天津市四校聯(lián)考2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期7月期末考試數(shù)學(xué)

2023～2024學(xué)年度第二學(xué)期期末考試高二數(shù)學(xué)一、選擇題（本題共9小題，每小題5分，共45分）1.已知集合，，則（）A. B.C.或 D.或2.使不等式成立一個(gè)充分不必要的條件是（）A. B. C. D.3.已知具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x，y，設(shè)其樣本點(diǎn)為（），經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，若，，則（）A.20 B. C. D.24.2024年湯姆斯杯需招募志愿者，現(xiàn)從某高校的8名志愿者中任意選出3名，分別負(fù)責(zé)語言服務(wù)、人員引導(dǎo)、應(yīng)急救助工作，其中甲、乙、丙3人不能負(fù)責(zé)語言服務(wù)工作，則不同的選法種數(shù)共有（）A102種 B.105種 C.210種 D.288種5.定義在上的函數(shù)導(dǎo)函數(shù)為，若對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有，且為奇函數(shù)，則不等式的解集為（）A. B. C. D.6.設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.7.已知，，若對(duì)，總，使成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.8.已知，則不等式的解集為（）A. B.C. D.9.已知函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題（本題共6小題，每小題5分，共30分）10.若命題“使”是假命題，則實(shí)數(shù)取值范圍為_____，11.某考生回答一道四選一考題，假設(shè)他知道正確答案的概率為，知道正確答案時(shí)，答對(duì)的概率為，而不知道正確答案來時(shí)猜對(duì)的概率為，那么他答對(duì)題目的概率為______12.已知展開式中的常數(shù)項(xiàng)是，則實(shí)數(shù)的值為______13.已知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，是公比為3的是等比數(shù)列，且，設(shè)，則______14.設(shè)為正數(shù)，且，則的最小值為______15.若有四個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______三、解答題（本題共5題，共75分）16.本著健康低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來越多.某自行車租車點(diǎn)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是每車每次租車時(shí)間不超過兩小時(shí)免費(fèi)，超過兩小時(shí)的部分，每小時(shí)收費(fèi)2元（不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算）.有甲、乙兩人相互獨(dú)立來該租車點(diǎn)租車騎游（各租一車一次）.設(shè)甲、乙不超過兩小時(shí)還車的概率分別為，；兩小時(shí)以上且不超過三小時(shí)還車的概率分別為，；兩人租車時(shí)間都不會(huì)超過四小時(shí).（1）求甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用相同的概率；（2）求甲所付的租車費(fèi)用比乙所付的租車費(fèi)用多2元的概率；（3）設(shè)甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用之和為隨機(jī)變量X，求X的分布列、均值、方差17.如圖，ABCD是邊長為3的正方形，平面ABCD，且.（1）求證：平面DEC；（2）求平面BEC與平面BEF夾角的余弦值；（3）求點(diǎn)D到平面BEF的距離.18已知，，其中（1）令（i）求的單調(diào)區(qū)間和極小值；（ii）若存在大于0的零點(diǎn)，且方程恰有三個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍（2）若對(duì)，，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.19.已知數(shù)列是遞增的等差數(shù)列，是等比數(shù)列，，求，（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（3）設(shè)，求的值.20.已知.（1）若在處的切線方程為，求實(shí)數(shù)的值；（2）當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若有零點(diǎn)，求證：.2023～2024學(xué)年度第二學(xué)期期末考試高二數(shù)學(xué)一、選擇題（本題共9小題，每小題5分，共45分）1.已知集合，，則（）A. B.C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】分別解出集合中的不等式，再運(yùn)用集合交運(yùn)算即可求解.【詳解】由，得或，即或，故或，，即，解得或，故或，則或.故選：.2.使不等式成立的一個(gè)充分不必要的條件是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先解分式不等式，再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.詳解】由等價(jià)于，即，解得，因?yàn)檎姘?，所以不等式成立的一個(gè)充分不必要的條件是．故選：B．3.已知具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x，y，設(shè)其樣本點(diǎn)為（），經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，若，，則（）A.20 B. C. D.2【答案】D【解析】【分析】求出樣本中心點(diǎn)，代入求解出.【詳解】由于，，所以，.將代入，即，解得：.故選：D.4.2024年湯姆斯杯需招募志愿者，現(xiàn)從某高校的8名志愿者中任意選出3名，分別負(fù)責(zé)語言服務(wù)、人員引導(dǎo)、應(yīng)急救助工作，其中甲、乙、丙3人不能負(fù)責(zé)語言服務(wù)工作，則不同的選法種數(shù)共有（）A.102種 B.105種 C.210種 D.288種【答案】C【解析】【分析】先算從8名志愿者中任意選出3名的方法數(shù)，再減去甲、乙、丙3人有一人負(fù)責(zé)語言服務(wù)工作的方法數(shù)，即可得解.【詳解】先從8名志愿者中任意選出3名，分別負(fù)責(zé)語言服務(wù)、人員引導(dǎo)、應(yīng)急救助工作，有種，其中甲、乙、丙3人有一人負(fù)責(zé)語言服務(wù)工作，有種，故符合條件的選法共有種.故選：C5.定義在上的函數(shù)導(dǎo)函數(shù)為，若對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有，且為奇函數(shù)，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造，根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，結(jié)合已知將問題化為，再根據(jù)的單調(diào)性即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有，所以，則在上單調(diào)遞減.因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，且的定義域?yàn)镽，所以，所以，所以.因?yàn)?，所以求不等式的解集，即求的解集，即求的解集，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以的解集為，所以不等式的解集為.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)題意，可得其單調(diào)性，從而求解不等式.6.設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先和特殊值比較大小，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較和的大小.【詳解】，所以，即，，，且，所以，即.故選：D7.已知，，若對(duì)，總，使成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意可得函數(shù)的值域是函數(shù)的值域的子集，求出兩函數(shù)的值域，列不等式組可求得結(jié)果.【詳解】由，得，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，在上遞增，所以，因?yàn)?，所以，所以的值域?yàn)?，由，得，?dāng)時(shí)，，所以在上遞增，所以，，所以的值域?yàn)椋驅(qū)?，總，使成立，所以，所以，解?故選：A8.已知，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，判斷出函數(shù)的奇偶性，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性解不等式即可.【詳解】令，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以函?shù)為奇函數(shù)，由，得，即，所以，解得,所以不等式的解集為.故選：B.9.已知函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意轉(zhuǎn)化為存在，使，參變分離后，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，即可求解.【詳解】，，由題意可知，存在，使，即，則，，當(dāng)時(shí)，取得最小值，即，得.故選：B二、填空題（本題共6小題，每小題5分，共30分）10.若命題“使”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_____，【答案】【解析】【分析】原命題等價(jià)于命題“，”是真命題【詳解】由題意得若命題“”是假命題，則命題“，”是真命題，則需,故本題正確答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查全稱量詞與存在量詞以及二次函數(shù)恒成立的問題．屬于基礎(chǔ)題．11.某考生回答一道四選一的考題，假設(shè)他知道正確答案的概率為，知道正確答案時(shí)，答對(duì)的概率為，而不知道正確答案來時(shí)猜對(duì)的概率為，那么他答對(duì)題目的概率為______【答案】##【解析】【分析】由全概率公式計(jì)算可得.【詳解】依題意，他答對(duì)題目的概率.

故答案為：12.已知展開式中的常數(shù)項(xiàng)是，則實(shí)數(shù)的值為______【答案】【解析】【分析】利用二項(xiàng)式定理求出的展開式的通項(xiàng)，令的指數(shù)為，求出常數(shù)項(xiàng)，建立關(guān)于的方程，即可求解.【詳解】由題意得，的展開式的通項(xiàng)為，令，解得，，所以的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為，解得.故答案為：.13.已知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，是公比為3的是等比數(shù)列，且，設(shè)，則______【答案】【解析】【分析】先求出數(shù)列，的通項(xiàng)，再利用分組求和法出，即可得解.【詳解】由題意，，則，所以.故答案為：.14.設(shè)為正數(shù)，且，則的最小值為______【答案】##5.8【解析】【分析】由題意，原式可化簡為：，由，得，即，再利用基本不等式“1”的代換即可求解.【詳解】由題意，，因?yàn)椋?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以，即的最小值為.故答案為：.15.若有四個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______【答案】【解析】【分析】令，，將函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的圖象交點(diǎn)問題，分類討論時(shí)，函數(shù)與圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可求解.【詳解】由，得，即，令，，則函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)與的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，若，則，由，解得，僅有兩個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意；若，由，解得或，由，解得或，當(dāng)，即時(shí)，如圖①所示，在上，由于函數(shù)的增長速度大于函數(shù)的增長速度，故有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；在上，函數(shù)與函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)；同理，在上，有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)與的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)，滿足題意；當(dāng)，即時(shí)，如圖②所示，在上，由于函數(shù)的增長速度大于函數(shù)的增長速度，故有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；上，函數(shù)與函數(shù)有一個(gè)交點(diǎn)；同理，在上，沒有交點(diǎn)，所以函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意；當(dāng)，即時(shí)，如圖③所示，在上，由于函數(shù)的增長速度大于函數(shù)的增長速度，故有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；在上，函數(shù)與函數(shù)有一個(gè)交點(diǎn)；同理，在上，沒有交點(diǎn)，所以函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意；當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，可化為，即，因?yàn)榕袆e式，所以無解所以函數(shù)與的圖象在上沒有交點(diǎn)，如圖④所示，在上，由于函數(shù)的增長速度大于函數(shù)的增長速度，故有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；在上，函數(shù)與函數(shù)沒有交點(diǎn)；同理，在上，有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意；若，當(dāng)，即時(shí)，如圖⑤所示，在上，由于函數(shù)的增長速度大于函數(shù)的增長速度，故有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；在上，函數(shù)與函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)；同理，在上，有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)與的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)，滿足題意；當(dāng)，即時(shí)，如圖⑥所示，在上，由于函數(shù)的增長速度大于函數(shù)的增長速度，故沒有交點(diǎn)；在上，函數(shù)與函數(shù)有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；同理，在上，有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意；當(dāng)，即時(shí)，如圖⑦所示，在上，由于函數(shù)的增長速度大于函數(shù)的增長速度，故沒有交點(diǎn)；在上，函數(shù)與函數(shù)有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；同理，在上，有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意；當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，可化為，即，因?yàn)榕袆e式，即無解所以函數(shù)與的圖象在上沒有交點(diǎn)，如圖⑧所示，在上，由于函數(shù)的增長速度大于函數(shù)的增長速度，故有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；在上，函數(shù)與函數(shù)沒有交點(diǎn)；同理，在上，有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意；綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題，關(guān)鍵在于將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為直線與曲線的交點(diǎn)問題，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合、分類討論思想判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù).三、解答題（本題共5題，共75分）16.本著健康低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來越多.某自行車租車點(diǎn)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是每車每次租車時(shí)間不超過兩小時(shí)免費(fèi)，超過兩小時(shí)的部分，每小時(shí)收費(fèi)2元（不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算）.有甲、乙兩人相互獨(dú)立來該租車點(diǎn)租車騎游（各租一車一次）.設(shè)甲、乙不超過兩小時(shí)還車的概率分別為，；兩小時(shí)以上且不超過三小時(shí)還車的概率分別為，；兩人租車時(shí)間都不會(huì)超過四小時(shí).（1）求甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用相同的概率；（2）求甲所付的租車費(fèi)用比乙所付的租車費(fèi)用多2元的概率；（3）設(shè)甲、乙兩人所付租車費(fèi)用之和為隨機(jī)變量X，求X的分布列、均值、方差【答案】（1）（2）（3）答案見解析【解析】【分析】（1）首先求出兩個(gè)人租車時(shí)間在三小時(shí)以上且不超過四小時(shí)的概率，則甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用相同：都不超過兩小時(shí)，都在兩小時(shí)以上且不超過三小時(shí)和都在三小時(shí)以上且不超過四小時(shí)三類求解即可；（2）根據(jù)題意分為甲兩小時(shí)以上且不超過三小時(shí)還車，且乙不超過兩小時(shí)還車，或者甲三小時(shí)以上且不超過四小時(shí)還車，且乙兩小時(shí)以上且不超過三小時(shí)還車兩種情況，求解即可；（3）列出隨機(jī)變量X的分布列，再利用期望、方差公式求值.小問1詳解】由題意可知，甲、乙在三小時(shí)以上且不超過四小時(shí)還車的概率分別為，，設(shè)甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用相同為事件A，則，所以甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用相同的概率為；【小問2詳解】若甲所付的租車費(fèi)用比乙所付的租車費(fèi)用多2元，則分為甲兩小時(shí)以上且不超過三小時(shí)還車，且乙不超過兩小時(shí)還車，或者甲三小時(shí)以上且不超過四小時(shí)還車，且乙兩小時(shí)以上且不超過三小時(shí)還車兩種情況，甲所付的租車費(fèi)用比乙所付的租車費(fèi)用多2元的概率為；【小問3詳解】X的可能取值為0，2，4，6，8，，，，分布列如下表：X02468P數(shù)學(xué)期望，.17.如圖，ABCD是邊長為3的正方形，平面ABCD，且.（1）求證：平面DEC；（2）求平面BEC與平面BEF夾角的余弦值；（3）求點(diǎn)D到平面BEF的距離.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）以D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出，平面的一個(gè)法向量為，則由，即可證得平面DEC；（2）分別求出平面與平面的一個(gè)法向量，則利用向量坐標(biāo)運(yùn)算，求得平面BEC與平面BEF夾角的余弦值；（3）由平面的一個(gè)法向量為，，利用點(diǎn)到平面的距離公式即可求得點(diǎn)D到平面BEF的距離.【小問1詳解】

由已知，ABCD是邊長為3的正方形，平面ABCD，由平面ABCD，所以，又，，平面，所以平面，以D為原點(diǎn)，為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，已知，則，所以，易知平面的一個(gè)法向量為，得，又平面，所以平面.【小問2詳解】由上坐標(biāo)系可知，則，設(shè)平面與平面的一個(gè)法向量分別為，則有，，取，則，即，設(shè)平面與平面的夾角為，則.【小問3詳解】由（2）得平面的一個(gè)法向量為，又，所以點(diǎn)D到平面的距離.18.已知，，其中（1）令（i）求的單調(diào)區(qū)間和極小值；（ii）若存在大于0的零點(diǎn)，且方程恰有三個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍（2）若對(duì)，，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）（i）答案見解析；（ii）（2）【解析】【分析】（1）（i），求出導(dǎo)函數(shù)，然后分，，，四種情況分別討論即可求解；（ii）由（1）可知只能，此時(shí)，通過分析的極值，可得方程恰有三個(gè)實(shí)根，只需，求解即可；（2）將不等式變形為，設(shè)，則問題等價(jià)于對(duì)任意恒成立，故只需函數(shù)在R上單調(diào)遞增，即恒成立，從而求出a的最小值.【小問1詳解】（i）根據(jù)題意，，，所以當(dāng)時(shí)，

00單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，

000單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，

000單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增綜上可得：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在R上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增；（ii）因?yàn)榉匠糖∮腥齻€(gè)實(shí)根，由（1）可知和兩種情況顯然不符合題意，當(dāng)時(shí)，，而時(shí)，單調(diào)遞增，無大于0的零點(diǎn)，不符合題意，所以只能，此時(shí)，由于在單調(diào)遞減，，在單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞增，，令，則，令，則，所以在單調(diào)遞增，則，即，所以在單調(diào)遞增，則，所以，即在從最小值增大到大于0，所以方程恰有三個(gè)實(shí)根，只需，即，化簡為，而，，則，則，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為；【小問2詳解】由題意可得原不等式可化為，故不等式在R上恒成立．

設(shè)，則上式等價(jià)于，要使對(duì)任意，恒成立，由，只需函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上恒成立．即恒成立，令，則當(dāng)時(shí)，則單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，則單調(diào)遞減，所以，故，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：（1）通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；（2）利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．（3）根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．19.已知數(shù)列是遞增的等差數(shù)列，是等比數(shù)列，，求，（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（3）設(shè)，求的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，數(shù)列的公比為，然后根據(jù)已知條件列方程組可求出，從而可求出數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）由（1），利用并項(xiàng)求和法可求出，則將問題轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立，令，求出的最大值即可；（3）由（1）可得，然后利用裂項(xiàng)相