北師版七年級數(shù)學(xué)上冊 第四章 基本平面圖形知識歸納與題型突破（題型清單）（十一題型清單）

第四章基本平面圖形知識歸納與題型突破（題型清單）01思維導(dǎo)圖01思維導(dǎo)圖0202知識速記知識點(diǎn)1直線、射線與線段的概念知識點(diǎn)2：基本事實(shí)1.經(jīng)過兩點(diǎn)有一條直線，并且僅有一條直線，即兩點(diǎn)確定一條直線2.兩點(diǎn)之間的線段中，線段最短，簡稱兩點(diǎn)間線段最短知識點(diǎn)3：基本概念1.兩點(diǎn)間的距離：兩個(gè)端點(diǎn)之間的長度叫做兩點(diǎn)間的距離。2.線段的等分點(diǎn)：把一條線段平均分成兩份的點(diǎn)，叫做這個(gè)線段的中點(diǎn)知識點(diǎn)4：雙中點(diǎn)模型：C為AB上任意一點(diǎn)，M、N分別為AC、BC中點(diǎn)，則知識點(diǎn)5：角的概念1.角的定義：（1）定義一：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩條邊．如圖1所示，角的頂點(diǎn)是點(diǎn)O，邊是射線OA、OB．圖2圖1圖2圖1（2）定義二：一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，射線旋轉(zhuǎn)時(shí)經(jīng)過的平面部分是角的內(nèi)部．如圖2所示，射線OA繞它的端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到OB的位置時(shí)，形成的圖形叫做角，起始位置OA是角的始邊，終止位置OB是角的終邊．注意：（1）兩條射線有公共端點(diǎn)，即角的頂點(diǎn)；角的邊是射線；角的大小與角的兩邊的長短無關(guān)．（2）平角與周角：如圖1所示射線OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置OB和起始位置OA成一條直線時(shí)，所形成的角叫做平角，如圖2所示繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，OB和OA重合時(shí)，所形成的角叫做周角．2.角的表示法：角的幾何符號用“∠”表示，角的表示法通常有以下四種：知識點(diǎn)6：角度制及其換算角的度量單位是度、分、秒，把一個(gè)周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的為1分，記作“1′”，1′的為1秒，記作“1″”．這種以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制．1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．注意：在進(jìn)行有關(guān)度分秒的計(jì)算時(shí)，要按級進(jìn)行，即分別按度、分、秒計(jì)算，不夠減，不夠除的要借位，從高一位借的單位要化為低位的單位后再進(jìn)行運(yùn)算，在相乘或相加時(shí)，當(dāng)?shù)臀坏脭?shù)大于60時(shí)要向高一位進(jìn)位．知識點(diǎn)7：鐘表上有關(guān)夾角問題鐘表中共有12個(gè)大格，把周角12等分、每個(gè)大格對應(yīng)30°的角，分針1分鐘轉(zhuǎn)6°，時(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn)30°，時(shí)針1分鐘轉(zhuǎn)0.5°，利用這些關(guān)系，可幫助我們解決鐘表中角度的計(jì)算問題．知識點(diǎn)8：方位角在航行和測繪等工作中，經(jīng)常要用到表示方向的角．例如，圖中射線OA的方向是北偏東60°；射線OB的方向是南偏西30°．這里的“北偏東60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．知識點(diǎn)9：角平分線從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線，叫做這個(gè)角的平分線．如圖所示，OC是∠AOB的角平分線，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC=∠AOB．注意：由角平分線的概念產(chǎn)生的合情推理其思維框架與線段中點(diǎn)的思維框架一樣．知識點(diǎn)10：角的運(yùn)算如圖所示，∠AOB是∠1與∠2的和，記作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB與∠2的差，記作：∠1＝∠AOB-∠2．知識點(diǎn)11：角的比較角的大小比較與線段的大小比較相類似，方法有兩種．方法1：度量比較法．先用量角器量出角的度數(shù)，然后比較它們的大?。椒?：疊合比較法．把其中的一個(gè)角移到另一個(gè)角上作比較．如比較∠AOB和∠A′O′B′的大小：如下圖，由圖（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由圖(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由圖(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．知識點(diǎn)12：多邊形及正多邊形定義：多邊形是由一些不在同一條直線上的線段依次首尾相連組成的封閉平面圖形．其中，各邊相等、各角也相等的多邊形叫做正多邊形．如下圖：2.正多邊形1.各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形2.正多邊形的每個(gè)內(nèi)角3.正多邊形每個(gè)外角的度數(shù)：（3）平面鑲嵌：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，叫做用多邊形覆蓋平面。3．相關(guān)概念：頂點(diǎn)：每相鄰兩條邊的公共端點(diǎn)叫做多邊形的頂點(diǎn)．邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊．內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫多邊形的內(nèi)角（可簡稱為多邊形的角），一個(gè)n邊形有n個(gè)內(nèi)角.外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角.對角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對角線．多邊形公式1.n邊形一個(gè)頂點(diǎn)的對角線數(shù)：n-32.n邊形的對角線總數(shù)：3.n邊形的外角和：360°4.補(bǔ)充拓展：n邊形截去一個(gè)角后得到n/n-1/n-2邊形知識點(diǎn)12：圓及扇形1.圓的定義如圖，在一個(gè)平面內(nèi)，一條線段繞著它固定的一個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)所形成的圖形叫做圓，固定的端點(diǎn)叫做圓心，線段OA叫做半徑.2.扇形（1）圓?。簣A上任意兩點(diǎn)A，B間的部分叫做圓弧，簡稱弧，記作，讀作“圓弧AB”或“弧AB”.如下圖：（2）扇形的定義：如上圖，由一條弧AB和經(jīng)過這條弧的端點(diǎn)的兩條半徑OA，OB所組成的圖形叫做扇形.

注意：圓可以分割成若干個(gè)扇形.（3）圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角.如上圖，∠AOB是圓的一個(gè)圓心角，也是扇形OAB的圓心角.0303題型歸納題型一直線/射線和線段及作圖

例題：如圖，已知四點(diǎn)A、B、C、D，請用尺規(guī)作圖完成．（保留畫圖痕跡）(1)畫直線AB，畫射線AC，連接BC；(2)延長線段BC到E．使得BE=AB+BC；(3)在線段BD上取點(diǎn)P，使PA+PC的值最?。柟逃?xùn)練

1．下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．畫線段AB=3厘米 B．畫射線AB=3厘米C．在射線AC上截取AB=3厘米 D．延長線段AB到C，使得AC=2AB2．如圖，下列說法正確的是（

）A．射線OB和射線AB表示同一條射線B．射線OB和射線OA表示同一條射線C．射線OB和射線BO表示同一條射線D．以點(diǎn)A為端點(diǎn)的射線有4條3．如圖，已知四點(diǎn)A、B、C、D，請按要求作圖并解答．

(1)按要求作圖：①作射線AB；②連接BD；③在射線AB上截取AM，使AM=DB；④在線段BD上取點(diǎn)P，使PA+PC的值最?。?2)小明同學(xué)根據(jù)圖形寫出了四個(gè)結(jié)論：①圖中有8條線段；②點(diǎn)B在線段DP的延長線上；③射線AB和射線AM是兩條射線；④點(diǎn)M在射線AB的延長線上；其中正確的結(jié)論是_________．題型二直線和線段的性質(zhì)

例題：如圖，經(jīng)過刨平的木板上的A，B兩個(gè)點(diǎn)，能彈出一條筆直的墨線，而且只能彈出一條墨線，能解釋這一實(shí)際應(yīng)用的數(shù)學(xué)知識是（

）A．兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短B．過一點(diǎn)，有無數(shù)條直線C．兩點(diǎn)確定一條直線D．兩點(diǎn)之間線段的長度叫做這兩點(diǎn)之間的距離鞏固訓(xùn)練

1．如圖，建筑工人砌墻時(shí)，經(jīng)常用細(xì)繩在墻的兩端之間拉一條參照線，使砌的每一層磚在一條直線上，這樣做的依據(jù)是（

）A．直線比曲線短 B．兩點(diǎn)之間，線段最短C．兩點(diǎn)確定一條直線 D．兩點(diǎn)之間，直線最短2．媛媛一家準(zhǔn)備周末從A地前往B地游玩，導(dǎo)航提供了三條可選路線（如圖），其長度分別為21km，24km，19km，而兩地的直線距離為12.1A．兩點(diǎn)確定一條直線B．垂線段最短 C．兩點(diǎn)之間線段最短 D．公垂線段最短3．下列能用“垂線段最短”來解釋的現(xiàn)象是（

）A．兩釘子固定木條 B．木板上彈墨線C．測量跳遠(yuǎn)成績 D．彎曲河道改直題型三線段的運(yùn)用

例題：如圖，AB是一段高鐵行駛路線圖，圖中字母表示的5個(gè)點(diǎn)表示5個(gè)車站在這段路線上往返行車，需印制（

）種車票，共有（

）種票價(jià)．

A．10；10 B．22；11 C．20；10 D．20；20鞏固訓(xùn)練

1．一條火車線路上共有5個(gè)車站，則用于這條線路上的車票共有（）A．10種 B．15種 C．20種 D．25種2．?dāng)?shù)軸上表示整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，某數(shù)軸的單位長度是1厘米，若在這個(gè)數(shù)軸上隨意畫出一條長2017厘米的線段AB，則線段AB蓋住的整點(diǎn)共有（）個(gè)A．2022或2023 B．2017或2018 C．2016或2017 D．2015或20163．由汕頭開往廣州東的D7511動車，運(yùn)行途中須?？康能囌疽来问牵荷穷^→潮汕→普寧→汕尾→深圳坪山→東莞→廣州東．那么要為D7511動車制作的車票一共有（

）A．6種 B．7種 C．21種 D．42種題型四線段的運(yùn)算

例題：如圖，已知線段AB=23，BC=15，點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)．(1)求線段AM的長；(2)在CB上取一點(diǎn)N，使得CN:NB=2:3，求線段MN的長．鞏固訓(xùn)練

1．如圖，點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，且AB=12，BD=5．若點(diǎn)E在直線AB上，且AE=3，則DE的長為（）A．4 B．15 C．3或15 D．4或102．如圖，點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，AB=12，點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離比點(diǎn)C到點(diǎn)B的距離多2，則BC=．3．如圖，C是線段AE的中點(diǎn)，點(diǎn)D在線段CE上，B是線段AD的中點(diǎn)．(1)若AC=3，DE=2，求CD的長；(2)若BC=3，CD:AD=1:4，求AC的長．4．如圖，線段AB=16，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)．(1)求線段AD的長；(2)若在線段AB上有一點(diǎn)E，CE=14BC5．如圖，線段AB=24．C是線段AB的中點(diǎn)，D是線段BC的中點(diǎn)．(1)求線段AD的長；(2)在線段AD上有一點(diǎn)E，滿足CE=16BC題型五度分秒的運(yùn)算

例題：計(jì)算（結(jié)果用度、分、秒表示）．(1)58°49(2)47.6°?25°12(3)38°45(4)180°?58°3鞏固訓(xùn)練

1．將30.24°用度、分、秒表示為（

）A．30°12′24″ B．30°142．已知∠1=76°24′，∠2=76.24°，∠3=76.4°，下列說法正確的是（A．∠1=∠2 B．∠1=∠3 C．∠1<∠2 D．∠2>∠33．用度、分、秒表示34.18°=°′″題型六鐘面角

例題：鐘表上顯示8時(shí)45分時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)鶌A的角度是（

）A．30° B．22.5° C．15° D．7.5°鞏固訓(xùn)練

1．時(shí)鐘在6點(diǎn)10分時(shí)，時(shí)針和分針?biāo)山嵌仁牵ǎ〢．125° B．120° C．115° D．126°2．如圖，在下午四點(diǎn)半的時(shí)候，時(shí)針和分針?biāo)鶌A的銳角度數(shù)是（

）A．75° B．60° C．45° D．30°3．如圖，鐘表上2點(diǎn)半時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)傻慕鞘穷}型七方位角

例題：在燈塔O處測到輪船C位于北偏西20°的方向，輪船B位于南偏東50°的方向，輪船A在∠BOC的角平分線上，則在燈塔O處觀測輪船A的方向?yàn)椋?/p>

）A．北偏東55° B．北偏東50° C．北偏東45° D．北偏東40°鞏固訓(xùn)練

1．在燈塔O處觀測到輪船A位于北偏西64°的方向，同時(shí)輪船B在南偏東18°的方向，那么∠AOB的大小為（）A．82° B．154° C．134° D．172°2．如圖，OA的方向是北偏東15°，OB的方向是北偏西40°，若∠AOC=∠AOB，則OC的方向是（

）

A．北偏東70° B．北偏西70° C．南偏東70° D．南偏西50°3．如圖，OA的方向是北偏東15°，OB的方向是西北方向，若∠AOC=∠AOB，則OC的方向是（

）A．北偏東30° B．北偏東60° C．北偏東75° D．北偏東15°4．如圖，已知輪船A在燈塔P的北偏東27°50′方向，輪船B在燈塔P的南偏東71°22′題型八角平分線的有關(guān)運(yùn)算

例題：如圖，已知OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．(1)若∠AOB是直角，∠BOC=60°，求∠EOF的度數(shù)；(2)若∠AOC=x，∠BOC=y，列式表示∠EOF的大?。柟逃?xùn)練

1．如圖，已知A、O、B三點(diǎn)在同一條直線上，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，若∠BOE=31°，求∠AOD的度數(shù)．2．如圖，已知OD平分∠AOB，射線OC在∠AOD內(nèi)，∠BOC=4∠COD，∠AOB=120°，求∠AOC的度數(shù)．3．如圖，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．若∠BOC=70°，∠AOE=25°．(1)求出∠AOB的度數(shù)；(2)判斷∠DOE與∠AOB是否互補(bǔ)，并說明理由．4．如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOC，OF⊥CD．(1)若∠AOF=50°，求∠BOE的度數(shù)；(2)若∠BOD:∠BOE=1:4，求∠AOF的度數(shù)．

題型九余角﹑補(bǔ)角的基本運(yùn)算

例題：如圖，∠AOB與∠DOB互為補(bǔ)角，∠AOE與∠AOB互為余角，且∠AOB=4∠AOE．

(1)求∠∠AOB的度數(shù)；(2)若OC平分∠DOB，求∠AOC的度數(shù)．鞏固訓(xùn)練1．如圖，OC,OD,OE是∠AOB內(nèi)三條射線，OE平分∠DOA，OC平分∠AOB．(1)已知∠BOD=80°，∠AOE=25°，求∠COD的度數(shù)；(2)若∠BOD與∠EOC互余，求∠EOC的度數(shù)．2．如圖，將一副三角板的直角頂點(diǎn)疊放在一起．(1)猜想∠AOC與∠BOD的大小關(guān)系，并說明理由；(2)求∠AOD+∠BOC的度數(shù)；(3)若∠BOD:∠AOD=2:11，求∠BOC的度數(shù)．題型十多邊形的性質(zhì)

例題：(1)試驗(yàn)分析：如圖1，經(jīng)過一個(gè)頂點(diǎn)（如點(diǎn)A）可以作___________條對角線，它把四邊形ABCD分為___________個(gè)三角形；(2)拓展延伸：運(yùn)用（1）的分析方法，可得：圖2過一個(gè)頂點(diǎn)作所有的對角線，把這個(gè)多邊形分為___________個(gè)三角形；圖3過一個(gè)頂點(diǎn)作所有的對角線，把這個(gè)多邊形分為___________個(gè)三角形；(3)探索歸納：對于n邊形n>3，過一個(gè)頂點(diǎn)的所有對角線把這個(gè)n邊形分為___________個(gè)三角形．（用含n的式子表示）(4)特例驗(yàn)證：過一個(gè)頂點(diǎn)的所有對角線可把十邊形分為___________個(gè)三角形．鞏固訓(xùn)練

1．連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對角線，如圖（1），AC、AD是五邊形ABCDE的對角線．思考下列問題：(1)如圖（2），n邊形A1A2A3A4…An中，過頂點(diǎn)A1可以畫(2)過頂點(diǎn)A1的對角線與過頂點(diǎn)A2的對角線有相同的嗎？過頂點(diǎn)A1(3)在此基礎(chǔ)上，你能發(fā)現(xiàn)n邊形的對角線條數(shù)的規(guī)律嗎？2．真正的學(xué)習(xí)是自主學(xué)習(xí)，主動探究，小蘭同學(xué)在自主探究多邊形的邊數(shù)n與多邊形的對角線的條數(shù)y的關(guān)系的過程中，記錄了數(shù)據(jù)如下：多邊形的邊數(shù)n3456…對角線的條數(shù)y0259…(1)直接寫出過n邊形的每一個(gè)頂點(diǎn)有幾條對角線（用含n的式子表示）；(2)多邊形的對角線的條數(shù)y隨著多邊形的邊數(shù)n（n≥3，n為正整數(shù)）的變化而變化，請你用含n的式子表示y．(3)求一個(gè)十邊形的對角線的條數(shù)．題型十一扇形的面積

例題：如圖，大圓的半徑是R，小圓的半徑是大圓半徑的23鞏固訓(xùn)練1．隨著城市的發(fā)展，住宅小區(qū)的建設(shè)也越來越人性化．為響應(yīng)國家“加強(qiáng)全民健身設(shè)施建設(shè)，發(fā)展全民體育”的號召．哈市某小區(qū)在一片足夠大的空地中，改建出一個(gè)休閑廣場，規(guī)劃設(shè)計(jì)如圖所示．（π取3）（1）求塑膠地面休閑區(qū)的面積；（2）求廣場中種植花卉的面積與種植草坪的面積的比值．2．如圖，把一個(gè)圓分成三個(gè)扇形，你能求出這三個(gè)扇形的圓心角嗎？

第四章基本平面圖形知識歸納與題型突破（題型清單）01思維導(dǎo)圖01思維導(dǎo)圖0202知識速記知識點(diǎn)1直線、射線與線段的概念知識點(diǎn)2：基本事實(shí)1.經(jīng)過兩點(diǎn)有一條直線，并且僅有一條直線，即兩點(diǎn)確定一條直線2.兩點(diǎn)之間的線段中，線段最短，簡稱兩點(diǎn)間線段最短知識點(diǎn)3：基本概念1.兩點(diǎn)間的距離：兩個(gè)端點(diǎn)之間的長度叫做兩點(diǎn)間的距離。2.線段的等分點(diǎn)：把一條線段平均分成兩份的點(diǎn)，叫做這個(gè)線段的中點(diǎn)知識點(diǎn)4：雙中點(diǎn)模型：C為AB上任意一點(diǎn)，M、N分別為AC、BC中點(diǎn)，則知識點(diǎn)5：角的概念1.角的定義：（1）定義一：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩條邊．如圖1所示，角的頂點(diǎn)是點(diǎn)O，邊是射線OA、OB．圖2圖1圖2圖1（2）定義二：一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，射線旋轉(zhuǎn)時(shí)經(jīng)過的平面部分是角的內(nèi)部．如圖2所示，射線OA繞它的端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到OB的位置時(shí)，形成的圖形叫做角，起始位置OA是角的始邊，終止位置OB是角的終邊．注意：（1）兩條射線有公共端點(diǎn)，即角的頂點(diǎn)；角的邊是射線；角的大小與角的兩邊的長短無關(guān)．（2）平角與周角：如圖1所示射線OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置OB和起始位置OA成一條直線時(shí)，所形成的角叫做平角，如圖2所示繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，OB和OA重合時(shí)，所形成的角叫做周角．2.角的表示法：角的幾何符號用“∠”表示，角的表示法通常有以下四種：知識點(diǎn)6：角度制及其換算角的度量單位是度、分、秒，把一個(gè)周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的為1分，記作“1′”，1′的為1秒，記作“1″”．這種以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制．1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．注意：在進(jìn)行有關(guān)度分秒的計(jì)算時(shí)，要按級進(jìn)行，即分別按度、分、秒計(jì)算，不夠減，不夠除的要借位，從高一位借的單位要化為低位的單位后再進(jìn)行運(yùn)算，在相乘或相加時(shí)，當(dāng)?shù)臀坏脭?shù)大于60時(shí)要向高一位進(jìn)位．知識點(diǎn)7：鐘表上有關(guān)夾角問題鐘表中共有12個(gè)大格，把周角12等分、每個(gè)大格對應(yīng)30°的角，分針1分鐘轉(zhuǎn)6°，時(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn)30°，時(shí)針1分鐘轉(zhuǎn)0.5°，利用這些關(guān)系，可幫助我們解決鐘表中角度的計(jì)算問題．知識點(diǎn)8：方位角在航行和測繪等工作中，經(jīng)常要用到表示方向的角．例如，圖中射線OA的方向是北偏東60°；射線OB的方向是南偏西30°．這里的“北偏東60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．知識點(diǎn)9：角平分線從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線，叫做這個(gè)角的平分線．如圖所示，OC是∠AOB的角平分線，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC=∠AOB．注意：由角平分線的概念產(chǎn)生的合情推理其思維框架與線段中點(diǎn)的思維框架一樣．知識點(diǎn)10：角的運(yùn)算如圖所示，∠AOB是∠1與∠2的和，記作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB與∠2的差，記作：∠1＝∠AOB-∠2．知識點(diǎn)11：角的比較角的大小比較與線段的大小比較相類似，方法有兩種．方法1：度量比較法．先用量角器量出角的度數(shù)，然后比較它們的大?。椒?：疊合比較法．把其中的一個(gè)角移到另一個(gè)角上作比較．如比較∠AOB和∠A′O′B′的大小：如下圖，由圖（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由圖(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由圖(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．知識點(diǎn)12：多邊形及正多邊形定義：多邊形是由一些不在同一條直線上的線段依次首尾相連組成的封閉平面圖形．其中，各邊相等、各角也相等的多邊形叫做正多邊形．如下圖：2.正多邊形1.各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形2.正多邊形的每個(gè)內(nèi)角3.正多邊形每個(gè)外角的度數(shù)：（3）平面鑲嵌：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，叫做用多邊形覆蓋平面。3．相關(guān)概念：頂點(diǎn)：每相鄰兩條邊的公共端點(diǎn)叫做多邊形的頂點(diǎn)．邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊．內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫多邊形的內(nèi)角（可簡稱為多邊形的角），一個(gè)n邊形有n個(gè)內(nèi)角.外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角.對角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對角線．多邊形公式1.n邊形一個(gè)頂點(diǎn)的對角線數(shù)：n-32.n邊形的對角線總數(shù)：3.n邊形的外角和：360°4.補(bǔ)充拓展：n邊形截去一個(gè)角后得到n/n-1/n-2邊形知識點(diǎn)12：圓及扇形1.圓的定義如圖，在一個(gè)平面內(nèi)，一條線段繞著它固定的一個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)所形成的圖形叫做圓，固定的端點(diǎn)叫做圓心，線段OA叫做半徑.2.扇形（1）圓?。簣A上任意兩點(diǎn)A，B間的部分叫做圓弧，簡稱弧，記作，讀作“圓弧AB”或“弧AB”.如下圖：（2）扇形的定義：如上圖，由一條弧AB和經(jīng)過這條弧的端點(diǎn)的兩條半徑OA，OB所組成的圖形叫做扇形.

注意：圓可以分割成若干個(gè)扇形.（3）圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角.如上圖，∠AOB是圓的一個(gè)圓心角，也是扇形OAB的圓心角.0303題型歸納題型一直線/射線和線段及作圖

例題：如圖，已知四點(diǎn)A、B、C、D，請用尺規(guī)作圖完成．（保留畫圖痕跡）(1)畫直線AB，畫射線AC，連接BC；(2)延長線段BC到E．使得BE=AB+BC；(3)在線段BD上取點(diǎn)P，使PA+PC的值最?。敬鸢浮?1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】本題考查作圖—復(fù)雜作圖，直線、射線、線段，兩點(diǎn)間的距離，解決本題的關(guān)鍵是掌握基本作圖方法．（1）根據(jù)基本作圖方法即可畫直線AB，畫射線AC，連接BC；（2）延長線段BC到E，利用尺規(guī)使CE=AB，可得BE=AB+BC；（3）連接線段BD交AC于點(diǎn)P，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得PA+PC的值最?。驹斀狻浚?）解：如圖，直線AB，射線AC，線段BC即為所求；（2）解：如圖，點(diǎn)E即為所求：（3）解：如圖，點(diǎn)P即為所求．鞏固訓(xùn)練

1．下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．畫線段AB=3厘米 B．畫射線AB=3厘米C．在射線AC上截取AB=3厘米 D．延長線段AB到C，使得AC=2AB【答案】B【分析】本題主要考查了畫線段和射線，射線無法度量，線段可以度量，據(jù)此結(jié)合線段的畫法可得答案．【詳解】解：A、線段可以度量，因此可以畫線段AB=3厘米，原說法正確，不符合題意；B、射線無法度量，因此不可以畫射線AB=3厘米，原說法錯(cuò)誤，符合題意；C、在射線AC上可以截取AB=3厘米，原說法正確，不符合題意；D、延長線段AB到C，使得AC=2AB，原說法正確，不符合題意；故選：B．2．如圖，下列說法正確的是（

）A．射線OB和射線AB表示同一條射線B．射線OB和射線OA表示同一條射線C．射線OB和射線BO表示同一條射線D．以點(diǎn)A為端點(diǎn)的射線有4條【答案】B【分析】本題考查了直線、射線、線段，掌握射線的表示方法是解題的關(guān)鍵.根據(jù)射線的表示方法逐項(xiàng)判定即可．【詳解】解：A、射線OB和射線AB的端點(diǎn)不同，不是表示同一條射線，故此選項(xiàng)不符合題意；B、射線OB和射線OA的端點(diǎn)相同，方向相同，是表示同一條射線，故此選項(xiàng)符合題意；C、射線OB和射線BO的端點(diǎn)不相同，方向也不相同，不是表示同一條射線，故此選項(xiàng)不符合題意；D、以點(diǎn)A為端點(diǎn)的射線有2條，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：B．3．如圖，已知四點(diǎn)A、B、C、D，請按要求作圖并解答．

(1)按要求作圖：①作射線AB；②連接BD；③在射線AB上截取AM，使AM=DB；④在線段BD上取點(diǎn)P，使PA+PC的值最??；(2)小明同學(xué)根據(jù)圖形寫出了四個(gè)結(jié)論：①圖中有8條線段；②點(diǎn)B在線段DP的延長線上；③射線AB和射線AM是兩條射線；④點(diǎn)M在射線AB的延長線上；其中正確的結(jié)論是_________．【答案】(1)見解析(2)②③【分析】（1）①根據(jù)射線的定義作圖即可；②直接連接BD即可；③以A為圓心，以BD為半徑畫圓弧，與射線直線AB交于M；④連接AC與BD的交點(diǎn)即為所求；（2）根據(jù)直線、線段、射線的定義逐個(gè)判斷即可解答．【詳解】（1）解：①射線AB即為所求；②線段BD即為所求；③線段AM即為所求；④點(diǎn)P即所求．

（2）解：①圖中的線段有AB、AM、BM、AP、AC、PC、BD、PB、DP，共9條，則①錯(cuò)誤；②由AC與BD的交點(diǎn)，則點(diǎn)P是點(diǎn)B在線段DP的延長線上，即②正確；③圖中射線AM、BM，共2條，則③正確；圖中共有6條線段的說法是正確的；④由射線AB本來就無限延伸，故不需要延長，則④錯(cuò)誤．故答案為②③．【點(diǎn)睛】本題主要考查了基本作圖，直線、線段、射線的定義，線段的性質(zhì)等知識點(diǎn)，掌握直線，射線，線段的定義是解題的關(guān)鍵．題型二直線和線段的性質(zhì)

例題：如圖，經(jīng)過刨平的木板上的A，B兩個(gè)點(diǎn)，能彈出一條筆直的墨線，而且只能彈出一條墨線，能解釋這一實(shí)際應(yīng)用的數(shù)學(xué)知識是（

）A．兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短B．過一點(diǎn)，有無數(shù)條直線C．兩點(diǎn)確定一條直線D．兩點(diǎn)之間線段的長度叫做這兩點(diǎn)之間的距離【答案】C【分析】根據(jù)“經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線”即可得出結(jié)論．本題考查了直線的性質(zhì)，掌握“經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線”是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線，∴經(jīng)過木板上的A、B兩個(gè)點(diǎn)，只能彈出一條筆直的墨線．∴能解釋這一實(shí)際應(yīng)用的數(shù)學(xué)知識是兩點(diǎn)確定一條直線．故選：C．鞏固訓(xùn)練

1．如圖，建筑工人砌墻時(shí)，經(jīng)常用細(xì)繩在墻的兩端之間拉一條參照線，使砌的每一層磚在一條直線上，這樣做的依據(jù)是（

）A．直線比曲線短 B．兩點(diǎn)之間，線段最短C．兩點(diǎn)確定一條直線 D．兩點(diǎn)之間，直線最短【答案】C【分析】此題考查了直線的性質(zhì)，根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線，即可解答．【詳解】解：根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線，可使每一層磚在一條直線上．故答案為：C．2．媛媛一家準(zhǔn)備周末從A地前往B地游玩，導(dǎo)航提供了三條可選路線（如圖），其長度分別為21km，24km，19km，而兩地的直線距離為12.1A．兩點(diǎn)確定一條直線 B．垂線段最短 C．兩點(diǎn)之間線段最短 D．公垂線段最短【答案】C【分析】本題考查了線段的性質(zhì)，由兩點(diǎn)之間，線段最短即可得出答案，熟練掌握線段的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意得：解釋這一現(xiàn)象的數(shù)學(xué)知識最合理的是兩點(diǎn)之間線段最短，故選：C．3．下列能用“垂線段最短”來解釋的現(xiàn)象是（

）A．兩釘子固定木條 B．木板上彈墨線C．測量跳遠(yuǎn)成績 D．彎曲河道改直【答案】C【分析】本題考查了垂線段最短，線段的性質(zhì)，直線的性質(zhì)的數(shù)學(xué)常識在生活中的應(yīng)用，，熟練掌握數(shù)學(xué)常識是解題的關(guān)鍵．用兩根釘子就可以把一根木條固定在墻上是兩點(diǎn)確定一條直線；木板上彈墨線，能彈出一條筆直的墨線，而且只能彈出一條墨線，可用兩點(diǎn)確定一條直線來解釋的現(xiàn)象；測量跳遠(yuǎn)成績是垂線段最短求腳后跟到起跳線的距離；把彎曲的公路改直，就能夠縮短路程是兩點(diǎn)之間，線段最短；據(jù)此分別判斷即可．【詳解】A．兩根釘子就可以把一根木條固定在墻上，數(shù)學(xué)常識為兩點(diǎn)確定一條直線，故該選項(xiàng)不符合題意；B．木板上彈墨線，能彈出一條筆直的墨線，數(shù)學(xué)常識均為兩點(diǎn)確定一條直線，故該選項(xiàng)不符合題意；C．測量跳遠(yuǎn)成績是求腳后跟到起跳線的距離，數(shù)學(xué)常識為垂線段最短，故該選項(xiàng)符合題意；D．把彎曲的公路改直，就能夠縮短路程，數(shù)學(xué)常識為兩點(diǎn)之間，線段最短，故該選項(xiàng)不符合題意；故選：C．題型三線段的運(yùn)用

例題：如圖，AB是一段高鐵行駛路線圖，圖中字母表示的5個(gè)點(diǎn)表示5個(gè)車站在這段路線上往返行車，需印制（

）種車票，共有（

）種票價(jià)．

A．10；10 B．22；11 C．20；10 D．20；20【答案】C【分析】分析觀察可以發(fā)現(xiàn)，每個(gè)車站作為起始站，可以到達(dá)除本站外的任何一個(gè)站，需要印制55?1【詳解】解：5×5?1=20，∴需印制20種車票，共有10種票價(jià)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題在線段的基礎(chǔ)上，考查了排列與組合的知識，解題關(guān)鍵是要理解題意，每個(gè)車站都既可以作為起始站，可以到達(dá)除本站外的任何一個(gè)站．鞏固訓(xùn)練

1．一條火車線路上共有5個(gè)車站，則用于這條線路上的車票共有（）A．10種 B．15種 C．20種 D．25種【答案】C【分析】本題考查了線段的數(shù)量問題，由題意可知：由第一站點(diǎn)分別要經(jīng)過4個(gè)不同的站點(diǎn)，所以要4種車票；由第二站點(diǎn)要經(jīng)過3個(gè)不同的地方，所以要制作3種車票；依此類推，則分別要制作的車票種數(shù)為4，3，2，1種．由于同一條線路的起點(diǎn)和終點(diǎn)是可以變化的，所以同一線路對應(yīng)2種車票．【詳解】解：由題意，得：這段鐵路上的火車票價(jià)共有4+3+2+1×2=20故選：C．2．?dāng)?shù)軸上表示整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，某數(shù)軸的單位長度是1厘米，若在這個(gè)數(shù)軸上隨意畫出一條長2017厘米的線段AB，則線段AB蓋住的整點(diǎn)共有（）個(gè)A．2022或2023 B．2017或2018 C．2016或2017 D．2015或2016【答案】B【分析】本題考查了數(shù)軸，解題的關(guān)鍵是找出長度為n（n為正整數(shù)）的線段蓋住n或n+1個(gè)整點(diǎn)，分線段AB的端點(diǎn)與整點(diǎn)重合和不重合兩種情況考慮，重合時(shí)蓋住的整點(diǎn)是線段的長度+1【詳解】解：若線段AB的端點(diǎn)恰好與整點(diǎn)重合，則2017厘米長的線段蓋住個(gè)整點(diǎn)，2017+1=2018個(gè)整點(diǎn)，若線段AB的端點(diǎn)不與整點(diǎn)重合，則2017厘米的線段AB蓋住2017個(gè)整點(diǎn)．∴2017厘米的線段AB蓋住2017或2018個(gè)整點(diǎn)．故選：B．3．由汕頭開往廣州東的D7511動車，運(yùn)行途中須?？康能囌疽来问牵荷穷^→潮汕→普寧→汕尾→深圳坪山→東莞→廣州東．那么要為D7511動車制作的車票一共有（

）A．6種 B．7種 C．21種 D．42種【答案】D【分析】從汕頭要經(jīng)過6個(gè)地方，所以要制作6種車票；從潮汕要經(jīng)過5個(gè)地方，所以制作5種車票；以此類推，則應(yīng)分別制作4、3、2、1種車票，因?yàn)槭莵砘剀嚻?，所以需要?，即可得出答案．【詳解】共制作的車票數(shù)＝2×（6＋5＋4＋3＋2＋1）＝42（種）．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了線段、射線、直線等知識點(diǎn)，解此題的關(guān)鍵是能得出規(guī)律，學(xué)會用數(shù)學(xué)來解決實(shí)際問題．題型四線段的運(yùn)算

例題：如圖，已知線段AB=23，BC=15，點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)．(1)求線段AM的長；(2)在CB上取一點(diǎn)N，使得CN:NB=2:3，求線段MN的長．【答案】(1)4(2)10【分析】本題主要考查了線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算，以及線段的和差關(guān)系以及線段比例的計(jì)算．（1）由線段的和差關(guān)系得出AC，再根據(jù)線段中點(diǎn)的定義求解即可．（2）先根據(jù)線段的比例求出CN，再根據(jù)線段的和差關(guān)系得出MN即可．【詳解】（1）解：∵AB=23，BC=15，∴AC=AB?BC=23?15=8，∵點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)．∴AM=MC=（2）∵BC=15，CN:NB=2:3，∴CN=BC?2由（1）知MC=4，∴MN=MC+CN=4+6=10鞏固訓(xùn)練

1．如圖，點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，且AB=12，BD=5．若點(diǎn)E在直線AB上，且AE=3，則DE的長為（）A．4 B．15 C．3或15 D．4或10【答案】D【分析】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義得到BC=10，CD=BD=5，求得AC=2，分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A右側(cè)，當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A左側(cè)，根據(jù)線段的和差分別討論，是解決問題關(guān)鍵．【詳解】解：∵D為BC的中點(diǎn)，BD=5，∴BC=10，CD=BD=5，∵AB=12，∴AC=2，如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A右側(cè)，∵AE=3，∴CE=1，∴DE=CD?CE=4；如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A左側(cè)，∵AE=3，∴DE=AE+AC+CD=3+2+5=10，故DE的長為4或10，故選：D．2．如圖，點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，AB=12，點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離比點(diǎn)C到點(diǎn)B的距離多2，則BC=．【答案】5【分析】本題考查了線段的和差，由題意得出AC=BC+2，結(jié)合AC+BC=BC+2+BC=12，計(jì)算即可得出答案．【詳解】解：由題意得：AC=BC+2，∵AB=12，∴AC+BC=BC+2+BC=12，∴BC=5，故答案為：5．

3．如圖，C是線段AE的中點(diǎn)，點(diǎn)D在線段CE上，B是線段AD的中點(diǎn)．(1)若AC=3，DE=2，求CD的長；(2)若BC=3，CD:AD=1:4，求AC的長．【答案】(1)CD=1(2)AC=9【分析】本題考查了與線段中點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算、線段的和差，熟練掌握以上知識點(diǎn)，找準(zhǔn)線段之間的關(guān)系是解此題的關(guān)鍵．（1）由線段中點(diǎn)的定義得出CE=AC=3，再結(jié)合CD=CE?DE計(jì)算即可得解；（2）設(shè)CD=x，則AD=4x．由線段中點(diǎn)的定義得出AB=BD=12AD=2x，根據(jù)BD?CD=BC求出x=3【詳解】（1）解：∵C是線段AE的中點(diǎn)，AC=3，∴CE=AC=3．∵DE=2，∴CD=CE?DE=3?2=1．（2）解：∵CD:AD=1:4，∴設(shè)CD=x，則AD=4x．∵B是線段AD的中點(diǎn)，∴AB=BD=1∵BD?CD=BC，即2x?x=3，解得x=3．∵AC=AD?CD=4x?x=3x，∴AC=9．4．如圖，線段AB=16，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)．(1)求線段AD的長；(2)若在線段AB上有一點(diǎn)E，CE=14BC【答案】(1)12(2)6或10【分析】本題主要考查了線段的和差，線段中點(diǎn)，熟練掌握線段的和差的計(jì)算方法進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)線段的中點(diǎn)的性質(zhì)可得AC=BC=12AB=8，CD=BD=（2）根據(jù)題意分兩種情況，當(dāng)點(diǎn)E在C點(diǎn)的左邊時(shí)，AE=AC?CE，當(dāng)點(diǎn)E在C點(diǎn)的右邊時(shí)，AE=AC+CE．分別計(jì)算即可得出答案．【詳解】（1）解：∵AB=16，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴AC=BC=12AB=8∴AD=AC+CD=8+4=12；（2）解：由（1）知AC=BC=8，∵CE=1當(dāng)點(diǎn)E在C點(diǎn)的左邊時(shí)，AE=AC?CE=8?2=6，當(dāng)點(diǎn)E在C點(diǎn)的右邊時(shí)，AE=AC+CE=8+2=10．綜上：AE的長為6或10．5．如圖，線段AB=24．C是線段AB的中點(diǎn)，D是線段BC的中點(diǎn)．(1)求線段AD的長；(2)在線段AD上有一點(diǎn)E，滿足CE=16BC【答案】(1)AD的長為18(2)AE的長為10或14【分析】本題主要考查線段的和差運(yùn)算，掌握中點(diǎn)的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)線段的中點(diǎn)先算出AC,CD的長，再根據(jù)線段的和差即可求解；（2）根據(jù)題意可算出CE的長，分類討論，當(dāng)點(diǎn)E在AC之間時(shí)；當(dāng)點(diǎn)E在CD之間時(shí)；由此即可求解．【詳解】（1）∵點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，∴AC=BC=1∵點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，∴CD=BD=1∴AD=AC+CD=12+6=18，∴線段AD的長為18；（2）∵AC=BC=12，∴CE=1當(dāng)點(diǎn)E在A、C之間時(shí)，AE=AC?CE=12?2=10；當(dāng)點(diǎn)E在C、D之間時(shí)，AE=AC+CE=12+2=14；綜上所述，AE的長為10或14．題型五度分秒的運(yùn)算

例題：計(jì)算（結(jié)果用度、分、秒表示）．(1)58°49(2)47.6°?25°12(3)38°45(4)180°?58°3【答案】(1)126°2(2)22°2(3)111°1(4)51°【分析】本題考查度，分，秒的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是掌握1°=60′，（1）根據(jù)1°=60（2）根據(jù)1°=60′，（3）根據(jù)1°=60′，（4）根據(jù)1°=60′，【詳解】（1）解：58°4=125°+8=126°20（2）解：47.6°?25°1=47°3=47°3=22°23（3）解：38°4=38°4=110°7=111（4）解：180°?=180°?=180°?128°3=51°7鞏固訓(xùn)練

1．將30.24°用度、分、秒表示為（

）A．30°12′24″ B．30°14【答案】B【分析】此題考查了角度間的換算，先把0.24乘以60得14.4，再0.4乘以60得24，最后加上整數(shù)部分即可，解題的關(guān)鍵熟練掌握度、分、秒之間是60進(jìn)制，將高級單位化為低級單位時(shí)，乘以60，反之，將低級單位轉(zhuǎn)化為高級單位時(shí)除以60．【詳解】解：0.24×60=14.4，0.4×60=24，∴30.24°用度、分、秒表示為30°14故選：B．2．已知∠1=76°24′，∠2=76.24°，∠3=76.4°，下列說法正確的是（A．∠1=∠2 B．∠1=∠3 C．∠1<∠2 D．∠2>∠3【答案】B【分析】本題考查了度分秒之間的換算，屬于基礎(chǔ)題，注意兩者之間的進(jìn)位關(guān)系．將各角的單位統(tǒng)一，繼而可得出答案．【詳解】解：∠1=76°24∠2=76.24°=76°14∠3=76.4°=76°24∴∠2<∠3=∠1，故選B．3．用度、分、秒表示34.18°=°′″【答案】341048【分析】本題考查了度、分、秒的轉(zhuǎn)化運(yùn)算．進(jìn)行度、分、秒的轉(zhuǎn)化運(yùn)算，注意以60為進(jìn)制．1°=60′，【詳解】解：34.18°=34°+0.18×6=34°+10.=34°+1=34°+1=34°10故答案為：34；10；48．題型六鐘面角

例題：鐘表上顯示8時(shí)45分時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)鶌A的角度是（

）A．30° B．22.5° C．15° D．7.5°【答案】D【分析】本題考查了鐘面角，根據(jù)鐘面被分成12大格，每大格30°，分針每分鐘轉(zhuǎn)6°，時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)0.5°度，計(jì)算即可得出答案．【詳解】解：鐘表上顯示8時(shí)45分時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)鶌A的角度是30°?45×0.5°=7.5°，故選：D．鞏固訓(xùn)練

1．時(shí)鐘在6點(diǎn)10分時(shí)，時(shí)針和分針?biāo)山嵌仁牵ǎ〢．125° B．120° C．115° D．126°【答案】A【分析】本題考查了鐘面角，根據(jù)時(shí)針與分針相距的份數(shù)乘以每份的度數(shù)，可得答案．確定時(shí)針與分針相距的份數(shù)是解題關(guān)鍵．【詳解】解：6點(diǎn)10分時(shí)時(shí)針與分針相距4+10在6點(diǎn)10分時(shí)，時(shí)針和分針?biāo)山嵌仁?0°×25故選：A．2．如圖，在下午四點(diǎn)半的時(shí)候，時(shí)針和分針?biāo)鶌A的銳角度數(shù)是（

）A．75° B．60° C．45° D．30°【答案】C【分析】結(jié)合圖形，利用鐘表表盤的特征解答．用到的知識點(diǎn)為：鐘表上12個(gè)數(shù)字，每相鄰兩個(gè)數(shù)字之間的夾角為30°．【詳解】解：下午四點(diǎn)半鐘，時(shí)針和分針中間相差1.5個(gè)大格．∵鐘表12個(gè)數(shù)字，每相鄰兩個(gè)數(shù)字之間的夾角為30°，∴下午四點(diǎn)半鐘分針與時(shí)針的夾角是1.5×30°=45°．故選：C3．如圖，鐘表上2點(diǎn)半時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)傻慕鞘恰敬鸢浮?05°/105度【分析】本題考查了鐘面角，根據(jù)每一大格為30°度，鐘表上2點(diǎn)半時(shí)，所成的角的度數(shù)為三個(gè)大格+1【詳解】解：鐘表上2點(diǎn)半時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)傻慕鞘?0°×3+30°×1故答案為：105°．題型七方位角

例題：在燈塔O處測到輪船C位于北偏西20°的方向，輪船B位于南偏東50°的方向，輪船A在∠BOC的角平分線上，則在燈塔O處觀測輪船A的方向?yàn)椋?/p>

）A．北偏東55° B．北偏東50° C．北偏東45° D．北偏東40°【答案】A【分析】本題主要考查了方向角及角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是正確理解方向角．利用方向角的定義及角平分線的定義求解即可．【詳解】解∶如圖，∵在燈塔O處測到輪船C位于北偏西20°的方向，∴∠1=20°，∵輪船B位于南偏東50°的方向，∴∠3=50°，∴∠4=90°?∠3=40°，∴∠BOC=90°+∠1+∠4=90°+20°+40°=150°，∵OA是∠BOC的角平分線，∴∠AOC=1∴∠2=∠AOC?∠1=75°?20°=55°，則在燈塔O處觀測輪船A的方向?yàn)楸逼珫|55°，故選∶A．鞏固訓(xùn)練

1．在燈塔O處觀測到輪船A位于北偏西64°的方向，同時(shí)輪船B在南偏東18°的方向，那么∠AOB的大小為（）A．82° B．154° C．134° D．172°【答案】C【分析】本題主要考查了方向角的相關(guān)計(jì)算，解題的關(guān)鍵是正確理解方向角的定義．由已知條件可得出∠AOE=64°，進(jìn)而得出∠AOC=26°，再根據(jù)∠BOD=18°，利用角的和差關(guān)系即可得出答案．【詳解】解：如圖，∵∠AOE=64°，∴∠AOC=90°?64°=26°．又∵∠BOD=18°，∴∠AOB=∠AOC+∠COD+∠BOD=26°+90°+18°=134°．故選：C．2．如圖，OA的方向是北偏東15°，OB的方向是北偏西40°，若∠AOC=∠AOB，則OC的方向是（

）

A．北偏東70° B．北偏西70° C．南偏東70° D．南偏西50°【答案】A【分析】先根據(jù)角的和差得到∠AOC的度數(shù)，再運(yùn)用∠AOC的度數(shù)加上15°，即可作答．考查了方位角，方位角是表示方向的角；以正北，正南方向?yàn)榛鶞?zhǔn)，來描述物體所處的方向．【詳解】解：∵OA的方向是北偏東15°，OB的方向是北偏西40°，∴∠AOB=15°+40°=55°，∵∠AOC=∠AOB，∴∠AOC=55°，15°+55°=70°，故OC的方向是北偏東70°．故選：A．3．如圖，OA的方向是北偏東15°，OB的方向是西北方向，若∠AOC=∠AOB，則OC的方向是（

）A．北偏東30° B．北偏東60° C．北偏東75° D．北偏東15°【答案】C【分析】本題主要考查方向角的計(jì)算，熟練掌握方向角的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意，求出∠AOC=∠AOB=60°，即可得到答案．【詳解】解：依題意可得，OA的方向是北偏東15°，OB的方向是西北方向，若∠AOC=∠AOB，∴∠AOC=∠AOB=15°+45°=60°，故OC的方向是北偏東75°．故選C．4．如圖，已知輪船A在燈塔P的北偏東27°50′方向，輪船B在燈塔P的南偏東71°22′【答案】80°4【分析】此題考查了方向角，用180°減去兩個(gè)方向角的度數(shù)即可得到答案．【詳解】解：∵輪船A在燈塔P的北偏東27°50′方向，輪船B在燈塔P的南偏東∴∠APB=180°?27°5故答案為：80°4題型八角平分線的有關(guān)運(yùn)算

例題：如圖，已知OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．(1)若∠AOB是直角，∠BOC=60°，求∠EOF的度數(shù)；(2)若∠AOC=x，∠BOC=y，列式表示∠EOF的大小．【答案】(1)45°(2)x?y【分析】本題考查角的計(jì)算，角平分線的定義，（1）利用角的和表示出∠AOC的度數(shù)，利用角平分線的定義分別求得∠EOC和∠FOC，利用角的差即可求得結(jié)論；（2）利用角平分線的定義分別表示出∠EOC和∠FOC的度數(shù)，再利用角的差即可求得結(jié)論；結(jié)合圖形，正確利用角的和差表示出角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵∠AOB是直角即∠AOB=90°，∠BOC=60°，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+60°=150°，∵OE平分∠AOC，∴∠EOC=1∵OF平分∠BOC，∴∠FOC=1∴∠EOF=∠EOC?∠FOC=75°?30°=45°，∴∠EOF的度數(shù)為45°；（2）∵OE平分∠AOC，∠AOC=x，∴∠EOC=1∵OF平分∠BOC，∠BOC=y，∴∠FOC=1∴∠EOF=∠EOC?∠FOC=1∴∠EOF的大小為x?y2鞏固訓(xùn)練

1．如圖，已知A、O、B三點(diǎn)在同一條直線上，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，若∠BOE=31°，求∠AOD的度數(shù)．【答案】59°【分析】本題考查了角平分線的定義，幾何圖形中角度的計(jì)算，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．根據(jù)角平分線得出∠BOC=62°，再由鄰補(bǔ)角確定∠AOC=118°，繼續(xù)利用角平分線即可求解．【詳解】解：∵OE平分∠BOC，∠BOE=31°，∴∠BOC=2∠BOE=2×31°=62°，∵∠AOC+∠BOC=180°∴∠AOC=180°?∠BOC=180°?62°=118°，∵OD平分∠AOC，∴∠AOD=12．如圖，已知OD平分∠AOB，射線OC在∠AOD內(nèi)，∠BOC=4∠COD，∠AOB=120°，求∠AOC的度數(shù)．【答案】40°【分析】本題考查的是角的計(jì)算，熟知角平分線的定義是解答此題的關(guān)鍵．根據(jù)OD平分∠AOB可得出∠AOD=∠BOD，再由∠BOC=4∠COD可設(shè)∠COD=x，則∠BOD=3x，AOC=2x，再由∠AOB=120°可得出x的值，進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】解：∵OD平分∠AOB，∴∠AOD=∠BOD．∵∠BOC=4∠COD，∴設(shè)∠COD=x，則∠BOD=3x，AOC=2x，∵∠AOB=120°，∴2x+x+3x=120°，解得x=20°，∴∠AOC=2x=40°．3．如圖，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．若∠BOC=70°，∠AOE=25°．(1)求出∠AOB的度數(shù)；(2)判斷∠DOE與∠AOB是否互補(bǔ)，并說明理由．【答案】(1)120°(2)互補(bǔ)，理由見詳解．【分析】本題考查了角平分線的定義，互補(bǔ)，解題的關(guān)鍵是求出∠DOE的度數(shù)．（1）利用角平分線的定義得出∠AOC=2∠AOE=50°，再根據(jù)∠AOB=∠BOC+∠AOC，代入計(jì)算即可；（2）先利用角平分線的定義求出∠DOE的度數(shù)，再根據(jù)∠DOE+∠AOB=180°，即可得答案．【詳解】（1）解：∵OE平分∠AOC．∠AOE=25°，∴∠AOC=2∠AOE=50°，∴∠AOB=∠BOC+∠AOC=70°+50°=120°；（2）∠DOE與∠AOB互補(bǔ)．理由：∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，∵∠DOC=12∠BOC=∴∠DOE=∠DOC+∠COE=35°+25°=60°，∴∠DOE+∠AOB=60°+120°=180°，∴∠DOE與∠AOB互補(bǔ)．4．如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOC，OF⊥CD．(1)若∠AOF=50°，求∠BOE的度數(shù)；(2)若∠BOD:∠BOE=1:4，求∠AOF的度數(shù)．【答案】(1)70°(2)70°【分析】本題考查了對頂角、鄰補(bǔ)角，利用鄰補(bǔ)角的定義、余角的定義是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)補(bǔ)角，余角的關(guān)系，可得∠COB，根據(jù)角平分線的定義，可得答案；（2）根據(jù)鄰補(bǔ)角，可得關(guān)于x的方程，根據(jù)解方程，可得∠AOC，再根據(jù)余角的定義，可得答案．【詳解】（1）解：∵∠COF與∠DOF是鄰補(bǔ)角，∴∠COF=180°?∠DOF=90°．∵∠AOC與∠AOF互為余角，∴∠AOC=90°?∠AOF=90°?50°=40°．∵∠AOC與∠BOC是鄰補(bǔ)角，∴∠COB=180°?∠AOC=180°?40°=140°．∵OE平分∠BOC，∴∠BOE=1（2）解：∠BOD:∠BOE=1:4，設(shè)∠BOD=∠AOC=x，∠BOE=∠COE=4x．∵∠AOC與∠BOC是鄰補(bǔ)角，∴∠AOC+∠BOC=180°，即x+4x+4x=180°，解得x=20°．∵∠AOC與∠AOF互為余角，∴∠AOF=90°?∠AOC=90°?20°=70°．

題型九余角﹑補(bǔ)角的基本運(yùn)算

例題：如圖，∠AOB與∠DOB互為補(bǔ)角，∠AOE與∠AOB互為余角，且∠AOB=4∠AOE．

(1)求∠∠AOB的度數(shù)；(2)若OC平分∠DOB，求∠AOC的度數(shù)．【答案】(1)72°(2)126°【分析】本題主要考查了與余角和補(bǔ)角有關(guān)的計(jì)算，角平分線的定義：（1）根據(jù)度數(shù)之和為90度的兩個(gè)角互為余角得到∠AOE+∠AOB=90°，再由∠AOB=4∠AOE，即可求出∠AOB=72°；（2）根據(jù)度數(shù)之和為180度的兩個(gè)角互為補(bǔ)角得到∠AOB+∠DOB=180°，進(jìn)而求出∠DOB=108°，再由角平分線的定義∠BOC=12∠DOB=54°【詳解】（1）解：∵∠AOE與∠AOB互為余角，∴∠AOE+∠AOB=90°，∵∠AOB=4∠AOE，∴14∴∠AOB=72°；（2）解：∵∠AOB與∠DOB互為補(bǔ)角，∴∠AOB+∠DOB=180°，∵∠AOB=72°，∴∠DOB=108°，∵OC平分∠DOB，∴∠BOC=1∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=126°．鞏固訓(xùn)練1．如圖，OC,OD,OE是∠AOB內(nèi)三條射線，OE平分∠DOA，OC平分∠AOB．(1)已知∠BOD=80°，∠AOE=25°，求∠COD的度數(shù)；(2)若∠BOD與∠EOC互余，求∠EOC的度數(shù)．【答案】(1)15°(2)30°【分析】本題考查了角平分線的定義，角的和差和余角的定義，（1）先由角平分線的定義得出∠AOD，繼而求出∠AOB，再由角平分線的定義得出∠BOC，最后根據(jù)∠COD=∠BOD?∠BOC求解即可；（2）由角平分線的定義和角的和差得出∠EOC=12∠BOD熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）∵∠AOE=25°，OE平分∠DOA，∴∠AOD=2∠AOE=50°，∵∠BOD=80°，∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=130°，∵OC平分∠AOB，∴∠BOC=1∴∠COD=∠BOD?∠BOC=80°?65°=15°；（2）∵OE平分∠DOA，OC平分∠AOB，∴∠AOE=1∴∠EOC=∠AOC?∠AOE=1∵∠BOD與∠EOC互余，即∠BOD+∠EOC=90°，∴∠BOD+1∴∠BOD=60°，∴∠EOC=12．如圖，將一副三角板的直角頂點(diǎn)疊放在一起．(1)猜想∠AOC與∠BOD的大小關(guān)系，并說明理由；(2)求∠AOD+∠BOC的度數(shù)；(3)若∠BOD:∠AOD=2:11，求∠BOC的度數(shù)．【答案】(1)∠AOC=∠BOD，理由見解析；(2)∠AOD+∠BOC的度數(shù)為180°；(3)∠BOC的度數(shù)為70°．【分析】（1）通過同角的余角相等，即可得出，（2）通過等量代換即可求解，（3）通過比例關(guān)系結(jié)合圖形列式，即可求解，本題考查了同角或等角的余角相等，解題的關(guān)鍵是，熟練掌握同角或等角的余角相等的性質(zhì)，并結(jié)合圖形，并正確列式求解．【詳解】（1）解：∠AOC=∠BOD，理由是：∵∠AOC=∠AOB?∠BOC=90°?∠BOC，∵∠BOD=∠DOC?∠BOC=90°?∠BOC，∴∠AOC=∠BOD；（2）∵∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠BOD+∠BOC=∠AOB+∠COD，∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOD+∠BOC=180°，故答案為：∠AOD+∠BOC的度數(shù)為180°；（3）∵∠BOD:∠AOD=2:11，∴設(shè)∠BOD=2a，則∠AOD=11a，∵∠AOC=∠BOD，∴∠AOC=2a，∴∠BOC=∠AOD?∠BOD?∠AOC=11a?2a?2a=7a，又∠COB+∠BOD=90°，∴2a+7a=90°，解得：a=10°，∴∠BOC=7a=70°，故答案為：∠BOC的度數(shù)為70°．題型十多邊形的性質(zhì)

例題：(1)試驗(yàn)分析：如圖1，經(jīng)過一個(gè)頂點(diǎn)（如點(diǎn)A）可以作___________條對角線，它把四邊形ABCD分為___________個(gè)三角形；(2)拓展延伸：運(yùn)用（1）的分析方法，可得：圖2過一個(gè)頂點(diǎn)作所有的對角線，把這個(gè)多邊形分為___________個(gè)三角形；圖3過一個(gè)頂點(diǎn)作所有的對角線，把這個(gè)多邊形分為___________個(gè)三角形；(3)探索歸納：對于n邊形n>3，過一個(gè)頂點(diǎn)的所有對角線把這個(gè)n邊形分為___________個(gè)三角形．（用含n的式子表示）(4)特例驗(yàn)證：過一個(gè)頂點(diǎn)的所有對角線可把