人教A版必修一課后作業(yè)第三章函數(shù)應(yīng)用321

3.2.1幾類不同增長的函數(shù)模型學習目標1.嘗試將實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型.2.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)等函數(shù)模型的增長差異.3.會根據(jù)函數(shù)的增長差異選擇函數(shù)模型.知識點一函數(shù)模型思考自由落體速度公式v＝gt是一種函數(shù)模型.類比這個公式的發(fā)現(xiàn)過程，說說什么是函數(shù)模型？它怎么來的？有什么用？答案函數(shù)模型來源于現(xiàn)實(伽利略斜塔拋球)，通過收集數(shù)據(jù)(打點計時器測量)，畫散點圖分析數(shù)據(jù)(增長速度、單位時間內(nèi)的增長量等)，尋找或選擇函數(shù)(假說)來擬合，這個函數(shù)即為函數(shù)模型.函數(shù)模型通常用來解釋已有數(shù)據(jù)和預測.梳理一般地，設(shè)自變量為x，函數(shù)為y，并用x表示各相關(guān)量，然后根據(jù)問題的已知條件，運用已掌握的數(shù)學知識、物理知識及其他相關(guān)知識建立函數(shù)關(guān)系式，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，實現(xiàn)問題的數(shù)學化，即所謂建立數(shù)學模型.知識點二三種常見函數(shù)模型的增長差異比較三種函數(shù)模型的性質(zhì)，填寫下表.函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增減性增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)圖象的變化隨x的增大逐漸變“陡”隨x的增大逐漸趨于穩(wěn)定隨n值而不同增長速度ax的增長快于xn的增長，xn的增長快于logax的增長增長后果總會存在一個x0，當x>x0時，就有ax>xn>logax類型一幾類函數(shù)模型的增長差異例1(1)下列函數(shù)中，隨x的增大，增長速度最快的是()A.y＝50x B.y＝x50C.y＝50x D.y＝log50x(x∈N*)答案C解析四個函數(shù)中，增長速度由慢到快依次是y＝log50x，y＝50x，y＝x50，y＝50x.(2)函數(shù)y＝2x－x2的大致圖象為()答案A解析在同一平面直角坐標系內(nèi)作出y1＝2x，y2＝x2的圖象(圖略).易知在區(qū)間(0，＋∞)上，當x∈(0,2)時，2x＞x2，即此時y＞0；當x∈(2,4)時，2x＜x2，即y＜0；當x∈(4，＋∞)時，2x＞x2，即y＞0；當x＝－1時，y＝2－1－1＜0.據(jù)此可知只有選項A中的圖象符合條件.反思與感悟在區(qū)間(0，＋∞)上，盡管函數(shù)y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函數(shù)，但它們的增長速度不同，而且不在同一個“檔次”上，隨著x的增大，y＝ax(a＞1)的增長速度越來越快，會超過并遠遠大于y＝xn(n＞0)的增長速度，而y＝logax(a＞1)的增長速度則會越來越慢.因此，總會存在一個x0，當x＞x0時，就有l(wèi)ogax＜xn＜ax.跟蹤訓練1函數(shù)f(x)＝eq\f(lg|x|,x2)的大致圖象為()答案D解析f(x)為偶函數(shù)，排除A、B.當x＞1時，y＝lg|x|＝lgx＞0，且增長速度小于y＝x2，所以當x→＋∞時，eq\f(lg|x|,x2)→0且函數(shù)值為正數(shù)，故選D.類型二函數(shù)模型應(yīng)用命題角度1選擇函數(shù)模型例2某大型超市為了滿足顧客對商品的購物需求，對超市的商品種類做了一定的調(diào)整，結(jié)果調(diào)整初期利潤增長迅速，隨著時間的推移，增長速度越來越慢，如果建立恰當?shù)暮瘮?shù)模型來反映該超市調(diào)整后利潤y與售出商品的數(shù)量x的關(guān)系，則可選用()A.一次函數(shù) B.二次函數(shù)C.指數(shù)型函數(shù) D.對數(shù)型函數(shù)答案D解析四個函數(shù)中，A的增長速度不變，B、C增長速度越來越快，其中C增長速度比B更快，D增長速度越來越慢，故只有D能反映y與x的關(guān)系.反思與感悟根據(jù)實際問題提供的兩個變量的數(shù)量關(guān)系可構(gòu)建和選擇正確的函數(shù)模型.同時，要注意利用函數(shù)圖象的直觀性來確定適合題意的函數(shù)模型.跟蹤訓練2某工廠6年來生產(chǎn)某種產(chǎn)品的情況是：前3年年產(chǎn)量的增長速度越來越快，后3年的年產(chǎn)量保持不變，將該廠6年來這種產(chǎn)品的總產(chǎn)量C與時間t(年)的函數(shù)關(guān)系用圖象表示，則正確的是()答案A命題角度2用函數(shù)模型決策例3某公司預投資100萬元，有兩種投資可供選擇：甲方案年利率10%，按單利計算，5年后收回本金和利息；乙方案年利率9%，按每年復利一次計算，5年后收回本金和利息.哪種投資更有利？這種投資比另一種投資5年可多得利息多少元？(結(jié)果精確到0.01萬元)解按甲，每年利息100×10%＝10,5年后本息合計150萬元；按乙，第一年本息合計100×1.09，第二年本息合計100×1.092，…，5年后本息合計100×1.095≈153.86(萬元).故按乙方案投資5年可多得利3.86萬元，乙方案投資更有利.反思與感悟建立函數(shù)模型是為了預測和決策，預測準不準主要靠建立的函數(shù)模型與實際的擬合程度.而要獲得好的擬合度，就需要豐富、詳實的數(shù)據(jù).跟蹤訓練3一家庭(父親、母親和孩子們)去某地旅游，甲旅行社說：“如果父親買全票一張，其余人可享受半票優(yōu)惠.”乙旅行社說：“家庭旅行為集體票，按原價eq\f(2,3)優(yōu)惠.”這兩家旅行社的原價是一樣的.試就家庭里不同的孩子數(shù)，分別建立表達式，計算兩家旅行社的收費，并討論哪家旅行社更優(yōu)惠.解設(shè)家庭中孩子數(shù)為x(x≥1，x∈N*)，旅游收費為y，旅游原價為a.甲旅行社收費：y＝a＋eq\f(a,2)(x＋1)＝eq\f(a,2)(x＋3)；乙旅行社收費：y＝eq\f(2a,3)(x＋2).∵eq\f(2a,3)(x＋2)－eq\f(a,2)(x＋3)＝eq\f(a,6)(x－1)，∴當x＝1時，兩家旅行社收費相等.當x＞1時，甲旅行社更優(yōu)惠.1.下列函數(shù)中隨x的增長而增長最快的是()A.y＝ex B.y＝lnxC.y＝x100 D.y＝2x答案A2.能使不等式log2x<x2<2x一定成立的x的取值區(qū)間是()A.(0，＋∞) B.(2，＋∞)C.(－∞，2) D.(4，＋∞)答案D3.某物體一天中的溫度T(單位：℃)是時間t(單位：h)的函數(shù)：T(t)＝t3－3t＋60，t＝0表示中午12：00，其后t取正值，則下午3時溫度為()A.8℃ B.78℃C.112℃ D.18℃答案B4.下面選項是四種生意預期的收益y關(guān)于時間x的函數(shù)，從足夠長遠的角度看，更為有前途的生意是()A.y＝10×1.05x B.y＝20＋x1.5C.y＝30＋lg(x－1) D.y＝50答案A5.我們處在一個有聲的世界里，不同場合人們對聲音的音量會有不同的要求.音量大小的單位是分貝(dB).對于一個強度為I的聲波，其音量的大小η可由如下公式計算：η＝10·lgeq\f(I,I0)(其中I0是人耳能聽到的聲音的最低聲波強度).設(shè)η1＝70dB的聲音強度為I1，η2＝60dB的聲音強度為I2，則I1是I2的()A.eq\f(7,6)倍 B.10倍C.倍 D.lneq\f(7,6)倍答案B解析由題意，令70＝10lgeq\f(I1,I0)，則有I1＝I0×107.同理得I2＝I0×106，所以eq\f(I1,I2)＝10.1.四類不同增長的函數(shù)模型(1)增長速度不變的函數(shù)模型是一次函數(shù)模型.(2)增長速度最快即呈現(xiàn)爆炸式增長的函數(shù)模型是指數(shù)型函數(shù)模型.(3)增長速度較慢的函數(shù)模型是對數(shù)型函數(shù)模型.(4)增長速度平穩(wěn)的函數(shù)模型是冪函數(shù)模型.2.函數(shù)模型的應(yīng)用(1)可推演原則：建立模型，一定要有意義，既能作理論分析，又能計算、推理，且能得出正確結(jié)論.(2)反映性原則：建立模型，應(yīng)與原型具有“相似性”，所得模型的解應(yīng)具有說明問題的功能，能回到具體問題中解決問題.課時作業(yè)一、選擇題1．下列函數(shù)中，增長速度越來越慢的是()A．y＝6x B．y＝log6xC．y＝x6 D．y＝6x答案B解析D增長速度不變，A、C增長速度越來越快，只有D符合題意．2．以下四種說法中，正確的是()A．冪函數(shù)增長的速度比一次函數(shù)增長的速度快B．對任意的x＞0，xa＞logaxC．對任意的x＞0，ax＞logaxD．不一定存在x0，當x＞x0時，總有ax＞xa＞logax答案D解析對于A，冪函數(shù)與一次函數(shù)的增長速度分別受冪指數(shù)及一次項系數(shù)的影響，冪指數(shù)與一次項系數(shù)不確定，增長速度不能比較；對于B，C，顯然不成立；對于D，當a＞1時，一定存在x0，使得當x＞x0時，總有ax＞xa＞logax，但若去掉限制條件“a＞1”，則結(jié)論不成立．3．某林區(qū)的森林蓄積量每年比上一年平均增長10.4%，要增長到原來的x倍，需經(jīng)過y年，則函數(shù)y＝f(x)的圖象大致是()答案D解析設(shè)該林區(qū)的森林原有蓄積量為a，由題意，ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，∴y＝f(x)的圖象大致為D中圖象．4．下面給出了紅豆生長時間t(月)與枝數(shù)y(枝)的散點圖，那么最能擬合詩句“紅豆生南國，春來發(fā)幾枝”所提到的紅豆生長時間與枝數(shù)的關(guān)系的函數(shù)模型是()A．指數(shù)函數(shù)：y＝2t B．對數(shù)函數(shù)：y＝log2tC．冪函數(shù)：y＝t3 D．二次函數(shù)：y＝2t2答案A解析由題干中的圖象可知，該函數(shù)模型應(yīng)為指數(shù)函數(shù)．5．某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，排放時污染物的含量不得超過1%.已知在過濾過程中廢氣中的污染物數(shù)量P(單位：毫克/升)與過濾時間t(單位：時)之間的函數(shù)關(guān)系式為：P＝P0e－kt(k，P0均為正的常數(shù))．若在前5個小時的過濾過程中污染物被排除了90%，那么，至少還需要過濾的時間為()A.eq\f(1,2)小時 B.eq\f(5,9)小時C．5小時 D．10小時答案C解析由題意知前5個小時消除了90%的污染物．∵P＝P0e－kt，∴(1－90%)P0＝P0e－5k，∴0.1＝e－5k，即－5k＝ln0.1，∴k＝－eq\f(1,5)ln0.1.由1%P0＝P0e－kt，即0.01＝e－kt，∴－kt＝ln0.01，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)ln0.1))t＝ln0.01，∴t＝10.∴至少還需要過濾5小時才可以排放．6．向高為H的水瓶內(nèi)注水，一直到注滿為止，如果注水量V與水深h的函數(shù)圖象如圖所示，那么水瓶的形狀大致是()答案B解析水深h為自變量，隨著h增大，A中V增長速度越來越快，C中先慢后快，D增長速度不變，只有B中V增長速度越來越慢．7．某校甲、乙兩食堂某年1月份的營業(yè)額相等，甲食堂的營業(yè)額逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的營業(yè)額也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知本年9月份兩食堂的營業(yè)額又相等，則本年5月份()A．甲食堂的營業(yè)額較高B．乙食堂的營業(yè)額較高C．甲、乙兩食堂的營業(yè)額相同D．不能確定甲、乙哪個食堂的營業(yè)額較高答案A解析設(shè)甲、乙兩食堂1月份的營業(yè)額均為m，甲食堂的營業(yè)額每月增加a(a＞0)，乙食堂的營業(yè)額每月增加的百分率為x，由題意可得，m＋8a＝m×(1＋x)8，則5月份甲食堂的營業(yè)額y1＝m＋4a，乙食堂的營業(yè)額y2＝m×(1＋x)4＝eq\r(mm＋8a)，因為yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2)＝(m＋4a)2－m(m＋8a)＝16a2＞0，所以y1＞y2，故本年5月份甲食堂的營業(yè)額較高．二、填空題8．某廠日產(chǎn)手套總成本y(元)與手套日產(chǎn)量x(雙)的關(guān)系式為y＝5x＋4000，而手套出廠價格為每雙10元，則該廠為了不虧本，日產(chǎn)手套至少為________雙．答案800解析要使該廠不虧本，只需10x－y≥0，即10x－(5x＋4000)≥0，解得x≥800.9．在不考慮空氣阻力的情況下，火箭的最大速度vm/s和燃料質(zhì)量Mkg、火箭(除燃料外)質(zhì)量mkg的關(guān)系是v＝2000lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(M,m)))，則當燃料質(zhì)量是火箭質(zhì)量的________倍時，火箭的最大速度可達12km/s.答案e6－1解析由題意2000lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(M,m)))＝12000.∴l(xiāng)neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(M,m)))＝6，從而eq\f(M,m)＝e6－1.10．某種動物繁殖數(shù)量y(只)與時間x(年)的關(guān)系式為y＝alog2(x＋1)，設(shè)這種動物第一年有100只，則到第7年這種動物發(fā)展到________只．答案300解析把x＝1，y＝100代入y＝alog2(x＋1)，得a＝100，故