售桑葚酒和桑葚醬的單價；(2)今年因受“新冠”疫情的影響，前來參加桑葚節(jié)的游客量比預(yù)計有所減少，當(dāng)?shù)劓?zhèn)府為了刺激經(jīng)濟，減少庫存，將桑葚酒和桑葚醬降價促銷．桑葚醬在預(yù)計單價的基礎(chǔ)上降低銷售，桑葚酒比預(yù)計單價降低元銷售，這樣桑葚醬的銷量跟預(yù)計一樣，桑葚酒的銷量比預(yù)計減少了a%，桑葚酒和桑葚醬的銷售總額比預(yù)計減少了3500a元．求a的值33．隨著武漢解封，湖北各地的復(fù)工復(fù)產(chǎn)正有序進行，經(jīng)濟復(fù)蘇也按下了“重啟鍵”．為助力湖北復(fù)蘇，月日抖音發(fā)起了“湖北重啟，抖來助力--抖音援鄂復(fù)蘇計劃”，通過直播或短視頻助力推廣湖北特色產(chǎn)品已知當(dāng)天的直播活動中熱干面和周黑鴨共銷售萬份，其中周黑鴨的銷量是熱干面的倍．(1)求當(dāng)天的直播活動中銷售了多少萬份周黑鴨？(2)為刺激消費，直播中推出了優(yōu)惠活動疫情前，疫情期間售價均為元一份的周黑鴨（一份里面有一盒鎖骨，兩盒鴨脖，一盒鴨掌），以折力度售賣．疫情前，疫情期間售價均為元一份的熱干面（一份里面有包熱干面），以折力度售賣．已知疫情前周黑鴨的日銷售量比直播當(dāng)天的銷量少，疫情期間的日銷售額比疫情前的日銷售額減少了萬元；疫情前熱干面的日銷量比直播當(dāng)天熱干面的銷量少，疫情期間的日銷售量比疫情前的日銷售量減少了；疫情期間周黑鴨和熱干面的總?cè)珍N售額比直播當(dāng)天的總銷售額少，求的值．34．葡萄不僅味美可口，營養(yǎng)價值很高，而且用途廣泛，堪稱“果中珍品”，它既可鮮食又可加工成各種產(chǎn)品，如葡萄干、葡萄酒、葡萄汁等．當(dāng)下正值食用葡萄的好時節(jié)，經(jīng)過市場調(diào)研顧客最喜歡“黑珍珠”、“仙粉黛”兩個品種，某商店老板看準(zhǔn)商機，決定購進這兩種葡萄銷售，商店原計劃在6月購進“黑珍珠”、“仙粉黛”兩種葡萄共200千克，其中“仙粉黛”的質(zhì)量至少是“黑珍珠”質(zhì)量的3倍．（1）那么原計劃今年6月至少購進“仙粉黛”多少千克？（2）今年6月商店按照原計劃購進并售完“黑珍珠”、“仙粉黛”兩種葡萄，且“仙粉黛”的質(zhì)量恰好是原計劃的最小值．今年7月商店按照“黑珍珠”與“仙粉黛”的質(zhì)量比為1∶3購進兩種葡萄一共160千克，按照單價4∶3售出，共得銷售額1040元．通過7月對市場的觀察，商店老板決定增加兩種葡萄的進貨量，同時降價促銷；8月商店購進“黑珍珠”、“仙粉黛”的質(zhì)量在6月的基礎(chǔ)上分別增加了，同時為了盡快全部售出，每千克售價在今年7月份的基礎(chǔ)上分別降價（降價幅度不超過50%），最終8月的銷售額比7月的銷售額增加了535元．求的值．35．美麗的鮮花為人們傳遞著各種各樣的情感：桔梗象征著永恒；水仙象征著尊敬；康乃馨象征著母親的愛；風(fēng)鈴草象征著知恩圖報……3月里，花店里的桔梗、風(fēng)鈴草兩種鮮花共銷售了1000朵，其中風(fēng)鈴草和桔梗的銷量之比為3：2，且風(fēng)鈴草的單價是桔梗單價的．（1）若3月份兩種鮮花的總銷售額不低于3600元，則桔梗的單價至少為多少元？（2）根據(jù)往年的經(jīng)驗，4月份的桔梗更美，它的進價也會有所提升，因此商家決定將桔梗的單價在（1）中的最少單價的基礎(chǔ)上提高m%，預(yù)計桔梗的銷量將比3月份提高4m%，則4月份枯梗的銷售額將比（1）中總銷售額最低時風(fēng)鈴草的銷售額多192元，求m的值．考點六動態(tài)幾何背景下的一元二次方程應(yīng)用36．如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)完矩形的知識后一起探討了一個紙片折疊問題：如何將一張平行四邊形紙片的四個角向內(nèi)折起，拼成一個無縫隙、無重疊的矩形．圖中，，，表示折痕，折后的對應(yīng)點分別是．若，，，則紙片折疊時的長應(yīng)?。?7．如圖，在矩形中，，，動點，分別從點、同時出發(fā)，點以厘米秒的速度向終點移動，點以厘米秒的速度向移動，當(dāng)有一點到達終點時，另一點也停止運動，設(shè)運動的時間為秒，問：(1)當(dāng)為何值時，點和點距離是？(2)當(dāng)為何值時，以點、、為頂點的三角形是以為腰的等腰三角形．38．如圖，是邊長為的等邊三角形．動點和動點分別從點和點同時出發(fā)，沿著逆時針運動，已知動點的速度為，動點的速度為．設(shè)動點、動點的運動時間為．(1)當(dāng)為何值時，兩個動點第一次相遇；(2)從出發(fā)到第一次相遇這一過程中，當(dāng)為何值時，以，，為頂點的三角形的面積為？39．如圖，中，，，．(1)如圖1，點從點開始沿邊向點以的速度移動（到達點即停止運動），點從點開始沿邊向點以的速度移動（到達點即停止運動）．如果點，分別從，兩點同時出發(fā)．①經(jīng)過多少秒鐘，的面積等于；②線段能否將分成面積為的兩部分？若能，求出運動時間；若不能說明理由；(2)如圖2，若點沿射線方向從點出發(fā)以的速度移動，點沿射線方向從點出發(fā)以的速度移動，，同時出發(fā)，直接寫出幾秒后，的面積為．40．如圖，在四邊形中，，，，，，動點P、Q分別從A、B同時出發(fā)，點P以每秒2個單位的速度沿著折線先由A向D運動，再由D向C運動，點Q以每秒1個單位的速度由B向A運動，當(dāng)其中一動點到達終點時，另一動點隨之停止運動，設(shè)運動時間為t秒．(1)兩平行線與之間的距離是__________．(2)當(dāng)點P、Q與的某兩個頂點圍成一個平行四邊形時，求t的值．(3)，以，為一組鄰邊構(gòu)造平行四邊形，若的面積為，求t的值．41．如圖，在中，，，D為的中點，點P在線段上以的速度由點B向點C運動，同時點Q在線段上由點C向點A運動．(1)若點Q的運動速度與點P相同，經(jīng)過后，與是否全等？請說明理由．(2)若點Q的運動速度與點P不相同，當(dāng)點Q的運動速度為多少時，能夠使與全等？(3)若點Q以（2）中的速度從點C出發(fā)，點P以原來的速度從點B同時出發(fā)，都沿的三邊逆時針運動，求經(jīng)過多長時間，點P與點Q第一次在的什么位置上相遇．42．如圖，在中，，的面積為，是邊上的高，動點P從點B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿勻速向終點A運動，點P不與點A、B重合，連接、．設(shè)點P的運動時間為t秒．(1)求的長；(2)用含t的代數(shù)式表示的長；(3)在點P運動的過程中，不再添加其他輔助線的情況下，當(dāng)圖中存在等腰直角三角形時，求的面積；(4)點P在上運動，不再添加其他輔助線的情況下，當(dāng)圖中存在以點P為頂點的等腰三角形．且不是直角三角形時，直接寫出t的值．43．在中，，，動點從點出發(fā)，在線段上以每秒個單位長度的速度向點運動，到達點停止運動，設(shè)運動時間為秒．(1)求的面積；(2)如圖①，過點作、交于點、若與的面積和是的面積的，求的值；(3)如圖②、點在射線上，且，以線段為邊向上方作正方形．在運動過程中，若設(shè)正方形與重疊部分的面積為，求的值．44．如圖，在矩形中，，，點從點出發(fā)，每秒個單位長度的速度沿方向運動，點從點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿對角線方向運動．已知點、兩點同時出發(fā)，當(dāng)點到達點時，、兩點同時停止運動，連接，設(shè)運動時間為秒．(1)_________，_________；(2)當(dāng)為何值時，；(3)在運動過程中，是否存在一個時刻，使所得沿它的一邊翻折，翻折前后兩個三角形組成的四邊形為菱形？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．(4)當(dāng)點關(guān)于點的對稱點落在的內(nèi)部（不包括邊上）時，請直接寫出的取值范圍．

第二十一章一元二次方程綜合題拓展訓(xùn)練目錄鏈接考點一一元二次方程的解法拓展考點二解一元二次方程的綜合應(yīng)用考點三一元二次方程的根的判別式的應(yīng)用考點四與圖形有關(guān)的一元二次方程應(yīng)用考點五營銷背景下的一元二次方程應(yīng)用考點六動態(tài)幾何背景下的一元二次方程應(yīng)用考點一一元二次方程的解法拓展1．定義[x]為不大于實數(shù)x的最大整數(shù)，如．函數(shù)的圖象如圖所示，則方程的根為（）A．B．C．，D．，，【答案】B【分析】本題考查了函數(shù)的圖象，解一元二次方程．根據(jù)新定義和函數(shù)圖象進行討論是解題的關(guān)鍵．根據(jù)新定義和函數(shù)圖象分情況討論：當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；然后分別求關(guān)于x的一元二次方程即可．【詳解】解：由題意知，當(dāng)時，，解得或，均不合題意；當(dāng)時，，解得或（舍去）；當(dāng)時，，方程沒有實數(shù)解；當(dāng)時，，方程沒有實數(shù)解；∴方程的解為0，故選：B．2．已知，則的值是（

）A．或1 B．或 C．或 D．或2【答案】C【分析】設(shè)，則，根據(jù)題意得出關(guān)于m的分式方程，解方程求出m，然后用含x的式子表示出y，進而計算的值即可．【詳解】解：設(shè)，則，∵，∴，整理得：，解得：，，經(jīng)檢驗，，是分式方程的解，當(dāng)時，，∴；當(dāng)時，，∴；綜上，的值是或，故選：C．【點睛】本題考查了分式的混合運算，解分式方程，解一元二次方程，分母有理化，設(shè)出未知數(shù)，用含x的式子表示出y是解答本題的關(guān)鍵．3．定義：我們把形如的數(shù)成為“無限連分?jǐn)?shù)”．如果a是一個無理數(shù)，那么a就可以展成無限連分?jǐn)?shù)，例如：，如果，則．【答案】或【分析】根據(jù)題意，得，整理得，解方程即可．本題考查了新定義問題，正確轉(zhuǎn)化成分式方程，一元二次方程是是解題的關(guān)鍵．【詳解】根據(jù)題意，得，整理得，解得．經(jīng)檢驗，是原方程的根，故答案為：或．4．閱讀理解【學(xué)習(xí)新知】我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元二次方程的多種解法，其基本思路是將二次方程通過“降次”轉(zhuǎn)化為一次方程求解．按照同樣的思路，我們可以將更高次的方程“降次”，轉(zhuǎn)化為二次方程或一次方程進行求解．①因式分解法求解特殊的三次方程：將變形為，．．．．或．原方程有三個根：，，．②換元法求解特殊的四次方程：設(shè)，那么，于是原方程可變?yōu)?，解得，，?dāng)，時，；當(dāng)，時，；原方程有四個根：，，，．【應(yīng)用新知】（1）仿照以上方法，按照要求解方程：①（因式分解法）；②（換元法）；【拓展延伸】（2）已知：，且，請綜合運用以上方法，通過“降次”求的值．【答案】（1）①，，；②，；（2）【分析】本題考查了解高次方程，理解題意，正確進行計算是解此題的關(guān)鍵．（1）①仿照題中所給方法，利用因式分解法解方程即可；②仿照題中所給方法，利用換元法解方程即可；（2）根據(jù)題意對所給代數(shù)式進行“降次”，再用整體思想即可解決問題．【詳解】（1）①將變形為，∴，∴，∴，.或.解方程得.解方程得，，∴原方程的根為：，，；②，設(shè)，則，方程變形為，∴，解得：，當(dāng)，時，無實根，舍去，當(dāng)，時，解得或；∴原方程有兩個根：，；（2）解：方程的解為：，由于，∴，，，，，當(dāng)時，原式．5．如果關(guān)于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，且其中一個根比另一個根大2，那么稱這樣的方程為“鄰2根方程”．例如，一元二次方程的兩個根是，，則方程是“鄰2根方程”．(1)通過計算，判斷方程是否是“鄰2根方程”；(2)已知關(guān)于x的一元二次方程（m是常數(shù)）是“鄰2根方程”，求m的值．【答案】(1)該方程不是“鄰2根方程”(2)或【分析】本題以新定義題型為背景，考查了一元二次方程的求解．（1）求解方程，即可進行判斷．（2）利用因式分解求解方程，根據(jù)該方程是“鄰2根方程”即可求解．【詳解】（1）解：∵∴∴∵，故該方程不是“鄰2根方程”．（2）解：∵∴．∴．由題意得：或，解得：或．考點二解一元二次方程的綜合應(yīng)用6．如圖，正方形和正方形的邊長分別為6和4，連接，H為的中點，連接．將正方形繞點A旋轉(zhuǎn)一周，則的取值范圍是；當(dāng)C、F、G三點共線時，的長是．【答案】或【分析】如圖1中，在的上方作正方形，連接，求出的取值范圍，再利用三角形中位線定理求解即可；的長分兩種情形，分別畫出圖形求解即可．【詳解】解：如圖1中，在的上方作正方形，四邊形和四邊形是正方形，，，H為的中點，，，，，，，，；如圖2中，當(dāng)C，F(xiàn)，G三點共線時，連接，過點D作于點J，交的延長線于點K，設(shè)交于點O，則，四邊形和四邊形是正方形，，，，，，，，，四邊形是矩形，，四邊形是正方形，，設(shè)，則，，，或（舍），，，，，，，如圖3，當(dāng)C，G，F(xiàn)三點共線時，同理可得，，則，綜上所述，的長為或，故答案為：，或．【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線，解一元二次方程等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造三角形中位線解決問題，學(xué)會用分類討論的思考問題．7．如圖，已知，C為線段上的一個動點，分別以，為邊在的同側(cè)作菱形和菱形，點C，E，F(xiàn)在一條直線上，．P、Q分別是對角線，的中點，當(dāng)點C在線段上移動時，點P，Q之間的距離最短為（結(jié)果保留根號）．

【答案】【分析】連接、，首先證明，設(shè)，則，，，得出，利用配方法即可解決問題．【詳解】解：連接、，

∵四邊形，四邊形是菱形，，∴，，∵P，Q分別是對角線，的中點，∴，，，∴，設(shè)，則，∵，∴，，∴，∴當(dāng)時，點P，Q之間的距離最短，最短距離是，故答案為：．【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)、勾股定理、配方法的應(yīng)用等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，熟練應(yīng)用相關(guān)知識．8．（1）當(dāng)__________時，多項式的最小值為__________．（2）當(dāng)__________時，多項式的最大值為__________．（3）當(dāng)、為何值時，多項式取最小值？并求出這個最小值．【答案】（1）3，3（2）1，（3），，最小值是10【分析】本題考查了配方法的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，熟練掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．（1）由配方可知，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，判斷出的值，然后進行計算即可；（2）由配方可知，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，判斷出的值，然后進行計算即可；（3）由配方可知，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，判斷出和的取值，然后進行計算即可．【詳解】（1）當(dāng)時，多項式取最小值，且最小值為3；故答案為：3，3（2）當(dāng)時，多項式取最大值，且最大值為；故答案為：1，；（3），當(dāng)且，即時，多項式取最小值，并且最小值為．，，最小值是10．9．求最值問題有多種方法，既有代數(shù)法也有幾何法．例如：若代數(shù)式，利用配方法求M的最小值：，，當(dāng)時，代數(shù)式M有最小值為2．再比如：正數(shù)a，b滿足，用幾何法求的最小值．如圖，為線段DC的長度，為線段CE的長度，當(dāng)?shù)闹底钚r，D、C、E三點共線，所以最小值為．請根據(jù)上述材料解決下列問題：(1)若代數(shù)式，求M的最小值；(2)已知正數(shù)x，y滿足，求的最小值．【答案】(1)3(2)【分析】本題主要考查勾股定理的運用，兩點之間線段最短的知識，掌握勾股定理的運算，最短路徑的運用，合理作出圖形是解題的關(guān)鍵．（1）運用配方法解題即可；（2）運用材料提示，構(gòu)造圖形，運用勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：，，當(dāng)，時，M有最小值為3；（2）如圖，為線段DC的長度，為線段CE的長度當(dāng)?shù)闹底钚r，D、C、E三點共線，所以最小值．10．在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸，軸分別交于點兩點，直線與軸交于點，與直線交于點，且．(1)如圖1，求點的坐標(biāo)及的值；(2)如圖2，點是直線上的一個動點，當(dāng)?shù)闹底畲髸r，求點的坐標(biāo)；(3)如圖3，過點作軸的垂線，點是垂線上的一點，當(dāng)以點為頂點的三角形是等腰三角形時直接寫出點的坐標(biāo)．【答案】(1),(2)(3)，，，【分析】（1）利用坐標(biāo)軸上點的特點求出點，坐標(biāo)，由求出點的坐標(biāo)，可得，聯(lián)立兩直線解析式求解即可得出點坐標(biāo)；（2）作點關(guān)于直線的對稱點，則，連接，則，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得，可得時值最大，即，，三點共線時值最大，利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，聯(lián)立直線即可求解；（3）設(shè)點，分別求得，，，分三種情況，①當(dāng)時，②當(dāng)時，③當(dāng)時，分別求解即可．【詳解】（1）直線與軸，軸分別交于點兩點當(dāng)時，；當(dāng)時，，，即聯(lián)立：解得：（2）如圖，作點關(guān)于直線的對稱點連接并延長交直線于點，∵，∴時值最大，即，，三點共線時值最大，即的值最大時，∴，∴，聯(lián)立解得：∴當(dāng)?shù)闹底畲髸r，；（3）過點作軸的垂線，點是垂線上的一點，設(shè)點，，，，，，分三種情況，①當(dāng)時，，解得，點的坐標(biāo)為；②當(dāng)時，，解得，點的坐標(biāo)為點的坐標(biāo)為，；③當(dāng)時，，解得，點的坐標(biāo)為．綜上所述，，，，【點睛】此題考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，解一元二次方程，待定系數(shù)法，軸對稱的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，學(xué)會構(gòu)建方程解決問題．11．閱讀材料：為實數(shù)，且，，因為，所以，從而，當(dāng)時取等號．閱讀材料：若（，，為常數(shù)），由閱讀材料的結(jié)論可知，所以當(dāng)，即時，取最小值．閱讀上述內(nèi)容，解答下列問題：(1)已知，則當(dāng)________時，取得最小值，且最小值為________；(2)已知，，求的最小值．(3)某大學(xué)學(xué)生會在月日舉辦了一個活動，活動支出總費用包含以下三個部分：一是前期投入元；二是參加活動的同學(xué)午餐費每人元；三是其他費用，等于參加活動的同學(xué)人數(shù)的平方的倍．求當(dāng)參加活動的同學(xué)人數(shù)為多少時，該次活動人均投入費用最低．最低費用是多少元？（人均投入支出總費用/參加活動的同學(xué)人數(shù)）【答案】(1)，(2)(3)當(dāng)參加活動的同學(xué)人數(shù)為人時，該次活動人均投入費用最低，最低費用是元【分析】（）由題意求出的最小值，即可求出的最小值；（）把代入化成的形式，即可求出最小值；（）設(shè)參加活動的同學(xué)人數(shù)為人，人均投入為，化成的形式，即可求出答案；本題考查了配方法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是要正確理解題意，把所求代數(shù)式化成公式中完全平方的形式．【詳解】（1）解：由題意得，當(dāng)即時，取最小值為，

∴的最小值為，故答案為：，；（2）解：∵，，∴，∴當(dāng)，即時，取最小值為，∴的最小值為；（3）解：設(shè)參加活動的同學(xué)人數(shù)為人，則人均投入為，當(dāng)，即時，取最小值為，∴最低費用是(元)，答：當(dāng)參加活動的同學(xué)人數(shù)為人時，該次活動人均投入費用最低，最低費用是元．12．綜合與實踐【項目學(xué)習(xí)】配方法是數(shù)學(xué)中重要的一種思想方法，利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)等．所謂配方法是指將一個式子的某部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個完全平方式的和的方法．其實這種方法還經(jīng)常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負(fù)數(shù)的意義解決某些問題．例1：把代數(shù)式進行配方．解：原式．例2：求代數(shù)式的最大值．解：原式．，，，的最大值為．【問題解決】(1)若滿足，求的值．(2)若等腰的三邊長均為整數(shù)，且滿足，求的周長．(3)如圖，這是美國總統(tǒng)加菲爾德證明勾股定理的一個圖形，其中是和的三邊長，根據(jù)勾股定理可得，我們把關(guān)于的一元二次方程稱為“勾系一元二次方程”．已知實數(shù)滿足等式，且的最小值是“勾系一元二次方程”的一個根．四邊形的周長為，試求的面積．

【答案】(1)(2)等腰三角形的周長為13或14(3)1【分析】（1）將等式的右邊展開，再對應(yīng)相等得到，求出、的值即可；（2）將式子配方可得，由偶次方的非負(fù)性可求出，再分兩種情況：當(dāng)為腰長時，當(dāng)為腰長時，利用等腰三角形的性質(zhì)進行計算即可；（3）由兩邊同時加可得，求出的最小值，從而得出是的一個根，得到，由四邊形的周長為求出，再由勾股定理可得，最后由，求出的值即可得到答案．【詳解】（1）解：，，，，；（2）解：，，，，，，，，當(dāng)為腰時，，滿足三角形的三邊關(guān)系，此時等腰三角形的周長為：；當(dāng)為腰時，，滿足三角形的三邊關(guān)系，此時等腰三角形的周長為：，等腰三角形的周長為13或14；（3）解：，，，的最小值為，的最小值是“勾系一元二次方程”的一個根，是的一個根，，，四邊形的周長為，，，，，，，，．【點睛】本題主要考查了配方法的應(yīng)用、運用完全平方公式進行計算、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握以上知識點，準(zhǔn)確進行計算是解題的關(guān)鍵．13．閱讀理解（一）閱讀與思考：通過解方程（組）使問題得到解決的思維方式就是方程思想，剛學(xué)過的《勾股定理》及《一次函數(shù)》都與它有著密切的聯(lián)系，方程家族也將迎來《一元二次方程》這一新成員，它的求解方法之一“配方法”，例如，解一元二次方程．解???或．∴或．（二）解決問題：如圖1，矩形中，，，點G在上，且，點P以1單位每秒的速度在邊上從點B到點C方向運動，設(shè)點P運動時間為x秒．

(1)記△APG的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求時x的值；(2)在點P從B向C運動的過程中，是否存在使的時刻？若存在，求出x的值，請說明理由；(3)如圖2，M，N分別是，的中點，線段所掃過的圖形是什么形狀，并直接寫出它的面積．【答案】(1)，(2)(3)平行四邊形；【分析】（1）先根據(jù)題意得到，，由題意得，根據(jù)得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，即可得到，把帶入函數(shù)解析式，得到，即可求出；（2）若在點P從B向C運動的過程中，存在使，則有：，據(jù)此得到方程，解方程得：；（3）如圖所示：當(dāng)點P與B點重合時，點M位于中點；當(dāng)點與C點重合時，點位于中點；根據(jù)題意得到、'分別是、中位線，進而得到，從而得到四邊形MM'NN'為平行四邊形，掃過的區(qū)域為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形面積公式即可求解．【詳解】（1）解：∵四邊形為矩形，∴，，由題意得，∵∴，∴，當(dāng)時，，解得：；（2）解：若在點P從B向C運動的過程中，存在使，則有：，在中，，在中，，在中，，∴，化簡得：，即，

解得：；（3）解：如圖所示：當(dāng)點P與B點重合時，點M位于中點；當(dāng)點與C點重合時，點位于中點；

∵M是的中點，是的中點，點是中點，∴、'分別是、中位線，∴且,且，∴，∴四邊形MM'NN'為平行四邊形，∴掃過的區(qū)域為平行四邊形，．故答案為：平行四邊形；15．【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形的判定，求一次函數(shù)，一元二次方程的應(yīng)用等知識，熟知相關(guān)知識并靈活應(yīng)用是解題關(guān)鍵，本題要注意方程思想的應(yīng)用．考點三一元二次方程的根的判別式的應(yīng)用14．若關(guān)于x的不等式組有且僅有4個整數(shù)解，且使關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根，則符合條件的整數(shù)m的和為．【答案】【分析】本題考查了一元一次不等式組的整數(shù)解、一元二次方程根的判別式，解本題的關(guān)鍵在綜合得出m的取值范圍．把不等式組整理為，再根據(jù)不等式組有解，得出不等式組的解集為，再根據(jù)不等式組有4個整數(shù)解，得出關(guān)于的不等式組的整數(shù)解為：、、，0，進而得出，解出m的取值范圍，再根據(jù)一元二次方程根的判別式與根的個數(shù)的關(guān)系，得出，解出m的取值范圍，然后綜合得出m的取值范圍，進而得出符合條件的整數(shù)m為3、4、5、6，據(jù)此即可得出答案．【詳解】解：關(guān)于的不等式組，整理可得：，∵關(guān)于的不等式組有解集，∴不等式組的解集為：，∵關(guān)于的不等式組有且僅有4個整數(shù)解，∴關(guān)于的不等式組的整數(shù)解為：、、，0，∴，解得：，∵關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，∴，解得：，綜上所述，m的取值范圍為，∴符合條件的整數(shù)m為3、4、5、6．∴，故答案為：15．若關(guān)于的一元二次方程至少有一個整數(shù)根，且為正整數(shù)，則滿足條件的共有個．【答案】3【分析】若一元二次方程至少有一個整數(shù)根，則根的判別式，建立關(guān)于a的不等式，求出根的判別式和a的取值范圍．還要注意二次項系數(shù)不為0．再根據(jù)根的判別式是完全平方數(shù)進行求解即可．本題考查了一元二次方程根的判別式以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有整數(shù)根，∴且，解得且，∴方程的根為，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得，，且為正整數(shù)，∴，∵為完全平方數(shù)且為正整數(shù)，∴或或，解得或6或13，即滿足條件的共有3個，故答案為：3．16．對于函數(shù)，若，則稱為的“不動點”；若，則稱為的“穩(wěn)定點”．(1)求證：若為的“不動點”，則為的“穩(wěn)定點”；(2)若．若函數(shù)存在“不動點”和“穩(wěn)定點”，且函數(shù)的“不動點”和“穩(wěn)定點”集合分別記為和，即，，且，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)詳見解析(2)【分析】（1）根據(jù)新定義，將代入即可證明；（2）先計算函數(shù)有實數(shù)根時，的取值范圍；再根據(jù)，得方程，討論和時方程根的情況，即可得到此時的取值范圍；最后將所有的取值范圍綜合考慮，即可作答．【詳解】（1）證明：為的“不動點”為的“穩(wěn)定點”（2）且集合中的是方程的實數(shù)根當(dāng)時，將代入方程：中，解得：當(dāng)時，由于方程有實數(shù)根，即有實數(shù)根可得：解得：且集合中的是方程的實數(shù)根，即的實數(shù)根存在“不動點”和“穩(wěn)定點”且“不動點”為方程的實數(shù)根方程必然含有一個因式即：由于，要使方程有解，則分情況討論：第一種：有實數(shù)根，無實數(shù)根即：，解得：第二種：有實數(shù)根，也有實數(shù)根，且兩根相等等式兩邊同乘以，得：將代入，得：解得：將代入中，得：解得：所以綜上所述，的取值范圍為：．【點睛】本題考查了函數(shù)的概念、根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況、解不等式以及新定義的理解和運用，解題的關(guān)鍵在于理解新定義．17．已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：無論m取何值，方程都有兩個不相等的實數(shù)根；(2)如果方程的兩個實數(shù)根為，且為整數(shù)，求整數(shù)m所有可能的值．【答案】(1)證明見解析(2)，，，【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，解一元二次方程等知識．（1）計算一元二次方程根的判別式，即可得到無論m取何值，方程都有兩個不相等的實數(shù)根；（2）利用公式法求出方程的解為或，根據(jù)得到，把變形為，根據(jù)為整數(shù)，m為整數(shù)即可得到或，即可求出m的值．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴無論m取何值，方程都有兩個不相等的實數(shù)根；（2）解：，∵，∴方程都有兩個不相等的實數(shù)根，∴，∴或，∵，∴，∴，∵為整數(shù)，∴也為整數(shù)，∵m為整數(shù)，∴或，∴整數(shù)m所有可能的值為，，，．18．在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，與y軸交于點D．(1)若關(guān)于x的一元二次方程有兩個相等實數(shù)根，求點B的坐標(biāo)；(2)已知點，若直線與x軸交于點，，原點O到直線CD的距離為，求的面積．【答案】(1)(2)4【分析】（1）根據(jù)方程有兩個相等實數(shù)根得出，求出k，m，進而求出一次函數(shù)解析式，即可求出點B的坐標(biāo)；（2）將，分別代入后，可求，結(jié)合，求出，，然后根據(jù)等面積法可求出，然后根據(jù)面積公式即可求解．【詳解】（1）解：關(guān)于x的一元二次方程，整理得，∵方程有兩個相等實數(shù)根，∴，∴，，∴，，∴一次函數(shù)為，∵點B的縱坐標(biāo)為，∴點B的橫坐標(biāo)為2，∴點B的坐標(biāo)為（2）解：將，分別代入，得，化簡得，又，∴，，∴，，又，∴，，，，又原點O到直線CD的距離為，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了根的判別式以及一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，靈活運用判別式以及轉(zhuǎn)化點的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．19．如圖1，四邊形是證明勾股定理時用到的一個圖形，a，b，c是和邊長，易知，這時我們把關(guān)于x的形如的一元二次方程稱為“勾系一元二次方程”．請解決下列問題：

(1)寫出一個“勾系一元二次方程”；(2)求證：關(guān)于x的“勾系一元二次方程”必有實數(shù)根；(3)如圖1，若是“勾系一元二次方程”的一個根，且四邊形的周長是，求面積；(4)如圖2，的三邊分別為a，b，c，，且．求證：關(guān)于x的一元二次方程必有實數(shù)根．【答案】(1)(2)證明見解析(3)(4)證明見解析【分析】（1）直接找一組勾股數(shù)代入方程即可；（2）通過判斷根的判別式的正負(fù)來證明結(jié)論；（3）利用根的意義和勾股定理作為相等關(guān)系先求得的值，再根據(jù)完全平方公式求得的值，從而可求得面積．（4）如圖，由，，過作于，可得，，D在線段上，利用勾股定理可得，由，再證明即可．【詳解】（1）解：當(dāng)，，時勾系一元二次方程為；（2）證明：，∴，∵，∴∴，∴勾系一元二次方程必有實數(shù)根；（3）當(dāng)時，有，即，∵四邊形的周長是，∴，即，∴，∴，∴，，∵，∴∴，∴．（4）如圖，∵，，過作于，∴，，D在線段上，

∵，∴，∴，∵，∴，∴關(guān)于x的一元二次方程必有實數(shù)根．【點睛】本題主要考查了勾股定理，完全平方公式的變形求值，配方法的應(yīng)用，一元二次方程的解和一元二次方程根的判別式，正確讀懂題意是解題的關(guān)鍵．20．若關(guān)于的一元二次方程的根均為整數(shù)，則稱方程為“快樂方程”．通過計算發(fā)現(xiàn)，任何一個“快樂方程”的判別式一定為完全平方數(shù)．現(xiàn)規(guī)定為該“快樂方程”的“快樂數(shù)”．例如“快樂方程”，的兩根均為整數(shù)，其“快樂數(shù)”，若有另一個“快樂方程”的“快樂數(shù)”，且滿足，則稱與互為“開心數(shù)”．(1)“快樂方程”的“快樂數(shù)”為________；(2)若關(guān)于的一元二次方程（為整數(shù)，且）是“快樂方程”，求的值，并求該方程的“快樂數(shù)”；(3)若關(guān)于的一元二次方程與（、均為整數(shù)）都是“快樂方程”，且其“快樂數(shù)”互為“開心數(shù)”，求的值．【答案】(1)(2)，(3)n的值為0或3或【分析】本題考查一元二次方程根的判別式以及“快樂方程”的定義，讀懂題目中“快樂方程”，“快樂數(shù)”的定義是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)“快樂數(shù)”的定義即可求出“快樂方程”的“快樂數(shù)”；（2）先計算，根據(jù)“快樂方程”的定義，得到為完全平方數(shù)，根據(jù)，得到，即可求出或36，根據(jù)m為整數(shù)，即可求出m的值，即可求其“快樂數(shù)”；（3）關(guān)于x的一元二次方程是“快樂方程”，即可求出m的值，求出方程的“快樂數(shù)”，根據(jù)“開心數(shù)”的定義即可求出n的值．【詳解】（1）解：方程的“快樂數(shù)為：，故答案為：；（2）解：方程，∴，∵，∴，又方程是“快樂方程”，∴或36，∴，（舍去），∴方程為：，則，故其“快樂數(shù)”數(shù)是；（3）解：，∴，設(shè)，則，又與同奇偶，∴或或或解得或，∴方程為：或；，∴，，當(dāng)時，∵兩方程的“快樂數(shù)”互為“開心數(shù)”，∴，解得：或，當(dāng)時，，∵兩方程的“快樂數(shù)”互為“開心數(shù)”，∴，解得，綜上，n的值為0或3或．考點四與圖形有關(guān)的一元二次方程應(yīng)用21．利用圖形的分、和、移、補探索圖形關(guān)系是我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一種重要方法．如圖1，是矩形的對角線，將分割成兩對全等的直角三角形和一個正方形，然后按圖2重新擺放，觀察兩圖，若，則矩形的面積是（）A．42 B． C． D．21【答案】A【分析】本題考查了一元二次方應(yīng)用，設(shè)小正方形的邊長為，則矩形的長為，寬為，根據(jù)圖1的面積列出關(guān)于、、的關(guān)系式，代入求出，即可得出矩形的面積．【詳解】解：設(shè)小正方形的邊長為，則矩形的長為，寬為，由圖1可得：，整理得：，∵，∴，∴，∴矩形的面積為，故選：A．22．【觀察思考】【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】第1個圖案中有“★”的個數(shù)為：（個）；第2個圖案中有“★”的個數(shù)為：（個）；第3個圖案中有“★”的個數(shù)為：（個）；第4個圖案中有“★”的個數(shù)為：（個）；第5個圖案中有“★”的個數(shù)為個；（填最簡結(jié)果）第個圖案中有“★”的個數(shù)為個．（用含的式子填空）【規(guī)律應(yīng)用】第個圖案中有“★”有227個，求的值．【答案】規(guī)律發(fā)現(xiàn)：38，；規(guī)律應(yīng)用：14【分析】本題考查了圖形類規(guī)律，解一元二次方程．規(guī)律發(fā)現(xiàn)：根據(jù)前幾個圖案的規(guī)律，可得規(guī)律：每個式子的第一個數(shù)為；底個個數(shù)字為，第三個式數(shù)字為2，即第個圖案中有“★”的個數(shù)為個．據(jù)此即可求解．規(guī)律應(yīng)用：根據(jù)規(guī)律，列出一元二次方程，解方程即可求解．【詳解】解：規(guī)律發(fā)現(xiàn)：第1個圖案中有“★”的個數(shù)為：（個）；第2個圖案中有“★”的個數(shù)為：（個）；第3個圖案中有“★”的個數(shù)為：（個）；第4個圖案中有“★”的個數(shù)為：（個）；；第5個圖案中有“★”的個數(shù)為（個）；,第個圖案中有“★”的個數(shù)為個．規(guī)律應(yīng)用：根據(jù)題意：，即，，即，（負(fù)值舍去）．23．綜合實踐：如何用最少的材料設(shè)計花園？【情境】如圖，小王打算用籬笆圍一個矩形花園，其中一邊靠墻，墻長為10米，現(xiàn)可用的籬笆總長為20米，設(shè)的長為x米．【項目解決】目標(biāo)1：確定面積與邊長關(guān)系．當(dāng)籬笆全部用完，且圍成矩形花園的面積為32平方米時，求的長．目標(biāo)2：探究最少的材料方案．

現(xiàn)要圍面積為平方米的矩形花園，設(shè)所用的籬笆為m米．

（1）若米，能成功圍成嗎？若能，求出的長；若不能，請說明理由．（2）若要成功圍成，則m的最小值為______米，此時，______米．【答案】目標(biāo)1：；

目標(biāo)2：（1）不能，理由見解析；（2）18，；【分析】本題考查了一元二次方程的實際應(yīng)用問題，根據(jù)題干找到等量關(guān)系，列出方程是解題的關(guān)鍵．目標(biāo)1：設(shè)的長為x米，根據(jù)矩形花園的面積為32平方米，則，由于籬笆全部用完，則，即，解方程即可；目標(biāo)2：（1）設(shè)的長為x米，根據(jù)矩形花園面積為平方米，，所用的籬笆為米，列方程，即，判別式小于零，無解，故不能圍成；（2）設(shè)所用的籬笆為米，則，即，根據(jù)判別式大于等于零，可求得最小值，由此可求出此時的值；【詳解】解：目標(biāo)1：設(shè)的長為x米，當(dāng)籬笆全部用完，矩形花園的面積為32平方米，，

現(xiàn)可用的籬笆總長為20米，且籬笆全部用完，，即，解得，，或，又墻長為10米，，不合題意，舍去，．目標(biāo)2：（1）設(shè)的長為x米，

矩形花園面積為平方米，，所用的籬笆為米，，即，，

方程無解，故不能成功圍成．（2）設(shè)所用的籬笆為米，則，即，，，解得，或（舍去），故m的最小值為18米，此時，解得．故米．24．項目化學(xué)習(xí)：主題“校慶主題”草坪設(shè)計情境為了迎接第60周年校慶，同學(xué)們參與一塊長為40米，寬為30米的矩形“校慶主題”草坪設(shè)計．以下為小組對草坪設(shè)計的研究過程．活動任務(wù)一請設(shè)計兩條相同寬度的小路連接矩形草坪兩組對邊．小組內(nèi)同學(xué)們設(shè)計的方案主要有甲、乙、丙、丁四種典型的方案．驅(qū)動問題一（1）請直接寫出小組設(shè)計出來的四種方案小路面積，，，的大小關(guān)系．活動任務(wù)二為施工方便，學(xué)校選擇甲方案設(shè)計，并要求除小路后草坪面積約為1064平方米．驅(qū)動問題二（2）請計算兩條小路的寬度是多少？活動任務(wù)三為了展示校慶元素，打算在草坪上的校慶宣傳主題墻前，靠墻用籬笆圍（三邊）建成一個矩形，且，如圖．驅(qū)動問題三（3）數(shù)學(xué)之星小聰查閱資料發(fā)現(xiàn)：短邊為長邊的倍的矩形稱為黃金矩形．黃金矩形能夠給畫面帶來美感，令人愉悅．為了使長40米的籬笆恰好用完同時圍住矩形的三面，且矩形的形狀更接近黃金矩形．應(yīng)設(shè)計成多少米？（參考數(shù)據(jù)，，結(jié)果取整數(shù)）【答案】（1）；（2）小路的寬為2m；（3）應(yīng)設(shè)計成【分析】（1）通過計算面積然后比較即可；（2）根據(jù)草坪的面積列方程求解；（3）設(shè)矩形寬，長．根據(jù)題意列得，由代入求出y，即可得到x的值．【詳解】解：（1）設(shè)小路的寬度為a米，，，，，∴；（2）設(shè)小路的寬為，則，解得：或（不合題意，舍去），答：小路的寬為2m；（3）設(shè)矩形寬，長．∴,∵，∴，解得：，∴，答：應(yīng)設(shè)計成60米．【點睛】此題考查了平移的知識，列代數(shù)式，解一元二次方程，解一元一次方程，正確理解題意掌握各知識點是解題的關(guān)鍵．25．綜合與實踐：用硬紙板制作無蓋紙盒背景在一次勞動課中，老師準(zhǔn)備了一些長為，寬為的長方形硬紙板，準(zhǔn)備利用每張紙板制作兩個大小完全相等的無蓋長方體紙盒（接頭處忽略不計）．素材配方法是求解二次多項式最值的常用方法，比如：求的最大值，過程如下：∴當(dāng)時，有最大值5．方案1甲活動小組將紙板均分為左右兩塊，每一塊都在四個直角處裁掉四個邊長為的正方形，再沿虛線折起來，其中一個紙盒的底面是正方形．方案2乙活動小組將紙板在四個直角處裁掉四個邊長為的正方形，再在中間裁掉一塊正方形，分別沿著虛線折起來，其中一個紙盒的底面是矩形．任務(wù)1在方案1中，制作的每個無蓋紙盒的底面積為（用含x的代數(shù)式表示），并判斷底面積能否達到．任務(wù)2在方案2中，求制作無蓋紙盒的底面邊的長．任務(wù)3若利用兩個方案制作的兩種無蓋紙盒高度相等，請比較兩種紙盒體積的大?。蝿?wù)4求方案2中制作的單個無蓋紙盒體積的最大值．【答案】任務(wù)1：；能達到；任務(wù)2：；任務(wù)3：故當(dāng)時，方案一的紙盒體積大；當(dāng)時，方案一與方案二的紙盒體積一樣大；當(dāng)時，方案二的紙盒體積大；任務(wù)4：【分析】任務(wù)1：根據(jù)題意用含的代數(shù)式表示出，即可表示出底面的面積；任務(wù)2：首先用的代數(shù)式表示出，根據(jù)中間的四邊形為正方形可表示出；任務(wù)3：因為兩個方案制作的兩種無蓋紙盒高度相等，故底面積大的方案的紙盒的體積就大．因此比較兩種方案種底盒的底面積即可，首先由任務(wù)1，2表示出兩種方案紙盒的底面積，然后分三種情況進行比較即可得到答案；任務(wù)4：首先表示出方案2中紙盒的體積為含的二次多項式，然后用配方法求二次多項式的最值即可．【詳解】解：任務(wù)1：根據(jù)題意得：在方案1中，制作的每個無蓋紙盒的底面積為，故答案為：；令，解得：(不符合題意，舍去)，則此時底面積能達到；任務(wù)2：根據(jù)題意得：；任務(wù)3：因為兩個方案制作的兩種無蓋紙盒高度相等，故底面積大的方案的紙盒的體積就大；由任務(wù)1可知：方案1的底面積為：；由任務(wù)2可知：方案2的底面積為：；根據(jù)題意知：，解得，當(dāng)時，解得，當(dāng)時，解得，當(dāng)時，解得；故當(dāng)時，方案一的紙盒體積大；當(dāng)時，方案一與方案二的紙盒體積一樣大；當(dāng)時，方案二的紙盒體積大．任務(wù)4：方案二中紙盒的體積為：；當(dāng)時，紙盒體積有最大值為．【點睛】本題考查了列代數(shù)式以及一元二次方程的應(yīng)用，配方法求最值問題等知識的實際應(yīng)用，根據(jù)題意列出代數(shù)式是本題的關(guān)鍵．26．三國時期的數(shù)學(xué)家趙爽在其所著的《勾股圓方圖注》中記載了用幾何法對一元二次方程進行求解的方法，以為例，大致過程如下：第一步：將原方程變形為．即．第二步：構(gòu)造一個長為x，寬為的長方形，長比寬大2，且面積為3，如圖①所示．第三步：用四個這樣的長方形圍成一個大正方形，中間是一個小正方形，如圖②所示．第四步：將大正方形邊長用含x的代數(shù)式表示為______．小正方形邊長為常數(shù)______，長方形面積之和為常數(shù)______．由觀察可得，大正方形面積等于四個長方形與小正方形面積之和，得方程__________，兩邊開方可求得，．

(1)單選題：這一過程體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（

）A．統(tǒng)計思想

B．化歸思想

C．分類討論思想

D．?dāng)?shù)形結(jié)合思想(2)第四步中橫線上應(yīng)依次填入______，______，______，______；(3)請參考古人的思考過程，畫出示意圖，寫出步驟，解方程．【答案】(1)D(2)，2，12，(3)圖見解析，，【分析】（1）根據(jù)題意求解即可；（2）根據(jù)題意，表示出大正方形的邊長，小正方形的邊長，長方形面積之和，再由大正方形面積等于四個長方形與小正方形面積之和列出方程即可得到答案；（3）先將原方程變形，構(gòu)造出一個長為，寬為的長方形，長比寬大1，且面積為3，再用四個這樣的長方形圍城一個大正方形，中間是一個小正方形，然后根據(jù)大正方形面積等于四個長方形與小正方形面積之和，得出一個方程，解方程即可得到答案．【詳解】（1）∵用幾何法對一元二次方程進行求解的方法，∴這一過程體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是數(shù)形結(jié)合思想故選：D；（2）解：根據(jù)題意可得：大正方形的邊長為：，小正方形的邊長為：，長方形面積之和為：，大正方形面積等于四個長方形與小正方形面積之和，；（3）解：第一步：將原方程變形為，即，第二步：構(gòu)造成一個長為，寬為的長方形，長比寬大1，且面積為3，第三步：用四個這樣的長方形圍城一個大正方形，中間是一個小正方形，如圖所示，

第四步：將大正方形邊長用含的代數(shù)式表示為，小正方形邊長為常數(shù)，長方形面積之和為常數(shù)，由觀察可得，大正方形面積等于四個長方形與小正方形面積之和，得方程，兩邊開方可求得，．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，用到的知識點是長方形、正方形的面積公式，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程．27．有兩塊長為100cm，寬為40cm的長方形硬紙板．(1)如圖1，把一塊長方形硬紙板的四角剪去四個相同的小正方形，然后沿虛線折成一個無蓋的長方體收納盒．若該收納盒的底面積為，求剪去的小正方形的邊長．(2)如圖2，把另一塊長方形硬紙板的四角剪去四個相同的小長方形，然后折成一個有蓋的長方體收納盒．若和兩邊恰好重合且無重疊部分，該收納盒的底面積為．有一個玩具機械狗，其尺寸大小如圖3所示，請通過計算判斷是否能把玩具機械狗完全放入該收納盒．【答案】(1)2cm(2)不能，詳見解析【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)剪去的小正方形的邊長為，則折成的無蓋收納盒的底面為長，寬為的長方形，根據(jù)該無蓋收納盒的底面積為，可列出關(guān)于的一元二次方程求解；（2）設(shè)剪去小長方形的寬為，則折成的有蓋的長方體收納盒的底面為長，寬為，根據(jù)盒子的底面積為，可列出關(guān)于的一元二次方程，解之可得出值，將其符合題意的值代入及中，可得出折成的有蓋的長方體收納盒的長、寬、高，再結(jié)合玩具機械狗的尺寸大小，即可得出玩具機械狗不能完全放入該收納盒．【詳解】（1）解：（1）設(shè)剪去的小正方形的邊長為，則該收納盒的底面是長為，寬為的長方形，根據(jù)題意得，整理得：，解得（不合題意，舍去），答：剪去的小正方形的邊長為．（2）（2）不能把玩具機械狗完全放入該收納盒．理由如下：設(shè)剪去的小長方形的寬為，則該收納盒的底面是長為，寬為，根據(jù)題意得，整理得，解得（不合題意，舍去），，折成的有蓋的長方體收納盒的長為，寬為，高為，，不能把玩具機械狗完全放入該收納盒．28．教育部頒布的《義務(wù)教育勞動課程標(biāo)準(zhǔn)》中，要求以豐富開放的勞動項目為載體，培養(yǎng)學(xué)生的勞動價值觀和良好的勞動品質(zhì)．東北育才學(xué)校生態(tài)園新一年也有了新的規(guī)劃，請你根據(jù)素材完成任務(wù)．東北育才學(xué)校生態(tài)園年春季規(guī)劃素材一市場調(diào)研，兩種型號的勞動工具價格．（1）型勞動工具的單價比型勞動工具少3元．（2）用元購買型勞動工具的數(shù)量與用元購買型勞動工具的數(shù)量相等．素材二計劃購買，兩種型號的勞動工具（1），兩種型號的勞動工具共個．（2）型勞動工具的數(shù)量不少于型勞動工具數(shù)量的一半．素材三新規(guī)劃一塊矩形苗圃（1）苗圃的一面靠墻（墻的最大可用長度為），另三邊用木欄圍成，中間也用垂直于墻的木欄隔開分成兩個區(qū)域，（2）如圖所示，在兩處各留寬的門（門不用木欄），修建所用木欄的總長為，

問題解決任務(wù)一求，兩種型號勞動工具的單價各是多少元．任務(wù)二求購買這批勞動工具的最少費用．任務(wù)三設(shè)苗圃的一邊長為．（1）用含的代數(shù)式表示苗圃靠墻一邊的長是________；（2）若苗圃的面積為，求的值；（3）苗圃的面積能否為．________（直接回答“能或不能”．）【答案】任務(wù)一：型號勞動工具的單價為元，種型號勞動工具的單價為元任務(wù)二；購買這批勞動工具的最少費用為元任務(wù)三；（1）；（2）8；（3）不能【分析】任務(wù)一；設(shè)型號勞動工具的單價為元，則種型號勞動工具的單價為元，依題意得，，計算求解，然后作答即可；任務(wù)二；設(shè)種型號的勞動工具個，則種型號的勞動工具個，總費用為元，依題意得，，可求，，根據(jù)一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解作答即可；任務(wù)三；（1）依題意得，的長是，計算求解即可；（2）由題意知，，可求，依題意得，，計算求出滿足要求的解即可；（3）令，整理得，，由，判斷作答即可．【詳解】任務(wù)一；解：設(shè)型號勞動工具的單價為元，則種型號勞動工具的單價為元，依題意得，，解得，，經(jīng)檢驗，是原分式方程的解，∴，∴型號勞動工具的單價為元，種型號勞動工具的單價為元；任務(wù)二；解：設(shè)種型號的勞動工具個，則種型號的勞動工具個，總費用為元，依題意得，，解得，，，∵，∴當(dāng)時，總費用最少，元，∴購買這批勞動工具的最少費用為元；任務(wù)三；（1）解：依題意得，的長是（），故答案為：；（2）解：由題意知，，解得，，依題意得，，解得，或（舍去），∴的值為8；（3）解：令，整理得，，∵，∴方程無實數(shù)解，故答案為：不能．【點睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，一元二次方程根的判別式等知識．熟練掌握分式方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，一元二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵．考點五營銷背景下的一元二次方程應(yīng)用29．一玩偶店銷售“抱竹熊貓”、“打坐熊貓”兩款玩偶，其中“抱竹熊貓”成本每件元，“打坐熊貓”成本每件元，“打坐熊貓”的售價是“抱竹熊貓”的倍，大運會開幕第一天“抱竹熊貓”比“打坐熊貓”多賣件，且兩款玩偶當(dāng)天銷售額都剛好到達元．為更好地宣傳國寶，第二天店家決定降價出售，但規(guī)定降價后的售價不低于成本價的，“抱竹熊貓”的售價降低了，當(dāng)天“抱竹熊貓”的銷量在第一天基礎(chǔ)上增加了；“打坐熊貓”的售價打折，結(jié)果“打坐熊貓”的銷量在第一天基礎(chǔ)上增加了，最終第二天兩款熊貓玩偶的總利潤為元，求的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，設(shè)第一天“抱竹熊貓”的售價為元，則“打坐熊貓”的售價為元，列分式方程先求出“抱竹熊貓”和“打坐熊貓”的售價，再根據(jù)第二天兩款熊貓玩偶的總利潤，列出一元二次方程求出的值即可，根據(jù)題意，找到等量關(guān)系，正確列出方程是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)第一天“抱竹熊貓”的售價為元，則“打坐熊貓”的售價為元，由題意可得，，解得，經(jīng)檢驗，是原方程的解，符合題意，∴，∴第一天“抱竹熊貓”的售價為元，則“打坐熊貓”的售價為元，∴根據(jù)第二天總利潤為元可得，，整理得，，解得，，當(dāng)時，，，∵，∴符合題意；當(dāng)，，∵，∴不合題意，舍去；∴，故選：．30．某運動品牌銷售一款運動鞋，已知每雙運動鞋的成本價為60元，當(dāng)售價為100元時，平均每天能售出200雙；經(jīng)過一段時間銷售發(fā)現(xiàn)，平均每天售出的運動鞋數(shù)量y（雙）與降低價格x（元）之間存在如圖所示的函數(shù)關(guān)系．(1)求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)公司希望平均每天獲得的利潤達到8910元，且優(yōu)惠力度最大，則每雙運動鞋的售價應(yīng)該定為多少？(3)為了保證每雙運動鞋的利潤不低于成本價的50%，公司每天能否獲得9000元的利潤？若能，求出定價；若不能，請說明理由．【答案】(1)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=10x＋200；(2)當(dāng)每雙運動鞋的售價為87元時，企業(yè)每天獲得的銷售利潤達到8910元并且優(yōu)惠力度最大.(3)降價10元時，公司每天能獲得9000元的利潤，且每雙運動鞋的利潤不低于成本價的50%.【分析】（1）由題意，設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx＋b，然后由待定系數(shù)法求解析式，即可得到答案；（2）根據(jù)題意，列出一元二次方程，然后解方程，即可求出方程的解；（3）由題意，列出一元一次不等式，求出不等式的解集，然后列一元二次方程，即可求出答案．【詳解】（1）解：設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx＋b(k≠0)，由圖可知其函數(shù)圖象經(jīng)過點（0,200）和（10,300），將其代入y=kx+b得解得∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=10x＋200；（2）解：由題意得（10x＋200)(100－x－60)＝8910，整理得x2－20x＋91＝0，解得：x1＝7,x2＝13；當(dāng)x＝7時，售價為100－7＝93（元），當(dāng)x＝13時，售價為100－13＝87（元），∵優(yōu)惠力度最大，∴取x＝13，答：當(dāng)每雙運動鞋的售價為87元時，企業(yè)每天獲得的銷售利潤達到8910元并且優(yōu)惠力度最大；（3）解：公司每天能獲得9000元的利潤，理由如下：∵要保證每雙運動鞋的利潤率不低于成本價的50%，∴100－60－x≥60×50%,解得：x≤10；依題意，得(100－60－x)(10x＋200)＝9000，整理得x2－20x＋100＝0，解得：x1＝x2＝10；∴降價10元時，公司每天能獲得9000元的利潤，且每雙運動鞋的利潤不低于成本價的50%.【點睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，一元二次方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握題意，正確的列出方程，從而進行解題．31．正月十五是中華民族傳統(tǒng)的節(jié)日——元宵節(jié)，家家掛彩燈、戶戶吃湯圓已成為世代相沿的習(xí)俗．位于北關(guān)古城內(nèi)的盼盼手工湯圓店，計劃在元宵節(jié)前用21天的時間生產(chǎn)袋裝手工湯圓，已知每袋湯圓需要0.3斤湯圓餡和0.5斤湯圓粉，而湯圓店每天能生產(chǎn)450斤湯圓餡或300斤湯圓粉（每天只能生產(chǎn)其中一種）．(1)若這21天生產(chǎn)的湯圓餡和湯圓粉恰好配套，且全部及時加工成湯圓，則總共生產(chǎn)了多少袋手工湯圓？(2)為保證手工湯圓的最佳風(fēng)味，湯圓店計劃把達21天生產(chǎn)的湯圓在10天內(nèi)銷售完畢．據(jù)統(tǒng)計，每袋手工湯圓的成本為13元，售價為25元時每天可售出225袋，售價每降低2元，每天可多售出75袋．湯圓店按售價25元銷售2天后，余下8天進行降價促銷，第10天結(jié)束后將還未售出的手工湯圓以15元/袋的價格全部賣給古城小吃店，若最終獲利40500元，則促銷時每袋應(yīng)降價多少元？【答案】(1)總共生產(chǎn)了袋手工湯圓(2)促銷時每袋應(yīng)降價3元【分析】（1）設(shè)總共生產(chǎn)了袋手工湯圓，利用這21天生產(chǎn)的湯圓餡和湯圓粉恰好配套做等量關(guān)系列出方程即可；（2）設(shè)促銷時每袋應(yīng)降價元，利用最終獲利40500元做等量關(guān)系列出方程即可．【詳解】（1）設(shè)總共生產(chǎn)了袋手工湯圓，依題意得，解得，經(jīng)檢驗是原方程的解，答：總共生產(chǎn)了袋手工湯圓（2）設(shè)促銷時每袋應(yīng)降價元，當(dāng)剛好10天全部賣完時，依題意得，整理得：，∴方程無解∴10天不能全部賣完∴第10天結(jié)束后將還未售出的手工湯圓以15元/袋的價格全部賣給古城小吃店的利潤為∴依題意得，解得（舍去）∵要促銷∴即促銷時每袋應(yīng)降價3元．【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程，需要注意分情況討論．32．2022年某地桑葚節(jié)于4月5日到4月20舉行，熱情的當(dāng)?shù)鼐用駷橛慰蜏?zhǔn)備了桑葚茶、桑葚酒、桑葚醬、桑葚膏等等，在當(dāng)?shù)嘏e行的“桑葚會”上，游客不僅可以品嘗純正的桑葚茶、桑葚酒、桑葚醬、桑葚音，而且還能體驗制作它們的過程．各類桑葚產(chǎn)品均對外銷售，游客們可以買一些送給親朋好友．已知桑葚酒是桑葚醬單價的，預(yù)計桑葚節(jié)期間全鎮(zhèn)銷售桑葚酒和桑葚醬共7500千克，桑葚酒銷售額為200000元，桑葚醬銷售額為125000