22基本不等式（十二大題型）（講義）（原卷版）

2．2基本不等式目錄TOC\o"12"\h\z\u【題型歸納目錄】 2【思維導(dǎo)圖】 2【知識(shí)點(diǎn)梳理】 2【典型例題】 5題型一：對(duì)基本不等式的理解及簡(jiǎn)單應(yīng)用 5題型二：利用基本不等式比較大小 7題型三：利用基本不等式證明不等式 8題型四：直接法求最值 9題型五：常規(guī)湊配法求最值 10題型六：消參法求最值 10題型七：換元求最值 10題型八：“1”的代換求最值 11題型九：萬(wàn)能K法 11題型十：條件等式求最值 12題型十一：利用基本不等式求解恒成立問(wèn)題 12題型十二：基本不等式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用 13

【題型歸納目錄】【思維導(dǎo)圖】【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：基本不等式1、對(duì)公式及的理解．（1）成立的條件是不同的：前者只要求都是實(shí)數(shù)，而后者要求都是正數(shù)；（2）取等號(hào)“=”的條件在形式上是相同的，都是“當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)”．2、由公式和可以引申出常用的常用結(jié)論①（同號(hào)）；②（異號(hào)）；③或知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)嚎梢宰冃螢椋?，可以變形為：．知識(shí)點(diǎn)二：基本不等式的證明方法一：幾何面積法如圖，在正方形中有四個(gè)全等的直角三角形．設(shè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)為、，那么正方形的邊長(zhǎng)為．這樣，4個(gè)直角三角形的面積的和是，正方形的面積為．由于4個(gè)直角三角形的面積小于正方形的面積，所以：．當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，即時(shí)，正方形縮為一個(gè)點(diǎn)，這時(shí)有．得到結(jié)論：如果，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)“=”）特別的，如果，，我們用、分別代替、，可得：如果，，則，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)“=”）．通常我們把上式寫(xiě)作：如果，，，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)“=”）方法二：代數(shù)法∵，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)“=”）．知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)禾貏e的，如果，，我們用、分別代替、，可得：如果，，則，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)“=”）．通常我們把上式寫(xiě)作：如果，，，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)“=”）．知識(shí)點(diǎn)三：基本不等式的幾何意義如圖，是圓的直徑，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，，，過(guò)點(diǎn)作交圓于點(diǎn)D，連接、．易證，那么，即．這個(gè)圓的半徑為，它大于或等于，即，其中當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與圓心重合，即時(shí)，等號(hào)成立．知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)?、在數(shù)學(xué)中，我們稱(chēng)為的算術(shù)平均數(shù)，稱(chēng)為的幾何平均數(shù)．因此基本不等式可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．2、如果把看作是正數(shù)的等差中項(xiàng)，看作是正數(shù)的等比中項(xiàng)，那么基本不等式可以敘述為：兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們的等比中項(xiàng)．知識(shí)點(diǎn)四：用基本不等式求最大（?。┲翟谟没静坏仁角蠛瘮?shù)的最值時(shí)，應(yīng)具備三個(gè)條件：一正二定三取等．①一正：函數(shù)的解析式中，各項(xiàng)均為正數(shù)；②二定：函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項(xiàng)的和或積必須有一個(gè)為定值；③三取等：函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項(xiàng)均相等，取得最值．知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)?、兩個(gè)不等式：與成立的條件是不同的，前者要求a，b都是實(shí)數(shù)，后者要求a，b都是正數(shù)．2、兩個(gè)不等式：與都是帶有等號(hào)的不等式，對(duì)于“當(dāng)且僅當(dāng)……時(shí)，取“=”號(hào)這句話的含義要有正確的理解．3、基本不等式的功能在于“和積互化”．若所證不等式可整理成一邊是和，另一邊是積的形式，則考慮使用平均不等式；若對(duì)于所給的“和式”中的各項(xiàng)的“積”為定值，則“和”有最小值，對(duì)于給出的“積式”中的各項(xiàng)的“和”為定值，則“積”有最大值．4、利用兩個(gè)數(shù)的基本不等式求函數(shù)的最值必須具備三個(gè)條件：①各項(xiàng)都是正數(shù)；②和（或積）為定值；③各項(xiàng)能取得相等的值．5、基本不等式在解決實(shí)際問(wèn)題中有廣泛的應(yīng)用，在應(yīng)用時(shí)一般按以下步驟進(jìn)行：①先理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時(shí)一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)；②建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實(shí)際問(wèn)題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題；③在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大或最小值；④寫(xiě)出正確答案．【典型例題】題型一：對(duì)基本不等式的理解及簡(jiǎn)單應(yīng)用【典例11】（2024·高一·西藏林芝·期中）下列命題中正確的是（

）A．若，且，則B．若，則C．若，則D．對(duì)任意，均成立.【典例12】（2024·高一·上海普陀·期中）下列不等式中等號(hào)可以取到的是（

）A． B．C． D．【方法技巧與總結(jié)】應(yīng)用基本不等式時(shí)的三個(gè)關(guān)注點(diǎn)（1）一正數(shù)：指式子中的a，b均為正數(shù)．（2）二定值：只有ab為定值時(shí)才能應(yīng)用基本不等式，因此有時(shí)需要構(gòu)造定值．（3）三相等：即“=”必須成立，求出的定值才是要求的最值．【變式11】（2024·高一·上海靜安·期中）給出下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)為（

）①已知，則成立；②已知且，則成立；③已知，則的最小值為2；④已知，，則成立．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式12】（2024·高三·安徽合肥·期中）《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問(wèn)題）成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問(wèn)題的重要依據(jù)，通過(guò)這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過(guò)圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱(chēng)之為無(wú)字證明．現(xiàn)有如圖所示圖形，點(diǎn)在半圓上，點(diǎn)在直徑上，且，設(shè)，，則該圖形可以完成的無(wú)字證明為（

）A． B．C． D．【變式13】（2024·高一·山東濟(jì)南·期中）數(shù)學(xué)里有一種證明方法叫做，也被稱(chēng)為無(wú)字證明，是指僅用圖象而無(wú)需文字解釋就能不證自明的數(shù)學(xué)命題，由于這種證明方法的特殊性，無(wú)字證明被認(rèn)為比嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明更為優(yōu)雅與有條理.在同一平面內(nèi)有形狀、大小相同的圖1和圖2，其中四邊形為矩形，三角形為等腰直角三角形，設(shè)，，則借助這兩個(gè)圖形可以直接無(wú)字證明的不等式是（

）A． B．C． D．題型二：利用基本不等式比較大小【典例21】（2024·高三·北京·階段練習(xí)）設(shè)，，則（

）A． B．C． D．【典例22】（2024·高一·全國(guó)·單元測(cè)試）下列不等式恒成立的是（

）A．； B．；C．； D．．【方法技巧與總結(jié)】利用基本不等式比較大小在利用基本不等式比較大小時(shí)，應(yīng)創(chuàng)設(shè)應(yīng)用基本不等式的使用條件，合理地拆項(xiàng)、配湊或變形．在拆項(xiàng)、配湊或變形的過(guò)程中，首先要考慮基本不等式使用的條件，其次要明確基本不等式具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”或者將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能．【變式21】（2024·北京房山·一模）若，且，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【變式22】（2024·高一·陜西安康·期中）若，，，則下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【變式23】（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）若，，，則，，2ab，中最大的一個(gè)是．【變式24】（2024·高一·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）某工廠第一年的產(chǎn)量為A，第二年的增長(zhǎng)率為a，第三年的增長(zhǎng)率為b，則這兩年的平均增長(zhǎng)率x與增長(zhǎng)率的平均值的大小關(guān)系為．【變式25】（2024·高二·江西宜春·階段練習(xí)）若，已知下列不等式：①；②；③；④．其中正確的不等式的序號(hào)為．【變式26】（2024·高一·上?！?zhuān)題練習(xí)）若，，且，則在中最大的一個(gè)是.題型三：利用基本不等式證明不等式【典例31】已知a、b是正數(shù)，求證：．【典例32】已知a、b是互不相等的正數(shù)，求證：.【方法技巧與總結(jié)】利用基本不等式證明不等式時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題（1）注意基本不等式成立的條件；（2）多次使用基本不等式，要注意等號(hào)能否成立；（3）對(duì)不能直接使用基本不等式證明的可重新組合，形成基本不等式模型，再使用．【變式31】（2024·高一·上?！るS堂練習(xí)）已知，，且，求證：．【變式32】（2024·高一·上?！て谥校┮阎猘、b、c、，證明下列不等式，并指出等號(hào)成立的條件：(1)；(2)．【變式33】（2024·高一·上?！るS堂練習(xí)）若x，y為正實(shí)數(shù)，求證：．【變式34】（2024·高一·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)a，b，c均為正數(shù)，求證：．【變式35】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，且．(1)求證：；(2)求的最大值．題型四：直接法求最值【典例41】（2024·高一·浙江·開(kāi)學(xué)考試）設(shè)、滿足，且、都是正數(shù)，則的最大值為（

）A．5 B．10 C．25 D．50【典例42】（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）設(shè)且，則的最大值是（

）A．400 B．100C．40 D．20【變式41】（2024·高一·全國(guó)·課堂例題）若，，，則的最小值為（

）A．4 B． C．6 D．18【變式42】（2024·高一·新疆阿克蘇·階段練習(xí)）若都是正數(shù)，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式43】（2024·高一·上?！ふn后作業(yè)）已知實(shí)數(shù)、滿足，則的最大值為．題型五：常規(guī)湊配法求最值【典例51】（2024·高一·湖南·開(kāi)學(xué)考試）已知，則的最小值為（

）A．4 B．6 C．8 D．2【典例52】（2024·高一·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）已知，，，則的最大值是（

）A． B． C． D．1【變式51】（2024·高一·貴州貴陽(yáng)·階段練習(xí)）已知，則的最大值是（）A． B．3 C．1 D．6【變式52】（2024·高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的最小值為．【變式53】（2024·高一·江蘇南通·階段練習(xí)）是不同時(shí)為0的實(shí)數(shù)，則的最大值為．題型六：消參法求最值【典例61】（2023·江蘇·高一專(zhuān)題練習(xí)）若，，且，則的最小值是（

）A．5 B．8 C．13 D．16【典例62】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．【變式61】（2024·高三·上海·階段練習(xí)）若正數(shù)，滿足，則的最大值為.【變式62】（2024·浙江嘉興·二模）若正實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為．【變式63】（2024·高一·四川眉山·期末）已知，，且，則的最小值為．題型七：換元求最值【典例71】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)x，y是正實(shí)數(shù)，且，則的最大值是.【典例72】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知正數(shù)、滿足，則的最小值為.【變式71】（2023·浙江·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為．【變式72】（2023·重慶萬(wàn)州·高三重慶市萬(wàn)州第二高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知均為正實(shí)數(shù)，，則的最小值是.【變式73】（2023·浙江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)，為正實(shí)數(shù)，若，則的最小值是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【變式74】（2023·四川巴中·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知且，則的最小值為（

）A．10 B．9 C．8 D．7題型八：“1”的代換求最值【典例81】（2024·高一·廣西·開(kāi)學(xué)考試）已知，且，則的最小值是.【典例82】（2024·高一·陜西西安·開(kāi)學(xué)考試）已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為.【變式81】（2024·高一·貴州六盤(pán)水·期中）已知，，且，則的最小值為.【變式82】（2024·高一·甘肅·期末）已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為.【變式83】（2024·高二·重慶·期末）已知均為實(shí)數(shù)且，則的最小值為.題型九：萬(wàn)能K法【典例91】（2024·湖南衡陽(yáng)·衡陽(yáng)市八中校考模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【典例92】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，滿足則的最小值是（

）A． B． C． D．題型十：條件等式求最值【典例101】（2024·高一·天津·期末）已知，，且，則的最大值為.【典例102】（2024·高一·江西·階段練習(xí)）若正數(shù)a，b滿足，則的最小值為（

）A．2 B．4 C．8 D．16【變式101】（2024·高一·河北承德·期末）已知均為正實(shí)數(shù)，若，則的最小值為.【變式102】（2024·高一·廣西·期末）已知，則的最大值為（

）A．2 B．4 C．8 D．題型十一：利用基本不等式求解恒成立問(wèn)題【典例111】（2024·高一·上?！ふn后作業(yè)）若對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【典例112】（2024·高一·江西南昌·階段練習(xí)）已知且恒成立，實(shí)數(shù)的最大值是．【方法技巧與總結(jié)】利用基本不等式求解恒成立問(wèn)題，通常通過(guò)分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為利用基本不等式求最值【變式111】（2024·高一·江蘇鎮(zhèn)江·開(kāi)學(xué)考試）設(shè)，若恒成立，則的取值范圍為.【變式112】（2024·高一·山西運(yùn)城·期末）已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，且不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．【變式113】（2024·高一·天津紅橋·期中）已知，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的最小值為.【變式114】（2024·高一·湖北武漢·期中）已知x，y都是正數(shù)，且．(1)求的最小值；(2)已知不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【變式115】（2024·高一·廣東佛山·階段練習(xí)）已知x，y都是正數(shù)，且.(1)分別求x，y的取值范圍；(2)求的最小值及此時(shí)x，y的取值；(3)不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【變式116】（2024·高一·吉林四平·階段練習(xí)）已知，且(1)求的最小值；(2)若恒成立，求的最大值.題型十二：基本不等式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用【典例121】（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）用的材料制造某種長(zhǎng)方體形狀的無(wú)蓋車(chē)廂，按交通部門(mén)的規(guī)定車(chē)廂寬度為2m，則車(chē)廂的最大容積是．【典例122】（2024·高一·上?！ふn堂例題）一家商店使用一架兩臂不等長(zhǎng)的天平稱(chēng)黃金．一位顧客到店里購(gòu)買(mǎi)10g黃金，售貨員先將5g的砝碼放在天平左盤(pán)中，取出一些黃金放在天平右盤(pán)中使天平平衡；再將5g的砝碼放在天平右盤(pán)中，再取出一些黃金放在天平左盤(pán)中使天平平衡；最后將兩次稱(chēng)得的黃金交給顧客．顧客實(shí)際購(gòu)買(mǎi)的黃金（

）A．大于10g； B．小于10g； C．等于10g； D．不能判斷大?。痉椒记膳c總結(jié)】利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題的步驟解實(shí)際問(wèn)題時(shí)，首先審清題意，然后將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，再利用數(shù)學(xué)知識(shí)（函數(shù)及不等式性質(zhì)等）解決問(wèn)題．用基本不等式解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)按如下步驟進(jìn)行：（1）先理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時(shí)一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)．（2）建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實(shí)際問(wèn)題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題．（3）在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值．（4）正確寫(xiě)出答案．【變式121】（2024·高一·上?！るS堂練習(xí)）甲、乙兩名司機(jī)的加油習(xí)慣有所不同，甲每次加油都說(shuō)“師傅，給我加300元的油”，而乙則說(shuō)“師傅幫我把油箱加滿”，假設(shè)①甲、乙各加同一種汽油