中考最值問題：胡不歸問題解析及練習

【新授內(nèi)容】BPBPA知識儲備：在Rt△PAB中，∠B=，設(shè)sinB=n，用含n的式子表示線段PA.由sinB=得，PA=sinPB=nPB（即sinPB表示直角三角形中的對邊）解決胡不歸問題如圖，在△ABC中，P是AC上一動點，sin=nCABP，在圖中畫出當點P在什么位置時CABP分析：將nPB轉(zhuǎn)化成系數(shù)為1的線段，由sin=n可得nPB=sinPB由知識儲備可知，sinPB表示以PB為斜邊的直角三角形中的直角的對邊∴在圖中要畫出以PB為斜邊，夾角為的直角三角形【4步法解決胡不歸問題】DECABPPM解析：①由分析得，令n=sin，則DECABPPM②過n過后定點B作線段BM與PB夾角為③以PB為斜邊作所對直角邊，即過點PD⊥BM于點D則nPB=sinPB=PD④PA+nPB=PA+PD最小，當P、A、D共線的時候最小，即A到BM最小為垂線段AE，AE與BC交點即為所求點P（如圖）【經(jīng)典例題】如圖，在△ABC中，BA＝BC＝4，∠A＝30°，D是AC上一動點，（Ⅰ）AC的長＝4；①=sin，即DC=sinDC②過定點C作③過點D作DE⊥CM于點EDC=sin①=sin，即DC=sinDC②過定點C作③過點D作DE⊥CM于點EDC=sinDC=DE④BD+DC=BD+DE最小即為垂線段BF，與AC交于點D解：∵=sin∴=30°則∠BCE=60°∵BC=4∴BD+DC=BD+DE=BF=2FABCDED2.如圖，?ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P為邊CD上的一動點，則PB+PD的最小值等于．①①=sin，即PD=sinPD②過定點D作③過點P作PE⊥DE于點EPD=sinPD=PE④PB+PD=PB+PE最小，即最小值為垂線段BF，與CD交于點P解：∵∠A=60°，AB=6∴PB+PD=PB+PE=BE=3PEPE3.已知拋物線，與軸交于兩點A，B（點A在點B的左側(cè)），與軸交于點C.（1）求點A，B和點C的坐標；（2）已知P是線段BC上的一個動點.①若PQ⊥軸，交拋物線于點Q，當BP+PQ取最大值時，求點P的坐標；②求AP+PB的最小值.解析：（Ⅰ）令y=0，則，解得．∴A點坐標為（1，0），B點坐標為（4，0）令x=0，則y=2.∴C點坐標為（0，2）（Ⅱ）①設(shè)lBC:y=mx+n，將B（4，0），C（0，2）分別代入得，，解得，故可設(shè)P（t，），0≤t≤4，則Q（t，），且Q在P上方．∴PQ=()=又故BP+PQ=+()=當時取得最大值，此時P（，）②如圖，延長AC至點D，使得CD=CB，連接BD，作DE⊥y軸于點E，過點P作PH⊥BD于點H．由AC2=12+22=5，BC2=22+42=20，AB2=(14)2=25，所以AC2=BC2+AB2，∠ACB=90°．則△BDC是等腰直角三角形，∠CBD=45°AP+PB=(AP+PBsin45°)=(AP+PH)，由垂線段最短可知，當A，P，H共線時(AP+PH)取得最小值．∵∠BCD=∠DEC=∠COB=90°，∵∠DCE+∠BCO=∠BCO+CBO=90°，∴∠DCE=∠CBO．∴△CDE≌△BCO．∴DE=CO=2，CE=BO=4．可得點D的坐標為（2，6）∴BDS△ABD=AB.yD=BD.AH，代入可得，解得AH=，故有AP+PB=(AP+PH)≥2AH=所以AP+PB的最小值為.【課后練習】1.已知拋物線y＝x2﹣bx+c（b，c為常數(shù)，b＞0）經(jīng)過點A（﹣1，0），點M（m，0）是x軸正半軸上的動點．（Ⅰ）當b