寒假作業(yè)11分式方程與應用（18道經典題型6道中考真題）-2024年八年級數學寒假培優(yōu)練（人教版）

限時練習：40min完成時間：月日天氣：寒假作業(yè)11分式方程與應用1．分式方程的概念：分母中含有未知數的方程叫做分式方程．注意：“分母中含有未知數”是分式方程與整式方程的根本區(qū)別，也是判定一個方程為分式方程的依據．2．分式方程的解法（1）解分式方程的基本思路是將分式方程化為整式方程，具體做法是去分母，即方程兩邊同乘以各分式的最簡公分母．（2）解分式方程的步驟：①找最簡公分母，當分母是多項式時，先分解因式；②去分母，方程兩邊都乘最簡公分母，約去分母，化為整式方程；③解整式方程；④驗根．注意：解分式方程過程中，易錯點有：①去分母時要把方程兩邊的式子作為一個整體，記得不要漏乘整式項；②忘記驗根，最后的結果還要代回方程的最簡公分母中，只有最簡公分母不是零的解才是原方程的解．3．增根在方程變形時，有時可能產生不適合原方程的根，這種根叫做方程的增根．由于可能產生增根，所以解分式方程要驗根，其方法是將根代入最簡公分母中，使最簡公分母為零的根是增根，否則是原方程的根．注意：增根雖然不是方程的根，但它是分式方程去分母后變形而成的整式方程的根．若這個整式方程本身無解，當然原分式方程就一定無解．4．分式方程的應用（1）分式方程的應用主要涉及工程問題、行程問題、銷售問題等．（2）列分式方程解應用題的一般步驟：①設未知數；②找等量關系；③列分式方程；④解分式方程；⑤檢驗（一驗分式方程，二驗實際問題）；⑥答．1．在①，②，③，④中，其中關于的分式方程的個數為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】①，是分式，不是分式方程，故①錯誤，不符合題意；②是關于的分式方程，故②錯誤，不符合題意；③，是一元一次方程，不是分式方程，故③錯誤，不符合題意；④，是關于的分式方程，故④正確，符合題意；關于的分式方程的個數為1個，故選A．2．分式方程的解為（

）A． B．， C． D．此方程無解【答案】C【解析】去分母得：，，解得，檢驗，當時，，原方程的解為：，故選C．3．小明和小亮解答“解分式方程：”的過程如框，對他們的解答過程（每一步只對上一步負責）有以下判斷，則判斷錯誤的是（）小明的解法：小亮的解法：解：去分母得：①解：去分母得：①去括號得：②去括號得：②移項得：③移項得：③合并同類項得：④合并同類項得：④系數化為1得：⑤系數化為1得：⑤是原分式方程的解⑥A．小明的步驟①錯誤，漏乘 B．小明的步驟②、③、④都正確C．小明的步驟⑤錯誤 D．小亮的解答完全正確【答案】D【解析】根據題意得：小亮的解答沒有檢驗過程，出錯，步驟⑤出錯；小明的步驟①錯誤，漏乘，小明的步驟②、③、④都正確，小明的步驟⑤錯誤．故選D．4．某市開發(fā)區(qū)在一項工程招標時，接到甲、乙兩個工程隊的投標書，工程領導小組根據甲、乙兩隊的投標書測算，共有三種施工方案：①甲隊單獨完成這項工程，剛好如期完工；②乙隊單獨完成此項工程，要比規(guī)定工期多用5天；③

，剩下的工程由乙隊單獨做，也正好如期完工．某同學設規(guī)定的工期為天，根據題意列出了方程：，則方案③中被墨水污染的部分應該是A．甲乙合作了4天B．甲先做了4天C．甲先做了工程的D．甲乙合作了工程的【答案】A【解析】某同學設規(guī)定的工期為天，根據題意列出了方程：，甲工作了4天，乙工作了天，即甲乙合作了4天，剩下的工程由乙隊單獨做，也正好如期完工，可知在③應填入的內容為：甲乙合作了4天，故選A．5．若方程的根為，則m的值是（

）A．0 B．3 C． D．1【答案】C【解析】∵方程的根為，∴將代入得，，解得．故選C．6．若關于的分式方程有增根，則的值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【解析】去分母得：，關于的分式方程有增根，，解得：，故選B．7．青年志愿團隊到某地開展志愿服務活動，他們從距離活動地點的地方出發(fā)．一部分人騎自行車先走，過了后，其余的人乘汽車出發(fā)，結果他們同時到達．已知汽車速度是自行車速度的倍，設自行車的速度為．根據題意，下列方程正確的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵自行車的速度為，汽車的速度是自行車速度的倍，汽車的速度是，又，∴．故選B.8．若分式方程有增根，則a的值是（

）A． B．0 C．0或 D．0或2【答案】C【解析】方程兩邊都乘，得，∵原方程有增根，∴最簡公分母，∴增根是或，當時，方程化為：，解得：；當時，方程化為，即，解得或．故選C．9．解方程：(1)；(2)．【解析】（1）方程變形得，，方程兩邊同時乘以最簡公分母得，，去括號得，，移項得，，合并同類項得，，系數化為得，，檢驗：把代入最簡公分母得，，∴原方程的解是.（2）方程變形得，，方程兩邊同時乘以最簡公分母得，，去括號得，，移項得，，合并同類項得，，系數化為得，，檢驗：把代入最簡公分母得，，∴原方程無解．10．2023年4月24日，在“中國航天日”主場活動啟動儀式上，國家航天局和中國科學院聯合發(fā)布了中國首次火星探測火星全球影像圖，我國航天事業(yè)的飛速發(fā)展激發(fā)了學生探索科學奧秘的興趣，某中學為滿足學生的需求，充實物理興趣小組的實驗項目，決定購入A、B兩款物理實驗套裝，其中A款套裝單價是B款套裝單價的倍，用9600元購買的A款套裝數量比用7200元購買的B款套裝數量多套，問A、B兩款套裝的單價分別是多少元？【解析】設款套裝的單價是元，則A款套裝的單價是元，由題意得：，解得：，經檢驗，是原方程的解，且符合題意，，答：A款套裝的單價是元，款套裝的單價是元．11．已知關于的分式方程的解為非負數，則的取值范圍為（

）A．且B．且C．且D．且【答案】A【解析】，去分母得，解得，∵方程的解為非負數，∴，∴，∵，∴，∴，∴a的取值范圍是且，故選A．12．若關于x的分式方程無解，則k的取值是（

）A． B．或 C． D．或【答案】B【解析】，，，，∵關于x的分式方程無解，∴當時，即時，分式方程無解；當時，，此時分式方程有增根，∴，解得或，∴當時，即，解得；∴當時，即，無解；綜上所述，k的取值是或．故選B．13．如果關于的分式方程有整數解，且關于的不等式組有且只有四個整數解，那么符合條件的整數的個數是（

）A．1 B．2 C．3 D．0【答案】A【解析】解分式方程得：，∵分式方程有整數解，∴為的倍數，且，即，解不等式組，得，∵不等式組有且只有四個整數解，∴，解得，綜上所述，.故選A.14.學校在某商場購買甲、乙兩種不同類型的足球，相關信息如下表：(1)在上表中用含x的代數式分別表示購買甲、乙兩種足球的數量；(2)若本次購買甲種足球的數量是購買乙種足球數量的2倍，求甲、乙兩種足球在此商場的銷售單價；(3)為滿足學生需求，這所學校決定再次購買甲、乙兩種足球共50個．恰逢該商場對兩種足球的銷售單價進行調整，甲種足球的銷售單價比上次購買時提高了，乙種足球的銷售單價比上次購買時降低了．如果此次購買甲、乙兩種足球的總費用不超過2950元，求這所學校最多可以購買乙種足球的數量．【解析】（1）購買甲種足球的數量為個，購買乙種足球的數量為個.（2）∵購買甲種足球的數量是購買乙種足球數量的2倍，∴，解得：，經檢驗是原方程的解，，答：甲種足球在此商場的銷售單價為50元，乙種足球在此商場的銷售單價為70元.（3）設購買乙種足球m個，則購買甲種足球個，（元），（元），由題意得：，．答：這所學校最多可購買25個乙種足球．15．閱讀：對于兩個不等的非零實數a、b，若分式的值為零，則或．又因為，所以關于x的方程有兩個解，分別為，．應用上面的結論解答下列問題：(1)方程的兩個解分別為、，則______，______；(2)方程的兩個解中較大的一個為______；(3)關于x的方程的兩個解分別為（），求的值．【解析】（1）∵方程的兩個解分別為、，∴，，故答案為：，2.（2）設方程的兩個解分別為a，b，則，，∴或，∴兩個解中較大的一個為3；故答案為：3.（3）∵，∴，即，∴或，或，∵，∴，，∴．16．定義一種新運算，例如．依據上面的公式解決下列問題：(1)求的結果；(2)若，求k的值．【解析】（1）根據題意得：.（2）∵，∴，∴．經檢驗是原方程的解．17．給出如下的定義：如果兩個實數a，b使得關于的分式方程的解是成立，那么我們就把實數a，b稱為關于的分式方程的一個“方程數對”，記為[a，b]．例如：，就是關于x的分式方程的一個“方程數對”，記為[2，]．(1)判斷數對①[3，]，②[，4]中是關于的分式方程的“方程數對”的是____；（只填序號）(2)若數對[，]是關于的分式方程的“方程數對”，求的值；(3)若數對[]（且，）是關于的分式方程的“方程數對”，用含m的代數式表示k．【解析】（1）①當，時，解方程得，經檢驗，是該分式方程的解，又，∴是關于的分式方程的“方程數對”.②當，時，解方程得，經檢驗，是該分式方程的解，又，故不是關于的分式方程的“方程數對”，故答案為：①.（2）∵數對是關于的分式方程的“方程數對”，∴是關于的分式方程的解，將代入分式方程中，得，解得；（3）∵數對（且，）是關于的分式方程的“方程數對”，∴是關于的分式方程的解，將代入分式方程中，得，則，∵，∴．18．先閱讀下面的材料，然后回答問題：方程的解為，；方程的解為，；方程的解為，；…(1)根據上面的規(guī)律，猜想關于x的方程的兩個解是．(2)解方程：，可以變形轉化為的形式，寫出你的變形求解過程，運用（1）的結論求解．(3)方程的解為．【解析】（1）根據上面的規(guī)律，猜想關于的方程的兩個解是，，故答案為：，.（2），，，，或，，，經檢驗：，是原方程的解；（3）令，則原方程可化為：，，，，或，解得，，經檢驗：，是原方程的解，故答案為：，．19．（2023·四川內江·中考真題）用計算機處理數據，為了防止數據輸入出錯，某研究室安排兩名程序操作員各輸入一遍，比較兩人的輸入是否一致，本次操作需輸入2640個數據，已知甲的輸入速度是乙的2倍，結果甲比乙少用2小時輸完．這兩名操作員每分鐘各能輸入多少個數據？設乙每分鐘能輸入x個數據，根據題意得方程正確的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】設乙每分鐘能輸入x個數據，則甲每分鐘能輸入個數據，由題意得，故選D．20．（2023年黑龍江中考真題）若分式方程的解為負數，則a的取值范圍是（

）A．且 B．且C．且 D．且【答案】D【解析】去分母得：，解得，∵分式方程的解是負數，∴，，即，解得：且，故選D．21．（2023湖南永州中考真題）若關于x的分式方程（m為常數）有增根，則增根是．【答案】【解析】∵關于x的分式方程（m為常數）有增根，∴，解得，故答案為：．22．（2023江蘇無錫中考真題）方程的解是：．【答案】【解析】去分母得：，去括號得：，移項得：，合并同類項得：，檢驗：把代入最簡公分母中，得，∴原分式方程的解為：，故答案為：.23．（2023年重慶中考真題A卷）若關于x的一元一次不等式組至少有2個整數解，且關于y的分式方程有非負整數解，則所有滿足條件的整數a的值之和是．【答案】4【解析】，解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式組的解集為，∵不等式組至少有2個整數解，∴，解得：.由得，解得：，∵y的值是非負整數，，∴當a=5時，y=2；當a=3時，y=1；當a=1時，y=0，∵y=2是分式方程的增根，∴a=5舍去，∴滿足條件的a的值為1，3，∴，故答案為4．24．（2023·四川德陽·中考真題）2022年8月27日至29日，以“新能源、新智造、新時代”為主題的世界清潔能源裝備大會在德陽舉行．大會聚焦清潔能源裝備產業(yè)發(fā)展熱點和前瞻性問題，著力實現會展聚集帶動產業(yè)聚集．其中德陽清潔能源裝備特色小鎮(zhèn)位于德陽經濟技術開發(fā)區(qū)，規(guī)劃面積平方公里，計劃2025年基本建成．若甲、乙兩個工程隊計劃參與修建“特色小鎮(zhèn)”中的某項工程，已知由甲單獨施工需要18個月完成任務，若由乙先單獨施工2個月，再由甲、乙合作施工10個月恰好完成任務．承建公司每個月需要向甲工程隊支付施工費用8萬元，向乙工程隊支付施工費用5萬元．(1)乙隊單獨施工需要幾個月才能完成任務？(2)為保證該工程在兩年內完工，且盡可能的減少成本，承建公司決定讓甲、乙兩個工程隊同時施工，并將該工程分成兩部分，甲隊完成其中一部分工程用了a個月，乙隊完成另一部分工程用了b個月，已知甲隊施工時間不超過6個月，乙隊施工時間不超過24個月，且a，b為正整數，則甲