2025屆北京市房山區(qū)房山實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題含解析

2025屆北京市房山區(qū)房山實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，且點(diǎn)F與圓上點(diǎn)的距離的最大值為6，則拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B.C. D.2．如圖，用4種不同的顏色對A，B，C，D四個(gè)區(qū)域涂色，要求相鄰的兩個(gè)區(qū)域不能用同一種顏色，則不同的涂色方法有（）A.24種 B.48種C.72種 D.96種3．隨機(jī)地向兩個(gè)標(biāo)號分別為1與2的格子涂色，涂上紅色或綠色，在已知其中一個(gè)格子顏色為紅色條件下另一個(gè)格子顏色也為紅色的概率為（）A. B.C. D.4．已知橢圓的左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，若，則橢圓的離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.5．已知實(shí)數(shù)a，b，c，若a＞b，則下列不等式成立的是（）A B.C. D.6．已知函數(shù)，若，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A. B.C. D.7．連擲一枚均勻的骰子兩次，所得向上的點(diǎn)數(shù)分別為m，n，記，則下列說法正確的是（）A.事件“”的概率為 B.事件“t是奇數(shù)”與“”互為對立事件C.事件“”與“”互為互斥事件 D.事件“且”的概率為8．如圖，一個(gè)圓錐形的空杯子上面放著一個(gè)半徑為4.5cm的半球形的冰淇淋，若冰淇淋融化后正好盛滿杯子，則杯子的高（）A.9cm B.6cmC.3cm D.4.5cm9．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，以為圓心，以為半徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點(diǎn)，若(為坐標(biāo)原點(diǎn))，則雙曲線的離心率為（）.A. B.C. D.10．已知雙曲線：與橢圓：有相同的焦點(diǎn)，且一條漸近線方程為：，則雙曲線的方程為（）A. B.C. D.11．等軸雙曲線漸近線是（）A. B.C. D.12．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣：按照以上排列的規(guī)律，第行從左向右的第2個(gè)數(shù)為____________.14．已知函數(shù)，，則曲線在處的切線方程為___________.15．已知雙曲線C的方程為，，，雙曲線C上存在一點(diǎn)P，使得，則實(shí)數(shù)a的最大值為___________.16．若圓和圓的公共弦所在的直線方程為，則______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某校從高一年級學(xué)生中隨機(jī)抽取40名中學(xué)生，將他們的期中考試數(shù)學(xué)成績(滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù))分成六段：，，…，所得到如圖所示的頻率分布直圖（1）求圖中實(shí)數(shù)的值；（2）若該校高一年級共有640人，試估計(jì)該校高一年級期中考試數(shù)學(xué)成績不低于60分的人數(shù)；（3）若從數(shù)學(xué)成績在[40，50)與[90，100]兩個(gè)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)選取兩名學(xué)生，求這2名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的絕對值不大于10的概率.18．（12分）2017年國家提出鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略目標(biāo)：2020年取得重要進(jìn)展，制度框架和政策體系基本形成；2035年取得決定性進(jìn)展，農(nóng)業(yè)農(nóng)村現(xiàn)代化基本實(shí)現(xiàn)；2050年鄉(xiāng)村全面振興，農(nóng)業(yè)強(qiáng)、農(nóng)村美、農(nóng)民富全面實(shí)現(xiàn)．某地為實(shí)現(xiàn)鄉(xiāng)村振興，對某農(nóng)產(chǎn)品加工企業(yè)調(diào)研得到該企業(yè)2012年到2020年盈利情況：年份201220132014201520162017201820192020年份代碼x123456789盈利y（百萬）6.06.16.26.06.46.96.87.17.0（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)判斷年盈利y與年份代碼x是否具有線性相關(guān)性；（2）若年盈利y與年份代碼x具有線性相關(guān)性，求出線性回歸方程并根據(jù)所求方程預(yù)測該企業(yè)2021年年盈利（結(jié)果保留兩位小數(shù)）參考數(shù)據(jù)及公式：，，，，，統(tǒng)計(jì)中用相關(guān)系數(shù)r來衡量變量y，x之間的線性關(guān)系的強(qiáng)弱，當(dāng)時(shí)，變量y，x線性相關(guān)19．（12分）在等差數(shù)列中，，前10項(xiàng)和（1）求列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，求的前8項(xiàng)和20．（12分）如圖，正三棱柱中，D是的中點(diǎn)，.（1）求點(diǎn)C到平面的距離；（2）試判斷與平面的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.21．（12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和為22．（10分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）在與之間插入n個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】先求得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)F與圓上點(diǎn)的距離的最大值為6求解.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為F，且點(diǎn)F與圓上點(diǎn)的距離的最大值為6，所以，解得，所以拋物線準(zhǔn)線方程為，故選：D2、B【解析】按涂色順序進(jìn)行分四步，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得解.【詳解】按涂色順序進(jìn)行分四步：涂A部分時(shí)，有4種涂法；涂B部分時(shí)，有3種涂法；涂C部分時(shí)，有2種涂法；涂D部分時(shí)，有2種涂法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理，得不同的涂色方法共有種.故選：B.3、D【解析】根據(jù)古典概型的概率公式即可得出答案.【詳解】在已知其中一個(gè)格子顏色為紅色條件下另一個(gè)格子顏色有紅色與綠色兩種情況，其中一個(gè)格子顏色為紅色條件下另一個(gè)格子顏色也為紅色的情況有1種，所以在已知其中一個(gè)格子顏色為紅色條件下另一個(gè)格子顏色也為紅色的概率為.故選：D.4、B【解析】根據(jù)題意得到，根據(jù)，化簡得到，進(jìn)而得到離心率的不等式，即可求解.【詳解】由題意，橢圓的左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，所以，，因?yàn)?，可得，即，又由，可得，可得，解得，又因?yàn)闄E圓的離心率，所以，即橢圓的離心率為.故選：B.【點(diǎn)睛】求解橢圓或雙曲線離心率的三種方法：1、定義法：通過已知條件列出方程組，求得得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率；2、齊次式法：由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程求解；3、特殊值法：通過取特殊值或特殊位置，求出離心率.5、C【解析】根據(jù)不等式的性質(zhì)逐一分析即可得出答案.【詳解】解：對于A，因?yàn)閍＞b，若，則，故A錯(cuò)誤；對于B，若，則，故B錯(cuò)誤；對于C，若a＞b，又，所以，故C正確；對于D，當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤.故選：C.6、A【解析】函數(shù)，若，，可得，解得或，則實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選A.7、D【解析】計(jì)算出事件“t＝12”的概率可判斷A；根據(jù)對立事件的概念，可判斷B；根據(jù)互斥事件的概念，可判斷C；計(jì)算出事件“t＞8且mn＜32”的概率可判斷D；【詳解】連擲一枚均勻的骰子兩次，所得向上的點(diǎn)數(shù)分別為m，n，則共有個(gè)基本事件，記t＝m＋n，則事件“t＝12”必須兩次都擲出6點(diǎn)，則事件“t＝12”的概率為，故A錯(cuò)誤；事件“t是奇數(shù)”與“m＝n”為互斥不對立事件,如事件m=3,n=5，故B錯(cuò)誤；事件“t＝2”與“t≠3”不是互斥事件，故C錯(cuò)誤；事件“t＞8且mn＜32”有共9個(gè)基本事件，故事件“t＞8且mn＜32”的概率為，故D正確；故選：D8、A【解析】根據(jù)圓錐和球的體積公式以及半球的體積等于圓錐的體積，即可列式解出【詳解】由題意可得，，解得．故選：A9、A【解析】設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為，為的中點(diǎn)，可得，由，可知為的三等分點(diǎn)，用兩種方式表示，可得關(guān)于的方程組，結(jié)合即可得到雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為，為的中點(diǎn)，可得，由到漸近線的距離為，所以，又，所以，因?yàn)?，所以，整理可得：，即，所以，可得，所以，所以雙曲線的離心率為，故選：A.10、B【解析】由漸近線方程，設(shè)出雙曲線方程，結(jié)合與橢圓有相同的焦點(diǎn)，求出雙曲線方程.【詳解】∵雙曲線：的一條漸近線方程為：∴設(shè)雙曲線：∵雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)∴，解得：∴雙曲線的方程為.故選：B.11、A【解析】對等軸雙曲線的焦點(diǎn)的位置進(jìn)行分類討論，可得出等軸雙曲線的漸近線方程.【詳解】因?yàn)?，若雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，則等軸雙曲線的漸近線方程為；若雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，則等軸雙曲線的漸近線方程為.綜上所述，等軸雙曲線的漸近線方程為.故選：A.12、B【解析】根據(jù)輸入的條件執(zhí)行循環(huán)，并且每一次都要判斷結(jié)論是或否，直至退出循環(huán).【詳解】，，，；，【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖，執(zhí)行循環(huán)，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】通過觀察、分析、歸納，找出規(guī)律運(yùn)算求解即可【詳解】前行共有正整數(shù)個(gè)，即個(gè)，因此第行第個(gè)數(shù)是全體正整數(shù)中第個(gè)，即為故答案為：14、【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得在點(diǎn)處的切線方程.【詳解】由，求導(dǎo)，知，又，則函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為.故答案為：15、2【解析】設(shè)出，根據(jù)條件推出在圓上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)題意要使雙曲線和圓有交點(diǎn)，則得答案.【詳解】設(shè)點(diǎn)，由得：，所以，化簡得：，即滿足條件的點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，又點(diǎn)存在于上，故雙曲線與圓有交點(diǎn)，則,即實(shí)數(shù)a的最大值為2，故答案為：216、【解析】由兩圓公共弦方程，將兩圓方程相減得到，結(jié)合已知列方程組求、，即可得答案.【詳解】由題設(shè)，兩圓方程相減可得：，即為公共弦，∴，可得，∴.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）a=0.03；（2）544人；（3）.【解析】（1）根據(jù)圖中所有小矩形的面積之和等于1求解.

（2）根據(jù)頻率分布直方圖，得到成績不低于60分的頻率，再根據(jù)該校高一年級共有學(xué)生640人求解.

（3）由頻率分布直方圖得到成績在[40，50)和[90，100]分?jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù)，先列舉出從數(shù)學(xué)成績在[40，50)與[90，100]兩個(gè)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)選取兩名學(xué)生的基本事件總數(shù)，再得到兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的絕對值不大于10”的基本事件數(shù)，代入古典概型概率求解.【詳解】（1）∵圖中所有小矩形的面積之和等于1，∴10×(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1，解得a=0.03.

（2）根據(jù)頻率分布直方圖，成績不低于60分的頻率為1?10×(0.005+0.01)=0.85，

∵該校高一年級共有學(xué)生640人，

∴由樣本估計(jì)總體的思想，可估計(jì)該校高一年級數(shù)學(xué)成績不低于60分的人數(shù)約為640×0.85=544人.

（3）成績在[40，50)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù)為40×0.05=2人，分別記為A，B，

成績在[90，100]分?jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù)為40×0.1=4人，分別記為C，D，E，F(xiàn).

若從數(shù)學(xué)成績在[40，50)與[90，100]兩個(gè)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)選取兩名學(xué)生，

則所有的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，(C，D)，(C，E)，

(C，F(xiàn))，(D，E)，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))共15種.

如果兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績都在[40，50)分?jǐn)?shù)段內(nèi)或都在[90，100]分?jǐn)?shù)段內(nèi)，

那么這兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的絕對值一定不大于10.

如果一個(gè)成績在[40，50)分?jǐn)?shù)段內(nèi)，另一個(gè)成績在[90，100]分?jǐn)?shù)段內(nèi)，

那么這兩名學(xué)生數(shù)學(xué)成績之差的絕對值一定大于10.

記“這兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的絕對值不大于10”為事件M，

則事件M包含的基本事件有：(A，B)，(C，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，(D，E)，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))共7種.

∴所求概率為P(M)=.【點(diǎn)睛】本題主要考查頻率分布直方圖的應(yīng)用以及古典概型概率的求法，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.18、（1）年盈利y與年份代碼x具有線性相關(guān)性（2），7.25百萬元【解析】（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)和提供的公式計(jì)算即可；（2）先求線性回歸方程，再代入計(jì)算即可【小問1詳解】由表中的數(shù)據(jù)得，，，，因?yàn)?，所以年盈利y與年份代碼x具有線性相關(guān)性【小問2詳解】，，，當(dāng)時(shí)，，該企業(yè)2021年年盈利約為7.25百萬元19、（1）；（2）347.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，解方程組即得解；（2）先求出，再分組求和得解.【詳解】解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則解得所以（2）由題意，，所以所以的前8項(xiàng)和為20、（1）（2）平行，證明過程見解析.【解析】（1）利用等體積法即可求解；（2）利用線面平行判定即可求解.【小問1詳解】解：正三棱柱中，D是的中點(diǎn)，所以，，正三棱柱中，所以又因?yàn)檎庵校瑐?cè)面平面且交線為且平面中，所以平面又平面所以設(shè)點(diǎn)C到平面的距離為在三棱錐中，即所以點(diǎn)C到平面的距離為.【小問2詳解】與平面的位置，證明如下：連接交于點(diǎn)，連接，如下圖所示，因?yàn)檎庵膫?cè)面為矩形所以為的中點(diǎn)又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)所以為的中位線所以又因?yàn)槠矫?，且平面所以平?1、（1）證明見解析;（2）.【解析】（1）由已知得，當(dāng)時(shí)，兩式作差整理得，根據(jù)等比數(shù)列的定義可得證；（2）由（1）求得，，再運(yùn)用錯(cuò)位相減法可求得答案.【小問1詳解】證明：因