山東省煙臺二中2025屆高二上數(shù)學(xué)期末預(yù)測試題含解析

山東省煙臺二中2025屆高二上數(shù)學(xué)期末預(yù)測試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是邊長為2的正方形，側(cè)棱與底面垂直，若點C到平面AB1D1的距離為，則直線與平面所成角的余弦值為（）A. B.C. D.2．如圖，在直三棱柱中，AB＝BC，，若棱上存在唯一的一點P滿足，則（）A. B.1C. D.23．已知雙曲線左右焦點為，，過的直線與雙曲線的右支交于P，Q兩點，且，若為以Q為頂角的等腰三角形，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.4．中國古代數(shù)學(xué)著作算法統(tǒng)宗中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見首日行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還．”其大意為：有一個人走里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，恰好走了天到達(dá)目的地，則該人第一天走的路程為（）A.里 B.里C.里 D.里5．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為棱A1B1上一點，且AB＝2，若二面角B1﹣BC1﹣E為45°，則四面體BB1C1E的外接球的表面積為（）A.π B.12πC.9π D.10π6．若拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，則的值為A. B.C. D.7．已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且恒有，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.8．天文學(xué)家卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運行規(guī)律時發(fā)現(xiàn)：同一平面內(nèi)到兩個定點的距離之積為常數(shù)的點的軌跡是卡西尼卵形線.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)定點為，，，點O為坐標(biāo)原點，動點滿足(且為常數(shù))，化簡得曲線E：.當(dāng)，時，關(guān)于曲線E有下列四個命題：①曲線E既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形；②的最大值為；③的最小值為；④面積的最大值為.其中，正確命題的個數(shù)為（）A.1個 B.2個C.3個 D.4個9．在空間直角坐標(biāo)系中，，，平面的一個法向量為，則平面與平面夾角的正弦值為（）A. B.C. D.10．設(shè),則是的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件11．已知直線l經(jīng)過，兩點，則直線l的傾斜角是（）A.30° B.60°C.120° D.150°12．已知橢圓的左右焦點分別為，，過C上的P作y軸的垂線，垂足為Q，若四邊形是菱形，則C的離心率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列滿足（），設(shè)數(shù)列滿足：，數(shù)列的前項和為，若（）恒成立，則的取值范圍是________14．已知離心率為的橢圓：和離心率為的雙曲線：有公共的焦點，其中為左焦點，P是與在第一象限的公共點.線段的垂直平分線經(jīng)過坐標(biāo)原點，則的最小值為_____________.15．若，滿足約束條件，則的最大值為_____________16．已知雙曲線的兩條漸近線的夾角為，則_______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）（1）某校運動會上甲、乙、丙、丁四名同學(xué)在100m、400m、800m三個項目中選擇，每人報一項，共有多少種報名方法？（2）若甲、乙、丙、丁四名同學(xué)選報100m、400m、800m三個項目，每項均有一人報名，且每人至多報一項，共有多少種報名方法？（3）若甲、乙、丙、丁名同學(xué)爭奪100m、400m、800m三項冠軍，共有多少種可能的結(jié)果？18．（12分）一個盒中裝有編號分別為、、、的四個形狀大小完全相同的小球.（1）從盒中任取兩球，列出所有的基本事件，并求取出的球的編號之和大于的概率；（2）從盒中任取一球，記下該球的編號，將球放回，再從盒中任取一球，記下該球的編號，列出所有的基本事件，并求的概率.19．（12分）已知數(shù)列的前項和是，且，等差數(shù)列中，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）定義：記，求數(shù)列的前20項和20．（12分）現(xiàn)將兩個班的藝術(shù)類考生報名表分別裝進(jìn)2個檔案袋，第一個檔案袋內(nèi)有6名男生和4名女生的報名表，第二個檔案袋內(nèi)有5名男生和5名女生的報名表．隨機(jī)選擇一個檔案袋，然后從中隨機(jī)抽取2份報名表（1）若選擇的是第一個檔案袋，求從中抽到兩名男生報名表的概率；（2）求抽取的報名表是一名男生一名女生的概率21．（12分）已知橢圓的離心率為，短軸長為2（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過點且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點，，求當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時的值22．（10分）如圖,在四棱錐中,四邊形是直角梯形,，,，為等邊三角形.（1）證明：；（2）求點到平面的距離.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】先由等面積法求得的長，再以為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，運用線面角的向量求解方法可得答案【詳解】如圖，連接交于點，過點作于，則平面，則，設(shè)，則，則根據(jù)三角形面積得，代入解得以為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則，，設(shè)平面的法向量為，，，則，即，令，得，所以直線與平面所成的角的余弦值為，故選：2、D【解析】設(shè)，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，令且，求出，，再由向量垂直的坐標(biāo)表示列方程，結(jié)合點P的唯一性有求參數(shù)a，即可得結(jié)果.【詳解】由題設(shè)，構(gòu)建如下圖空間直角坐標(biāo)系，若，則，，且，所以，，又存在唯一的一點P滿足，所以，則，故，可得，此時，所以.故選：D3、C【解析】由雙曲線的定義得出中各線段長（用表示），然后通過余弦定理得出的關(guān)系式，變形后可得離心率【詳解】由題意，又，所以，從而，，，中，，中．，所以，，所以，故選：C4、C【解析】建立等比數(shù)列的模型，由等比數(shù)列的前項和公式求解【詳解】記第天走的路程為里，則是等比數(shù)列，，，故選：C5、D【解析】連接交于，可得，利用線面垂直的判定定理可得：平面，于是，可得而為二面角的平面角，再求出四面體的外接球半徑，進(jìn)而利用球的表面積計算公式得出結(jié)論【詳解】連接交于，則，易知，則平面，所以，從而為二面角的平面角，則.因為，所以，所以四面體的外接球半徑故四面體BB1C1E的外接球的表面積為故選：D【點睛】本題考查了正方體的性質(zhì)、線面垂直的判定與性質(zhì)定理、二面角的平面角、球的表面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題6、D【解析】解：橢圓的右焦點為(2,0)，所以拋物線的焦點為(2,0)，則，故選D7、D【解析】構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，令，其中，則，∵，∴，∴在上為單調(diào)遞減函數(shù)，∴，即，，則錯誤；，即，則錯誤；，即，則錯誤；，即，則正確；故選：.8、D【解析】①：根據(jù)軸對稱圖形、中心對稱圖形的方程特征進(jìn)行判斷即可；②：結(jié)合兩點間距離公式、曲線方程特征進(jìn)行判斷即可；③：根據(jù)卡西尼卵形線的定義，結(jié)合基本不等式進(jìn)行判斷即可；④：根據(jù)方程特征，結(jié)合三角形面積公式進(jìn)行判斷即可.【詳解】當(dāng)，時，.①：因為以代方程不變，以代方程不變，同時代，以代方程不變，所以曲線E既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，因此本命題正確；②：由，所以有，所以，當(dāng)時成立，因此本命題正確；③：因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，因此本命題正確；④：，因為，所以，的面積為，因此本命題正確，故選：D【點睛】關(guān)鍵點睛：利用方程特征進(jìn)行求解判斷是解題的關(guān)鍵.9、A【解析】根據(jù)給定條件求出平面的法向量，再借助空間向量夾角公式即可計算作答.【詳解】設(shè)平面的法向量為，則，令，得，令平面與平面夾角為，則，，所以平面與平面夾角的正弦值為.故選：A10、B【解析】,，所以是必要不充分條件，故選B.考點：1.指、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；2.充分條件與必要條件.11、C【解析】設(shè)直線l的傾斜角為，由題意可得直線l的斜率，即，∵，∴直線l的傾斜角為，故選：.12、C【解析】根據(jù)題意求出P點坐標(biāo)，代入橢圓方程中，可整理得到關(guān)于a,c的等式，進(jìn)一步整理為關(guān)于e的方程，解得答案.【詳解】如圖示：由題意可知，因為四邊形是菱形，所以，則，所以P點坐標(biāo)為，將P點坐標(biāo)為代入得：，整理得，故，由于，解得，所以，故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先由條件求出的通項公式，得到，由裂項相消法再求出，根據(jù)不等式恒成立求出參數(shù)的范圍即可.【詳解】當(dāng)時，有當(dāng)時，由①有②由①－②得：所以，當(dāng)時也成立.所以,故則由，即，所以所以，由所以故答案為：【點睛】本題考查求數(shù)列的通項公式，考查裂項相消法求和以及數(shù)列不等式問題，屬于中檔題.14、##4.5【解析】設(shè)為右焦點，半焦距為，，由題意，，則，所以，從而有，最后利用均值不等式即可求解.【詳解】解：設(shè)為右焦點，半焦距為，，由題意，，則，所以，即，故，當(dāng)且僅當(dāng)時取等，所以，故答案為：.15、6【解析】首先根據(jù)題中所給的約束條件，畫出相應(yīng)的可行域，再將目標(biāo)函數(shù)化成斜截式，之后在圖中畫出直線，在上下移動的過程中，結(jié)合的幾何意義，可以發(fā)現(xiàn)直線過B點時取得最大值，聯(lián)立方程組，求得點B的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)解析式，求得最大值.【詳解】根據(jù)題中所給的約束條件，畫出其對應(yīng)的可行域，如圖所示：由，可得，畫出直線，將其上下移動，結(jié)合的幾何意義，可知當(dāng)直線在y軸截距最大時，z取得最大值，由，解得，此時，故答案為6.點睛：該題考查的是有關(guān)線性規(guī)劃的問題，在求解的過程中，首先需要正確畫出約束條件對應(yīng)的可行域，之后根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的形式，判斷z的幾何意義，之后畫出一條直線，上下平移，判斷哪個點是最優(yōu)解，從而聯(lián)立方程組，求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入求值，要明確目標(biāo)函數(shù)的形式大體上有三種：斜率型、截距型、距離型；根據(jù)不同的形式，應(yīng)用相應(yīng)的方法求解.16、或【解析】首先判斷漸近線的傾斜角，再求的值.【詳解】由條件可知雙曲線的其中一條漸近線方程是，因為兩條漸近線的夾角是，所以直線的傾斜角是或，即或.故答案為：或三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）81種；（2）24種；（3）64種【解析】（1）利用分步計數(shù)原理可求報名方法總數(shù).（2）利用分步計數(shù)原理可求報名方法總數(shù).（3）利用分步計數(shù)原理可求報名方法總數(shù).【詳解】（1）要完成的是“4名同學(xué)每人從三個項目中選一項報名”這件事，因為每人必報一項，4人都報完才算完成，所以按人分步，且分為四步，又每人可在三項中選一項，選法為3種，所以共有（種）報名方法（2）每項限報一人，且每人至多報一項，因此100m項目有4種選法，400m項目有3種選法，800m項目只有2種選法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得不同的報名方法有（種）（3）要完成的是“三個項目冠軍的獲取”這件事，因為每項冠軍只能有一人獲得，三項冠軍都有得主，這件事才算完成，所以應(yīng)以“確定三項冠軍得主”為線索進(jìn)行分步，而每項冠軍的得主有4種可能結(jié)果，所以共有（種）可能的結(jié)果18、（1）基本事件答案見解析，概率為；（2）基本事件答案見解析，概率為.【解析】（1）利用列舉法列舉出所有的基本事件，并確定事件“取出的球的編號之和大于”所包含的基本事件數(shù)，利用古典概型的概率公式可求得結(jié)果；（2）利用列舉法列舉出所有的基本事件，并確定事件“”所包含的基本事件數(shù)，利用古典概型的概率公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）記“從盒中任取兩球，取出球的編號之和大于”為事件，樣本點表示“從盒中取出、號球”，且和表示相同的樣本點（以此類推），則樣本空間為，則，根據(jù)古典概型可知，從盒中任取兩球，取出球的編號之和大于的概率為；（2）記“”為事件，樣本點表示第一次取出號球，將球放回，從盒中取出號球（以此類推），則樣本空間，則，所以，故事件“”的概率為.19、（1）；（2）【解析】（1）利用求得遞推關(guān)系得等比數(shù)列，從而得通項公式，再由等差數(shù)列的基本時法求得通項公式；（2）根據(jù)定義求得，然后分組求和法求得和【小問1詳解】由題意，當(dāng)時，兩式相減，得，即是首項為3，公比為3的等比數(shù)列設(shè)數(shù)列的公差為，小問2詳解】由20、（1）；（2）.【解析】（1）選擇的是第一個檔案袋，從中隨機(jī)抽取2份報名表，基本事件總數(shù)，從中抽到兩名男生報名表包含的基本事件個數(shù)為，由此能求出從中抽到兩名男生報名表的概率；（2）設(shè)事件表示抽取到第個檔案袋，，設(shè)事件表示抽取的報名表是一名男生一名女生，利用全概率公式能求出抽取的報名表是一名男生一名女生的概率【小問1詳解】（1）第一個檔案袋內(nèi)有6名男生和4名女生的報名表，選擇的是第一個檔案袋，從中隨機(jī)抽取2份報名表，基本事件總數(shù)，從中抽到兩名男生報名表包含的基本事件個數(shù)為，從中抽到兩名男生報名表的概率【小問2詳解】設(shè)事件表示抽取到第個檔案袋，，設(shè)事件表示抽取的報名表是一名男生一名女生，則，，，，抽取的報名表是一名男生一名女生的概率為：21、（1）；（2）.【解析】（1）由短軸長得，由離心率處也的關(guān)系，從而可求得，得橢圓方程；（2）設(shè)，，直線的方程為，代入橢圓方程應(yīng)用韋達(dá)定理得，由弦長公式得弦長，求出原點到直線的距離，得出三角形面積為的函數(shù)，用換元法，基本不等式求得最大值，得值【詳解】解：（1）由題意得，，所以，，橢圓的方程為（2）直線的方程為，代入橢圓的方程，整理得由題意，，設(shè)，則，弦長，點到直線的距離，所以的面積，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．所以，對應(yīng)的，可解得，滿足題意22、（1）略；（2）【解析】