湖南省長沙市長郡雙語實驗中學2025屆九年級數(shù)學第一學期開學考試試題【含答案】

學校________________班級____________姓名____________考場____________準考證號學校________________班級____________姓名____________考場____________準考證號…………密…………封…………線…………內(nèi)…………不…………要…………答…………題…………第1頁，共5頁湖南省長沙市長郡雙語實驗中學2025屆九年級數(shù)學第一學期開學考試試題題號一二三四五總分得分A卷（100分）一、選擇題（本大題共8個小題，每小題4分，共32分，每小題均有四個選項，其中只有一項符合題目要求）1、（4分）周長為4cm的正方形對角線的長是（）A．42cm B．22cm2、（4分）如圖1，在△ABC和△DEF中，AB＝AC＝m，DE＝DF＝n，∠BAC＝∠EDF，點D與點A重合，點E，F(xiàn)分別在AB，AC邊上，將圖1中的△DEF沿射線AC的方向平移，使點D與點C重合，得到圖2，下列結(jié)論不正確的是()A．△DEF平移的距離是m B．圖2中，CB平分∠ACEC．△DEF平移的距離是n D．圖2中，EF∥BC3、（4分）如圖，，，三點在正方形網(wǎng)格線的交點處，若將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，則點的坐標為（）A． B． C． D．4、（4分）某數(shù)學興趣小組6名成員通過一次數(shù)學競賽進行組內(nèi)評比，他們的成績分別是89，92，91，93，96，91，則關(guān)于這組數(shù)據(jù)說法正確的是（）A．中位數(shù)是92.5 B．平均數(shù)是92 C．眾數(shù)是96 D．方差是55、（4分）下列說法中正確的是（）A．在△ABC中，AB2+BC2＝AC2B．在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2C．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB2+BC2＝AC2D．AB、BC、AC是△ABC的三邊，若AB2+BC2＝AC2，則△ABC是直角三角形6、（4分）若平行四邊形的兩個內(nèi)角的度數(shù)之比為1：5，則其中較小的內(nèi)角是（）A． B． C． D．7、（4分）若一個多邊形的內(nèi)角和等于720°，則這個多邊形的邊數(shù)是（）A．5 B．6 C．7 D．88、（4分）某組數(shù)據(jù)方差的計算公式是中，則該組數(shù)據(jù)的總和為A．32 B．8 C．4 D．2二、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）9、（4分）已知一組數(shù)據(jù)3，5，9，10，x，12的眾數(shù)是9，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是___________．10、（4分）計算-=_______.11、（4分）二次根式中字母a的取值范圍是______．12、（4分）正十邊形的外角和為__________．13、（4分）方程x2＝x的解是_____．三、解答題（本大題共5個小題，共48分）14、（12分）倡導健康生活推進全民健身，某社區(qū)去年購進A，B兩種健身器材若干件，經(jīng)了解，B種健身器材的單價是A種健身器材的1．5倍，用7200元購買A種健身器材比用5400元購買B種健身器材多10件．（1）A，B兩種健身器材的單價分別是多少元？（2）若今年兩種健身器材的單價和去年保持不變，該社區(qū)計劃再購進A，B兩種健身器材共50件，且費用不超過21000元，請問：A種健身器材至少要購買多少件？15、（8分）如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，AE⊥BC，AF⊥DC，垂足分別是E，F(xiàn)，并且BE=DF，求證；四邊形ABCD是菱形．16、（8分）計算（1）分解因式：；（2）解不等式組．17、（10分）在水果銷售旺季，某水果店購進一優(yōu)質(zhì)水果，進價為20元/千克，售價不低于20元/千克，且不超過32元/千克，根據(jù)銷售情況，發(fā)現(xiàn)該水果一天的銷售量y（千克）與該天的售價x（元/千克）滿足如下表所示的一次函數(shù)關(guān)系．銷售量y（千克）…34.83229.628…售價x（元/千克）…22.62425.226…（1）某天這種水果的售價為23.5元/千克，求當天該水果的銷售量．（2）如果某天銷售這種水果獲利150元，那么該天水果的售價為多少元？18、（10分）武漢某文化旅游公司為了在軍運會期間更好地宣傳武漢，在工廠定制了一批具有濃郁的武漢特色的商品．為了了解市場情況，該公司向市場投放，型商品共件進行試銷，型商品成本價元/件，商品成本價元/件，其中型商品的件數(shù)不大于型的件數(shù)，且不小于件，已知型商品的售價為元／件，型商品的售價為元／件，且全部售出．設(shè)投放型商品件，該公司銷售這批商品的利潤元．（1）直接寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式：_______；（2）為了使這批商品的利潤最大，該公司應(yīng)該向市場投放多少件型商品？最大利潤是多少？（3）該公司決定在試銷活動中每售出一件型商品，就從一件型商品的利潤中捐獻慈善資金元，當該公司售完這件商品并捐獻資金后獲得的最大收益為元時，求的值．B卷（50分）一、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）19、（4分）因式分解：_________．20、（4分）設(shè)a是的小數(shù)部分，則根式可以用表示為______.21、（4分）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則的值是__________．22、（4分）已知點P（-1，m）,Q（-2，n）都在反比例函數(shù)的圖像上，則m____n（填“>”或“<”或“=”）．23、（4分）在湖的兩側(cè)有A，B兩個消防栓，為測定它們之間的距離，小明在岸上任選一點C，并量取了AC中點D和BC中點E之間的距離為16米，則A，B之間的距離應(yīng)為_________米．二、解答題（本大題共3個小題，共30分）24、（8分）已知：如圖，在四邊形中，過作交于點，過作交于，且.求證：四邊形是平行四邊形.25、（10分）已知關(guān)于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=1．（1）求證：方程恒有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若此方程的一個根是1，請求出方程的另一個根，并求以此兩根為邊長的直角三角形的周長．26、（12分）定義：如果一條直線與一條曲線有且只有一個交點，且曲線位于直線的同旁，稱之為直線與曲線相切，這條直線叫做曲線的切線，直線與曲線的唯一交點叫做切點．（1）如圖，在平面直角坐標系中，點為坐標原點，以點為圓心，5為半徑作圓，交軸的負半軸于點，求過點的圓的切線的解析式；（2）若拋物線（）與直線（）相切于點，求直線的解析式；（3）若函數(shù)的圖象與直線相切，且當時，的最小值為，求的值．

參考答案與詳細解析一、選擇題（本大題共8個小題，每小題4分，共32分，每小題均有四個選項，其中只有一項符合題目要求）1、D【解析】

先根據(jù)正方形的性質(zhì)得到正方形的邊長為1cm，然后根據(jù)勾股定理得到正方形對角線的長．【詳解】解：∵正方形的周長為4cm，∴正方形的邊長為1cm，∴正方形的對角線的長為12+12故選：D．本題考查了正方形的性質(zhì)和勾股定理，根據(jù)正方形的四條邊相等得出直角三角形的兩直角邊長是解決此題的關(guān)鍵．2、C【解析】

根據(jù)平移的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】∵AD=AC=m，∴△DEF平移的距離是m，故A正確，C錯誤，∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC，∵DE∥AB，∴∠EDB=∠ABC，∴∠ACB=∠ECB，∴CB平分∠ACE，故B正確；由平移的性質(zhì)得到EF∥BC，故D正確．故選C．本題考查了平移的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練正確平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3、C【解析】

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=AC′，求出AC的長，得到C′的縱坐標，再根據(jù)點A的橫坐標可得結(jié)果.【詳解】解：如圖，AC=，由于旋轉(zhuǎn)，∴AC′=，∵A（1，1），∴C′（1，+1），故選C.本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AC=AC′.4、B【解析】試題解析：這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為：89，91，91，92，93，96，則中位數(shù)為：，故A錯誤；平均數(shù)為：，故B正確；眾數(shù)為：91，故C錯誤；方差S2==，故D錯誤．故選A．5、D【解析】

根據(jù)勾股定理即可解答【詳解】A、在△ABC中，不一定能夠得到AB2+BC2＝AC2，故選項錯誤；B、在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB2+BC2＝AC2，故選項錯誤；C、在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB2+BC2＝AC2，故選項錯誤；D、AB、BC、AC是△ABC的三邊，若AB2+BC2＝AC2，則△ABC是直角三角形，故選項正確．故選：D．此題考查勾股定理，解題關(guān)鍵在于掌握勾股定理的內(nèi)容6、A【解析】

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可求解.【詳解】設(shè)較小的角為x，則另一個角為5x，∵平行四邊形的對角互補，∴x+5x=180°，解得x=30°，故選A此題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知平行四邊形的對角互補.7、B【解析】試題分析：根據(jù)內(nèi)角和定理180°×（n-2）即可求得．解：180°×（n-2）=720°，解得n=1．考點：多邊形的內(nèi)角和定理．8、A【解析】

樣本方差，其中n是這個樣本的容量，是樣本的平均數(shù)利用此公式直接求解．【詳解】由知共有8個數(shù)據(jù)，這8個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為4，則該組數(shù)據(jù)的綜合為，故選：A．本題主要考查方差，解題的關(guān)鍵是掌握方差的計算公式及公式中的字母所表示的意義．二、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）9、1．【解析】試題分析：：∵數(shù)據(jù)3，5，9，10，x，12的眾數(shù)是9，∴x=9，∴這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是（3+5+9+10+9+12）÷6=1．故答案是1．考點：1.算術(shù)平均數(shù)2.眾數(shù)．10、2【解析】

利用二次根式的減法法則計算即可.【詳解】解：原式故答案為：本題考查二次根式的減法運算，熟練掌握二次根式的減法運算法則是解題關(guān)鍵.11、.【解析】

運用二次根式中的被開方數(shù)的非負性進行求解即可，即有意義，則a≥0.【詳解】解：由題意得2a+5≥0，解得：.故答案為.本題考查了二次根式的意義和性質(zhì)，對于二次根式而言，關(guān)鍵是要注意兩個非負性：一是a≥0，二是≥0；在各地試卷中是高頻考點.12、360°【解析】

根據(jù)多邊形的外角和是360°即可求出答案．【詳解】∵任意多邊形的外角和都是360°，∴正十邊形的外交和是360°，故答案為：360°．此題考查多邊形的外角和定理，熟記定理是解題的關(guān)鍵．13、x1＝0，x2＝1【解析】

利用因式分解法解該一元二次方程即可.【詳解】解：x2＝x，移項得：x2﹣x＝0，分解因式得：x（x﹣1）＝0，可得x＝0或x﹣1＝0，解得：x1＝0，x2＝1．故答案為：x1＝0，x2＝1本題考查了解一元二次方程，熟練掌握因式分解法是解題的關(guān)鍵.三、解答題（本大題共5個小題，共48分）14、（1）A，B單價分別是360元，540元；（2）34件．【解析】

（1）設(shè)A種型號健身器材的單價為x元/套，B種型號健身器材的單價為1．5x元/套，根據(jù)“B種健身器材的單價是A種健身器材的1．5倍，用7200元購買A種健身器材比用5400元購買B種健身器材多10件”，即可得出關(guān)于x，y的分式方程，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)購買A種型號健身器材m套，則購買B種型號的健身器材(50﹣m)套，根據(jù)總價＝單價×數(shù)量結(jié)合這次購買兩種健身器材的總費用不超過21000元，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）設(shè)A種型號健身器材的單價為x元/套，B種型號健身器材的單價為1．5x元/套，根據(jù)題意，可得：，解得：x＝360，經(jīng)檢驗x＝360是原方程的根，1.5×360＝540(元)，因此，A，B兩種健身器材的單價分別是360元，540元；（2）設(shè)購買A種型號健身器材m套，則購買B種型號的健身器材(50﹣m)套，根據(jù)題意，可得：360m+540(50﹣m)≤21000，解得：m≥，因此，A種型號健身器材至少購買34套．本題考查的知識點是分式方程以及一元一次不等式的實際應(yīng)用，讀懂題意，找出題目中的等量關(guān)系式是解此題的關(guān)鍵．15、見解析【解析】

平行四邊形的對角相等，得∠B=∠D，結(jié)合AE⊥BC，AF⊥DC和BE=DF，由角邊角定理證明△ABE全等△ADF，再由全等三角形對應(yīng)邊相等得DA=AB，最后根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形判定

四邊形ABCD是菱形.【詳解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠B=∠D，∵AE⊥BC，AF⊥DC∴∠AEB=∠AFD=90°又∵BE=DF，∴△ABE≌△ADF(AAS)∴DA=AB，∴平行四邊形ABCD是菱形此題主要考查菱形的判定，解題的關(guān)鍵是熟知全等三角形的判定與性質(zhì)及菱形的判定定理.16、（1）y（x?y）1；（1）?3≤x＜1．【解析】

（1）直接提取公因式y(tǒng)，再利用公式法分解因式得出答案；（1）分別解不等式進而得出不等式組的解集．【詳解】解：（1）x1y?1xy1＋y3＝y(tǒng)（x1?1xy＋y1）＝y(tǒng)（x?y）1；（1），解①得：x＜1，解②得：x≥?3，故不等式組的解集為：?3≤x＜1．此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式、不等式組的解法，正確掌握解題方法是解題關(guān)鍵．17、（1）當天該水果的銷售量為2千克；（2）如果某天銷售這種水果獲利150元，該天水果的售價為3元．【解析】

（1）根據(jù)表格內(nèi)的數(shù)據(jù)，利用待定系數(shù)法可求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，再代入x=23.5即可求出結(jié)論；（2）根據(jù)總利潤每千克利潤銷售數(shù)量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結(jié)論．【詳解】（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，將（22.6，34.8）、（24，32）代入y=kx+b，，解得：，∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=﹣2x+1．當x=23.5時，y=﹣2x+1=2．答：當天該水果的銷售量為2千克．（2）根據(jù)題意得：（x﹣20）（﹣2x+1）=150，解得：x1=35，x2=3．∵20≤x≤32，∴x=3．答：如果某天銷售這種水果獲利150元，那么該天水果的售價為3元．本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)表格內(nèi)的數(shù)據(jù)，利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)關(guān)系式；（2）找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．18、（1）；（2）應(yīng)投放件，最大利潤為元；（3）滿足條件時的值為【解析】

（1）根據(jù)利潤=（售價-成本）數(shù)量即可求出與之間的函數(shù)關(guān)系式.（2）y與之間是一次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可知當x=125時y有最大值；（3）捐獻資金后獲得的收益為；當時時有最大值18000，即可求出a值.【詳解】（1）（2）由題意可知，即由一次函數(shù)的性質(zhì)可知．越大，越大當時∴應(yīng)投放件，最大利潤為元．（3）一共捐出元∴∴當時最大值小于當時時有最大值．即∴即滿足條件時的值為.本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學會構(gòu)建一次函數(shù)解決問題．一、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）19、【解析】

直接提取公因式即可．【詳解】．故答案為：．本題考查了因式分解——提取公因式法，掌握知識點是解題關(guān)鍵．20、【解析】

根據(jù)題意用表示出a，代入原式化簡計算即可得到結(jié)果．【詳解】解：根據(jù)題意得：a=，則原式=====，故答案為：.此題考查了估算無理數(shù)的大小，根據(jù)題意表示出a是解本題的關(guān)鍵．21、【解析】

根據(jù)方程有兩個相等的實數(shù)根，可得b2-4ac=0，方程化為一般形式后代入求解即可.【詳解】原方程化為一般形式為：mx2+(2m+1)x=0，∵方程有兩個相等的實數(shù)根∴（2m+1）2-4m×0=0本題考查一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運用一元二次方程的根的判別式，本題屬于基礎(chǔ)題型．22、＞【解析】

根據(jù)反比例函數(shù)的圖像特點即可求解.【詳解】∵點P（-1，m）,Q（-2，n）都在反比例函數(shù)的圖像上，又-1＞-2，反比例函數(shù)在x＜0時，y隨x的增大而增大，∴m＞n此題主要考查反比例函數(shù)的圖像，解題的關(guān)鍵是熟知反比例函數(shù)的圖像特點.23、32【解析】分析：可得DE是△ABC的中位線,然后根據(jù)三角形的中位線定理,可得DE∥AB,且AB=2DE,再根據(jù)DE的長度為16米,即可求出A、B兩地之間的距離.詳解：∵D、E分別是CA,CB的中點,

∴DE是△ABC的中位線,

∴DE∥AB,且AB=2DE,

∵DE=16米,

∴AB=32米.

故答案是:32.點睛：本題考查了三角形的中位線定理的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是：明確三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.二、解答題（本大題共3個小題，共30分）24、證明見解析.【解析】

根據(jù)HL證明，從而得到，再根據(jù)平等線的判斷得到，從而得到結(jié)論.【詳解】∵，，∴，在和中，∴∴，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形．考查了平行四邊形的判斷，解題關(guān)鍵是證明得到，從而證明.25、（1）見詳解；（2）4＋或4＋.【解析】

（1）根據(jù)關(guān)于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=1的根的判別式的符號來證明結(jié)論.（2）根據(jù)一元二次方程的解的定義求得m值，然后由根與系數(shù)的關(guān)系求得方程的另一根.分類討論：①當該直角三角形的兩直角邊是2、3時，②當該直角三角形的直角邊和斜邊分別是2、3時，由勾股定理求出得該直角三角形的另一邊，再根據(jù)三角形的周長公式進行計算.【詳解】解：（1）證明：∵△=（m＋2）2－4（2m－1）=（m－2）2＋4，∴在實數(shù)范圍內(nèi)，m無論取何值，（m－2）2+4≥4＞1，即△＞1.∴關(guān)于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=1恒有兩個不相等的實數(shù)根.（2）∵此方程的一個根是1，∴12－1×（m＋2）＋（2m－1）=1，解得，m=2，則方程的另一根為：m＋2－1=2+1=3.①當該直角三角形的兩直角邊是1、3時，由勾股定理得斜邊的長度為，該直角三角形的周長為1＋3＋=4＋.②當該直角三角形的直角邊和斜邊分別是1、3時，由勾股定理得該直角三角形的另一直角邊為；則該直角三角形的周長為1＋3＋=4＋.26、