2024-2025學年高中數(shù)學第三章數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入3.2.2復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算課時素養(yǎng)評價含解析新人教A版選修1-2

PAGE復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算(20分鐘35分)1.若復數(shù)z=i(3-2i)(i是虛數(shù)單位),則QUOTE= ()A.2-3i B.2+3i C.3+2i D.3-2i【解析】選A.因為z=i(3-2i)=3i-2i2=2+3i,所以QUOTE=2-3i.2.(2024·全國Ⅰ卷)若z=1+i,則|z2-2z|= ()A.0 B.1 C.QUOTE D.2【解析】選D.由z=1+i得,z2=2i,2z=2+2i,所以|z2-2z|=|2i-(2+2i)|=2.3.化簡QUOTE的結果是 ()A.2+i B.-2+i C.2-i D.-2-i【解析】選C.QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=2-i.4.已知復數(shù)z=(2-i)2(i為虛數(shù)單位),則z的共軛復數(shù)為________.

【解析】z=(2-i)2=3-4i,QUOTE=3+4i.答案:3+4i5.已知a,b∈R,i是虛數(shù)單位,若(1+i)(1-bi)=a,則QUOTE的值為________.

【解析】因為(1+i)(1-bi)=1+b+(1-b)i=a,又a,b∈R,所以1+b=a且1-b=0,得a=2,b=1,所以QUOTE=2.答案:26.已知QUOTE為z的共軛復數(shù),若z·QUOTE-3iQUOTE=1+3i,求z.【解析】設z=a+bi(a,b∈R),則QUOTE=a-bi(a,b∈R),由題意得(a+bi)(a-bi)-3i(a-bi)=1+3i,即a2+b2-3b-3ai=1+3i,則有QUOTE解得QUOTE或QUOTE所以z=-1或z=-1+3i.(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.計算QUOTE+QUOTE的值是 ()A.0 B.1 C.i 【解析】選D.原式=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE+i=QUOTE+i=2i.2.設a是實數(shù),且QUOTE∈R,則實數(shù)a= ()A.-1 B.1 C.2 【解析】選B.因為QUOTE∈R,所以不妨設QUOTE=x,x∈R,則1+ai=(1+i)x=x+xi,所以有QUOTE所以a=1.3.設z=3-i,則QUOTE= ()A.3+i B.3-i C.QUOTEi+QUOTE D.QUOTE+QUOTEi【解析】選D.QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE+QUOTEi.4.設z1,z2是復數(shù),則下列命題中的假命題是 ()A.若|z1-z2|=0,則QUOTE=QUOTEB.若z1=QUOTE,則QUOTE=z2C.若|z1|=|z2|,則z1·QUOTE=z2·QUOTED.若|z1|=|z2|,則QUOTE=QUOTE【解析】選D.A項,|z1-z2|=0?z1-z2=0?z1=z2?QUOTE=QUOTE,真命題;B項,z1=QUOTE?QUOTE=z2,真命題;C項,|z1|=|z2|?|z1|2=|z2|2?z1·QUOTE=z2·QUOTE,真命題;D項,當|z1|=|z2|時,可取z1=1,z2=i,明顯QUOTE=1,QUOTE=-1,即QUOTE≠QUOTE,假命題.5.設i是虛數(shù)單位,QUOTE是復數(shù)z的共軛復數(shù).若z·QUOTEi+2=2z,則z= ()A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i【解析】選A.設z=a+bi(a,b∈R),則QUOTE=a-bi,又z·QUOTEi+2=2z,所以(a2+b2)i+2=2a+2bi,所以a=1,b=1,故z=1+i.二、填空題(每小題5分,共15分)6.(1+i)20-(1-i)20的值等于________.

【解析】因為(1+i)20-(1-i)20=[(1+i)2]10-[(1-i)2]10=(2i)10-(-2i)10=(2i)10-(2i)10=0.答案:07.若z1=a+2i,z2=3-4i,且QUOTE為純虛數(shù),則實數(shù)a的值為________.

【解析】QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,因為QUOTE為純虛數(shù),所以QUOTE所以a=QUOTE.答案:QUOTE8.設x,y為實數(shù)且QUOTE+QUOTE=QUOTE,則x+y=________.

【解析】QUOTE+QUOTE=QUOTE可化為,QUOTE+QUOTE=QUOTE,即QUOTE+QUOTEi=QUOTE+QUOTEi,由復數(shù)相等的充要條件知QUOTE所以QUOTE所以x+y=4.答案:4三、解答題(每小題10分,共20分)9.設復數(shù)z=QUOTE,若z2+QUOTE<0,求純虛數(shù)a.【解析】由z2+QUOTE<0可知z2+QUOTE是實數(shù)且為負數(shù).z=QUOTE=QUOTE=QUOTE=1-i.因為a為純虛數(shù),所以設a=mi(m∈R且m≠0),則z2+QUOTE=(1-i)2+QUOTE=-2i+QUOTE=-QUOTE+QUOTEi<0,所以QUOTE所以m=4,所以a=4i.10.復數(shù)z=QUOTE且|z|=4,z對應的點在第一象限,若復數(shù)0,z,QUOTE對應的點是正三角形的三個頂點,求實數(shù)a,b的值.【解析】z=QUOTE(a+bi)=2i·i(a+bi)=-2a-2bi.由|z|=4,得a2+b2=4①,因為復數(shù)0,z,QUOTE對應的點構成正三角形,所以|z-QUOTE|=|z|.把z=-2a-2bi代入化簡得,|b|=1②.又因為z對應的點在第一象限,所以a<0,b<0.由①②得QUOTE故所求值為a=-QUOTE,b=-1.1.已知復數(shù)z滿意(3+4i)z=5i2020(i為虛數(shù)單位),則|z|=________.

【解析】由(3+4i)z=5i2020,得z=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以|z|=QUOTE=1.答案:12.已知QUOTE+QUOTE=2n,求最小正整數(shù)n.【解析】原等式可化為QUOTE+QUOTE=2n,即[(1+i)2]n(1+i)+[(1-i)2]n·(1-i)=2·2n,(2i)n(1+i)+(-2i)n(1-i)=2·2n,2n·in(1+i)+2n(-i)n(1-i)=2·2n,所以in[(