河北省保定市2024屆高三下學期二模試題 數學 含解析

2023—2024學年高三第二次模擬考試高三數學試題注意事項：1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內容：高考全部內容．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．設集合，且，則（）A．2 B．3 C．4 D．52．若，則（）A． B． C． D．3．函數的部分圖象大致為（）A． B．C． D．4．如圖，在正四棱柱中，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．5．已知雙曲線的離心率為方程的解，則的漸近線的斜率的絕對值為（）A． B． C． D．6．已知，則（）A． B． C． D．7．6名同學想平均分成兩組進行半場籃球比賽，有同學提出用“剪刀、石頭、布”游戲決定分組．當大家同時展示各自選擇的手勢（剪刀、石頭或布）時，如果恰好只有3個人手勢一樣，或有3個人手勢為上述手勢中的同一種，另外3個人手勢為剩余兩種手勢中的同一種，那么同手勢的3個人為一組，其他人為另一組，則下列結論正確的是（）A．在進行該游戲前將6人平均分成兩組，共有20種分組方案B．一次游戲共有種手勢結果C．一次游戲分不出組的概率為D．兩次游戲才分出組的概率為8．已知橢圓的左、右焦點分別為是上的點，且在第一象限，是的角平分線，過點作的垂線，垂足為，若，則的離心率為（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．下圖是2023年5月1日至5月5日某旅游城市每天最高氣溫與最低氣溫（單位：℃）的折線圖，則下列結論正確的是（）A．這5天的最高氣溫的平均數與最低氣溫的中位數的差為B．這5天的最低氣溫的極差為C．這5天的最高氣溫的眾數是D．這5天的最低氣溫的第40百分位數是10．已知直四棱柱的側棱長為3，底面是邊長為2的菱形，為棱上的一點，且為底面內一動點（含邊界），則下列命題正確的是（）A．若與平面所成的角為，則點的軌跡與直四棱柱的交線長為B．若點到平面的距離為，則三棱錐體積的最大值為C．若以為球心的球經過點，則該球與直四棱柱的公共部分的體積為D．經過三點的平面截直四棱柱所得的截面面積為411．已知定義域為的函數滿足，則（）A． B．C．是奇函數 D．存在函數以及，使得的值為三、填空題：本題共3小題，毎小題5分，共15分．12．已知向量的夾角的余弦值為，且，則_______．13．在等比數列中，，則_______．14．已知點為圓上位于第一象限內的點，過點作圓的兩條切線，切點分別為，直線分別交軸于兩點，則_______，_______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）在中，角的對邊分別為，已知．（1）求；（2）若為邊的中點，求的長．16．（15分）某青少年跳水隊共有100人，在強化訓練前、后，教練組對他們進行了成績測試，分別得到如圖1所示的強化訓練前的頻率分布直方圖，如圖2所示的強化訓練后的頻率分布直方圖．（1）根據表中數據，估計強化訓練后的平均成績（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值作代表）與成績的中位數（中位數精確到0.01）．（2）我們規(guī)定得分80分以上（含80分）的為“優(yōu)秀”，低于80分的為“非優(yōu)秀”．優(yōu)秀人數非優(yōu)秀人數合計強化訓練前強化訓練后合計將上面的表格補充完整，依據小概率值的獨立性檢驗，能否據此推斷跳水運動員是否優(yōu)秀與強化訓練有關？附：．0.050.0100.0050.0013.8416.6357.87910.82817．（15分）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，分別為的中點，且．（1）證明：．（2）若，求平面與平面夾角的余弦值．18．（17分）已知拋物線的焦點為，過作互相垂直的直線，分別與交于和兩點（A，D在第一象限），當直線的傾斜角等于時，四邊形的面積為32．（1）求C的方程；（2）設直線AD與BE交于點Q，證明：點Q在定直線上交于點，證明：點在定直線上．19．（17分）已知函數為其導函數．（1）若恒成立，求的取值范圍；（2）若存在兩個不同的正數，使得，證明：．2023～2024學年高三第二次模擬考試高三數學試題參考答案1．C因為的兩根為，且，所以，所以，解得．2．A因為，所以．3．A設，則，所以為奇函數，設，可知為偶函數，所以為奇函數，則B，C錯誤，易知，所以A正確．4．C連接（圖略），易知，則就是異面直線與所成的角．設，則，所以．5．D因為方程的解為或，且雙曲線的離心率大于1，所以．由，解得．6．B因為，所以，解得或（舍去），所以．7．D一共有種分組方案，A錯誤．每人有3種選擇，所以一次游戲共有種手勢結果，B錯誤．要分出組，有兩類情況．第一類情況，首先確定3個人出一樣的手勢，再確定另外2個人出其他兩種手勢中的一種，最后1個人出剩下的手勢，所以能分出組的手勢結果有）種．第二類情況，當其中3個人出同一種手勢，另外3個人出剩余兩種手勢中的同一種時，能分出組的手勢結果有種，所以一次游戲就分出組的概率為，所以一次游戲分不出組的概率為，C錯誤．兩次游戲才分出組的概率為，D正確．8．B如圖，延長交于點，可知，所以，所以．9．ACD對于A，這5天的最高氣溫的平均數為，最低氣溫的中位數為，它們的差為，A正確．對于B，這5天的最低氣溫的極差為，B錯誤．對于C，這5天的最高氣溫的眾數為，C正確．對于D，最低氣溫從小到大排列為，且，所以這5天的最低氣溫的第40百分位數是，D正確．10．AD對于A，可知的軌跡是以為圓心，半徑為1的圓，所以點的軌跡與直四棱柱的交線為圓弧，圓弧長為，故A正確．對于B，可知點在線段上，所以當點與點重合時，三棱錐體積最大，且最大值為，所以B錯誤．對于C，可知該球的半徑為1，球與直四棱柱的公共部分的體積為，所以C錯誤．對于D，如圖，經過三點的平面截直四棱柱所得的截面為平行四邊形，其中，可得．設的中點為的中點為，連接，可得平面，所以，求得，所以，D正確．11．ACD由，取，得，A正確．取，得，解得．取，得，所以，B錯誤．取，得，所以是奇函數，C正確．當時，在兩邊同時除以，得，令，則當時，，所以，所以，D正確．12．4因為，所以，解得．13．－3由，得．設等比數列的公比為，由，得，所以．14．2；圓的標準方程為，圓心，則為的角平分線，所以．設，則，所以，則，即，解得，則，所以點與重合，此時，可得，所以．15．解：（1）因為，所以化簡得，因為，所以．因為，所以．（2）因為，所以，解得．因為為的中線，所以，所以．因為，所以，解得．16．解：（1）強化訓練后的平均成績約為．由于前三列概率之和為，設中位數為，則，解得，所以中位數約為83.13．（2）零假設為跳水運動員是否優(yōu)秀與強化訓練無關．補充完整的表格為優(yōu)秀人數非優(yōu)秀人數合計強化訓練前4060100強化訓練后6040100合計100100200則，根據小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為跳水運動員是否優(yōu)秀與強化訓練有關．17．（1）證明：連接．因為底面是菱形，分別為的中點，所以，所以．又，所以平面．因為平面，所以．（2）解：因為是的中點，所以．又，所以平面．連接，以為坐標原點的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖所示．設，則，，，．設是平面的法向量，由，得取，可得．設是平面的法向量，由取，可得，所以，所以平面與平面夾角的余弦值為．18．（1）解：當直線的傾斜角等于時，直線的傾斜角等于，直線的方程為由拋物線的對稱性知，所以，得．聯立方程組消去得．設兩點的橫坐標分別為，則．又，所以，所以的方程為．（2）證明：由（1）知，依題意，可設直線的方程為，則直線的方程為．聯立方程組消去得，設，