北師版九年級(jí)數(shù)學(xué) 第一章 特殊平行四邊形（壓軸專練）（十一大題型）

第一章特殊平行四邊形（壓軸專練）（十一大題型）題型1：解答證明題題型2：折疊問題題型3：旋轉(zhuǎn)問題題型4：最值問題題型5：取值范圍問題題型6：定值問題題型7：特殊平行四邊形與平面直角坐標(biāo)系—存在性問題題型8：特殊平行四邊形與平面直角坐標(biāo)系—其他問題題型9：新定義題題型10：情景探究題題型11：其他動(dòng)態(tài)問題、最值問題綜合題型1：解答證明題1．在菱形中，，點(diǎn)E、F分別為上一點(diǎn)．(1)如圖1，當(dāng)，時(shí)，直接寫出三條線段和之間滿足的等量關(guān)系式為________；(2)當(dāng)時(shí)，①如圖2，若，若，，求的長；②如圖3，E為中點(diǎn)，交于點(diǎn)G，交于點(diǎn)H，和交于點(diǎn)O，若，，，則________．2．如圖，在中，(1)若是菱形，，試求出的度數(shù)；(2)如圖2，若，點(diǎn)在邊的延長線上，連接．，若是的中點(diǎn)，連接，求證：；(3)如圖3，，點(diǎn)是上動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)．過點(diǎn)作交線段于點(diǎn)．過點(diǎn)作于，交的高于點(diǎn)．若，請(qǐng)你寫出線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．題型2：折疊問題3．如圖，在矩形紙片中，E為邊上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接．(1)若．①如圖①，點(diǎn)E與點(diǎn)D重合，點(diǎn)F與點(diǎn)B重合，將矩形紙片沿折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)G處，設(shè)與相交于H，求的長；②如圖②，將矩形紙片沿折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，求折痕的長；(2)如圖③，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)F與點(diǎn)B重合，將矩形紙片沿折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)G處，且點(diǎn)G在矩形內(nèi)部，延長交于點(diǎn)H，若，求的值．4．【問題發(fā)現(xiàn)】如圖，在正方形紙片中，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），將正方形紙片沿直線折疊得到．（）如圖，點(diǎn)恰好落在對(duì)角線上，連接交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．求證：；（）如圖，點(diǎn)落在正方形紙片內(nèi)部，延長交邊于點(diǎn)，①猜想線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；②試說明的度數(shù)．【探究應(yīng)用】（）如圖，在正方形紙片中，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），將正方形紙片沿直線折疊得到，再將紙片沿過點(diǎn)的直線折疊，使與重合，折痕為，繼續(xù)將正方形紙片沿直線折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在折痕上的點(diǎn)處，與相交于點(diǎn)，若，求的長度．5．綜合與實(shí)踐(1)操作判斷：沒有作圖工具時(shí)，可以采用圖1的方法得到的角．步驟一：對(duì)折矩形紙片，使與重合，得到折痕，把紙片展平；步驟二：再次折疊紙片，使點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)，得到折痕，把紙片展平，交于點(diǎn)，連接．根據(jù)以上操作，圖1中度數(shù)為的角是（只需寫一個(gè)）；請(qǐng)你證明中的結(jié)論．(2)遷移探究：如圖2，將正方形紙片按照（1）中的方式操作，并延長交于點(diǎn)，連接．若正方形的邊長為，求的長（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位，參考數(shù)據(jù)：(3)拓展應(yīng)用：參照（2）的方式操作，如圖3，將正方形紙片沿著平行于的折痕折疊，使點(diǎn)分別落在邊上，其余步驟不變．若，請(qǐng)直接寫出的值為．題型3：旋轉(zhuǎn)問題6．操作與證明：如圖1，把一個(gè)含45°角的直角三角板ECF和一個(gè)正方形ABCD擺放在一起，使三角板的直角頂點(diǎn)和正方形的頂點(diǎn)C重合，點(diǎn)E、F分別在正方形的邊CB、CD上，連接AF．取AF中點(diǎn)M，EF的中點(diǎn)N，連接MD、MN．（1）連接AE，求證：△AEF是等腰三角形；猜想與發(fā)現(xiàn)：（2）在（1）的條件下，請(qǐng)判斷線段MD與MN的關(guān)系，得出結(jié)論；結(jié)論：DM、MN的關(guān)系是：；拓展與探究：（3）如圖2，將圖1中的直角三角板ECF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180°，其他條件不變，則（2）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)加以證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．7．點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，分別以，為邊在的同側(cè)作正方形與正方形．

(1)如圖1，連接，，判斷與的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并證明；(2)如圖2，將正方形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)落在線段上，交于點(diǎn)且點(diǎn)恰好是的中點(diǎn)，連接，，若，，求；(3)如圖3，將正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至如圖的位置，且，連接，交于點(diǎn)，連接，請(qǐng)直接寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系．題型4：最值問題8．問題提出

如圖1，正方形的對(duì)角線與交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，連接，作交于點(diǎn)，平分交于，探究與的數(shù)量關(guān)系．問題探究

（1）先將問題特殊化，如圖2，當(dāng)點(diǎn)與重合，點(diǎn)與重合時(shí)，直接寫出與的數(shù)量關(guān)系；（2）再探究一般情形，如圖1，探究與的數(shù)量關(guān)系：?jiǎn)栴}拓展

（3）如圖3，連接，若正方形的邊長為，請(qǐng)直接寫出的最小值為________（用含的式子表示）．

9．【問題情境】(1)同學(xué)們我們?cè)?jīng)研究過這樣的問題：已知正方形，點(diǎn)在的延長線上，以為一邊構(gòu)造正方形，連接和，如圖所示，則和的數(shù)量關(guān)系為______，位置關(guān)系為______．【繼續(xù)探究】(2)若正方形的邊長為，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為一邊在的右側(cè)作正方形，連接、，如圖所示，①請(qǐng)判斷線段與有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；②連接，若，求線段長．愛動(dòng)腦筋的小麗同學(xué)是這樣做的：過點(diǎn)作，如圖，你能按照她的思路做下去嗎？請(qǐng)寫出你的求解過程．【拓展提升】(3)在（2）的條件下，點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，利用圖，則的最小值為______．題型5：取值范圍問題10．已知，四邊形和四邊形都是正方形，點(diǎn)為的中點(diǎn)．(1)連接、．①如圖1，若點(diǎn)在邊上，猜想和的關(guān)系，并給予證明：②若將圖1中的正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)落在對(duì)角線的延長線上，請(qǐng)你在圖2中補(bǔ)全圖形，猜想和的關(guān)系，并給予證明．(2)如圖3，若，，將正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，連接．請(qǐng)你直接寫出的取值范圍___________．11．如圖1，，、、為鉛直方向的邊，、、為水平方向的邊，點(diǎn)在、之間，且在、之間，我們稱這樣的圖形為“圖形”，若一條直線將該圖形的面積分為面積相等的兩部分，則稱此直線為該“圖形”的等積線．(1)下列四副圖中，直線是該“圖形”等積線的是_________(填寫序號(hào))(2)如圖2，直線是該“圖形”的等積線，與邊、分別交于點(diǎn)、，過中點(diǎn)的直線分別交邊、于點(diǎn)、，則直線(填“是”或“不是”)該圖形的等積線．(3)在圖3所示的“圖形”中，，，．①若，在下圖中畫出與平行的等積線l(在圖中標(biāo)明數(shù)據(jù))②在①的條件下，該圖形的等積線與水平的兩條邊、分別交于、，求的最大值；③如果存在與水平方向的兩條邊、相交的等積線，則的取值范圍為．題型6：定值問題12．已知菱形中，，點(diǎn)E在邊上，作，與相交于點(diǎn)F．與對(duì)角線分別相交于點(diǎn)H，G．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E是中點(diǎn)時(shí)，______；(2)如圖2．①求證：；②的值是否為定值？如果是，請(qǐng)求出該定值；如果不是，請(qǐng)說明理由．13．綜合與實(shí)踐定義：將寬與長的比值為（為正整數(shù)）的矩形稱為階奇妙矩形．（1）概念理解：當(dāng)時(shí)，這個(gè)矩形為1階奇妙矩形，如圖（1），這就是我們學(xué)習(xí)過的黃金矩形，它的寬（）與長的比值是_________．（2）操作驗(yàn)證：用正方形紙片進(jìn)行如下操作（如圖（2））：第一步：對(duì)折正方形紙片，展開，折痕為，連接；第二步：折疊紙片使落在上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，展開，折痕為；第三步：過點(diǎn)折疊紙片，使得點(diǎn)分別落在邊上，展開，折痕為．試說明：矩形是1階奇妙矩形．

（3）方法遷移：用正方形紙片折疊出一個(gè)2階奇妙矩形．要求：在圖（3）中畫出折疊示意圖并作簡(jiǎn)要標(biāo)注．（4）探究發(fā)現(xiàn)：小明操作發(fā)現(xiàn)任一個(gè)階奇妙矩形都可以通過折紙得到．他還發(fā)現(xiàn)：如圖（4），點(diǎn)為正方形邊上（不與端點(diǎn)重合）任意一點(diǎn)，連接，繼續(xù)（2）中操作的第二步、第三步，四邊形的周長與矩形的周長比值總是定值．請(qǐng)寫出這個(gè)定值，并說明理由．題型7：特殊平行四邊形與平面直角坐標(biāo)系—存在性問題14．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象分別交x軸，y軸于A，B兩點(diǎn)，將繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得（點(diǎn)A與點(diǎn)C對(duì)應(yīng)，點(diǎn)B與點(diǎn)D對(duì)應(yīng)）．(1)求直線的解析式；(2)點(diǎn)E為線段上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作軸交直線于點(diǎn)F，作軸交直線于點(diǎn)G，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3)如圖2，若點(diǎn)M為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)N為直線上一點(diǎn)，點(diǎn)P為坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，且以O(shè)，M，N，P為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)．15．如圖，平面直角坐標(biāo)系中直線：分別與軸，軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與軸交于點(diǎn)，．(1)求直線的解析式；(2)若為線段上一點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的最小值，并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在（2）的結(jié)論下，將沿射線方向平移得，使落在直線上，若為直線上一點(diǎn)，為平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．16．在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形，點(diǎn)，現(xiàn)將矩形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形，點(diǎn)，，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，，．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)恰好落在邊上時(shí)，則的長為______(請(qǐng)直接寫出答案)；(2)如圖2，所在直線與、分別交于點(diǎn)、，且．求線段的長度．(3)如圖3，設(shè)點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，連接，，，在矩形旋轉(zhuǎn)過程中，的面積是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．題型8：特殊平行四邊形與平面直角坐標(biāo)系—其他問題17．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，直線軸，交y軸于點(diǎn)，點(diǎn)在直線l上，將矩形繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)度，得到矩形，此時(shí)直線、分別與直線l相交于點(diǎn)P、Q．(1)當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為______；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)落在l上時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為______；(3)如圖3，當(dāng)矩形的頂點(diǎn)落在l上時(shí)，①求的長度；②求．18．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，如圖構(gòu)造矩形，點(diǎn)D為，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿以每秒1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，作，交邊或邊于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．連接，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到O處時(shí)，線段長為____________；如圖2，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)為____________，線段長為____________，(2)如圖3，當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求證：是等腰直角三角形，(3)將沿直線翻折，形成四邊形，當(dāng)四邊形與矩形重疊部分是軸對(duì)稱圖形時(shí)，請(qǐng)直接寫出的取值范圍．題型9：新定義題19．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若點(diǎn)P和點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱，則稱點(diǎn)是點(diǎn)P關(guān)于y軸，直線l的“二次對(duì)稱點(diǎn)”．(1)已知點(diǎn)，直線l是經(jīng)過且平行于x軸的一條直線，則點(diǎn)A的“二次對(duì)稱點(diǎn)”的坐標(biāo)為__________；(2)如圖1，正方形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，，，點(diǎn)E的坐標(biāo)為，點(diǎn)K是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線l經(jīng)過點(diǎn)K且垂直于x軸，若正方形ABCD上存在點(diǎn)M，使得點(diǎn)是點(diǎn)M關(guān)于y軸，直線l的“二次對(duì)稱點(diǎn)”，且點(diǎn)在射線OE上，則點(diǎn)K的橫坐標(biāo)x的取值范圍是________________；(3)如圖2，是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，線段RS經(jīng)過點(diǎn)T，且點(diǎn)R、點(diǎn)S的坐標(biāo)分別是，，直線l經(jīng)過且與x軸正半軸夾角為60°，在點(diǎn)T的運(yùn)動(dòng)過程中，若線段RS上存在點(diǎn)N，使得點(diǎn)是點(diǎn)N關(guān)于y軸，直線l的“二次對(duì)稱點(diǎn)”，且點(diǎn)在y軸上，則點(diǎn)縱坐標(biāo)y的取值范圍是______________．題型10：情景探究題20．如圖，點(diǎn)分別在菱形的各邊上．【初步認(rèn)識(shí)】（1）如圖，若，則四邊形一定是（

）A．梯形

B．矩形

C．菱形

D．正方形【變式探究】

（2）如圖，若交于點(diǎn)，分別是上一點(diǎn)，，，的延長線分別交在于點(diǎn)，求證：四邊形是矩形．【深入思考】（3）如圖，若交于點(diǎn)，且，當(dāng)滿足什么條件時(shí)，可作出兩個(gè)不同矩形，請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論．（4）在（3）的條件下，設(shè)，請(qǐng)?zhí)剿髋c滿足的關(guān)系式．題型11：其他動(dòng)態(tài)問題、最值問題綜合21．已知，四邊形是正方形，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，，，連接、．

(1)如圖1，求證：：(2)直線與相交于點(diǎn)G．①如圖2，于點(diǎn)，于點(diǎn)，求證：四邊形是正方形；②如圖3，連接，若，，直接寫出在旋轉(zhuǎn)的過程中，線段長度的最小值．22．在矩形中，，，、是直線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別從、兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)相向而行，速度均為每秒2個(gè)單位長度，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，其中．(1)如圖1，、分別是、中點(diǎn)，當(dāng)四邊形是矩形時(shí)，求的值．(2)若、分別從點(diǎn)、沿折線，運(yùn)動(dòng)，與相同的速度同時(shí)出發(fā)．①如圖2，若四邊形為菱形，求的值；②如圖3，作的垂直平分線交、于點(diǎn)、，當(dāng)四邊形的面積是矩形面積的，則的值是________．③如圖4，在異于、所在矩形邊上取、，使得，順次連接，請(qǐng)直接寫出四邊形周長的最小值：________．

第一章特殊平行四邊形（壓軸專練）（十一大題型）題型1：解答證明題題型2：折疊問題題型3：旋轉(zhuǎn)問題題型4：最值問題題型5：取值范圍問題題型6：定值問題題型7：特殊平行四邊形與平面直角坐標(biāo)系—存在性問題題型8：特殊平行四邊形與平面直角坐標(biāo)系—其他問題題型9：新定義題題型10：情景探究題題型11：其他動(dòng)態(tài)問題、最值問題綜合題型1：解答證明題1．在菱形中，，點(diǎn)E、F分別為上一點(diǎn)．(1)如圖1，當(dāng)，時(shí)，直接寫出三條線段和之間滿足的等量關(guān)系式為________；(2)當(dāng)時(shí)，①如圖2，若，若，，求的長；②如圖3，E為中點(diǎn)，交于點(diǎn)G，交于點(diǎn)H，和交于點(diǎn)O，若，，，則________．【答案】(1)(2)；【分析】本題考查了正方形、菱形的性質(zhì)，等邊三角形與平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是作出恰當(dāng)?shù)妮o助線．（1）延長至Ｇ點(diǎn)，使，構(gòu)造，得到，又可證，通過等量代換即可證得結(jié)果．（2）①連接BD，過D點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)N．由菱形的性質(zhì)并結(jié)合可得和是等邊三角形，然后證明，則，于是可證是等邊三角形．再利用可求得、的值，于是可求得的值，最后在由勾股定理可得的值，于是得到的值．②過D作的平行線，過D作的垂線，利用類似于②的思路同樣可求得結(jié)果．【解析】（1）解：如圖，延長至G點(diǎn)，使．由菱形，則四邊形是正方形．∴，∴，∴，∵，∴，即，∴又，∴，∴；又，∴；故答案為：．（2）解：①如圖，連接，過D點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)N．∵四邊形是菱形，，，，則和是等邊三角形，，，；，；在和中，，，則，∴由可知是等邊三角形．，∵，，∴，∴，在中，，∴，．，在中，，．②如圖，過點(diǎn)D作，交于點(diǎn)P；過點(diǎn)D作，交于點(diǎn)Q；自點(diǎn)D作的垂線，垂足為點(diǎn)M．連接．因，∴四邊形與四邊形均為平行四邊形．∴．∵E為的中點(diǎn)，∵E為的中點(diǎn)，同①證法可知，，，．，，在中，，，由勾股定理得：，，在中，，由平行四邊形可知，2．如圖，在中，(1)若是菱形，，試求出的度數(shù)；(2)如圖2，若，點(diǎn)在邊的延長線上，連接．，若是的中點(diǎn)，連接，求證：；(3)如圖3，，點(diǎn)是上動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)．過點(diǎn)作交線段于點(diǎn)．過點(diǎn)作于，交的高于點(diǎn)．若，請(qǐng)你寫出線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)(2)見解析(3)，證明見解析【分析】（1）證明，再利用三角形的內(nèi)角和定理可得答案；（2）延長交于點(diǎn)，連接，證明是矩形，進(jìn)而可得，根據(jù)已知可得，根據(jù)三線合一即可得證；（3）連接，證明，可得，證明，再證明可得，，證明．可得，可得，從而可得結(jié)論．【解析】（1）解：∵是菱形，∴，∵，∴，∴（2）證明：如圖所示，延長交于點(diǎn)，連接∵∴又∵是的中點(diǎn)，∴，又∴∴，∴四邊形是平行四邊形，∵四邊形是平行四邊形，，∴四邊形是矩形，∴，∴∵∴∵∴（3）連接

．在和中，又，，，∵，，∴，∴，∴，，，在和中，又在中，．

在和中，．，又，．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，作出合適的輔助線構(gòu)建全等三角形是解本題的關(guān)鍵．題型2：折疊問題3．如圖，在矩形紙片中，E為邊上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接．(1)若．①如圖①，點(diǎn)E與點(diǎn)D重合，點(diǎn)F與點(diǎn)B重合，將矩形紙片沿折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)G處，設(shè)與相交于H，求的長；②如圖②，將矩形紙片沿折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，求折痕的長；(2)如圖③，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)F與點(diǎn)B重合，將矩形紙片沿折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)G處，且點(diǎn)G在矩形內(nèi)部，延長交于點(diǎn)H，若，求的值．【答案】(1)；(2)【分析】（1）①由折疊性質(zhì)和矩形的性質(zhì)可得，設(shè)，根據(jù)即可求解；②連接，過點(diǎn)E作，由折疊性質(zhì)和矩形的性質(zhì)可得，，設(shè)，根據(jù)勾股定理即可求解；（2）連接，設(shè)，，則，，由折疊性質(zhì)和勾股定理可得，即可求解．【解析】（1）解①：∵四邊形為矩形，∴，，∵，∴，∴；設(shè)，∵，∴，∵，即，解得：，∴；②如圖，連接，過點(diǎn)E作，由折疊可得：，，∵，∴，∴，由折疊可得：，∴，由①同理可求：，設(shè)，則，∵，解得：，∴，∴，∵，∴；（2）連接∵，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，設(shè)，，則，，∴；由折疊性質(zhì)可得：，，∴，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題是矩形的折疊問題，考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，正確作輔助線是關(guān)鍵．4．【問題發(fā)現(xiàn)】如圖，在正方形紙片中，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），將正方形紙片沿直線折疊得到．（）如圖，點(diǎn)恰好落在對(duì)角線上，連接交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．求證：；（）如圖，點(diǎn)落在正方形紙片內(nèi)部，延長交邊于點(diǎn)，①猜想線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；②試說明的度數(shù)．【探究應(yīng)用】（）如圖，在正方形紙片中，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），將正方形紙片沿直線折疊得到，再將紙片沿過點(diǎn)的直線折疊，使與重合，折痕為，繼續(xù)將正方形紙片沿直線折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在折痕上的點(diǎn)處，與相交于點(diǎn)，若，求的長度．【答案】（）證明見解析；（）①，證明見解析；②；（）．【分析】（）證明即可求證；（）①．連接，證明，得到，進(jìn)而由即可求證；②由折疊得，由，得，進(jìn)而得即可求解；（）由翻折可得，，，即得，得到，進(jìn)而得到，，再得到，由此得到，最后證明，得到；本題考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，余角性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【解析】（）證明：∵將正方形紙片沿直線折疊得到，點(diǎn)恰好落在對(duì)角線上∴，，∴，∵四邊形是正方形，∴，，∴，∴，∵，∴，即，在與中，，；（）①．證明：連接，正方形紙片沿直線折疊得到，∴，∵，，在與中，∴，，，；②由折疊得，∵，∴，，，．（）由翻折可得，，，又，，∴，在中，，，，，，在中，，，∵，，∵，，，由（）可知，，∴為等腰直角三角形，，在與中，，．5．綜合與實(shí)踐(1)操作判斷：沒有作圖工具時(shí)，可以采用圖1的方法得到的角．步驟一：對(duì)折矩形紙片，使與重合，得到折痕，把紙片展平；步驟二：再次折疊紙片，使點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)，得到折痕，把紙片展平，交于點(diǎn)，連接．根據(jù)以上操作，圖1中度數(shù)為的角是（只需寫一個(gè)）；請(qǐng)你證明中的結(jié)論．(2)遷移探究：如圖2，將正方形紙片按照（1）中的方式操作，并延長交于點(diǎn)，連接．若正方形的邊長為，求的長（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位，參考數(shù)據(jù)：(3)拓展應(yīng)用：參照（2）的方式操作，如圖3，將正方形紙片沿著平行于的折痕折疊，使點(diǎn)分別落在邊上，其余步驟不變．若，請(qǐng)直接寫出的值為．【答案】(1)①（答案不唯一）；②證明見解析；(2)0.5；(3)．【分析】（1）①根據(jù)題意即可得出答案；②連接，由第一次對(duì)折可得，由第二次折疊可得，，證明為等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)即可得解；（2）由(1)可得，由正方形的性質(zhì)可得，，設(shè)，則，由勾股定理得出，從而得出，由第二次折疊可得，，，證明，得出，設(shè)，則，，再由勾股定理計(jì)算即可得出答案；（3）設(shè)，則，由正方形的性質(zhì)得出，，由第一次折疊可得：，從而得出，由第二次折疊可得：，，，，從而得到，，，推出，證明，得到，設(shè)，則，，，由勾股定理得出，即可得解．【解析】（1）解：①根據(jù)以上操作，圖1中度數(shù)為的角是(答案不唯一)；②證明：如圖，連接，由第一次對(duì)折可得，垂直平分，∴，

由第二次折疊可得，，∴，∴為等邊三角形，∴.∴；（2）解：正方形是特殊的矩形,由(1)可得，，∵四邊形是正方形，∴，，設(shè)，則，在中，，解得，∴，由第二次折疊可得，，，∴，，在和中，，∴，∴，設(shè)，則，，∴，解得：，∴；（3）解：∵，∴設(shè)，則，∵四邊形為正方形，∴，，由第一次折疊可得：，∴，由第二次折疊可得：，，，，∴，，，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，，，由勾股定理得：，∴，整理得：，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．題型3：旋轉(zhuǎn)問題6．操作與證明：如圖1，把一個(gè)含45°角的直角三角板ECF和一個(gè)正方形ABCD擺放在一起，使三角板的直角頂點(diǎn)和正方形的頂點(diǎn)C重合，點(diǎn)E、F分別在正方形的邊CB、CD上，連接AF．取AF中點(diǎn)M，EF的中點(diǎn)N，連接MD、MN．（1）連接AE，求證：△AEF是等腰三角形；猜想與發(fā)現(xiàn)：（2）在（1）的條件下，請(qǐng)判斷線段MD與MN的關(guān)系，得出結(jié)論；結(jié)論：DM、MN的關(guān)系是：；拓展與探究：（3）如圖2，將圖1中的直角三角板ECF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180°，其他條件不變，則（2）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)加以證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）DM＝MN，DM⊥MN；（3）成立，理由見解析.【分析】（1）先證明△ABE≌△ADF，再利用全等三角形的性質(zhì)即可證明△AEF是等腰三角形；（2）利用三角形中位線定理，直角三角形斜邊中線定理可證明DM=MN，再證明∠DMN=∠DAB=90°，即可解決問題；（3）連接AE，交DM于O，交CD于G，同（2）證明方法類似，可證明DM=MN，再證明∠DOG＝∠ECG＝90°，即可得出結(jié)論.【解析】（1）證明：如圖，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠ADF＝90°，∵△EFC是等腰直角三角形，∴CE＝CF，∴BE＝DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE＝AF，∴△AEF是等腰三角形；（2）解：結(jié)論：DM＝MN，DM⊥MN，證明：∵在Rt△ADF中，M是AF的中點(diǎn)，∴DM=AF，∵M(jìn)是AF的中點(diǎn)，N是EF的中點(diǎn)，∴MN=AE，MN∥AE，∵AE＝AF，∴MN＝DM，∵∠ADF＝90°，AM＝MF，∴MD＝MA＝MF，∴∠MAD＝∠ADM，∴∠DMF＝∠MAD+∠ADM＝2∠DAM，∵△ABE≌△ADF，∴∠BAE＝∠DAF，∴∠DAB=∠EAF+2∠DAM＝90°，∵M(jìn)N∥AE，∴∠NMF＝∠EAF，∴∠DMN=∠NMF+∠DMF＝∠EAF+2∠DAM＝∠DAB=90°，∴DM⊥MN，∴MN＝DM，MN⊥DM，故答案為MN＝DM，MN⊥DM；（3）解：結(jié)論仍然成立．理由：如圖，連接AE，設(shè)AE交DM于O，交CD于G，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠ADF＝90°，又∵BC+CE=CD+CF,即BE＝DF，∴△ABE≌△ADF，∴AF＝AE，∠AFD＝∠AEB，∵在Rt△ADF中，M是AF的中點(diǎn)，∴DM=AF，∵M(jìn)是AF的中點(diǎn)，N是EF的中點(diǎn)，∴MN=AE，MN∥AE，∴MN＝DM，∵∠ADF＝90°，AM＝MF，∴MD＝MA＝MF，∴∠MDF＝∠MFD＝∠AEB，∵∠DGO＝∠CGE，∠ODG＝∠CEG，∴∠DOG＝∠ECG＝90°，∵NM∥AE，∴∠DOG＝∠DMN＝90°，∴MN⊥DM，MN＝DM．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握各性質(zhì)定理，找準(zhǔn)角與角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.7．點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，分別以，為邊在的同側(cè)作正方形與正方形．

(1)如圖1，連接，，判斷與的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并證明；(2)如圖2，將正方形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)落在線段上，交于點(diǎn)且點(diǎn)恰好是的中點(diǎn)，連接，，若，，求；(3)如圖3，將正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至如圖的位置，且，連接，交于點(diǎn)，連接，請(qǐng)直接寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)，，證明見詳解(2)(3)【分析】（1）延長交于點(diǎn)，證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，，由直角三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，證明，得出，證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，，求出的長，由三角形面積公式可得出答案；（3）在上截取，連接，證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，，證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論．【解析】（1），．證明：如圖1，延長交于點(diǎn)，

在正方形和正方形中，，，，在和中，，，，，，，；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，

，，，，，又，，，，，，，，，，，，，，；（3）．證明：在上截取，連接，

正方形和正方形中，，，，，，，，平分，，又，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．題型4：最值問題8．問題提出

如圖1，正方形的對(duì)角線與交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，連接，作交于點(diǎn)，平分交于，探究與的數(shù)量關(guān)系．問題探究

（1）先將問題特殊化，如圖2，當(dāng)點(diǎn)與重合，點(diǎn)與重合時(shí)，直接寫出與的數(shù)量關(guān)系；（2）再探究一般情形，如圖1，探究與的數(shù)量關(guān)系：?jiǎn)栴}拓展

（3）如圖3，連接，若正方形的邊長為，請(qǐng)直接寫出的最小值為________（用含的式子表示）．

【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)結(jié)合已知條件可得為等腰直角三角形，則，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)和等腰三角形的判定得到，進(jìn)而可得結(jié)論；（2）如圖1，過E作于P，于H，證明四邊形是正方形，則，，證明可得是等腰直角三角形，，利用等腰三角形的判定，結(jié)合三角形的外角性質(zhì)得到即可；（3）如圖3，推導(dǎo)出，故要求的最小值，只需求的最小值，作點(diǎn)A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接、、，由，當(dāng)、F、O共線時(shí)取等號(hào)，此時(shí)最小，最小值為的長，利用勾股定理求解的長．【解析】解：（1），證明：如圖2，∵四邊形是正方形，∴，，∵點(diǎn)與重合，點(diǎn)與重合，平分，∴為等腰直角三角形，，∴，∵，，∴，∴；（2）．證明：如圖1，過E作于P，于H，則，∴四邊形是矩形，又，∴，∴,∴四邊形是正方形，則，；∵，∴，∴，又，，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，，∵平分，∴；∵，，∴，∴；

（3）如圖3，連接，∵正方形的邊長為，∴，由（2）知，∵，∴要求的最小值，只需求的最小值，作點(diǎn)A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接、、，則，，∴，當(dāng)、F、O共線時(shí)取等號(hào)，此時(shí)最小，最小值為的長，過O作于M，則，

在中，，，∴，∴的最小值為，此時(shí)的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形的外角性質(zhì)、角平分線的定義、最短路徑問題等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用，添加合適的輔助線是解答的關(guān)鍵．9．【問題情境】(1)同學(xué)們我們?cè)?jīng)研究過這樣的問題：已知正方形，點(diǎn)在的延長線上，以為一邊構(gòu)造正方形，連接和，如圖所示，則和的數(shù)量關(guān)系為______，位置關(guān)系為______．【繼續(xù)探究】(2)若正方形的邊長為，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為一邊在的右側(cè)作正方形，連接、，如圖所示，①請(qǐng)判斷線段與有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；②連接，若，求線段長．愛動(dòng)腦筋的小麗同學(xué)是這樣做的：過點(diǎn)作，如圖，你能按照她的思路做下去嗎？請(qǐng)寫出你的求解過程．【拓展提升】(3)在（2）的條件下，點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，利用圖，則的最小值為______．【答案】(1)，(2)①結(jié)論：，，理由見解析，②(3)【分析】（1）由“”可證，可得結(jié)論．（2）①延長，交于點(diǎn)，由“”可證，可得，由四邊形內(nèi)角和定理可求，可得結(jié)論．②過點(diǎn)作，交延長線于點(diǎn)，由“”可證，可得，，由勾股定理可求解．（3）說明點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線，直線與直線之間的距離為4，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，．在中，可得．根據(jù)求解即可．【解析】（1）解：如圖1中，延長交于．四邊形是正方形，四邊形是正方形，，，，，，，，，即，，故答案為：，．（2）解：①結(jié)論：，．理由：如圖，延長，交于點(diǎn)，四邊形是正方形，四邊形是正方形，，，，，，，，，，，，．②如圖3，過點(diǎn)作，交延長線于點(diǎn)，，，，，，又，，，，，，．（3）解：如圖4中，由（2）可知，，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線，直線與直線之間的距離為4，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，．在中，，，，，，，，，的最小值為，故答案為．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱最短問題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱解決最值問題，屬于中考?jí)狠S題．題型5：取值范圍問題10．已知，四邊形和四邊形都是正方形，點(diǎn)為的中點(diǎn)．(1)連接、．①如圖1，若點(diǎn)在邊上，猜想和的關(guān)系，并給予證明：②若將圖1中的正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)落在對(duì)角線的延長線上，請(qǐng)你在圖2中補(bǔ)全圖形，猜想和的關(guān)系，并給予證明．(2)如圖3，若，，將正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，連接．請(qǐng)你直接寫出的取值范圍___________．【答案】(1)①；②證明見解析(2)【分析】（1）①連接，證明，，證明是等腰直角三角形，即可得證；②延長交于點(diǎn)，連接，證明，，得出，根據(jù)等邊對(duì)等角，設(shè)，，根據(jù)外角的性質(zhì)得出，即可證明；（2）連接，根據(jù)，當(dāng)在上時(shí)，最大，，當(dāng)在上時(shí)，最小，，即可求解．【解析】（1）①如圖，連接，∵四邊形和四邊形都是正方形，∴,，∴，∵為的中點(diǎn)，∴，則，在中，，∴，∴，，在中，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴；②，證明：如圖，延長交于點(diǎn)，連接，∵四邊形和四邊形都是正方形，∴，，∵落在對(duì)角線的延長線上，∴，∴，∴在的延長線上，∵，∴，在中，，∴，∴，∵，∴，∵，為的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∴，在中，,∴，∴，，∴，∵，，∴，設(shè)，，∴，，∵，∴，即，∴；（2）如圖，連接，∵∴當(dāng)在上時(shí)，如圖，此時(shí)最大，，由（1）可知是等腰直角三角形，∵，，∴，，∴∴，∴當(dāng)在上時(shí)，最小，同理可得是等腰直角三角形，此時(shí)，綜上所述，．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．11．如圖1，，、、為鉛直方向的邊，、、為水平方向的邊，點(diǎn)在、之間，且在、之間，我們稱這樣的圖形為“圖形”，若一條直線將該圖形的面積分為面積相等的兩部分，則稱此直線為該“圖形”的等積線．(1)下列四副圖中，直線是該“圖形”等積線的是_________(填寫序號(hào))(2)如圖2，直線是該“圖形”的等積線，與邊、分別交于點(diǎn)、，過中點(diǎn)的直線分別交邊、于點(diǎn)、，則直線(填“是”或“不是”)該圖形的等積線．(3)在圖3所示的“圖形”中，，，．①若，在下圖中畫出與平行的等積線l(在圖中標(biāo)明數(shù)據(jù))②在①的條件下，該圖形的等積線與水平的兩條邊、分別交于、，求的最大值；③如果存在與水平方向的兩條邊、相交的等積線，則的取值范圍為．【答案】(1)①②③(2)是(3)①1；②；③【分析】（1）如圖，根據(jù)題意把原本圖形分成左右兩個(gè)矩形，這兩個(gè)矩形的對(duì)稱中心所在直線是該圖形的面積平分線，由此可直接進(jìn)行判斷；（2）如圖2，證明，根據(jù)割補(bǔ)法可得直線是圖形的面積平分線；（3）①如圖4，先計(jì)算圖形的面積，可得出矩形的面積，由此可得出的長；②如圖5，根據(jù)面積平分線可知梯形的面積為，根據(jù)面積公式列式可得的長，根據(jù)勾股定理可得的最大值；③如圖6，直線將圖形分成上下兩個(gè)矩形，當(dāng)上矩形面積小于下矩形面積時(shí)，列不等式可得的取值．【解析】（1）解：根據(jù)題意把原本圖形分成左右兩個(gè)矩形，這兩個(gè)矩形的對(duì)稱中心所在直線是該圖形的面積平分線，∴直線是該“圖形”等積線的是①②③；故答案為：①②③；（2）如圖2，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，在和中，，，，，，即，，即，直線是圖形的等積線．故答案為：是；（3）①圖形的面積，延長交于點(diǎn)，，若是圖形的面積平分線，且，點(diǎn)必然在線段上，如圖所示，矩形的面積，，②如圖，當(dāng)與重合時(shí)，最大，過點(diǎn)作于，是圖形的面積平分線，梯形的面積，即，，，，由勾股定理得：；即的最大值是；③在與水平方向的兩條邊、相交的等積線，如圖，直線將圖形分成上下兩個(gè)矩形，當(dāng)上矩形面積小于下矩形面積時(shí)，延長交于，延長交于，則，即，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，四邊形面積的平分，三角形全等的性質(zhì)和判定等知識(shí)，并明確面積平分線的畫法，并熟練掌握矩形面積平分線是過對(duì)角線交點(diǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型6：定值問題12．已知菱形中，，點(diǎn)E在邊上，作，與相交于點(diǎn)F．與對(duì)角線分別相交于點(diǎn)H，G．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E是中點(diǎn)時(shí)，______；(2)如圖2．①求證：；②的值是否為定值？如果是，請(qǐng)求出該定值；如果不是，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)①見解析；②是，1【分析】（1）如圖1，連接，證明是等邊三角形，由E是中點(diǎn)，可得，即，，，然后求解作答即可；（2）①如圖2，連接，由（1）可知，是等邊三角形，證明，進(jìn)而可得；②如圖3，連接，由菱形，，可得，證明，則，同理，，，根據(jù)，求解作答即可．【解析】（1）解：如圖1，連接，∵菱形，∴，∵，∴是等邊三角形，∵E是中點(diǎn)，∴，即，∴，∴，∴，故答案為：；（2）①證明：如圖2，連接，由（1）可知，是等邊三角形，∴，，∴，即，∵菱形，∴，∵，，，∴，∴；②解：如圖3，連接，∵菱形，∴，，由①可知，，∴，即，∵，，，∴，∴，同理，，，∴，∴的值為定值，且定值為1．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，含的直角三角形，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．熟練掌握菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，含的直角三角形，全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．綜合與實(shí)踐定義：將寬與長的比值為（為正整數(shù)）的矩形稱為階奇妙矩形．（1）概念理解：當(dāng)時(shí)，這個(gè)矩形為1階奇妙矩形，如圖（1），這就是我們學(xué)習(xí)過的黃金矩形，它的寬（）與長的比值是_________．（2）操作驗(yàn)證：用正方形紙片進(jìn)行如下操作（如圖（2））：第一步：對(duì)折正方形紙片，展開，折痕為，連接；第二步：折疊紙片使落在上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，展開，折痕為；第三步：過點(diǎn)折疊紙片，使得點(diǎn)分別落在邊上，展開，折痕為．試說明：矩形是1階奇妙矩形．

（3）方法遷移：用正方形紙片折疊出一個(gè)2階奇妙矩形．要求：在圖（3）中畫出折疊示意圖并作簡(jiǎn)要標(biāo)注．（4）探究發(fā)現(xiàn)：小明操作發(fā)現(xiàn)任一個(gè)階奇妙矩形都可以通過折紙得到．他還發(fā)現(xiàn)：如圖（4），點(diǎn)為正方形邊上（不與端點(diǎn)重合）任意一點(diǎn)，連接，繼續(xù)（2）中操作的第二步、第三步，四邊形的周長與矩形的周長比值總是定值．請(qǐng)寫出這個(gè)定值，并說明理由．【答案】（1）；（2）見解析；（3），理由見解析【分析】（1）將代入，即可求解．（2）設(shè)正方形的邊長為，根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得，設(shè)，則，在中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解；（3）仿照（2）的方法得出2階奇妙矩形．（4）根據(jù)（2）的方法，分別求得四邊形的周長與矩形的周長，即可求解．【解析】解：（1）當(dāng)時(shí)，，故答案為：．（2）如圖（2），連接，

設(shè)正方形的邊長為，根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得設(shè)，則根據(jù)折疊，可得，，在中，，∴，在中，∴解得：∴∴矩形是1階奇妙矩形．（3）用正方形紙片進(jìn)行如下操作（如圖）：第一步：對(duì)折正方形紙片，展開，折痕為，再對(duì)折，折痕為，連接；第二步：折疊紙片使落在上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，展開，折痕為；第三步：過點(diǎn)折疊紙片，使得點(diǎn)分別落在邊上，展開，折痕為．矩形是2階奇妙矩形，

理由如下，連接，設(shè)正方形的邊長為，根據(jù)折疊可得，則，

設(shè)，則根據(jù)折疊，可得，，在中，，∴，在中，∴解得：∴當(dāng)時(shí)，∴矩形是2階奇妙矩形．（4）如圖（4），連接誒，設(shè)正方形的邊長為1，設(shè)，則，

設(shè)，則根據(jù)折疊，可得，，在中，，∴，在中，∴整理得，∴四邊形的邊長為矩形的周長為，∴四邊形的周長與矩形的周長比值總是定值【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的折疊問題，勾股定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型7：特殊平行四邊形與平面直角坐標(biāo)系—存在性問題14．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象分別交x軸，y軸于A，B兩點(diǎn)，將繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得（點(diǎn)A與點(diǎn)C對(duì)應(yīng)，點(diǎn)B與點(diǎn)D對(duì)應(yīng)）．(1)求直線的解析式；(2)點(diǎn)E為線段上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作軸交直線于點(diǎn)F，作軸交直線于點(diǎn)G，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3)如圖2，若點(diǎn)M為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)N為直線上一點(diǎn)，點(diǎn)P為坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，且以O(shè)，M，N，P為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)點(diǎn)N的坐標(biāo)為或或【分析】（1）先求出點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，得出和的長度，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得出點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo)，最后用待定系數(shù)法即可求出直線的解析式；（2）設(shè)，則可將點(diǎn)F和點(diǎn)G的坐標(biāo)表示出來，進(jìn)而得出的表達(dá)式，最后根據(jù)列出方程求出a的值，即可進(jìn)行解答；（3）根據(jù)題意進(jìn)行分類討論：①為矩形的邊時(shí)；②為矩形的對(duì)角線時(shí)．【解析】（1）解：把代入得：，把代入得：，解得：，∴，∴，∵繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，∴，∴，設(shè)直線的函數(shù)解析式為，把代入得：，解得：，∴直線的函數(shù)解析式為．（2）∵，∴，∵點(diǎn)E在線段上，∴設(shè)，∵軸，軸，∴點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為a，點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為，把代入得：；把代入得：，解得：，∴，，∴，，∵，∴，解得：．∴．（3）①當(dāng)為矩形的邊時(shí)，過點(diǎn)M作，交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)O作，交直線于點(diǎn)N，過點(diǎn)N作交于點(diǎn)P，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，根據(jù)作圖可得：四邊形和四邊形都是矩形，∵，∴，∵，∴，∵繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，∴，在和中，，∴，∴，∵點(diǎn)M為線段的中點(diǎn)，，∴，，即點(diǎn)N為中點(diǎn)，∵，∴，設(shè)直線的解析式為，把點(diǎn)代入得：，∴直線的解析式為，∵，∴設(shè)直線的解析式為，把代入得：，解得：，∴直線的解析式為，聯(lián)立直線和直線的解析式為：，解得：，∴，②當(dāng)為矩形的對(duì)角線時(shí)，過點(diǎn)M作軸于點(diǎn)P，過點(diǎn)M作軸于點(diǎn)N，∵，，∴軸，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，∴點(diǎn)C和點(diǎn)N重合，∴，綜上：點(diǎn)N的坐標(biāo)為或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的綜合運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是掌握用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式的方法，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)．15．如圖，平面直角坐標(biāo)系中直線：分別與軸，軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與軸交于點(diǎn)，．(1)求直線的解析式；(2)若為線段上一點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的最小值，并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在（2）的結(jié)論下，將沿射線方向平移得，使落在直線上，若為直線上一點(diǎn)，為平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)，(3)，，，【分析】（1）根據(jù)直線的解析式可以求得點(diǎn)的坐標(biāo)，再結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法可以求出直線的解析式；（2）根據(jù)可以求出的面積，設(shè)點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，且滿足，過點(diǎn)作直線的平行線，與直線的交點(diǎn)就是點(diǎn)，進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo)，求的最小值，關(guān)鍵是對(duì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用垂線段最短可求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）先根據(jù)題意，找到點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)菱形的性質(zhì)，可求出點(diǎn)的坐標(biāo)．【解析】（1）解：在中，令，得，，令，得，，，，設(shè)直線的解析式為，將，代入得，，解得，直線的解析式為；（2）解：由可得，，，設(shè)點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，且滿足，，，過點(diǎn)作直線的平行線，與直線的交點(diǎn)就是點(diǎn)，記直線的解析式為，將代入可得，直線的解析式為，聯(lián)立，解得，則，顯然點(diǎn)為的中點(diǎn)，如圖，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，則，作直線，則直線的解析式為：，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)即為所求，易得直線的解析式為：，則；（3）Ⅰ.如圖，當(dāng)為菱形的一條邊時(shí)，時(shí)，如圖所示，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，根據(jù)題意可得，，則，則，易得，則，由，可得，在Rt中，，，，，同理可得，；時(shí)，如圖所示，根據(jù)題意可得，，軸，；Ⅱ.如圖，當(dāng)為菱形的一條對(duì)角線時(shí)，根據(jù)題意可得，，軸，又，可得；綜上，當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形時(shí)，的坐標(biāo)分別為：，，，．【點(diǎn)睛】本題屬于一次函數(shù)綜合題，考查平移變換，菱形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱最短問題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法，學(xué)會(huì)構(gòu)建一次函數(shù)解決直線的交點(diǎn)問題．16．在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形，點(diǎn)，現(xiàn)將矩形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形，點(diǎn)，，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，，．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)恰好落在邊上時(shí)，則的長為______(請(qǐng)直接寫出答案)；(2)如圖2，所在直線與、分別交于點(diǎn)、，且．求線段的長度．(3)如圖3，設(shè)點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，連接，，，在矩形旋轉(zhuǎn)過程中，的面積是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，的面積的最大值為【分析】（1）在中，利用勾股定理即可解決問題；（2）由可證()可得，由可證，可得，，可得點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)三點(diǎn)共線，在中，勾股定理，可求的長，由三角形中位線定理可求解；（3）根據(jù)三角形的底邊的長度固定，當(dāng)邊上的高最大時(shí)即可求解，連接，當(dāng)軸于點(diǎn)時(shí)，則，此時(shí)面積最大，利用，求得，再根據(jù)三角形面積公式即可求解．【解析】（1）解：∵四邊形．點(diǎn)，)，，，，矩形是由矩形旋轉(zhuǎn)得到，，在中，，;故答案為：．（2）如圖，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，連接，，，四邊形是矩形，，，，，()，，又，()，，，又，點(diǎn)與點(diǎn)重合，，，，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)三點(diǎn)共線，

，，，設(shè)在中，，，，，，，，；（3）解：依題意，，，，，當(dāng)邊上的高最大時(shí)，面積最大，如圖，當(dāng)軸于點(diǎn)時(shí)，則，此時(shí)面積最大，連接，，的面積的最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積，三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．題型8：特殊平行四邊形與平面直角坐標(biāo)系—其他問題17．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，直線軸，交y軸于點(diǎn)，點(diǎn)在直線l上，將矩形繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)度，得到矩形，此時(shí)直線、分別與直線l相交于點(diǎn)P、Q．(1)當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為______；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)落在l上時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為______；(3)如圖3，當(dāng)矩形的頂點(diǎn)落在l上時(shí)，①求的長度；②求．【答案】(1)(2)(3)①；②【分析】本題主要考查一次函數(shù)與幾何綜合、一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，掌握數(shù)形結(jié)合思想成為解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的得到的坐標(biāo)即可；（2）根據(jù)在，然后利用勾股定理即可解答；（3）①根據(jù)已知條件得到，設(shè)，則，在中，利用，即即可求出x的值，即可求解；②根據(jù)即可求解．【解析】（1）解：∵，，∴．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可知：，∴當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．故答案為．（2）解：在中，，∴，∴當(dāng)點(diǎn)落在l上時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為．故答案為．（3）解：①當(dāng)四邊形的頂點(diǎn)落在l上時(shí)，在和中，，∴，∴．設(shè)，則．在中，，∴，即，解得：，∴；②∵，∴．故答案為．18．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，如圖構(gòu)造矩形，點(diǎn)D為，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿以每秒1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，作，交邊或邊于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．連接，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到O處時(shí)，線段長為____________；如圖2，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)為____________，線段長為____________，(2)如圖3，當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求證：是等腰直角三角形，(3)將沿直線翻折，形成四邊形，當(dāng)四邊形與矩形重疊部分是軸對(duì)稱圖形時(shí)，請(qǐng)直接寫出的取值范圍．【答案】(1)；；(2)見解析(3)或或【分析】（1）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到O處時(shí)，直接利用勾股定理求解即可；當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)B重合時(shí)，設(shè)，在中，利用勾股定理求出，在中，利用勾股定理求出，在中，利用勾股定理求出，在中，利用勾股定理求出，得出關(guān)于x的方程，解方程即可求解；（2）過P作于H，利用證明，得出，即可得證；（3）分①當(dāng)P在上時(shí)，②P在上，當(dāng)F、A重合；③P在上，F(xiàn)、B重合時(shí)，此時(shí)Q與C重合，三種情況討論即可．【解析】（1）解：當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到O處時(shí)，，∵點(diǎn)D為，∴，∵，矩形，∴，，，∵，∴四邊形是矩形，∴，∴；當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)B重合時(shí)，設(shè)，則，在中，，，，∴，在中，，，，∴，∵，，在中，，，，∴，∴，解得，∴P的坐標(biāo)為，，故答案為：；；；（2）證明：過P作于H，

則四邊形是矩形，∴，又，∴，又，∴，∴，∴是等腰直角三角形；（3）解：①當(dāng)P在上時(shí)，當(dāng)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F在上，

∵四邊形與矩形重疊部分是軸對(duì)稱圖形，∴，又，，∴，∴，在中，，，∴，解得，當(dāng)時(shí)，F(xiàn)在矩形內(nèi)部，符合題意，∴當(dāng)時(shí)，四邊形與矩形重疊部分是軸對(duì)稱圖形；②當(dāng)P在上，當(dāng)F、A重合時(shí)，符合題意，如圖

則，在中，，∴，解得；③當(dāng)P在上，F(xiàn)、B重合時(shí)，此時(shí)Q與C重合，符合題意，如圖，

則四邊形是正方形，∴，∴，∴，綜上，當(dāng)或或時(shí)，四邊形與矩形重疊部分是軸對(duì)稱圖形．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，矩形的判定與性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，勾股定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)等知識(shí)，明確題意，合理分類討論，分別畫出圖形，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．題型9：新定義題19．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若點(diǎn)P和點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱，則稱點(diǎn)是點(diǎn)P關(guān)于y軸，直線l的“二次對(duì)稱點(diǎn)”．(1)已知點(diǎn)，直線l是經(jīng)過且平行于x軸的一條直線，則點(diǎn)A的“二次對(duì)稱點(diǎn)”的坐標(biāo)為__________；(2)如圖1，正方形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，，，點(diǎn)E的坐標(biāo)為，點(diǎn)K是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線l經(jīng)過點(diǎn)K且垂直于x軸，若正方形ABCD上存在點(diǎn)M，使得點(diǎn)是點(diǎn)M關(guān)于y軸，直線l的“二次對(duì)稱點(diǎn)”，且點(diǎn)在射線OE上，則點(diǎn)K的橫坐標(biāo)x的取值范圍是________________；(3)如圖2，是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，線段RS經(jīng)過點(diǎn)T，且點(diǎn)R、點(diǎn)S的坐標(biāo)分別是，，直線l經(jīng)過且與x軸正半軸夾角為60°，在點(diǎn)T的運(yùn)動(dòng)過程中，若線段RS上存在點(diǎn)N，使得點(diǎn)是點(diǎn)N關(guān)于y軸，直線l的“二次對(duì)稱點(diǎn)”，且點(diǎn)在y軸上，則點(diǎn)縱坐標(biāo)y的取值范圍是______________．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)“二次對(duì)稱點(diǎn)”的定義求解即可；（2）由題意，直線的解析式為，當(dāng)點(diǎn)K關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)在x軸的正半軸上時(shí)，關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)落在y軸上，觀察圖象可知，當(dāng)K點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，正好落在線段上，由此可得結(jié)論；（3）如圖2中，當(dāng)點(diǎn)N與S重合，且在y軸上時(shí)，連接交直線于點(diǎn)K，交y軸于點(diǎn)J，連接，設(shè)直線l交x軸于點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)C，如圖3中，當(dāng)點(diǎn)T與原點(diǎn)重合，N與重合時(shí)，和都與重合，此時(shí)．求出這兩種特殊位置的坐標(biāo)，可得結(jié)論．【解析】（1）解∶點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為，∵直線l是經(jīng)過且平行于x軸的一條直線，∴點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為；故答案為：（2）解∶如圖，設(shè)直線的解析式為，∵點(diǎn)E的坐標(biāo)為，∴，∴直線的解析式為，當(dāng)點(diǎn)K關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)在x軸的正半軸上時(shí)，關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)落在y軸上，觀察圖象可知，當(dāng)K點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，正好落在線段上，觀察圖象可知當(dāng)時(shí)，在正方形內(nèi)部，故答案為：；（3）解∶如圖2，當(dāng)點(diǎn)N與S重合，且在y軸上時(shí)，連接交直線于點(diǎn)K，交y軸于點(diǎn)J，連接，設(shè)直線l交x軸于點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)C，∵，∴，∵和關(guān)于直線l對(duì)稱，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴此時(shí)點(diǎn)，如圖3，當(dāng)點(diǎn)T與原點(diǎn)重合，N與重合時(shí)，和都與重合，此時(shí)．根據(jù)題意得：，觀察圖象得：滿足條件的的縱坐標(biāo)為．故答案為：【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，軸對(duì)稱變換，一次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)尋找特殊位置，解決問題，屬于中考?jí)狠S題．題型10：情景探究題20．如圖，點(diǎn)分別在菱形的各邊上．【初步認(rèn)識(shí)】（1）如圖，若，則四邊形一定是（

）A．梯形

B．矩形

C．菱形

D．正方形【變式探究】

（2）如圖，若交于