2025屆北京師大第二附中數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2025屆北京師大第二附中數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線(xiàn)條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．與直線(xiàn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)的方程為（）A. B.C. D.2．拋物線(xiàn)焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B.C. D.3．若，則圖像上的點(diǎn)的切線(xiàn)的傾斜角滿(mǎn)足（）A.一定為銳角 B.一定為鈍角C.可能為 D.可能為直角4．等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A. B.8C.1或 D.或5．甲、乙兩名同學(xué)8次考試的成績(jī)統(tǒng)計(jì)如圖所示，記甲、乙兩人成績(jī)的平均數(shù)分別為，，標(biāo)準(zhǔn)差分別為，，則（）A.＞，＜ B.＞，＞C.＜，＜ D.＜，＞6．設(shè)雙曲線(xiàn)與橢圓：有公共焦點(diǎn)，.若雙曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，設(shè)為雙曲線(xiàn)與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)，則的余弦值為（）A. B.C. D.7．設(shè)F為雙曲線(xiàn)C：（a>0，b>0）的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P、Q兩點(diǎn)．若|PQ|=|OF|，則C的離心率為A. B.C.2 D.8．設(shè)等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別是，若，則（）A. B.C. D.9．已知斜率為1的直線(xiàn)l過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，交橢圓于A(yíng)，B兩點(diǎn)，則弦AB的長(zhǎng)為（）A. B.C. D.10．已知雙曲線(xiàn)（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)P是雙曲線(xiàn)在第二象限的部分上一點(diǎn)，且，點(diǎn)Q是線(xiàn)段的中點(diǎn)，且，Q關(guān)于直線(xiàn)PA對(duì)稱(chēng)，則雙曲線(xiàn)的離心率為（）A.3 B.2C. D.11．已知橢圓與雙曲線(xiàn)有相同的焦點(diǎn)，且它們的離心率之積為1，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.12．已知橢圓的短軸長(zhǎng)為8，且一個(gè)焦點(diǎn)是圓的圓心，則該橢圓的左頂點(diǎn)為（）A B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知正數(shù)、滿(mǎn)足，則的最大值為_(kāi)_________14．已知雙曲線(xiàn)左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P是雙曲線(xiàn)左支上一點(diǎn)且，則______15．直線(xiàn)的一個(gè)法向量________.16．如圖，橢圓的左右焦點(diǎn)為，，以為圓心的圓過(guò)原點(diǎn)，且與橢圓在第一象限交于點(diǎn)，若過(guò)、的直線(xiàn)與圓相切，則直線(xiàn)的斜率______；橢圓的離心率______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，已知四邊形中，，，，且，求四邊形的面積18．（12分）在中，角的對(duì)邊分別為，且.（1）求；（2）若，的面積為，求.19．（12分）已知拋物線(xiàn)的方程為，點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于兩點(diǎn)（1）求△OAB面積的最小值（為坐標(biāo)原點(diǎn)）；（2）是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說(shuō)明理由20．（12分）已知拋物線(xiàn)C:（1）若拋物線(xiàn)C上一點(diǎn)P到F的距離是4，求P的坐標(biāo)；（2）若不過(guò)原點(diǎn)O的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，且，求證：直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)21．（12分）某公交公司為了方便市民出行，科學(xué)規(guī)劃車(chē)輛投放，在一個(gè)人員密集流動(dòng)地段增設(shè)一個(gè)起點(diǎn)站，為了研究車(chē)輛發(fā)車(chē)間隔時(shí)間x與乘客等候人數(shù)y之間的關(guān)系，經(jīng)過(guò)調(diào)查得到如下數(shù)據(jù)：間隔時(shí)間x/分101112131415等候人數(shù)y/人232526292831調(diào)查小組先從這6組數(shù)據(jù)中選取4組數(shù)據(jù)求線(xiàn)性回歸方程，再用剩下的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).檢驗(yàn)方法如下：先用求得的線(xiàn)性回歸方程計(jì)算間隔時(shí)間對(duì)應(yīng)的等候人數(shù)，再求與實(shí)際等候人數(shù)y的差，若差值的絕對(duì)值都不超過(guò)1，則稱(chēng)所求方程是“恰當(dāng)回歸方程”.（1）若選取的是中間4組數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的線(xiàn)性回歸方程=x+，并判斷此方程是否是“恰當(dāng)回歸方程”.（2）假設(shè)該起點(diǎn)站等候人數(shù)為24人，請(qǐng)你根據(jù)（1）中的結(jié)論預(yù)測(cè)車(chē)輛發(fā)車(chē)間隔多少時(shí)間合適?附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其回歸直線(xiàn)=x+的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為22．（10分）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱BC，CD的中點(diǎn)（1）求證：D1F平面A1EC1；（2）求直線(xiàn)AC1與平面A1EC1所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，據(jù)此即可求解.【詳解】設(shè)(x，y)是與直線(xiàn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)上任意一點(diǎn)，則(x，－y)在上，故，∴與直線(xiàn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)的方程為.故選：D.2、C【解析】由拋物線(xiàn)方程確定焦點(diǎn)位置，確定焦參數(shù)，得焦點(diǎn)坐標(biāo)【詳解】拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)在軸正半軸，，，，因此焦點(diǎn)坐標(biāo)為故選：C3、C【解析】求出導(dǎo)函數(shù)，判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而得出結(jié)論【詳解】，時(shí)，，遞減，時(shí)，，遞增，而，所以切線(xiàn)斜率可能為正數(shù)，也可能為負(fù)數(shù)，還可以為0，則傾斜角可為銳角，也可為鈍角，還可以為，當(dāng)時(shí)，斜率不存在，而存在，則不成立.故選：C4、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式及等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則因?yàn)椋?，即，解得或，所以?故選：C.5、A【解析】根據(jù)折線(xiàn)統(tǒng)計(jì)圖，結(jié)合均值、方差的實(shí)際含義判斷、及、的大小.【詳解】由統(tǒng)計(jì)圖知：甲總成績(jī)比乙總成績(jī)要高，則＞，又甲成績(jī)的分布比乙均勻，故＜.故選：A.6、A【解析】求出雙曲線(xiàn)方程，根據(jù)橢圓和雙曲線(xiàn)的第一定義求出的長(zhǎng)度，從而根據(jù)余弦定理求出的余弦值【詳解】由題得，雙曲線(xiàn)中，所以，雙曲線(xiàn)方程為：，假設(shè)在第一象限，根據(jù)橢圓和雙曲線(xiàn)的定義可得：，解得：，，所以根據(jù)余弦定理，故選：A7、A【解析】準(zhǔn)確畫(huà)圖，由圖形對(duì)稱(chēng)性得出P點(diǎn)坐標(biāo)，代入圓的方程得到c與a關(guān)系，可求雙曲線(xiàn)的離心率【詳解】設(shè)與軸交于點(diǎn)，由對(duì)稱(chēng)性可知軸，又，為以為直徑的圓的半徑，為圓心，又點(diǎn)在圓上，，即，故選A【點(diǎn)睛】本題為圓錐曲線(xiàn)離心率的求解，難度適中，審題時(shí)注意半徑還是直徑，優(yōu)先考慮幾何法，避免代數(shù)法從頭至尾，運(yùn)算繁瑣，準(zhǔn)確率大大降低，雙曲線(xiàn)離心率問(wèn)題是圓錐曲線(xiàn)中的重點(diǎn)問(wèn)題，需強(qiáng)化練習(xí)，才能在解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)事半功倍，信手拈來(lái)8、C【解析】結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求得正確答案.【詳解】依題意等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別是，由于，故可設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，，所以，所以.故選：C9、C【解析】根據(jù)題意求得直線(xiàn)l的方程，設(shè)，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓的方程，利用韋達(dá)定理求得，再利用弦長(zhǎng)公式即可得出答案.【詳解】由橢圓知，，所以，所以右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線(xiàn)的方程為，設(shè)，聯(lián)立，消y得，，則，所以.即弦AB長(zhǎng)為.故選：C.10、C【解析】由角平分線(xiàn)的性質(zhì)可得，結(jié)合已知條件即可求雙曲線(xiàn)的離心率.【詳解】由題設(shè)，易知：，由知：，即，整理得：.故選：C11、A【解析】計(jì)算雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)為，離心率，得到橢圓的焦點(diǎn)為，離心率，計(jì)算得到答案.【詳解】雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)為，離心率，故橢圓的焦點(diǎn)為，離心率，即.解得，故橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓和雙曲線(xiàn)的離心率，焦點(diǎn)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.12、D【解析】根據(jù)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是圓的圓心，求得c，再根據(jù)橢圓的短軸長(zhǎng)為8求得b即可.【詳解】圓的圓心是，所以橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是，即c=3，又橢圓的短軸長(zhǎng)為8，即b=4，所以橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，所以橢圓的左頂點(diǎn)為，故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】直接利用均值不等式得到答案.【詳解】，當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了均值不等式，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.14、3【解析】根據(jù)雙曲線(xiàn)方程求出，再根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義可知，即可得到、，再由正弦定理計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)殡p曲線(xiàn)為，所以、，因?yàn)辄c(diǎn)P是雙曲線(xiàn)左支上一點(diǎn)且，所以，所以，，在中，由正弦定理可得，所以；故答案為：15、（答案不唯一）【解析】根據(jù)給定直線(xiàn)方程求出其方向向量，再由法向量意義求解作答.【詳解】直線(xiàn)的方向向量為，而，所以直線(xiàn)的一個(gè)法向量.故答案為：16、①.②.【解析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求得，由此求得，結(jié)合橢圓的定義求得離心率.【詳解】連接，由于是圓的切線(xiàn)，所以.在中，，所以，所以，所以直線(xiàn)的斜率.，根據(jù)橢圓的定義可知.故答案為：；【點(diǎn)睛】本小題主要考查橢圓的定義、橢圓的離心率，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、.【解析】在中由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得，再利用四邊形的面積，結(jié)合三角形面積公式可得答案.【詳解】在中，由，，，可得在中，由，，，可得又，故．所以四邊形的面積=【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理解三角形，考查了三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題.18、（1）；（2）.【解析】(1)由正弦定理得到，兩邊消去公因式得到，化一即可求得角A；（2）因?yàn)?，所以，再結(jié)合余弦定理得到結(jié)果.【詳解】（1）由,得,因?yàn)?，所以，整理得：，因，所?（2）因?yàn)?，所以，因?yàn)榧?，所以，?【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理及余弦定理的應(yīng)用以及三角形面積公式，屬于難題.在解與三角形有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，正弦定理、余弦定理是兩個(gè)主要依據(jù).解三角形時(shí)，有時(shí)可用正弦定理，有時(shí)也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個(gè)定理更方便、簡(jiǎn)捷一般來(lái)說(shuō),當(dāng)條件中同時(shí)出現(xiàn)及、時(shí)，往往用余弦定理，而題設(shè)中如果邊和正弦、余弦函數(shù)交叉出現(xiàn)時(shí)，往往運(yùn)用正弦定理將邊化為正弦函數(shù)再結(jié)合和、差、倍角的正余弦公式進(jìn)行解答.19、（1）；（2）是，該定值.【解析】（1）根據(jù)弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式，結(jié)合三角形面積公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】顯然直線(xiàn)存在斜率，設(shè)直線(xiàn)的方程為：，所以有，設(shè)，則有，，原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為：，△OAB的面積為：，當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為；【小問(wèn)2詳解】是定值，理由如下：由（1）可知：，，【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.20、（1）（2）見(jiàn)解析【解析】（1）由拋物線(xiàn)的定義，可得點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）可設(shè)直線(xiàn)的方程為，，，，與拋物線(xiàn)聯(lián)立，消，利用韋達(dá)定理求得，，再根據(jù)，可得，從而可求得參數(shù)的關(guān)系，即可得出結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)，，由拋物線(xiàn)的定義可知，即，解得，將代入方程，得，即的坐標(biāo)為；【小問(wèn)2詳解】證明：由題意知直線(xiàn)不能與軸平行，可設(shè)直線(xiàn)的方程為，與拋物線(xiàn)聯(lián)立得，消去得，設(shè)，，，則，，由，可得，即，即，即，又，解得，所以直線(xiàn)方程為，當(dāng)時(shí)，，所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)21、（1），是“恰當(dāng)回歸方程”；（2）10分鐘較合適.【解析】（1）應(yīng)用最小二乘法求出回歸直線(xiàn)方程，再分別估計(jì)、時(shí)的值，結(jié)合“恰當(dāng)回歸方程”的定義判斷是否為“恰當(dāng)回歸方程”.（2）根據(jù)（1）所得回歸直線(xiàn)方程，將代入求x值即可.【小問(wèn)1詳解】中間4組數(shù)據(jù)是：間